3.2 双曲线
3.2.1 双曲线的标准方程
第1课时 双曲线的定义及其标准方程
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.了解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其求法(待定系数法、定义法).
2.会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题.
1.双曲线的定义
定义 平面内到两个定点F1,F2的 等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫作双曲线
焦点 叫作双曲线的焦点
焦距 叫作双曲线的焦距
符号 语言 |PF1-PF2|=常数(常数小于F1F2)
|微|点|助|解|
(1)在双曲线定义中,若PF1-PF2=常数(0<常数
(2)常数的大小与点P的轨迹如下表所示.
条件 结论
0<常数常数=F1F2 动点P的轨迹是分别以F1,F2为端点,指向F1,F2所在直线两侧的射线
常数>F1F2 动点P不存在,因而轨迹不存在
常数=0 动点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线
2.双曲线的标准方程
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图形
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标
焦距 F1F2=
a,b,c的关系 b2=
|微|点|助|解|
(1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴.
(2)焦点F1,F2的位置是双曲线的定位条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,即若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.
(3)参数a,b,c的几何意义:在双曲线的标准方程中,因为a,b,c三个量满足c2=a2+b2,所以长度分别为a,b,c的三条线段恰好构成一个直角三角形,且长度为c的线段是斜边,如图所示.
基础落实训练
1.已知点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足PF1-PF2=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别是 ( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线
D.双曲线的一支和一条射线
2.方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数k的取值范围为 ( )
A.(-∞,1) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
3.以F1(-,0),F2(,0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是 ( )
A.-y2=1 B.-y2=1
C.-y2=1 D.x2-=1
4.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件PF1-PF2=4,则动点P的轨迹是 ( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.不存在
D.双曲线或线段或不存在
题型(一) 双曲线的标准方程
[例1] 根据下列条件,分别求双曲线的标准方程.
(1)经过点P,Q;
(2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上.
听课记录:
|思|维|建|模|
用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
[针对训练]
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2);
(2)经过A(-7,-6),B(2,3)两点;
(3)过点P(-,2),且与椭圆+=1有相同焦点.
题型(二) 与双曲线有关的轨迹问题
[例2] 动圆M与☉C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0),求圆心M的轨迹方程.
听课记录:
|思|维|建|模|
1.求与双曲线有关的点的轨迹方程的方法
(1)列出等量关系,化简得到方程.
(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.
2.易错提醒
(1)双曲线的焦点所在的坐标轴判断错误.
(2)忘记判断所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
[针对训练]
2.在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),其内切圆圆心在直线x=2上,则顶点C的轨迹方程为 ( )
A.-=1(x>2) B.-=1(x>3)
C.+=1(0题型(三) 双曲线的定义及应用
[例3] 已知M是双曲线-=1上一点,点F1,F2分别是双曲线左、右焦点,若MF1=5,则MF2= ( )
A.9或1 B.1
C.9 D.9或2
听课记录:
[例4] 已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,若P是双曲线左支上的点,且PF1·PF2=32,则△F1PF2的面积为 .
听课记录:
[变式拓展]
1.若例4中双曲线的方程不变,且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10,求点P到焦点F2的距离.
2.若例4中的条件“PF1·PF2=32”变成“PF1∶PF2=2∶5”,其他条件不变,求△F1PF2的面积.
|思|维|建|模|
双曲线定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标,可以求得该点到某一焦点的距离,进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
[针对训练]
3.已知双曲线-=1在左支上一点M到右焦点F1的距离为18,N是线段MF1的中点,O为坐标原点,则ON等于 ( )
A.4 B.2
C.1 D.
4.设点P在双曲线-=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且PF1∶PF2=1∶3,则△F1PF2的周长等于 ( )
A.22 B.16
C.14 D.12
第1课时 双曲线的定义及其标准方程
?课前预知教材
1．距离之差的绝对值 两个定点F1，F2
两个焦点间的距离
2．F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c c2－a2
[基础落实训练]
1．选D 依题意得F1F2＝10，当a＝3时，因为PF1－PF2＝2a＝62．选A 由方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则解得k<1，故选A.
3．选A 由题意得双曲线焦点在x轴上且c＝，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝3，－＝1，解得a2＝2，b2＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1，故选A.
4．选B 因为定点F1(0，－3)，F2(0,3)，所以F1F2＝6，点P满足PF1－PF2＝4?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
∴解得(舍去)．
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
则有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
[针对训练]
1．解：(1)因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为－＝1(b>0)，将点A(－5,2)的坐标代入双曲线的方程得－＝1，解得b2＝16，因此，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，将点A，B的坐标代入双曲线方程可得解得m＝，n＝－，因此双曲线的标准方程为－＝1.
(3)由题意知，椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，所以可设双曲线标准方程为－＝1，其中a2＋b2＝5，代入点P(－，2)可得－＝1，联立解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
[题型(二)]
[例2] 解：设动圆M的半径为r，因为☉C与☉M内切，点A在☉C外，☉C的半径为，所以MC＝r－，MA＝r，
因此有MA－MC＝，所以点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支，即圆心M的轨迹方程是2x2－＝1.
[针对训练]
2.选A 如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有AD＝AE＝5，BF＝BE＝1，CD＝CF，所以CA－CB＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，2a＝4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以方程为－＝1(x>2)．
[题型(三)]
[例3] 选C 因为M是双曲线－＝1上一点，所以所以
由双曲线定义可知|MF1－MF2|＝2a＝4，
所以MF2＝1或MF2＝9，又MF2≥c－a＝2，所以MF2＝9，故选C.
[例4] 解析：由题意，得a＝3，b＝4，c＝＝5，所以2a＝6,2c＝10.
因为P是双曲线左支上的点，所以PF2－PF1＝6，两边平方，得PF＋PF－2PF1·PF2＝36，所以PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，
所以S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.
答案：16
[变式拓展]
1．解：由双曲线方程－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2a＝6，
所以|10－PF2|＝6，解得PF2＝4或PF2＝16.
2．解：由双曲线方程－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
因为P是双曲线左支上的点，所以PF2－PF1＝6.又PF1∶PF2＝2∶5，所以PF2＝10，PF1＝4.因为F1F2＝2c＝10，所以△PF1F2是等腰三角形．易得PF1边上的高为4，所以S△F1PF2＝×4×4＝8.
[针对训练]
3．选A 因为双曲线－＝1左支上的点M到右焦点F1的距离为18，所以M到左焦点F2的距离MF2＝18－10＝8，N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以ON＝MF2＝4.
4．选A 由题意知F1F2＝2＝10，由双曲线定义知|PF2－PF1|＝6，又PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝3，PF2＝9，∴△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.
1 / 5(共66张PPT)
3.2.1
双曲线的标准方程
双曲线的定义及其标准方程
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其求法(待定系数法、定义法).
2.会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.双曲线的定义
定义 平面内到两个定点F1，F2的___________________等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫作双曲线
焦点 __________________叫作双曲线的焦点
焦距 __________________叫作双曲线的焦距
符号语言 |PF1-PF2|=常数(常数小于F1F2)
距离之差的绝对值
两个定点F1，F2
两个焦点间的距离
|微|点|助|解|
(1)在双曲线定义中，若PF1-PF2=常数(0<常数(2)常数的大小与点P的轨迹如下表所示.
条件 结论
0<常数常数=F1F2 动点P的轨迹是分别以F1，F2为端点，指向F1，F2所在直线两侧的射线
常数>F1F2 动点P不存在，因而轨迹不存在
常数=0 动点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线
2.双曲线的标准方程
标准方程 -=1 (a>0，b>0) -=1
(a>0，b>0)
图形
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标 ___________________ _____________________
焦距 F1F2=_____
a，b，c 的关系 b2=_______
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
2c
c2-a2
续表
|微|点|助|解|
(1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴.
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上.
(3)参数a，b，c的几何意义：在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2=a2+b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示.
基础落实训练
1.已知点F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足PF1-PF2=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是 ( )
A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线
√
解析：依题意得F1F2=10，当a=3时，因为PF1-PF2=2a=62.方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围为( )
A.(-∞，1) B.(2，+∞)
C.(1，2) D.(-∞，1)∪(2，+∞)
√
解析：由方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则解得k<1，故选A.
3.以F1(-，0)，F2(，0)为焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是( )
A.-y2=1 B.-y2=1
C.-y2=1 D.x2-=1
√
解析：由题意得双曲线焦点在x轴上且c=，设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，则有a2+b2=c2=3，-=1，解得a2=2，b2=1，故所求双曲线的标准方程为-y2=1，故选A.
4.设定点F1(0，-3)，F2(0，3)，动点P(x，y)满足条件PF1-PF2=4，则动点P的轨迹是 ( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.不存在 D.双曲线或线段或不存在
解析：因为定点F1(0，-3)，F2(0，3)，所以F1F2=6，点P满足PF1-PF2=4√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 双曲线的标准方程
[例1] 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
(1)经过点P，Q；
解：法一 若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
∴解得 (舍去).
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得解得
∴双曲线的标准方程为-=1.
综上，双曲线的标准方程为-=1.
法二 设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0)，
∵P，Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)c=，经过点(-5，2)，焦点在x轴上.
解：法一 依题意可设双曲线方程为-=1(a>0，b>0).
则有解得
∴所求双曲线的标准方程为-y2=1.
法二 ∵焦点在x轴上，c=，
∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6).
∵双曲线经过点(-5，2)，∴-=1，
∴λ=5或λ=30(舍去).
∴所求双曲线的标准方程是-y2=1.
|思|维|建|模|
用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
针对训练
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2)；
解：因为a=2，且双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为-=1(b>0)，将点A(-5，2)的坐标代入双曲线的方程得-=1，解得b2=16，因此，双曲线的标准方程为-=1.
(2)经过A(-7，-6)，B(2，3)两点；
解：设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0)，将点A，B的坐标代入双曲线方程可得解得m=，n=-，因此双曲线的标准方程为-=1.
(3)过点P(-，2)，且与椭圆+=1有相同焦点.
解：由题意知，椭圆+=1的焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)，所以可设双曲线标准方程为-=1，其中a2+b2=5，代入点P(-，2)可得-=1，联立解得a2=1，b2=4，所以双曲线的标准方程为x2-=1.
题型(二) 与双曲线有关的轨迹问题
[例2] 动圆M与☉C：(x+2)2+y2=2内切，且过点A(2，0)，求圆心M的轨迹方程.
解：设动圆M的半径为r，因为☉C与☉M内切，点A在☉C外，☉C的半径为，所以MC=r-，MA=r，
因此有MA-MC=，
所以点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支，
即圆心M的轨迹方程是2x2-=1.
|思|维|建|模|
1.求与双曲线有关的点的轨迹方程的方法
(1)列出等量关系，化简得到方程.
(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
2.易错提醒
(1)双曲线的焦点所在的坐标轴判断错误.
(2)忘记判断所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
针对训练
2.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(-3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x=2上，则顶点C的轨迹方程为 ( )
A.-=1(x>2) B.-=1(x>3)
C.+=1(0√
解析：如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有AD=AE=5，BF=BE=1，CD=CF，所以CA-CB=5-1=4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，2a=4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c=3，a=2，又c2=a2+b2，所以b2=5，所以方程为-=1(x>2).
[例3] 已知M是双曲线-=1上一点，点F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若MF1=5，则MF2=( )
A.9或1 B.1
C.9 D.9或2
题型(三) 双曲线的定义及应用
√
解析：因为M是双曲线-=1上一点，所以
所以
由双曲线定义可知|MF1-MF2|=2a=4，
所以MF2=1或MF2=9，又MF2≥c-a=2，所以MF2=9，故选C.
[例4] 已知F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2=32，则△F1PF2的面积为__________.
解析：由题意，得a=3，b=4，c==5，
所以2a=6，2c=10.
因为P是双曲线左支上的点，所以PF2-PF1=6，两边平方，得P+P-2PF1·PF2=36，所以P+P=36+2PF1·PF2=36+2×32=100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2===0，所以∠F1PF2=90°，
所以=PF1·PF2=×32=16.
16
1.若例4中双曲线的方程不变，且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离.
变式拓展
解：由双曲线方程-=1，得a=3，b=4，c=5.
由双曲线的定义，得|PF1-PF2|=2a=6，
所以|10-PF2|=6，解得PF2=4或PF2=16.
2.若例4中的条件“PF1·PF2=32”变成“PF1∶PF2=2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积.
解：由双曲线方程-=1，得a=3，b=4，c=5.
因为P是双曲线左支上的点，所以PF2-PF1=6.又PF1∶PF2=2∶5，所以PF2=10，PF1=4.因为F1F2=2c=10，所以△PF1F2是等腰三角形.易得PF1边上的高为4，所以=×4×4=8.
|思|维|建|模|
双曲线定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
3.已知双曲线-=1在左支上一点M到右焦点F1的距离为18，N是线段MF1的中点，O为坐标原点，则ON等于( )
A.4 B.2
C.1 D.
针对训练
√
解析：因为双曲线-=1左支上的点M到右焦点F1的距离为18，所以M到左焦点F2的距离MF2=18-10=8，N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以ON=MF2=4.
4.设点P在双曲线-=1上，若F1，F2为双曲线的两个焦点，且PF1∶PF2=1∶3，则△F1PF2的周长等于( )
A.22 B.16
C.14 D.12
√
解析：由题意知F1F2=2=10，由双曲线定义知|PF2-PF1|=6，又PF1∶PF2=1∶3，∴PF1=3，PF2=9，∴△F1PF2的周长为3+9+10=22.
课时检测
03
1
3
4
5
6
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9
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11
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2
1.若方程-=1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A.(-2，2) B.(0，+∞)
C.[0，+∞) D.(-∞，-2]∪[2，+∞)
√
解析：∵已知方程表示双曲线，∴(2+m)(2-m)>0.∴-21
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2.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a的值为( )
A.1 B.1或-2
C.1或 D.
√
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解析：由题意知解得a=1.
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2
3.过点(1，1)，且=的双曲线的标准方程是( )
A.-y2=1 B.-x2=1
C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1
√
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解析：由=，知b2=2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为-=1，将点(1，1)代入可得a2=，则双曲线方程为-y2=1.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为-x2=1.
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4.已知点M(2，0)，N(-2，0)，动点P满足条件PM-PN=2，则动点P的轨迹方程为 ( )
A.-y2=1(x≥) B.-y2=1(x≤-)
C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1(x≤-1)
√
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解析：因为M(2，0)，N(-2，0)，所以MN=4，动点P满足PM-PN=20，b>0)，则有c=2，a=1，b==，所以动点P的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
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5.设F1，F2是双曲线C：x2-=1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，当PF1=6时，△PF1F2的面积为( )
A.4 B.3
C. D.6
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解析：∵双曲线C：x2-=1，∴a=1，b=，c=2，又点P在双曲线C的右支上，PF1=6，∴PF1-PF2=2a，6-PF2=2，即PF2=4，又F1F2=2c=4，∴△PF1F2的面积为×6× =3.
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6.在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点A(4，0)，分别过点M(-5，0)，N(5，0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上)，则点P的轨迹方程为 ( )
A.-=1(x>4) B.-=1(x<-4)
C.-=1(x>4或x<-4) D.-=1
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解析：设PM，PN分别与圆C相切于点S，T，则PS=PT，MS=MA，NA=NT，所以PM-PN=MA-NA=9-1=8，且8a=4，c=5，则b===3，故点P的轨迹方程为-=1(x>4).
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7.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，点Q(0，2)，则PQ+PF1的最小值为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.4
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解析：由题意并结合双曲线的定义可得PQ+PF1=PQ+(PF2+2)=
PQ+PF2+2≥QF2+2=2+2=4，当且仅当Q，P，F2三点共线时等号成立.PQ+PF1的最小值为4.故选D.
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8.(2024·天津高考)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
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解析：由题意可知，∠F1PF2=90°，又由直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1==2.根据双曲线定义PF1-PF2=2a，得PF1=4a，PF2=2a.因为=PF1·PF2=×4a×2a=4a2=8，所以a2=2，所以F1=P+P=(4a)2+(2a)2=20a2=40.又F1=4c2，所以c2=10，又a2+b2=c2，所以b2=8，所以双曲线的方程为-=1，故选C.
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9.已知A(7，3)，双曲线C：-=1的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则PF-PA的最大值是( )
A.-1 B.2
C. D.9
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解析：若F'为双曲线右焦点F'(3，0)，则PF-PF'=2a=4，AF'=5，而PA≥PF'-AF'，当且仅当P，F'，A共线且A在P，F'之间时等号成立，所以PF-PA≤PF-PF'+AF'=4+5=9，当P，F'，A共线且A在P，F'之间时等号成立.
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10.(5分)已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于__________.
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解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为-=1.由其焦距为4，得c=2，则有c2=2-a+3-a=4，解得a=.
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11.(5分)双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .
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解析：由题意知双曲线右焦点的坐标为(3，0)，则右焦点到直线x+2y-8=0的距离d==.
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12.(5分)若方程+=1表示双曲线，则实数m的取值范围为___________________.
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解析：依题意有或解得-33.
所以实数m的取值范围是(-3，2)∪(3，+∞).
(-3，2)∪(3，+∞)
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13.(10分)分别求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(-5，0)，(5，0)，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8；(2分)
15
解：由已知得c=5，2a=8.因此a=4，且b2=c2-a2=52-42=9.
又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是
-=1.
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(2)双曲线的一个焦点坐标是(0，-6)，且双曲线经过点A(-5，6)；(2分)
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解：由已知得双曲线的焦点在y轴上，且c=6，所以另一个焦点坐标为(0，6).
因为点A(-5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为
2a=|-|=|13-5|=8，因此a=4，从而b2=62-42=20.
因此，所求双曲线的标准方程是-=1.
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(3)a=4，经过点A；(2分)
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解：当焦点在x轴上时，设所求标准方程为-=1(b>0)，把点A的坐标代入，可得b2=-×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为-=1(b>0)，把A点的坐标代入，可得b2=9，
故所求双曲线的标准方程为-=1.
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(4)与双曲线-=1有相同的焦点，且经过点(3，2).(4分)
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解：设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16)，因为双曲线过点(3，2)，所以-=1，解得λ=4或λ=-14 (舍去).所以双曲线的标准方程为-=1.
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14.(10分)已知椭圆C1：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C2：-=1(a>0，b>0)与C1共焦点，点A(3，)在双曲线C2上.
(1)求双曲线C2的方程；(4分)
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解：由椭圆方程可知c2=18-14=4，∴F1(-2，0)，F2(2，0)，∵A(3，)，∴2a=|AF1-AF2|=|-|=2，
∴a2=2，b2=c2-a2=4-2=2，
∴双曲线C2的方程为-=1.
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(2)已知点P在双曲线C2上，且∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积.(6分)
解：设点P在双曲线的右支上，并且设PF1=x，PF2=y，∴变形为(x-y)2+xy=16 8+xy=16 xy=8，
∴=PF1·PF2sin 60°=2.
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15.(15分)已知定点A(-，0)，B(，0)，动点P到两定点A，B距离之差的绝对值为2.
(1)求动点P对应曲线C的轨迹方程；(5分)
解：由题意知，|PA-PB|=2∴b==1，故曲线C的方程为-y2=1.
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(2)过点Q(1，1)作直线与曲线C交于M，N两点，若点Q恰为MN的中点，求直线MN的方程.(10分)
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解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，满足
两式相减得=-，即=(y1-y2)(y1+y2)，
∵点Q为MN的中点，故
∴=，即直线MN的斜率为，又过点Q，
故直线MN的方程为y-1=(x-1)，即x-2y+1=0.课时检测(二十) 双曲线的定义及其标准方程
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.若方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是 ( )
A.(-2,2) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
2.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为 ( )
A.1 B.1或-2
C.1或 D.
3.过点(1,1),且=的双曲线的标准方程是 ( )
A.-y2=1 B.-x2=1
C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1
4.已知点M(2,0),N(-2,0),动点P满足条件PM-PN=2,则动点P的轨迹方程为 ( )
A.-y2=1(x≥) B.-y2=1(x≤-)
C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1(x≤-1)
5.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的左、右焦点,点P在双曲线C的右支上,当PF1=6时,△PF1F2的面积为 ( )
A.4 B.3
C. D.6
6.在平面直角坐标系中,一动圆C与x轴切于点A(4,0),分别过点M(-5,0),N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上),则点P的轨迹方程为 ( )
A.-=1(x>4)
B.-=1(x<-4)
C.-=1(x>4或x<-4)
D.-=1
7.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,点Q(0,2),则PQ+PF1的最小值为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.4
8.(2024·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
9.已知A(7,3),双曲线C:-=1的左焦点为F,P是双曲线C的右支上的动点,则PF-PA的最大值是 ( )
A.-1 B.2
C. D.9
10.(5分)已知双曲线+=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则a等于 .
11.(5分)双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .
12.(5分)若方程+=1表示双曲线,则实数m的取值范围为 .
13.(10分)分别求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8;(2分)
(2)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),且双曲线经过点A(-5,6);(2分)
(3)a=4,经过点A;(2分)
(4)与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(3,2).(4分)
14.(10分)已知椭圆C1:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C2:-=1(a>0,b>0)与C1共焦点,点A(3,)在双曲线C2上.
(1)求双曲线C2的方程;(4分)
(2)已知点P在双曲线C2上,且∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积.(6分)
15.(15分)已知定点A(-,0),B(,0),动点P到两定点A,B距离之差的绝对值为2.
(1)求动点P对应曲线C的轨迹方程;(5分)
(2)过点Q(1,1)作直线与曲线C交于M,N两点,若点Q恰为MN的中点,求直线MN的方程.(10分)
课时检测(二十)
1．选A ∵已知方程表示双曲线，
∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.
2．选A 由题意知解得a＝1.
3．选D 由＝，知b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，将点(1,1)代入可得a2＝，则双曲线方程为－y2＝1.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
4．选D 因为M(2,0)，N(－2,0)，所以MN＝4，动点P满足PM－PN＝20，b>0)，则有c＝2，a＝1，b＝＝，所以动点P的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
5．选B ∵双曲线C：x2－＝1，∴a＝1，b＝，c＝2，又点P在双曲线C的右支上，PF1＝6，∴PF1－PF2＝2a,6－PF2＝2，即PF2＝4，又F1F2＝2c＝4，∴△PF1F2的面积为×6× ＝3.
6．选A 设PM，PN分别与圆C相切于点S，T，则PS＝PT，MS＝MA，NA＝NT，所以PM－PN＝MA－NA＝9－1＝8，且8这里2a＝8，a＝4，c＝5，则b＝＝＝3，故点P的轨迹方程为－＝1(x>4)．
7.选D 由题意并结合双曲线的定义可得PQ＋PF1＝PQ＋(PF2＋2)＝PQ＋PF2＋2≥QF2＋2＝2＋2＝4，当且仅当Q，P，F2三点共线时等号成立．PQ＋PF1的最小值为4.故选D.
8．选C 由题意可知，∠F1PF2＝90°，又由直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1＝＝2.根据双曲线定义PF1－PF2＝2a，得PF1＝4a，PF2＝2a.因为S△PF1F2＝PF1·PF2＝×4a×2a＝4a2＝8，所以a2＝2，所以F1F＝PF＋PF＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又F1F＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
9.选D 若F′为双曲线右焦点F′(3,0)，则PF－PF′＝2a＝4，AF′＝5，而PA≥PF′－AF′，当且仅当P，F′，A共线且A在P，F′之间时等号成立，所以PF－PA≤PF－PF′＋AF′＝4＋5＝9，当P，F′，A共线且A在P，F′之间时等号成立．
10．解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
答案：
11．解析：由题意知双曲线右焦点的坐标为(3,0)，则右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝＝.
答案：
12．解析：依题意有或解得－33.
所以实数m的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．
答案：(－3,2)∪(3，＋∞)
13．解：(1)由已知得c＝5,2a＝8.因此a＝4，且b2＝c2－a2＝52－42＝9.
又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.
(2)由已知得双曲线的焦点在y轴上，且c＝6，所以另一个焦点坐标为(0,6)．
因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为
2a＝|－|
＝|13－5|＝8，因此a＝4，从而b2＝62－42＝20.
因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.
(3)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，可得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，可得b2＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(4)设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)，因为双曲线过点(3，2)，所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14 (舍去)．所以双曲线的标准方程为－＝1.
14．解：(1)由椭圆方程可知c2＝18－14＝4，
∴F1(－2,0)，F2(2,0)，∵A(3，)，∴2a＝|AF1－AF2|＝|－|＝2，
∴a2＝2，b2＝c2－a2＝4－2＝2，
∴双曲线C2的方程为－＝1.
(2)设点P在双曲线的右支上，并且设PF1＝x，PF2＝y，∴变形为(x－y)2＋xy＝16 8＋xy＝16 xy＝8，∴S△PF1F2＝PF1·PF2sin 60°＝2.
15．解：(1)由题意知，|PA－PB|＝2(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，满足两式相减得＝y－y，即＝(y1－y2)(y1＋y2)，
∵点Q为MN的中点，故
∴＝，即直线MN的斜率为，又过点Q，故直线MN的方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
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