3.2.2 双曲线的几何性质
第1课时 双曲线的几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.掌握双曲线的几何性质(范围、焦点、渐近线、离心率等).
2.能用双曲线的性质求标准方程.会求双曲线的离心率、渐近线等.
1.双曲线的几何性质
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图形
范围
对称性 对称轴: 对称中心:
顶点 , ,
实轴和 虚轴 实轴:线段A1A2,长:
虚轴:线段B1B2,长:
实半轴长: ,虚半轴长:
焦点 (±,0) (0,±)
焦距 F1F2=2c
渐近线 y= y=
离心率 e= ,e∈
2.等轴双曲线
实轴和虚轴 的双曲线叫作等轴双曲线,它的渐近线是 ,离心率e= .
|微|点|助|解|
(1)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.
(2)焦点到渐近线的距离为b.
(3)双曲线上的点到焦点的距离最小值:同侧时最小值为c-a,异侧时最小值为c+a.
(4)为了便于记忆,根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时,可以把双曲线的标准方程-=1(a>0,b>0)中等号右边的“1”改成“0”,然后分解因式即可得到双曲线渐近线的方程±=0.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的形状相同. ( )
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关. ( )
(3)双曲线-=1的渐近线方程是3x±2y=0. ( )
2.[多选]已知双曲线C:-=1,则下列选项正确的是 ( )
A.C的焦点坐标为(±4,0)
B.C的顶点坐标为(0,±3)
C.C的离心率为
D.C的虚轴长为2
3.如图,直角坐标系中有4条圆锥曲线Ci(i=1,2,3,4),其离心率分别为ei.则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是 ( )
A.e2C.e2题型(一) 由双曲线的方程研究其几何性质
[例1] 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
听课记录:
[变式拓展]
将本例中双曲线方程换为“nx2-my2=mn(m>0,n>0)”,结论不变,如何求解
|思|维|建|模|
由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
[针对训练]
1.[多选]已知双曲线方程为x2-8y2=32,则 ( )
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
题型(二) 由双曲线的几何性质求其标准方程
[例2] 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)一个焦点为(0,13),且离心率为;
(2)渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3).
听课记录:
|思|维|建|模|
求双曲线的标准方程的方法
(1)根据双曲线的几何性质求标准方程,一般是先定型(焦点在哪个轴上),再定量(确定a2,b2的值).
(2)巧设双曲线方程
①如果已知双曲线的方程为标准形式,但是不知焦点所处的位置,可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n.
②与双曲线-=1具有共同渐近线的双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0),再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.
[针对训练]
2.已知双曲线的虚轴长为4,离心率与椭圆+=1的离心率互为倒数,且焦点所在轴相同,则该双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
3.已知双曲线的一个焦点为(,0),渐近线方程为x±y=0,则该双曲线的标准方程为 ( )
A.-x2=1 B.y2-=1
C.x2-=1 D.-y2=1
题型(三) 求双曲线的离心率
[例3] (1)已知双曲线-=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为,则此双曲线的离心率为 ( )
A.2 B.
C. D.-
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若F1A=13,AB=10,则C的离心率为 .
听课记录:
|思|维|建|模| 求双曲线离心率的常用方法
直接法 已知a,c可直接利用e=求解,已知a,b(或已知渐近线方程)可利用e=求解
方程法 若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程,借助于e=,转化为关于e的方程求解
[针对训练]
4.过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为A.若∠AFO=2∠AOF(O为坐标原点),则该双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C.2 D.或2
5.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点P,若PF2⊥x轴,则双曲线的离心率为 ( )
A.-1 B.
C.±1 D.+1
6.(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为 .
第1课时 双曲线的几何性质
?课前预知教材
1．x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 坐标轴 原点 A1(－a,0) A2(a,0) A1(0，－a) A2(0，a) 2a 2b a b ±x ±x (1，＋∞) 2.等长 y＝±x
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)√
2．选BCD 因为a2＝9，b2＝7，所以a＝3，b＝，c＝＝4.因为焦点在y轴上，所以C的焦点坐标为(0，±4)，故A错误；顶点为(0，±3)，故B正确；离心率为，故C正确；虚轴长为2，故D正确．
3．选C 根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在(0,1)之间，则e3，e4都大于e1，e2，根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故e2e3，综上e2?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝.因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.
[变式拓展]
解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，a＝，b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝2.所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
[针对训练]
1．选ABD 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为，故选ABD.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.
(2)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝ ①.
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1 ②.
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝ ③.
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1 ④.
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
[针对训练]
2．选C 因为椭圆＋＝1的焦点在y轴上，离心率e＝，所以所求双曲线的焦点也在y轴上，离心率e＝2，即＝2，所以c2＝4a2，又因为双曲线的虚轴长为4，即2b＝4，所以b＝2，即c2－a2＝3a2＝4，所以a2＝，所以所求双曲线的方程为－＝1.
3．选D 由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝，＝，再由c2＝a2＋b2，解得a2＝2，b2＝1，该双曲线的标准方程为－y2＝1，故选D.
[题型(三)]
[例3] (1)选C ∵双曲线－＝1(a>b>0)的渐近线方程为y＝±x，∴由双曲线－＝1(a>b>0)两条渐近线的夹角为，可得＝tan＝.
∴双曲线的离心率为e＝＝＝.
(2)解析：由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入－＝1得y＝±，
即A，B，
故AB＝＝10，AF2＝＝5，
又AF1－AF2＝2a，得AF1＝AF2＋2a＝5＋2a＝13，解得a＝4，代入＝5，得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝.
答案：
[针对训练]
4．选B 在Rt△OAF中，因为∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，则tan 30°＝＝，所以e＝＝＝＝，故选B.
5.选D 由题意得F1F2＝PF2，－＝1(a>0，b>0)中，令x＝c得－＝1，解得y＝±，故PF2＝，因为F1F2＝2c，所以＝2c，结合b2＝c2－a2可得c2－2ac－a2＝0，方程两边同时除以a2，得e2－2e－1＝0，解得e＝1±，负值舍去，故离心率为＋1.
6．解析：由题意可知，F1(－c,0)，F2(c,0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，
所以即所以A，＝，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即c2－y＝0，解得y＝4c2.
因为点A在双曲线C上，所以－＝1，又y＝4c2，所以－＝1，即－＝1，
化简得＝，所以e2＝1＋＝，
所以e＝.
答案：
1 / 5(共66张PPT)
3.2.2
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
1.掌握双曲线的几何性质(范围、焦点、渐近线、离心率等).
2.能用双曲线的性质求标准方程.会求双曲线的离心率、渐近线等.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.双曲线的几何性质
标准方程 -=1 (a>0，b>0) -=1
(a>0，b>0)
图形
范围 ________________ ________________
对称性 对称轴：_________ 对称中心：________
顶点 _________，________ _________ ，________
实轴和 虚轴 实轴：线段A1A2，长：____
虚轴：线段B1B2，长：______
实半轴长：______，虚半轴长：_____
x≥a或x≤-a
y≥a或y≤-a
坐标轴
原点
A1(-a，0)
A1(0，-a)
2a
2b
a
b
续表
A2(a，0)
A2(0，a)
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 F1F2=2c
渐近线 y=________ y=_________
离心率 e=____，e∈__________
±x
±x
(1，+∞)
续表
2.等轴双曲线
实轴和虚轴_________的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是_________，离心率e=_____.
等长
y=±x
|微|点|助|解|
(1)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.
(2)焦点到渐近线的距离为b.
(3)双曲线上的点到焦点的距离最小值：同侧时最小值为c-a，异侧时最小值为c+a.
(4)为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线的标准方程-=1(a>0，b>0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到双曲线渐近线的方程±=0.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线-=1与-=1(a>0，b>0)的形状相同.( )
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.( )
(3)双曲线-=1的渐近线方程是3x±2y=0.( )
√
√
×
2.[多选]已知双曲线C：-=1，则下列选项正确的是( )
A.C的焦点坐标为(±4，0)
B.C的顶点坐标为(0，±3)
C.C的离心率为
D.C的虚轴长为2
√
√
√
解析：因为a2=9，b2=7，所以a=3，b=，c==4.因为焦点在y轴上，所以C的焦点坐标为(0，±4)，故A错误；顶点为(0，±3)，故B正确；离心率为，故C正确；虚轴长为2，故D正确.
3.如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线Ci(i=1，2，3，4)，其离心率分别为ei.则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是 ( )
A.e2B.e1C.e2D.e1√
解析：根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在(0，1)之间，则e3，e4都大于e1，e2，根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故e2e3，综上e2课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 由双曲线的方程研究其几何性质
[例1] 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
解：将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1，即-=1，∴a=3，b=2，c=.因此顶点坐标为A1(-3，0)，A2(3，0)，焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)，实轴长2a=6，虚轴长2b=4，离心率e==，渐近线方程为y=±x=±x.
将本例中双曲线方程换为“nx2-my2=mn(m>0，n>0)”，结论不变，如何求解
变式拓展
解：把方程nx2-my2=mn(m>0，n>0)化为标准方程为-=1(m>0，n>0)，
由此可知，a=，b=，c=，
焦点坐标为(，0)，(-，0)，
离心率e===，
顶点坐标为(-，0)，(，0)，
实轴长为2a=2，虚轴长为2b=2.
所以渐近线方程为y=± x，即y=±x.
|思|维|建|模|
由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
针对训练
1.[多选]已知双曲线方程为x2-8y2=32，则 ( )
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
解析：双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为-=1，得a=4，b=2，c=6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为，故选ABD.
√
√
√
题型(二) 由双曲线的几何性质求其标准方程
[例2] 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；
解：依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c=13，又=，∴a=5，b==12，故其标准方程为-=1.
(2)渐近线方程为y=±x，且经过点A(2，-3).
解：法一 ∵双曲线的渐近线方程为y=±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，则= ①.∵A(2，-3)在双曲线上，∴-=1 ②.联立①②，无解.
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，则= ③.
∵A(2，-3)在双曲线上，∴-=1 ④.
联立③④，解得a2=8，b2=32.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
法二 由双曲线的渐近线方程为y=±x，可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0)，
∵A(2，-3)在双曲线上，∴-(-3)2=λ，即λ=-8.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
|思|维|建|模|
求双曲线的标准方程的方法
(1)根据双曲线的几何性质求标准方程，一般是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值).
(2)巧设双曲线方程
①如果已知双曲线的方程为标准形式，但是不知焦点所处的位置，可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m，n同号)，然后由条件求m，n.
②与双曲线-=1具有共同渐近线的双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0)，再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.
针对训练
2.已知双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆+=1的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
√
解析：因为椭圆+=1的焦点在y轴上，离心率e=，所以所求双曲线的焦点也在y轴上，离心率e=2， 即=2，所以c2=4a2，又因为双曲线的虚轴长为4， 即2b=4，所以b=2， 即c2-a2=3a2=4，所以a2=，所以所求双曲线的方程为-=1.
3.已知双曲线的一个焦点为(，0)，渐近线方程为x±y=0，则该双曲线的标准方程为( )
A.-x2=1 B.y2-=1
C.x2-=1 D.-y2=1
解析：由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c==，再由c2=a2+b2，解得a2=2，b2=1，该双曲线的标准方程为-y2=1，故选D.
√
[例3] (1)已知双曲线-=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为( )
A.2 B.
C. D.-
题型(三) 求双曲线的离心率
√
解析：∵双曲线-=1(a>b>0)的渐近线方程为y=±x，∴由双曲线-=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为，可得=tan =.
∴双曲线的离心率为e===.
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若F1A=13，AB=10，则C的离心率为_____________.
解析：法一 由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入-=1得y=±，
即A，B，
故AB==10，AF2==5，
又AF1-AF2=2a，得AF1=AF2+2a=5+2a=13，解得a=4，代入=5，得b2=20，故c2=a2+b2=36，即c=6，所以e===.
法二 由题意，得AF2=BF2=5，F1A=13，则F1F2=2c==12，则c=6.又当x=c时，-=1，c2=a2+b2，则|y|=，所以AB=2|y|==10，则===5，解得a=4，所以e==.
|思|维|建|模| 求双曲线离心率的常用方法
直接法 已知a，c可直接利用e=求解，已知a，b(或已知渐近线方程)可利用e=求解
方程法 若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2=c2-a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e=，转化为关于e的方程求解
4.过双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若∠AFO=2∠AOF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C.2 D.或2
针对训练
√
解析：在Rt△OAF中，因为∠AFO=2∠AOF，所以∠AOF=30°，则tan 30°==，所以e====，故选B.
5.双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点P，若PF2⊥x轴，则双曲线的离心率为( )
A.-1 B.
C.±1 D.+1
√
解析：由题意得F1F2=PF2，-=1(a>0，b>0)中，令x=c得-=1，解得y=±，故PF2=，因为F1F2=2c，所以=2c，结合b2=c2-a2可得c2-2ac-a2=0，方程两边同时除以a2，得e2-2e-1=0，解得e=1±，负值舍去，故离心率为+1.
6.(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥=-，则C的离心率为___________.
解析：法一 由题意可知，F1(-c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，
B(0，y0)，所以=(x1-c，y1)，=(-c，y0)，因为=-，
所以即
所以A==(c，y0)，因为⊥，所以·=0，即c2-=0，解得=4c2.
因为点A在双曲线C上，所以-=1，又=4c2，
所以-=1，即-=1，化简得=，
所以e2=1+=，所以e=.
法二 由=-，得=，设||=2t，||=3t，由对称性可得||=3t，则||=2t+2a，||=5t，设∠F1AF2=θ，则sin θ==，所以cos θ==，解得t=a，所以||=2t+2a=4a，
||=2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得
cos θ==，即5c2=9a2，则e=.
课时检测
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1.双曲线-=1的左焦点与右顶点之间的距离等于( )
A.6 B.8
C.9 D.10
√
解析：由已知得左焦点的坐标为(-5，0)，右顶点的坐标为(3，0)，
所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
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2.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是 ( )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
√
解析：令y=0，得x=-4，∴等轴双曲线的一个焦点为(-4，0)，∴c=4，a2=b2=c2=×16=8，即双曲线方程为x2-y2=8.
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3.[多选]若P是双曲线C：-=1上一点，C的一个焦点坐标为F(4，0)，则下列结论正确的是( )
A.m=2
B.渐近线方程为y=±x
C.PF的最小值是2
D.焦点到渐近线的距离是2
√
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解析：依题意可知4+m=16 m=12，所以A错误.因为双曲线的方程为-=1，所以渐近线的方程为y=±x，(PF)min=c-a=2，渐近线方程为x±y=0，焦点到渐近线的距离是d==2.
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4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点.若=，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.3x±2y=0 B.2x±3y=0
C.x±2y=0 D.2x±y=0
√
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解析：设双曲线C的半焦距为c(c>0).由题可知F1F2=2c，PF1-PF2=2a，则==，所以==，所以=，所以C的渐近线方程为x±2y=0.
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5.[多选]已知椭圆C1：+y2=1(m>0且m≠1)与双曲线C2：-y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为椭圆C1，双曲线C2的离心率，则( )
A.0
C.m>n D.当n=1时，m=3
√
√
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解析：因为椭圆C1，双曲线C2的焦点相同，所以m>1，m2-1=n2+1，所以m2=n2+2，所以m>n，当n=1时，m=，故A、D错误，C正确.因为(e1e2)2=·=·==1+>1，所以e1>，故B正确.
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6.[多选]已知双曲线C：-=-1的焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是( )
A.渐近线方程为3x±4y=0
B.双曲线C与椭圆+=1的离心率互为倒数
C.若双曲线C上一点P满足PF1=2PF2，则△PF1F2的周长为28
D.若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
√
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解析：由题意可得C：-=1，故渐近线为3y=±4x，故A错误；易知双曲线和椭圆的离心率分别为e1==，e2==，显然它们不互为倒数，故B错误；由双曲线的定义可知|PF1-PF2|=2×3=6，若PF1=2PF2，则PF1-PF2=PF2=6，PF1=12，又F1F2=2×=10，故△PF1F2的周长为PF1+PF2+F1F2=6+12+10=28，故C正确；由双曲线的图象可知左、右两支上距离最近的两点为左、右顶点，即最短距离为6，故D正确.
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7.(2023·全国甲卷)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则AB=( )
A. B.
C. D.
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解析：根据双曲线的离心率e==，得c=a，即c2=5a2，即a2+b2=5a2，所以b2=4a2，=4，所以双曲线的渐近线方程为y=±2x，易知渐近线y=2x与圆相交.
法一 由得5x2-16x+12=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=.所以AB=|x1-x2|==，故选D.
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法二 因为圆心(2，3)到渐近线y=2x的距离d==，所以AB=2=2=，故选D.
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8.(5分)已知椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则实数a的值为__________.
解析：双曲线-=1，则a>0，所以双曲线的焦点在x轴上，
所以4-a2=a+2，又a>0，所以解得a=1.
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9.(5分)中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为 .
解析：∵=，∴==，∴=，∴=，∴=.又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x.
y=±x
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10.(5分)已知点B1，B2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)虚轴的两个端点，过B1且垂直于y轴的直线与双曲线交于P，Q两点，若△PQB2为正三角形，则该双曲线的离心率e为__________.
解析：如图所示，依题意Q点纵坐标为b，
把y=b代入双曲线方程可得x=±a，
所以点Q的坐标为(a，b)，
又Rt△B2B1Q中，tan∠B1B2Q===，
则=，e===.
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11.(5分)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的焦点F1，F2，离心率分别为e1，e2，若P是两条曲线的一个交点，且cos ∠F1PF2=，则+的值为__________.
解析：由题知，不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0)，双曲线的方程为-=1(m>0，n>0)，F1F2=2c.不妨设P是两条曲线在第一象限内的一个交点，F1，F2分别为左、右焦点，
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则有PF1+PF2=2a，PF1-PF2=2m，e1=，e2=，所以PF1=a+m，PF2=a-m.在△F1PF2中，由余弦定理知cos ∠F1PF2=
===，
整理得a2+5m2=6c2，即+=6.
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12.(10分)求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)顶点在x轴上，两顶点间的距离是10，且经过点(10，3)；(5分)
解：设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，因为两顶点间的距离是10，且经过点(10，3)，
则解得
则双曲线方程为-=1.
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(2)一个焦点坐标为(5，0)，一条渐近线方程为3x-4y=0.(5分)
解：因为一个焦点坐标为(5，0)，可设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，且c=5，由一条渐近线方程为3x-4y=0，可得y=x，则=.
设a=4k，b=3k，k>0，则c2=a2+b2 52=(4k)2+(3k)2，解得k=1，
则a=4，b=3，所以双曲线方程为-=1.
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13.(15分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，-1)，点M(3，m)在双曲线上.求：
(1)双曲线的方程；(3分)
解：因为e=，所以可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).因为过点
(3，-1)，所以9-1=λ，即λ=8，所以双曲线的方程为x2-y2=8.
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(2)·；(6分)
解：由(1)可设F1(-4，0)，F2(4，0)，所以=(-4-3，-m)，=(4-3，-m)，所以·=(-4-3)×(4-3)+m2=2+m2，
因为M点在双曲线上，所以18-m2=8，即m2=10，所以·=12.
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(3)△F1MF2的面积.(6分)
解：△F1MF2的底F1F2=8，由(2)知m=±，所以△F1MF2的高h=|m|=，所以=×8×=4.
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14.(15分)已知双曲线C：-=1.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；(7分)
解：由题可设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0)，
当λ>0时，方程为-=1，令4λ=得λ=，即双曲线方程为-=1，即-=1.当λ<0时，方程为-=1，令-3λ=得λ=-3，即双曲线方程为-=1.所以双曲线的标准方程为-=1或-=1.
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(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，求PA的最小值.(8分)
解：设P点的坐标为(x0，y0)(x0≥2)，则满足-=1，
PA=====，则当x0=时，PA有最小值为.课时检测(二十二) 双曲线的几何性质
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.双曲线-=1的左焦点与右顶点之间的距离等于 ( )
A.6 B.8
C.9 D.10
2.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是 ( )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
3.[多选]若P是双曲线C:-=1上一点,C的一个焦点坐标为F(4,0),则下列结论正确的是 ( )
A.m=2
B.渐近线方程为y=±x
C.PF的最小值是2
D.焦点到渐近线的距离是2
4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为C的右支上一点.若=,则双曲线C的渐近线方程为 ( )
A.3x±2y=0 B.2x±3y=0
C.x±2y=0 D.2x±y=0
5.[多选]已知椭圆C1:+y2=1(m>0且m≠1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为椭圆C1,双曲线C2的离心率,则 ( )
A.0
C.m>n D.当n=1时,m=3
6.[多选]已知双曲线C:-=-1的焦点分别为F1,F2,则下列结论正确的是 ( )
A.渐近线方程为3x±4y=0
B.双曲线C与椭圆+=1的离心率互为倒数
C.若双曲线C上一点P满足PF1=2PF2,则△PF1F2的周长为28
D.若从双曲线C的左、右支上任取一点,则这两点的最短距离为6
7.(2023·全国甲卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则AB= ( )
A. B.
C. D.
8.(5分)已知椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则实数a的值为 .
9.(5分)中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为 .
10.(5分)已知点B1,B2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)虚轴的两个端点,过B1且垂直于y轴的直线与双曲线交于P,Q两点,若△PQB2为正三角形,则该双曲线的离心率e为 .
11.(5分)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的焦点F1,F2,离心率分别为e1,e2,若P是两条曲线的一个交点,且cos ∠F1PF2=,则+的值为 .
12.(10分)求中心在原点,适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)顶点在x轴上,两顶点间的距离是10,且经过点(10,3);(5分)
(2)一个焦点坐标为(5,0),一条渐近线方程为3x-4y=0.(5分)
13.(15分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(3,-1),点M(3,m)在双曲线上.求:
(1)双曲线的方程;(3分)
(2)·;(6分)
(3)△F1MF2的面积.(6分)
14.(15分)已知双曲线C:-=1.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线,且实轴长为6的双曲线的标准方程;(7分)
(2)P为双曲线C右支上一动点,点A的坐标是(4,0),求PA的最小值.(8分)
课时检测(二十二)
1．选B 由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
2．选A 令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，即双曲线方程为x2－y2＝8.
3．选BCD 依题意可知4＋m＝16 m＝12，所以A错误．因为双曲线的方程为－＝1，所以渐近线的方程为y＝±x，(PF)min＝c－a＝2，渐近线方程为x±y＝0，焦点到渐近线的距离是d＝＝2.
4．选C 设双曲线C的半焦距为c(c>0)．由题可知F1F2＝2c，PF1－PF2＝2a，则＝＝，所以＝＝，所以＝，所以C的渐近线方程为x±2y＝0.
5．选BC 因为椭圆C1，双曲线C2的焦点相同，所以m>1，m2－1＝n2＋1，所以m2＝n2＋2，所以m>n，当n＝1时，m＝，故A、D错误，C正确．因为(e1e2)2＝·＝·＝＝1＋>1，所以e1>，故B正确．
6．选CD 由题意可得C：－＝1，故渐近线为3y＝±4x，故A错误；易知双曲线和椭圆的离心率分别为e1＝＝，e2＝＝，显然它们不互为倒数，故B错误；由双曲线的定义可知|PF1－PF2|＝2×3＝6，若PF1＝2PF2，则PF1－PF2＝PF2＝6，PF1＝12，又F1F2＝2×＝10，故△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝6＋12＋10＝28，故C正确；由双曲线的图象可知左、右两支上距离最近的两点为左、右顶点，即最短距离为6，故D正确．
7．选D 根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
由得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以AB＝|x1－x2|＝ ＝，故选D.
8．解析：双曲线－＝1，则a>0，所以双曲线的焦点在x轴上，
所以4－a2＝a＋2，又a>0，所以解得a＝1.
答案：1
9．解析：∵＝，∴＝＝，
∴＝，∴＝，∴＝.又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
10．解析：如图所示，依题意Q点纵坐标为b，把y＝b代入双曲线方程可得x＝±a，所以点Q的坐标为(a，b)，
又Rt△B2B1Q中，tan∠B1B2Q＝＝＝，则＝，e＝＝＝.
答案：
11．解析：由题知，不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线的方程为－＝1(m>0，n>0)，F1F2＝2c.不妨设P是两条曲线在第一象限内的一个交点，F1，F2分别为左、右焦点，
则有PF1＋PF2＝2a，PF1－PF2＝2m，e1＝，e2＝，所以PF1＝a＋m，PF2＝a－m.
在△F1PF2中，
由余弦定理知cos ∠F1PF2＝
＝＝＝，整理得a2＋5m2＝6c2，即＋＝6.
答案：6
12．解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，因为两顶点间的距离是10，且经过点(10,3)，
则解得
则双曲线方程为－＝1.
(2)因为一个焦点坐标为(5,0)，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝5，由一条渐近线方程为3x－4y＝0，可得y＝x，则＝.
设a＝4k，b＝3k，k>0，则c2＝a2＋b2 52＝(4k)2＋(3k)2，解得k＝1，则a＝4，b＝3，所以双曲线方程为－＝1.
13．解：(1)因为e＝，所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8，所以双曲线的方程为x2－y2＝8.
(2)由(1)可设F1(－4,0)，F2(4,0)，所以1＝(－4－3，－m)，＝(4－3，－m)，所以·＝(－4－3)×(4－3)＋m2＝2＋m2，因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8，即m2＝10，所以1·＝12.
(3)△F1MF2的底F1F2＝8，由(2)知m＝±，所以△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△MF1F2＝×8×＝4.
14．解：(1)由题可设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，方程为－＝1，令4λ＝2得λ＝，即双曲线方程为－＝1，即－＝1.
当λ<0时，方程为－＝1，令－3λ＝2得λ＝－3，即双曲线方程为－＝1.所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设P点的坐标为(x0，y0)(x0≥2)，则满足－＝1，
PA＝＝＝＝＝，则当x0＝时，PA有最小值为.
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