3.1.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.掌握椭圆的简单几何性质,了解椭圆中a,b,c的几何意义.
2.能根据几何条件求出椭圆方程,利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形.
椭圆的几何性质
焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
范围
对称性 对称轴为坐标轴,对称中心(中心)为原点
顶点
B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 短轴长B1B2= ,长轴长A1A2=
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 F1F2=
离心率 (1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比 叫作椭圆的离心率,用e表示,即e=. (2)性质:离心率e的范围是 .当e越接近于1时,椭圆越扁;当e越接近于0时,椭圆就越接近于
|微|点|助|解|
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.
(4)对于椭圆上的点P,当点P从长轴端点向短轴端点移动时,∠F1PF2逐渐增大,当点P在短轴端点时,∠F1PF2最大.
(5)通径长为.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是a. ( )
(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1. ( )
(3)设F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则MF的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距). ( )
2.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是 ( )
A.(-6,0),(1,0) B.(-6,0),(6,0)
C.(-,0),(,0) D.(0,-),(0,)
3.若椭圆x2+2y2=1的离心率为e,则e的值为 ( )
A. B.2
C. D.
4.下列四个椭圆中,形状最扁的是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
题型(一) 由椭圆的方程研究其几何性质
[例1] 求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.
听课记录:
|思|维|建|模|
用标准方程研究椭圆几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论).
(3)求出a,b,c.
(4)写出椭圆的几何性质.
[针对训练]
1.[多选]已知点(3,2)在椭圆+=1上,则下列各点一定在该椭圆上的是 ( )
A.(-3,-2) B.(3,-2)
C.(-3,2) D.(2,3)
2.[多选]已知椭圆C1:+=1与椭圆C2:+=1,则 ( )
A.C1与C2的长轴长相等
B.C2的焦距是C1的焦距的2倍
C.C1与C2的离心率相等
D.C1与C2有公共点
题型(二) 由椭圆的几何性质求其标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上,长轴长是10,离心率是;
(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程.
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.
(4)写出椭圆的标准方程.
[针对训练]
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0);
(2)离心率e=,焦距为12.
题型(三) 椭圆的离心率
[例3] 已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆短轴的一个端点,且cos∠F1PF2=,则椭圆的离心率为 .
听课记录:
[变式拓展]
1.若本例条件“cos∠F1PF2=”变为“∠F1PF2为直角”,求椭圆的离心率.
2.若本例条件“点P是椭圆短轴的一个端点,且cos∠F1PF2=”变为“点P为椭圆的上顶点,点Q在椭圆上且满足=3”,求椭圆的离心率.
|思|维|建|模|
求椭圆的离心率的值或取值范围的两种方法
直接法 若已知a,c可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解
方程法 或不等 式法 若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围
[针对训练]
4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与椭圆C交于M,N两点,若=3且∠F1NF2=∠F1F2N,则椭圆C的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
第1课时 椭圆的几何性质
?课前预知教材
－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 2b 2a 2c (0,1) 圆
[基础落实训练]
1．(1)× (2)× (3)√
2．选D 椭圆6x2＋y2＝6的标准方程为＋x2＝1，易知椭圆焦点在y轴上，且a2＝6，a＝，所以椭圆的长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．
3．选C 由题意得椭圆长半轴长a＝1，短半轴长b＝，所以半焦距c＝＝，
所以离心率e＝＝＝，故选C.
4．选A 由e＝，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足<<<，因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆＋＝1的离心率最大，故其形状最扁．
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：根据椭圆的方程＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝＝4，
所以椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，
离心率e＝＝，焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，顶点为A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．
将方程变形为y＝± ，
根据y＝ 算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)：
x 0 1 2 3 4 5
y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0
先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
[针对训练]
1．选ABC 由椭圆关于x轴、y轴、原点对称可知，只有点(2,3)不在椭圆上．故选ABC.
2．选CD 由题意，知椭圆C1：＋＝1的长轴长为4，椭圆C2：＋＝1的长轴长为4，故A错误；椭圆C1的焦距为2，椭圆C2的焦距为4，故B错误；椭圆C1的离心率为，椭圆C2的离心率为，故C正确；由C1：＋＝1和C2：＋＝1联立，可得交点为(2,0)，(－2,0)，故D正确．故选CD.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)焦点在x轴上，故设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知得，2a＝10，a＝5，e＝＝，故c＝4，故b2＝a2－c2＝25－16＝9，
故椭圆的方程是＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1，a＞b＞0，∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，
∴△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，
∴c＝b＝3.∴a2＝b2＋c2＝18.故所求椭圆的方程为＋＝1.
[针对训练]
3．解：(1)若焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，所以b2＝a2－c2＝64.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
[题型(三)]
[例3] 解析：由题意可知PF1＝PF2＝＝＝a，F1F2＝2c.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos∠F1PF2，化简得4c2＝a2，则e2＝，所以e＝.
答案：
[变式拓展]
1．解：因为∠F1PF2为直角，所以△F1PF2为等腰直角三角形，所以b＝c，所以a＝＝＝c，所以离心率为e＝＝＝.
2．解：由题意P(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.设Q(x0，y0)，由＝3，得(c，b)＝3(x0－c，y0)，即代入椭圆方程得＋＝1，解得离心率e＝.
[针对训练]
4．选B 不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，整理得b2＝3c2.又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，解得e＝或e＝－(舍去)．
5．选D 因为∠F1NF2＝∠F1F2N，所以F1N＝F1F2＝2c.又因为F1N＋F2N＝2a，所以F2N＝2a－F1N＝2a－2c.又因为＝3，所以MN＝3F2M，所以F2M＝F2N＝a－c.又F1M＋F2M＝2a，所以F1M＝a＋c，F2M＝a－c，F2N＝a＋c，所以2a＝3(a－c)，所以椭圆C的离心率为e＝＝.故选D.
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3.1.2
椭圆的几何性质
椭圆的几何性质
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c的几何意义.
2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
范围 ____________________ ___________________
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心(中心)为原点
顶点 ____________________ __________________
B1(0，-b)，B2(0，b) B1(-b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长B1B2=_____，长轴长A1A2=______
焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c)
-a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
2b
2a
焦距 F1F2=______
离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比_____叫作椭圆的离心率，用e表示，即e=.
(2)性质：离心率e的范围是_________.当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于_____
2c
(0，1)
圆
|微|点|助|解|
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c，最小值为a-c.
(4)对于椭圆上的点P，当点P从长轴端点向短轴端点移动时，∠F1PF2逐渐增大，当点P在短轴端点时，∠F1PF2最大.
(5)通径长为.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是a.( )
(2)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为+=1.( )
(3)设F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则MF的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距).( )
×
×
√
2.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是 ( )
A.(-6，0)，(1，0) B.(-6，0)，(6，0)
C.(-，0)，(，0) D.(0，-)，(0，)
解析：椭圆6x2+y2=6的标准方程为+x2=1，易知椭圆焦点在y轴上，且a2=6，a=，所以椭圆的长轴端点坐标为(0，-)，(0，).
√
3.若椭圆x2+2y2=1的离心率为e，则e的值为 ( )
A. B.2
C. D.
解析：由题意得椭圆长半轴长a=1，短半轴长b=，所以半焦距c==，所以离心率e===，故选C.
√
4.下列四个椭圆中，形状最扁的是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析：由e=，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足<<<，因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆+=1的离心率最大，故其形状最扁.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 由椭圆的方程研究其几何性质
[例1] 求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.
解：根据椭圆的方程+=1，得a=5，b=3，c==4，
所以椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=6，
离心率e==，焦点为F1(-4，0)，F2(4，0)，
顶点为A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-3)，B2(0，3).
将方程变形为y=± ，
根据y= 算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)：
先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆.
x 0 1 2 3 4 5
y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0
|思|维|建|模|
用标准方程研究椭圆几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论).
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质.
针对训练
1.[多选]已知点(3，2)在椭圆+=1上，则下列各点一定在该椭圆上的是( )
A.(-3，-2) B.(3，-2)
C.(-3，2) D.(2，3)
解析：由椭圆关于x轴、y轴、原点对称可知，只有点(2，3)不在椭圆上.故选ABC.
√
√
√
2.[多选]已知椭圆C1：+=1与椭圆C2：+=1，则( )
A.C1与C2的长轴长相等
B.C2的焦距是C1的焦距的2倍
C.C1与C2的离心率相等
D.C1与C2有公共点
√
√
解析：由题意，知椭圆C1：+=1的长轴长为4，椭圆C2：+=1的长轴长为4，故A错误；椭圆C1的焦距为2，椭圆C2的焦距为4，故B错误；椭圆C1的离心率为，椭圆C2的离心率为，故C正确；由C1：+=1和C2：+=1联立，可得交点为(2，0)，(-2，0)，故D正确.故选CD.
题型(二) 由椭圆的几何性质求其标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上，长轴长是10，离心率是；
解：焦点在x轴上，故设椭圆的方程为+=1(a>b>0)，由已知得，2a=10，a=5，e==，故c=4， 故b2=a2-c2=25-16=9，
故椭圆的方程是+=1.
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解：设椭圆的标准方程为+=1，a>b>0，
∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF=c，
A1A2=2b，∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.
故所求椭圆的方程为+=1.
|思|维|建|模|
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程.
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.
(4)写出椭圆的标准方程.
针对训练
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)；
解：若焦点在x轴上，设其标准方程为+=1(a>b>0)，由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为+y2=1.
若焦点在y轴上，设其标准方程为+=1(a>b>0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为+=1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.
(2)离心率e=，焦距为12.
解：由e==，2c=12，得a=10，c=6，所以b2=a2-c2=64.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为+=1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为+=1.综上所述，所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
[例3] 已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1PF2=，则椭圆的离心率为_________.
题型(三) 椭圆的离心率
解析：由题意可知PF1=PF2===a，F1F2=2c.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2=
a2+a2-2a2cos∠F1PF2，化简得4c2=a2，
则e2=，所以e=.
1.若本例条件“cos∠F1PF2=”变为“∠F1PF2为直角”，求椭圆的离心率.
变式拓展
解：因为∠F1PF2为直角，所以△F1PF2为等腰直角三角形，所以b=c，所以a===c，所以离心率为e===.
2.若本例条件“点P是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1PF2=”变为“点P为椭圆的上顶点，点Q在椭圆上且满足=3”，求椭圆的离心率.
解：由题意P(0，b)，F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c=.
设Q(x0，y0)，由=3，得(c，b)=3(x0-c，y0)，即
代入椭圆方程得+=1，解得离心率e=.
|思|维|建|模|
求椭圆的离心率的值或取值范围的两种方法
直接法 若已知a，c可直接利用e=求解.若已知a，b或b，c可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e=求解
方程法或 不等式法 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2=b2+c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围
4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
针对训练
解析：法一 不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(-c，0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx-cy+bc=0，由已知得=×2b，
整理得b2=3c2.又b2=a2-c2，所以=，即e2=，解得e=或e=-(舍去).
√
法二 不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(-c，0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx-cy+bc=0，由已知得=×2b，所以=×2b，即=，所以e=.
法三 如图，由题意，得在椭圆中，OF=c，OB=b，OD=×2b=b，BF=a.在Rt△FOB中，OF×OB=BF×OD，
即c×b=a×b，解得=，
所以椭圆的离心率e=.
5.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆C交于M，N两点，若=3且∠F1NF2=∠F1F2N，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
√
解析：因为∠F1NF2=∠F1F2N，所以F1N=F1F2=2c.又因为F1N+F2N=2a，所以F2N=2a-F1N=2a-2c.又因为=3，
所以MN=3F2M，所以F2M=F2N=a-c.又F1M+F2M=2a，
所以F1M=a+c，F2M=a-c，F2N=a+c，所以2a=3(a-c)，
所以椭圆C的离心率为e==.故选D.
课时检测
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2
1.[多选]已知椭圆C：16x2+4y2=1，则下列结论正确的是 ( )
A.长轴长为 B.焦距为
C.焦点坐标为 D.离心率为
√
√
解析：由椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得+=1，所以a=，b=，c=，所以长轴长2a=1，焦距2c=，焦点坐标为，离心率e==.
1
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4
2.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：+y2=1(a>1)，C2：+y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2=e1，则a=( )
A. B.
C. D.
√
解析：由e2=e1，得=3.因此=3×.因为a>1，所以a=.
1
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2
3.若椭圆+=1与椭圆+=1(k<9，k≠0)，则两椭圆必定( )
A.有相等的长轴长 B.有相等的焦距
C.有相等的短轴长 D.有相等的离心率
√
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2
解析：因为k<9，k≠0，所以25-k>9-k>0，所以椭圆+=1(k<9，k≠0)中a2=25-k≠25，b2=9-k≠9，故A、C错误；椭圆+=1(k<9，k≠0)的c2=a2-b2=25-k-(9-k)=16，椭圆+=1的c2=25-9=16，故两椭圆c相等，所以有相等的焦距，故B正确；离心率e=，两椭圆a不相等，c相等，显然离心率不一样，故D错误.
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4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
√
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解析：如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.∵在Rt△BOF2中，OF2=c，BF2=a，∠OF2B=60°，∴cos 60°==，即椭圆的离心率e=.
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5.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，短轴的右端点为B，M(1，0)为线段OB的中点，则椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
√
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解析：因为M(1，0)为线段OB的中点，且B(b，0)，所以b=2，又椭圆C的离心率e=，所以===，所以a=2，所以椭圆C的标准方程为+=1.
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6.如图，把椭圆+=1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是左焦点，则P1F+P2F+…+P9F=( )
A.16 B.18
C.20 D.22
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解析：因为把椭圆+=1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，设椭圆的右焦点为F'，且a2=4，可得a=2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得P1F=P9F'，P2F=P8F'，P3F=P7F'，…，所以P1F+P2F+…+P9F=(P9F'+P9F)+(P8F'+P8F)+…+(P5F'+P5F)=9a=18.
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7.[多选]如图，椭圆C1：+y2=1和C2：+x2=1的交点依次为A，B，C，D.则下列说法正确的是( )
A.四边形ABCD为正方形
B.阴影部分的面积大于3
C.阴影部分的面积小于4
D.四边形ABCD的外接圆方程为x2+y2=2
√
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解析：由题意，椭圆C1：+y2=1和C2：+x2=1，根据曲线的对称性，可得四边形ABCD为正方形，A正确；联立方程组，求得A，所以正方形ABCD的面积为S1=3，所以阴影部分的面积大于3，B正确；由直线x=±1，y=±1围成的正方形的面积为S2=4，所以阴影部分的面积小于4，C正确；由OA2=，所以四边形ABCD的外接圆方程为x2+y2=，D错误.
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8.(5分)若椭圆C：+=1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为___________.
解析：∵椭圆的一个焦点坐标为(0，1)，∴m2-1-m=1，即m2-m-2=0，解得m=2或m=-1，由于+=1表示的是椭圆，则m>1，∴m=2，则椭圆方程为+=1，∴a=，2a=2.
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9.(5分)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为8π，且离心率为，则C的标准方程为___________.
解析：设C的标准方程为+=1(a>b>0)，则
解得所以C的标准方程为+=1.
+=1
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10.(5分)在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为_________cm.
解析：设小椭圆的长半轴长为a，a>0，依题意，e===，则=，解得a=10，所以小椭圆的长轴长为2a=20 cm.
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11.(10分)已知P为椭圆C：+=1(a>b>0)上的点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点.
(1)若P为椭圆的上顶点，且PF1⊥PF2，△F1PF2的面积等于4，求椭圆的标准方程；(5分)
解：由题意可得PF1=PF2=a，因为PF1⊥PF2，
所以P+P=2a2=4c2，所以=PF1·PF2==4，
所以a2=8，所以b2=4，所以椭圆的标准方程为+=1.
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(2)若△POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率.(5分)
解：法一 若△POF2为等边三角形，则P的坐标为，代入方程+=1，可得+=1，解得e2=4±2，又0法二 由△POF2为等边三角形，所以OF1=OF2=OP，所以PF1⊥PF2，由∠OF2P=，F1F2=2c，所以PF1=c，PF2=c，所以PF1+PF2=2a=(+1)c，所以e=-1.
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12.(15分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，长轴长与短轴长的和为6，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.
(1)求椭圆C的方程；(5分)
解：由椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，得=，解得a=2b.
由长轴长与短轴长的和为6，得2a+2b=6，则a=2，b=1，所以椭圆C的方程为+y2=1.
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(2)设P为椭圆C上一点，M(1，0).若λ=，求实数λ的取值范围.(10分)
解：设P(x，y)，由(1)知，y2=1-，x∈[-2，2]，而PF1+PF2=2a=4，
因此λ====，
由x∈[-2，2]，得+∈，
则≤λ≤，所以实数λ的取值范围为.
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13.(15分)(2024·全国甲卷)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴.
(1)求C的方程；(5分)
解：法一：直接法
由题意知解得
所以椭圆C的方程为+=1.
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法二 由题意知解得
所以椭圆C的方程为+=1.
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法三：巧用椭圆的定义 设F'为C的左焦点，连接MF'，则MF=，FF'=2，在Rt△MFF'中，MF'===.
由椭圆的定义知2a=MF'+MF=4，2c=FF'=2，
所以a=2，c=1.又a2=b2+c2，所以b=，
所以椭圆C的方程为+=1.
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(2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴.(10分)
解：证明：分析知直线AB的斜率存在.
易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴.
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x=ty+4(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(1，n)，
联立方程
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消去x得(3t2+4)y2+24ty+36=0，Δ>0，
则y1+y2=，y1y2=.
因为N为线段FP的中点，F(1，0)，所以N.
由N，Q，B三点共线，得kBN=kNQ，即=，得-y2=n，
解得n=.
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所以n-y1=-y1=-y1===0，
所以n=y1，所以AQ⊥y轴.
综上，AQ⊥y轴.课时检测(十八) 椭圆的几何性质
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.[多选]已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是 ( )
A.长轴长为 B.焦距为
C.焦点坐标为 D.离心率为
2.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则a= ( )
A. B.
C. D.
3.若椭圆+=1与椭圆+=1(k<9,k≠0),则两椭圆必定 ( )
A.有相等的长轴长
B.有相等的焦距
C.有相等的短轴长
D.有相等的离心率
4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,短轴的右端点为B,M(1,0)为线段OB的中点,则椭圆的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
6.如图,把椭圆+=1的长轴AB分成10等份,过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P9,F是左焦点,则P1F+P2F+…+P9F= ( )
A.16 B.18
C.20 D.22
7.[多选]如图,椭圆C1:+y2=1和C2:+x2=1的交点依次为A,B,C,D.则下列说法正确的是 ( )
A.四边形ABCD为正方形
B.阴影部分的面积大于3
C.阴影部分的面积小于4
D.四边形ABCD的外接圆方程为x2+y2=2
8.(5分)若椭圆C:+=1的一个焦点坐标为(0,1),则C的长轴长为 .
9.(5分)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2均在x轴上,C的面积为8π,且离心率为,则C的标准方程为 .
10.(5分)在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为 cm.
11.(10分)已知P为椭圆C:+=1(a>b>0)上的点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点.
(1)若P为椭圆的上顶点,且PF1⊥PF2,△F1PF2的面积等于4,求椭圆的标准方程;(5分)
(2)若△POF2为等边三角形,求椭圆C的离心率.(5分)
12.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长与短轴长的和为6,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.
(1)求椭圆C的方程;(5分)
(2)设P为椭圆C上一点,M(1,0).若λ=,求实数λ的取值范围.(10分)
13.(15分)(2024·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴.
(1)求C的方程;(5分)
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴.(10分)
课时检测(十八)
1．选CD 由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，所以长轴长2a＝1，焦距2c＝，焦点坐标为，离心率e＝＝.
2．选A 由e2＝e1，得e＝3e.因此＝3×.因为a＞1，所以a＝.
3．选B 因为k<9，k≠0，所以25－k>9－k>0，所以椭圆＋＝1(k<9，k≠0)中a2＝25－k≠25，b2＝9－k≠9，故A、C错误；椭圆＋＝1(k<9，k≠0)的c2＝a2－b2＝25－k－(9－k)＝16，椭圆＋＝1的c2＝25－9＝16，故两椭圆c相等，所以有相等的焦距，故B正确；离心率e＝，两椭圆a不相等，c相等，显然离心率不一样，故D错误．
4.选A 如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF1F2是正三角形．∵在Rt△BOF2中，OF2＝c，BF2＝a，∠OF2B＝60°，∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝.
5.选B 因为M(1,0)为线段OB的中点，
且B(b,0)，所以b＝2，又椭圆C的离心率e＝，
所以＝＝＝，所以a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
6．选B 因为把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，设椭圆的右焦点为F′，且a2＝4，可得a＝2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得P1F＝P9F′，P2F＝P8F′，P3F＝P7F′，…，所以P1F＋P2F＋…＋P9F＝(P9F′＋P9F)＋(P8F′＋P8F)＋…＋(P5F′＋P5F)＝9a＝18.
7．选ABC 由题意，椭圆C1：＋y2＝1和C2：＋x2＝1，根据曲线的对称性，可得四边形ABCD为正方形，A正确；联立方程组，求得A，所以正方形ABCD的面积为S1＝3，所以阴影部分的面积大于3，B正确；由直线x＝±1，y＝±1围成的正方形的面积为S2＝4，所以阴影部分的面积小于4，C正确；由OA2＝，所以四边形ABCD的外接圆方程为x2＋y2＝，D错误．
8．解析：∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，
∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，由于＋＝1表示的是椭圆，则m>1，∴m＝2，则椭圆方程为＋＝1，∴a＝，2a＝2.
答案：2
9．解析：设C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则解得
所以C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
10．解析：设小椭圆的长半轴长为a，a>0，依题意，e＝＝＝，则＝，解得a＝10，所以小椭圆的长轴长为2a＝20 cm.
答案：20
11．解：(1)由题意可得PF1＝PF2＝a，因为PF1⊥PF2，所以PF＋PF＝2a2＝4c2，所以S△PF1F2＝PF1·PF2＝＝4，所以a2＝8，所以b2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)若△POF2为等边三角形，则P的坐标为，代入方程＋＝1，可得＋＝1，解得e2＝4±2，又012．解：(1)由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，得＝，解得a＝2b.
由长轴长与短轴长的和为6，得2a＋2b＝6，则a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，由(1)知，y2＝1－，
x∈[－2,2]，而PF1＋PF2＝2a＝4，
因此λ＝＝
＝＝，
由x∈[－2,2]，得2＋∈，则≤λ≤ ，所以实数λ的取值范围为.
13．解：(1)
由题意知解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：分析知直线AB的斜率存在．
易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴．
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty＋4(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(1，n)，
联立方程
消去x得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝，y1y2＝.
因为N为线段FP的中点，F(1,0)，所以N.由N，Q，B三点共线，得kBN＝kNQ，即＝，得－y2＝n，解得n＝.
所以n－y1＝－y1＝－y1＝＝＝0，所以n＝y1，所以AQ⊥y轴．
综上，AQ⊥y轴．
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