第2课时 椭圆简单几何性质的综合应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标] 进一步学习椭圆的几何性质.能解决与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题及一些简单的实际问题.
题型(一) 求椭圆离心率的最值(范围)
[例1] 已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上一点,∠F1PF2=90°,求椭圆离心率的取值范围.
听课记录:
|思|维|建|模|
求离心率的取值范围,关键在于需要找到一个或多个限制a,b,c的不等式,即要构造一个关于a,b,c的不等式或不等式组.
[针对训练]
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,且椭圆上存在点P,使得PF1=7PF2,则该椭圆离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
题型(二) 椭圆中与几何性质有关的最值问题
[例2] 已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若点A(3,0),M满足AM=1,且·=0,则PM的最小值是 .
听课记录:
|思|维|建|模|
求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|+|PB|的最值问题,一般通过椭圆的定义把折线转化为直线,当且仅当三点共线时|PA|+|PB|取得最值.
(2)求解形如|PA|的最值问题,一般通过二次函数的最值求解,此时一定要注意自变量的取值范围.
(3)求解形如ax+by的最值问题,一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
(4)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.
[针对训练]
2.设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是 ( )
A.5 B.+
C.7+ D.6
3.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为 ( )
A.2 B.3
C.6 D.8
题型(三) 椭圆的实际应用问题
[例3] 某颗小行星的运行轨道是一个椭圆,太阳位于椭圆的一个焦点处.小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位,最远距离是5.563天文单位(1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离,约为1.50×108 km,是天文学的一种长度单位).求椭圆轨道的长半轴长和短半轴长各是多少个天文单位(参考数据:≈2.875 2).
听课记录:
|思|维|建|模|
椭圆在实际问题中的应用方法
对于椭圆的实际应用问题,首先要抽象出相应的数学问题,即建立数学模型,一般要先建立平面直角坐标系,然后利用椭圆的定义,构造参数a,b,c之间的关系,得到椭圆方程,最后解决数学问题并解释实际问题.解题时注意图形本身的特征.
[针对训练]
4.某操场的正前方有两根高度均为6 m、相距10 m的旗杆(都与地面垂直).有一条26 m长的绳子,两端系在两根旗杆的顶部,并按如图所示的方式绷紧,使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内.假定这条绳子在系到旗杆上时长度没有改变,求绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离各是多少.
第2课时 椭圆简单几何性质的综合应用
[题型(一)]
[例1] 解：不妨设PF1＝m，PF2＝n，
因为∠F1PF2＝90°，
所以m2＋n2＝F1F＝4c2.
而m＋n＝2a m2＋2mn＋n2＝4a2.
由基本不等式2mn≤m2＋n2，可知4a2≤m2＋m2＋n2＋n2＝2(m2＋n2)，所以m2＋n2≥2a2，于是4c2≥2a2 e＝≥.
又因为椭圆离心率小于1，
所以所求椭圆离心率的取值范围为.
[针对训练]
1．选C 由椭圆的定义得PF1＋PF2＝2a，又PF1＝7PF2，所以PF1＝a，PF2＝a.又PF1－PF2≤F1F2＝2c，当且仅当点P在椭圆下顶点时等号成立，所以a－a≤2c，即a≤2c，则e＝≥，即≤e<1，所以椭圆离心率的取值范围是.故选C.
[题型(二)]
[例2] 解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
因为·＝0，所以PM⊥AM，所以PM 2＝AP2－AM 2＝AP2－1，
所以AP越小，PM就越小．当P为椭圆的右顶点时，AP取得最小值2，
所以PM的最小值是＝.
答案：
[针对训练]
2．选D 由题意，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心坐标(0,6)到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径.设Q(x，y)，则圆心到点Q的距离d＝＝＝.又－1≤y≤1，所以dmax＝5，所以P，Q两点间的最大距离是6.
3．选C 设P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.因为F(－1,0)，所以·＝x0·(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以·∈[2,6]，所以(·)max＝6.
[题型(三)]
[例3] 解：如图，设椭圆的焦点为F1，F2，焦距为2c，
太阳位于焦点F1处，小行星的位置P到两焦点的距离之和PF1＋PF2等于一个固定值2a.
要使PF1最大，距离之差PF1－PF2最大，但PF1－PF2≤F1F2＝2c，
当且仅当F1，F2，P成一条直线且F2在F1和P之间时，PF1－PF2达到最大值2c，
PF1达到最大值＝a＋c.
而当PF2达到最大值a＋c时，PF1达到最小值a－c，所以
解得a＝3.524 5，c＝2.038 5，
因此b＝＝≈2.875 2，故椭圆轨道的长半轴长为3.524 5天文单位，短半轴长为2.875 2天文单位．
[针对训练]
4．解：建立如图所示的平面直角坐标系，
因为PB＋PD＝26>10，
所以点P在以B，D为焦点的椭圆上．
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
显然2a＝26,2c＝10 a＝13，
c＝5 b＝＝12，
所以椭圆的方程为＋＝1.
因为旗杆的高度为6 m，
所以＋＝1 x＝±，
则－5＝，＋5＝.
所以绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离分别是 m， m.
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椭圆简单几何性质的综合应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
进一步学习椭圆的几何性质.能解决与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题及一些简单的实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 求椭圆离心率的最值
(范围)
题型(二) 椭圆中与几何性质有关的最值问题
题型(三) 椭圆的实际应用问题
4
课时检测
题型(一) 求椭圆离心率的最值(范围)
01
[例1] 已知F1，F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=90°，求椭圆离心率的取值范围.
解：法一：利用基本不等式 不妨设PF1=m，PF2=n，
因为∠F1PF2=90°，所以m2+n2=F1=4c2.
而m+n=2a m2+2mn+n2=4a2.
由基本不等式2mn≤m2+n2，可知4a2≤m2+m2+n2+n2=2(m2+n2)，
所以m2+n2≥2a2，于是4c2≥2a2 e=≥.
又因为椭圆离心率小于1，
所以所求椭圆离心率的取值范围为.
法二：利用焦半径公式 设P(x1，y1)，由焦半径公式知PF1=a+ex1，PF2=a-ex1.因为∠F1PF2=90°，所以PF1，PF2，F1F2满足勾股定理.
所以4c2=(a+ex1)2+(a-ex1)2=2a2+2e2，
整理得==·(2c2-a2)=2a2-.
又因为0≤
所以0≤2a2-化简整理可得椭圆离心率的取值范围为.
法三：利用余弦定理 设椭圆短轴的一个端点为B.由于椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则∠F1BF2最大且为钝角或直角.
于是cos∠F1BF2≤0.
由余弦定理可得cos∠F1BF2===1-≤0.
化简整理可得≥，所以≤e<1，
即椭圆离心率的取值范围为.
法四：利用数形结合 如图，设椭圆短轴的一个端点为B.要使∠F1BF2为钝角或直角(即使得椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°)，
显然需有OF2≥OB，即c≥b.
此时，∠OBF2≥45°，即∠F1BF2≥90°，
当点P沿椭圆运动时才会出现∠F1PF2为直角的情况.
所以c2≥b2=a2-c2，于是a2≤2c2.
所以≥.又椭圆的离心率小于1，
故椭圆离心率的取值范围为.
|思|维|建|模|
求离心率的取值范围，关键在于需要找到一个或多个限制a，b，c的不等式，即要构造一个关于a，b，c的不等式或不等式组.
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，且椭圆上存在点P，使得PF1=7PF2，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
针对训练
√
解析：由椭圆的定义得PF1+PF2=2a，又PF1=7PF2，所以PF1=a，PF2=a.又PF1-PF2≤F1F2=2c，当且仅当点P在椭圆下顶点时等号成立，所以a-a≤2c，即a≤2c，则e=≥，即≤e<1，所以椭圆离心率的取值范围是.故选C.
题型(二) 椭圆中与几何性质有
关的最值问题
02
[例2] 已知动点P(x，y)在椭圆+=1上，若点A(3，0)，M满足AM=1，且·=0，则PM的最小值是_______________.
解析：易知点A(3，0)是椭圆的右焦点.
因为·=0，所以PM⊥AM，所以PM2=AP2-AM2=AP2-1，
所以AP越小，PM就越小.当P为椭圆的右顶点时，AP取得最小值2，
所以PM的最小值是=.
|思|维|建|模|
求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|+|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|+|PB|取得最值.
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.
(3)求解形如ax+by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.
2.设P，Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A.5 B.+
C.7+ D.6
针对训练
√
解析：由题意，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心坐标(0，6)到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径.设Q(x，y)，则圆心到点Q的距离d===.又-1≤y≤1，所以dmax=5，所以P，Q两点间的最大距离是6.
3.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A.2 B.3
C.6 D.8
解析：设P(x0，y0)，则+=1，即=3-.因为F(-1，0)，所以·=x0·(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2.又x0∈[-2，2]，所以·∈[2，6]，所以(·)max=6.
√
题型(三) 椭圆的实际应用问题
03
[例3] 某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处.小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位(1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为1.50×108 km，是天文学的一种长度单位).求椭圆轨道的长半轴长和短半轴长各是多少个天文单位(参考数据：≈2.875 2).
解：如图，设椭圆的焦点为F1，F2，焦距为2c，
太阳位于焦点F1处，小行星的位置P到两焦点的距离之和PF1+PF2等于一个固定值2a.要使PF1最大，距离之差PF1-PF2最大，但PF1-PF2≤F1F2=2c，
当且仅当F1，F2，P成一条直线且F2在F1和P之间时，PF1-PF2达到最大值2c，PF1达到最大值=a+c.而当PF2达到最大值a+c时，PF1达到最小值a-c，所以
解得a=3.524 5，c=2.038 5，
因此b==≈2.875 2，
故椭圆轨道的长半轴长为3.524 5天文单位，短半轴长为2.875 2天文单位.
|思|维|建|模|
椭圆在实际问题中的应用方法
对于椭圆的实际应用问题，首先要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立平面直角坐标系，然后利用椭圆的定义，构造参数a，b，c之间的关系，得到椭圆方程，最后解决数学问题并解释实际问题.解题时注意图形本身的特征.
针对训练
4.某操场的正前方有两根高度均为6 m、相距10 m的旗杆(都与地面垂直).有一条26 m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内.假定这条绳子在系到旗杆上时长度没有改变，求绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离各是多少.
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
因为PB+PD=26>10，
所以点P在以B，D为焦点的椭圆上.
设椭圆的方程为+=1(a>b>0)，
显然2a=26，2c=10 a=13，
c=5 b==12，
所以椭圆的方程为+=1.
因为旗杆的高度为6 m，所以+=1 x=±，
则-5=+5=.
所以绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离分别是 m， m.
课时检测
04
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12
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2
1.已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为( )
A.13 B.12
C.9 D.6
√
解析：由椭圆C：+=1，得MF1+MF2=2×3=6，则MF1·MF2≤
=32=9，当且仅当MF1=MF2=3时等号成立.故选C.
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2.在椭圆+=1中，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1为左焦点，M是椭圆上的点，则△MF1A2的面积的最大值为( )
A.16 B.32
C.16 D.32
√
解析：由题意可知当M为短轴端点时，△MF1A2的面积取最大值.因为椭圆方程为+=1，所以a=5，b=4，c=3，因此△MF1A2的面积的最大值为(a+c)b=×8×4=16.故选A.
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3.已知椭圆+=1上一点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则满足条件的点P有( )
A.2个 B.4个
C.6个 D.8个
√
解析：当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当点P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，这样的点P有2个，故符合要求的点P共有6个.故选C.
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4.已知椭圆的标准方程为+=1，则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离OP的取值范围为( )
A.[6，10] B.[6，8]
C.[8，10] D.[16，20]
√
解析：设P(x0，y0)，则OP=.由椭圆的性质，知|x0|≤a=10，|y0|≤b=8.因为点P在椭圆上，所以+=1，所以=64-，所以OP=.因为0≤≤100，所以64≤+64≤100，所以8≤OP≤10.
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5.已知F1，F2分别是椭圆M：+=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆M上，且PF1-PF2=4b，则M的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
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解析：由题意得则PF1=a+2b，PF2=a-2b，由PF1=a+2b≤a+c，PF2=a-2b≥a-c，得2b≤c，即4b2=4(a2-c2)≤c2，
得≥.又01
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6.[多选]已知椭圆C：+=1，F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法正确的是( )
A.椭圆离心率为 B.PF1的最大值为3
C.0≤∠F1PF2≤ D.PF1+PF2=2
√
√
√
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解析：由椭圆C：+=1，可得a=2，b=，则c==1，由椭圆C的离心率为e==，所以A正确；由椭圆的几何性质，当点P为椭圆的右顶点时，可得(PF1)max=a+c=3，所以B正确；当点P为椭圆的短轴的端点时，可得PF1=PF2=a=2，F1F2=2c=2，所以∠F1PF2=，根据椭圆的几何性质，可得0≤∠F1PF2≤，所以C正确；由椭圆的定义，可得PF1+PF2=2a=4，所以D错误.
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7.设B是椭圆C：+=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足PB≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
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解析：法一 依题意，B(0，b)，设P(acos θ，bsin θ)，θ∈[0，2π)，因为PB≤2b，所以对任意θ∈[0，2π)，(acos θ)2+(bsin θ-b)2≤4b2恒成立，即(a2-b2)sin2θ+2b2sin θ+3b2-a2≥0对任意θ∈[0，2π)恒成立.令
sin θ=t，t∈[-1，1]，f(t)=(a2-b2)t2+2b2t+3b2-a2，则原问题转化为对任意t∈[-1，1]，恒有f(t)≥0成立.因为f(-1)=0，所以只需-≤-1即可，所以2b2≥a2，则离心率e=≤，所以选C.
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法二 依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，由+=1，可得=a2-，则PB2=+(y0-b)2=+-2by0+b2=--2by0+a2+b2≤4b2.因为当y0=-b时，PB2=4b2，所以-≤-b，得2c2≤a2，所以离心率e=≤，故选C.
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8.(5分)德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆.已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率为________.
解析：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意可得=，整理得a=59c，即=.∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是.
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9.(5分)已知椭圆的短半轴长为1，离心率0解析：∵e=，b=1，0(2，4]
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10.(5分)已知点P在焦点为F1(-4，0)和F2(4，0)的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆的标准方程为______________.
解析：由题意得c=4.因为△PF1F2面积的最大值为16，所以×2c×b=16，即4b=16，b=4，所以a2=b2+c2=16+16=32.所以椭圆的标准方程为+=1.
+=1
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11.(5分)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_____________.
解析：根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x轴上的椭圆标准方程为+=1(a>b>0)，设F1(-c，0)，F2(c，0)，设M(x0，y0)，·=0 (-c-x0，-y0)·(c-x0，-y0)=0 -c2+=0 =c2-，点M(x0，y0)在椭圆内部，
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有+<1 b2+a2(c2-)-a2b2<0 >2a2-，要想该不等式恒成立，只需2a2-<0 2a2c20 01
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12.(10分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；(4分)
解：依题意，得2c=2，所以c=，离心率e===，所以a=2，
所以b==，
所以椭圆C的标准方程为+=1.
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(2)若点A(0，1)，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值.(6分)
解：设B(x，y)，则+=1，所以x2=4=4-2y2，y∈[-].
由两点间的距离公式，得AB=
==
=，所以当y=-1，x=±时，线段AB的长度最大，为.
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13.(10分)如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域ABCD用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程；(4分)
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解：以半圆的直径为x轴，圆心为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知，圆的半径为5，
则半圆的方程为x2+y2=25(y≤0).
椭圆的短半轴长b=5，=，又b2=a2-c2，
所以a2=100，b2=25，
所以半椭圆的方程为+=1(y≥0).
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(2)根据美学知识，当=0.6时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时AB的长.(6分)
解：设第一象限内的点A的横坐标为m(01
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14.(15分)椭圆E与椭圆+=1有共同的焦点，且经过点A.
(1)求椭圆E的标准方程和离心率；(8分)
解：由+=1可得c=1，
设椭圆E的标准方程为+=1(a>b>0)，因为椭圆E经过点A，
所以解得
所以椭圆E的标准方程为+=1，e==.
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(2)设F为E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求·的最大值.(7分)
解：由(1)可知椭圆E：+=1，所以F(-1，0).
设M(x，y)，则=(x，y)，=(x+1，y)，
所以·=x2+x+y2=x2+x+3=(x+2)2+2.
因为-2≤x≤2，所以当x=2时，·取得最大值，为×(2+2)2+2=6，即·的最大值为6.课时检测(十九) 椭圆简单几何性质的综合应用
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则MF1·MF2的最大值为 ( )
A.13 B.12
C.9 D.6
2.在椭圆+=1中,A1,A2分别为椭圆的左、右顶点,F1为左焦点,M是椭圆上的点,则△MF1A2的面积的最大值为 ( )
A.16 B.32
C.16 D.32
3.已知椭圆+=1上一点P,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若△F1PF2为直角三角形,则满足条件的点P有 ( )
A.2个 B.4个
C.6个 D.8个
4.已知椭圆的标准方程为+=1,则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离OP的取值范围为 ( )
A.[6,10] B.[6,8]
C.[8,10] D.[16,20]
5.已知F1,F2分别是椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆M上,且PF1-PF2=4b,则M的离心率的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
6.[多选]已知椭圆C:+=1,F1,F2是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任意一点.下列说法正确的是 ( )
A.椭圆离心率为 B.PF1的最大值为3
C.0≤∠F1PF2≤ D.PF1+PF2=2
7.设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足PB≤2b,则C的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8.(5分)德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆.已知地球运行的轨道是一个椭圆,太阳在它的一个焦点上,轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30,那么地球运行轨道所在椭圆的离心率为 .
9.(5分)已知椭圆的短半轴长为1,离心率010.(5分)已知点P在焦点为F1(-4,0)和F2(4,0)的椭圆上,若△PF1F2面积的最大值为16,则椭圆的标准方程为 .
11.(5分)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 .
12.(10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;(4分)
(2)若点A(0,1),点B在椭圆C上,求线段AB长度的最大值.(6分)
13.(10分)如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成,半圆的直径为10,椭圆的离心率为,且短轴与半圆的直径重合,图徽内有一矩形区域ABCD用于绘画图案,矩形关于椭圆的长轴对称,且顶点在图徽外框上.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求出半圆的方程和半椭圆的方程;(4分)
(2)根据美学知识,当=0.6时达到最佳美观的效果,求达到最佳美观的效果时AB的长.(6分)
14.(15分)椭圆E与椭圆+=1有共同的焦点,且经过点A.
(1)求椭圆E的标准方程和离心率;(8分)
(2)设F为E的左焦点,M为椭圆E上任意一点,求·的最大值.(7分)
课时检测(十九)
1．选C 由椭圆C：＋＝1，得MF1＋MF2＝2×3＝6，则MF1·MF2≤2＝32＝9，当且仅当MF1＝MF2＝3时等号成立．故选C.
2．选A 由题意可知当M为短轴端点时，△MF1A2的面积取最大值．因为椭圆方程为＋＝1，所以a＝5，b＝4，c＝3，因此△MF1A2的面积的最大值为(a＋c)b＝×8×4＝16.故选A.
3．选C 当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当点P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，这样的点P有2个，故符合要求的点P共有6个．故选C.
4．选C 设P(x0，y0)，则OP＝.由椭圆的性质，知|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8.因为点P在椭圆上，所以＋＝1，所以y＝64－x，所以OP＝.
因为0≤x≤100，所以64≤x＋64≤100，所以8≤OP≤10.
5．选B 由题意得则PF1＝a＋2b，PF2＝a－2b，由PF1＝a＋2b≤a＋c，PF2＝a－2b≥a－c，得2b≤c，即4b2＝4(a2－c2)≤c2，得≥.又06．选ABC 由椭圆C：＋＝1，可得a＝2，b＝，则c＝＝1，由椭圆C的离心率为e＝＝，所以A正确；由椭圆的几何性质，当点P为椭圆的右顶点时，可得(PF1)max＝a＋c＝3，所以B正确；当点P为椭圆的短轴的端点时，可得PF1＝PF2＝a＝2，F1F2＝2c＝2，所以∠F1PF2＝，根据椭圆的几何性质，可得0≤∠F1PF2≤，所以C正确；由椭圆的定义，可得PF1＋PF2＝2a＝4，所以D错误．
7．选C 依题意，B(0，b)，设P(acos θ，bsin θ)，θ∈[0,2π)，因为PB≤2b，所以对任意θ∈[0,2π)，(acos θ)2＋(bsin θ－b)2≤4b2恒成立，即(a2－b2)sin2θ＋2b2sin θ＋3b2－a2≥0对任意θ∈[0,2π)恒成立．令sin θ＝t，t∈[－1,1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，则原问题转化为对任意t∈[－1,1]，恒有f(t)≥0成立．因为f(－1)＝0，所以只需－≤－1即可，所以2b2≥a2，则离心率e＝≤，所以选C.
8．解析：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意可得＝，整理得a＝59c，即＝.∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是.
答案：
9．解析：∵e＝，b＝1,0＜e≤，∴0＜ ≤，则1＜a≤2，
∴2＜2a≤4，即长轴长的取值范围是(2,4]．
答案：(2,4]
10．解析：由题意得c＝4.因为△PF1F2面积的最大值为16，所以×2c×b＝16，即4b＝16，b＝4，所以a2＝b2＋c2＝16＋16＝32.所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
11．解析：根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，设F1(－c,0)，F2(c,0)，设M(x0，y0)，·＝0 (－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝0 x－c2＋y＝0 y＝c2－x，点M(x0，y0)在椭圆内部，有＋<1 b2x＋a2(c2－x)－a2b2<0 x>2a2－，要想该不等式恒成立，只需2a2－<0 2a2c20 0答案：
12．解：(1)依题意，得2c＝2，所以c＝，
离心率e＝＝＝，所以a＝2，
所以b＝＝，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设B(x，y)，则＋＝1，
所以x2＝4＝4－2y2，y∈[－，]．
由两点间的距离公式，
得AB＝
＝＝
＝，所以当y＝－1，x＝±时，线段AB的长度最大，为.
13．解：(1)以半圆的直径为x轴，圆心为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知，圆的半径为5，则半圆的方程为x2＋y2＝25(y≤0)．椭圆的短半轴长b＝5，＝，又b2＝a2－c2，所以a2＝100，b2＝25，
所以半椭圆的方程为＋＝1(y≥0)．
(2)设第一象限内的点A的横坐标为m(014．解：(1)由＋＝1可得c＝1，设椭圆E的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
因为椭圆E经过点A，
所以解得所以椭圆E的标准方程为＋＝1，e＝＝.
(2)由(1)可知椭圆E：＋＝1，
所以F(－1,0)．
设M(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
所以·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
因为－2≤x≤2，所以当x＝2时，·取得最大值，为×(2＋2)2＋2＝6，
即·的最大值为6.
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