第2课时 双曲线几何性质的简单应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
1.拓展双曲线的几何性质. 2.能解决与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题.
3.利用双曲线的几何性质解决简单的实际问题.
题型(一) 双曲线的渐近线
[例1] 已知过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l,垂足为M,l与C的另一条渐近线交于点N,且+=0,则C的渐近线方程为 ( )
A.2x±y=0 B.x±y=0
C.x±y=0 D.x±y=0
听课记录:
|思|维|建|模|
求双曲线渐近线方程的基本步骤
(1)利用条件求出a与b的值或建立a与b的等量关系;
(2)确定双曲线焦点的位置;
(3)写出双曲线的渐近线方程:当双曲线的焦点在x轴上时,渐近线方程为y=±x;当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线方程为y=±x.
[针对训练]
1.已知双曲线C的顶点为A1,A2,虚轴的一个端点为B,且△BA1A2是一个直角三角形,则双曲线C的渐近线为 ( )
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
2.已知双曲线-=1的右焦点为F,过F作PF垂直于一条渐近线,垂足为P,若点P,Q关于原点对称,则S△PQF= .
题型(二) 双曲线的第二定义
[例2] 若动点P(x,y)满足4=|3x+4y+2|,则动点P的轨迹为 ( )
A.椭圆 B.双曲线
C.直线 D.抛物线
听课记录:
|思|维|建|模|
若动点M到定点F(c,0)的距离和它到定直线x=的距离的比是e=,则当0
1时,动点M的轨迹是双曲线.这就是椭圆和双曲线的第二定义.其中直线x=±叫做椭圆(或双曲线)的准线.
[针对训练]
3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为左支上一点,P到左准线的距离为d,若|PF1|2=d·|PF2|,则其离心率的取值范围是 ( )
A.[,+∞) B.(1,]
C.[1+,+∞) D.(1,1+]
题型(三) 求双曲线离心率的最值(范围)
[例3] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若C与直线y=x有交点,且双曲线上存在不是顶点的点P,使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则双曲线离心率的取值范围为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
求双曲线离心率的取值范围的常用方法
(1)根据题目条件得到不等关系,并设法转化为关于a,b,c的不等关系,结合c2=a2+b2和e=得到关于e的不等式(组),然后求解.
(2)注意从几何特征角度寻找不等关系.
(3)常用结论:双曲线上一点到同侧焦点的距离的最小值为c-a.
[针对训练]
4.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=3没有公共点,则双曲线C的离心率的取值范围为 ( )
A. B.(2,+∞)
C.(1,2) D.
题型(四) 双曲线的实际应用
[例4] 某地出土一古铜斧文物,如图,铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状.由于年代久远,顶部斧刃处两端有缺口,现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4 cm,底部CD宽5 cm,AB∥CD,底部离最窄处垂直高度为3 cm,斧高12 cm.请利用所学知识,帮小明算算,若原斧刃与AB平行,则其长度为 cm.
听课记录:
|思|维|建|模|
求解与双曲线有关的应用题时,首先要建立适当的平面直角坐标系,设出相应点的坐标,然后将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表述,转化为数学问题求解.
[针对训练]
5.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的.已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 cm,下底直径为9 cm,喉部(中间最细处)的直径为8 cm,则该塔筒的高为 ( )
A. cm B.18 cm
C. cm D.9 cm
第2课时 双曲线几何性质的简单应用
[题型(一)]
[例1] 选B 如图，设双曲线的右焦点为F1，OM，ON为双曲线的两条渐近线，由题意可知，FM⊥OM.由＋＝0，得M为FN的中点，则△FON为等腰三角形，所以∠FOM＝∠NOM，又∠FOM＝∠F1ON，则∠FOM＝，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0.故选B.
[针对训练]
1．选B 设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，由双曲线的对称性可得△BA1A2是一个等腰直角三角形，且BA1⊥BA2，BA1＝BA2，则OA1＝OA2＝OB，即a＝b，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选B.
2．解析：由题可得F(3,0)，a＝2，b＝，c＝3，渐近线方程为y＝±x，不妨取y＝x，即x－2y＝0，所以PF＝＝＝b，PQ＝2PO＝2a＝4，
所以S△PQF＝×4×＝2.
答案：2
[题型(二)]
[例2] 选B 由等式4＝|3x＋4y＋2|可得＝>1，即动点P到定点(1,2)与定直线3x＋4y＋2＝0的距离之比为且大于1，而定点不在定直线上，所以动点P的轨迹为双曲线．故选B.
[针对训练]
3．选D ∵|PF1|2＝d·|PF2|，∴＝＝e，即|PF2|＝e|PF1| ①.
又|PF2|－|PF1|＝2a ②，由①②解得|PF1|＝，|PF2|＝.又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即≥2c，即e2－2e－1≤0，解得1－≤e≤1＋.又e>1，
∴1[题型(三)]
[例3] 解析：双曲线C与直线y＝x有交点，则>1，＝>1，解得e＝>.由双曲线上存在不是顶点的点P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则点P在右支上，设PF1与y轴交于点Q，由对称性知QF1＝QF2，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，所以∠PF2Q＝∠PF2F1－∠QF2F1＝2∠PF1F2＝∠PQF2，则PQ＝PF2，所以PF1－PF2＝PF1－PQ＝QF1＝2a，由QF1>OF1得2a>c，所以e＝<2.综上，答案：(，2)
[针对训练]
4．选B ∵双曲线渐近线为bx±ay＝0，且与圆(x－2)2＋y2＝3没有公共点，∴圆心到渐近线的距离大于半径，即>，∴b2>3a2，∴b2＝c2－a2>3a2，∴e＝>2.故选B.
[题型(四)]
[例4] 解析：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．设原斧刃所在直线与双曲线交点为E，F，
由题意AB＝2a＝4，D，所以a＝2.因为双曲线的焦点在x轴上，所以设双曲线的方程为－＝1(b>0)，又点D在双曲线－＝1(b>0)上，所以－＝1，解得b2＝16，所以双曲线方程为－＝1.因为斧高12 cm，令y＝9，得－＝1，所以x2＝，解得x＝±，所以E，F，所以EF＝.
答案：
[针对训练]
5.选D 该塔筒的轴截面如图所示，以喉部(中间最细处)的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设A，B分别为上、下底面对应的点，双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由双曲线的离心率为，得＝，则b2＝4a2.由喉部(中间最细处)的直径为8 cm，得2a＝8，a＝4，所以双曲线的方程为－＝1.设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，由xA＝3，xB＝，得yA＝2，yB＝－7，所以该塔筒的高为yA－yB＝9.故选D.
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双曲线几何性质的简单应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
1.拓展双曲线的几何性质.
2.能解决与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题.
3.利用双曲线的几何性质解决简单的实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 双曲线的渐近线
题型(二) 双曲线的第二定义
题型(三) 求双曲线离心率的最值(范围)
4
课时检测
5
题型(四) 双曲线的实际应用
题型(一) 双曲线的渐近线
01
[例1] 已知过双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且+=0，则C的渐近线方程为( )
A.2x±y=0 B.x±y=0
C.x±y=0 D.x±y=0
√
解析：如图，设双曲线的右焦点为F1，OM，ON为双曲线的两条渐近线，由题意可知，FM⊥OM.由+=0，得M为FN的中点，则△FON为等腰三角形，所以∠FOM=∠NOM，又∠FOM=∠F1ON，则∠FOM=，所以双曲线的渐近线方程为x±y=0.故选B.
|思|维|建|模|
求双曲线渐近线方程的基本步骤
(1)利用条件求出a与b的值或建立a与b的等量关系；
(2)确定双曲线焦点的位置；
(3)写出双曲线的渐近线方程：当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线方程为y=±x；当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线方程为y=±x.
针对训练
1.已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个直角三角形，则双曲线C的渐近线为 ( )
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析：设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，由双曲线的对称性可得△BA1A2是一个等腰直角三角形，且BA1⊥BA2，BA1=BA2，则OA1=OA2=OB，即a=b，所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选B.
√
2.已知双曲线-=1的右焦点为F，过F作PF垂直于一条渐近线，垂足为P，若点P，Q关于原点对称，则S△PQF=______________.
解析：由题可得F(3，0)，a=2，b=，c=3，渐近线方程为y=±x，不妨取y=x，即x-2y=0，
所以PF===b，PQ=2PO=2a=4，
所以S△PQF=×4×=2.
2
题型(二) 双曲线的第二定义
02
[例2] 若动点P(x，y)满足4=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹为( )
A.椭圆 B.双曲线
C.直线 D.抛物线
√
解析：由等式4=|3x+4y+2|可得=>1，即动点P到定点(1，2)与定直线3x+4y+2=0的距离之比为且大于1，而定点不在定直线上，所以动点P的轨迹为双曲线.故选B.
|思|维|建|模|
若动点M到定点F(c，0)的距离和它到定直线x=的距离的比是e=，则当01时，动点M的轨迹是双曲线.这就是椭圆和双曲线的第二定义.其中直线x=±叫做椭圆(或双曲线)的准线.
针对训练
3.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为左支上一点，P到左准线的距离为d，若|PF1|2=d·|PF2|，则其离心率的取值范围是( )
A.[，+∞) B.(1，]
C.[1+，+∞) D.(1，1+]
√
解析：∵|PF1|2=d·|PF2|，∴==e，即|PF2|=e|PF1| ①.
又|PF2|-|PF1|=2a ②，由①②解得|PF1|=，|PF2|=.又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即≥2c，即e2-2e-1≤0，解得1-≤e≤1+.又e>1，∴1题型(三) 求双曲线离心率的最值(范围)
03
[例3] 已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y=x有交点，且双曲线上存在不是顶点的点P，使得∠PF2F1=3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为_________.
解析：双曲线C与直线y=x有交点，则>1，=>1，解得e=>.由双曲线上存在不是顶点的点P，使得∠PF2F1=3∠PF1F2，则点P在右支上，设PF1与y轴交于点Q，由对称性知QF1=QF2，所以∠QF1F2=∠QF2F1，
(，2)
所以∠PF2Q=∠PF2F1-∠QF2F1=2∠PF1F2=∠PQF2，则PQ=PF2，所以PF1-PF2=PF1-PQ=QF1=2a，由QF1>OF1得2a>c，所以e=<2.综上，|思|维|建|模|
求双曲线离心率的取值范围的常用方法
(1)根据题目条件得到不等关系，并设法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2=a2+b2和e=得到关于e的不等式(组)，然后求解.
(2)注意从几何特征角度寻找不等关系.
(3)常用结论：双曲线上一点到同侧焦点的距离的最小值为c-a.
针对训练
4.若双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=3没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A. B.(2，+∞)
C.(1，2) D.
√
解析：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，且与圆(x-2)2+y2=3没有公共点，∴圆心到渐近线的距离大于半径，即>，∴b2>3a2，∴b2=c2-a2>3a2，∴e=>2.故选B.
题型(四) 双曲线的实际应用
04
[例4] 某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状.由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4 cm，底部CD宽5 cm，AB∥CD，底部离最窄处垂直高度为3 cm，斧高12 cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm.
解析：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.设原斧刃所在直线与双曲线交点为E，F，由题意AB=2a=4，D，所以a=2.因为双曲线的焦点在x轴上，所以设双曲线的方程为-=1(b>0)，
又点D在双曲线-=1(b>0)上，所以-=1，
解得b2=16，
所以双曲线方程为-=1.因为斧高12 cm，令y=9，得-=1，
所以x2=，解得x=±，
所以E，F，所以EF=.
|思|维|建|模|
求解与双曲线有关的应用题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，设出相应点的坐标，然后将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表述，转化为数学问题求解.
5.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的.已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 cm，下底直径为9 cm，喉部(中间最细处)的直径为8 cm，则该塔筒的高为( )
A. cm B.18 cm
C. cm D.9 cm
针对训练
√
解析：该塔筒的轴截面如图所示，以喉部(中间最细处)的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设A，B分别为上、下底面对应的点，双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，由双曲线的离心率为，得=，则b2=4a2.由喉部(中间最细处)的直径为8 cm，得2a=8，a=4，
所以双曲线的方程为-=1.设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，由xA=3，
xB=，得yA=2，yB=-7，所以该塔筒的高为yA-yB=9.故选D.
课时检测
05
1
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
2
1.若M为双曲线-x2=1上任意一点，O是坐标原点，则OM的最小值是( )
A.1 B. C.2 D.2
√
解析：设M(x，y)，则OM=，
∵点M在双曲线-x2=1上，∴x2=-1，易知|y|≥，∴OM==≥，故选B.
1
5
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13
2
3
4
2.[多选]已知方程+=1表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则( )
A.-B.点(2，0)是该双曲线的一个焦点
C.1D.该双曲线的渐近线方程可能为x±2y=0
√
√
1
5
6
7
8
9
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13
2
3
4
解析：因为方程+=1表示的曲线是双曲线，所以(m2-2)(m2+2)<0，解得-1
5
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3
4
2
3.已知双曲线C：x2-=1(b>0)的离心率为，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为( )
A. B.2
C.4 D.
√
解析：由题意a=1，又=，所以c=，故b2=c2-a2=4，所以b=2，所以双曲线C：x2-=1，故渐近线方程为y=±2x且焦点为(±，0)，则焦点到渐近线的距离为=2.
1
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2
4.在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力.如图，从双曲线右焦点F2发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时，cos∠F1F2P=( )
1
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3
4
2
A. B.
C. D.
解析：因为e=，所以c=a，a=b，不妨设双曲线的标准方程为x2-y2=1，PF2=m(m>0)，则PF1=2+m，所以m2+(m+2)2=(2)2，解得m=-1(舍负)，所以cos∠F1F2P==.
√
1
5
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3
4
2
5.已知F是双曲线-=1(a>0，b>0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为( )
A.(1，+∞) B.(1，2)
C.(1，1+) D.(2，1+)
√
1
5
6
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3
4
2
解析：如图，利用双曲线的性质可得AF=BF=，EF=a+c，要使△ABE是锐角三角形，只需∠AEB为锐角，故∠AEF<45°，所以AF0，两边同除以a2，化简得e2-e-2<0，解得-11，所以11
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4
2
6.[多选]已知椭圆M：+=1(a>b>0)，双曲线N：-=1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则下列结论正确的是( )
A.椭圆的离心率e1=-1
B.双曲线的离心率e2=2
C.椭圆上不存在点A，使得·<0
D.双曲线上存在点B，使得·<0
√
√
√
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3
4
2
解析：如图，设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=2c，由正六边形的性质可得点I.由点I在椭圆上，可得+=1，结合a2-b2=c2可得=2-3(舍负)，∴椭圆的离心率e1===-1，故A正确；
1
5
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15
3
4
2
由上知，当点A为椭圆的上顶点时，2a2-(2c)2=[2-4(-1)2]a2<0，即cos∠F1AF2<0，此时·<0，故C错误；∵点I在双曲线N：-=1(m>0，n>0)的渐近线上，∴·=c，即=，∴双曲线的离心率e2===2，故B正确；易知当点B为双曲线的顶点时，·<0，故D正确.故选ABD.
1
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3
4
2
7.设F为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右焦点，α，β分别为C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为1，且满足β=5α，则双曲线C的焦距为( )
A. B.2
C. D.4
√
1
5
6
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13
3
4
2
解析：双曲线C：-=1(a>0，b>0)，其渐近线方程为y=±x，不妨设tan α=，tan β=-，右焦点F(c，0)到渐近线bx-ay=0(不妨取这条)的距离为d=.根据双曲线的性质c2=a2+b2，则d==b.已知点F到其中一条渐近线的距离为1，所以b=1.因为α，β分别为C的两条渐近线的倾斜角，且β=5α，又α+β=π，所以α+5α=π，解得α=，可得tan =，即=，解得a=.则c2=()2+12=4，所以c=2，故双曲线的焦距为2c=4.
1
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3
4
2
8.(5分)已知P(x，y)为双曲线C：-=1右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，则PA的最小值为________.
解析：由-=1得y2=3=x2-3.又PA===，x≥2，所以当x=时，(PA)min=.
1
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9.(5分)已知双曲线-=1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线离心率e的取值范围为 .
1
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6
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13
3
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2
解析：由题意可知直线l的方程为+=1，即bx+ay-ab=0.点(1，0)到直线l的距离d1=，点(-1，0)到直线l的距离d2=，s=d1+d2==.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2，则5≥2e2，即4e4-25e2+25≤0，得≤e2≤5.因为e>1，所以e的取值范围是.
1
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2
10.(5分)光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图①，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点F1，历时0.003秒.若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点F1发出，经Γ两次反射
后又回到了点F1，历时t秒.已知Γ
与Ω的离心率之比为2∶3，则t=
.
0.018
1
5
6
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13
3
4
2
解析：设F1F2=2c ，椭圆的长轴长为2a1 ，双曲线的实轴长为2a2 ，光速为v，因为Γ与Ω的离心率之比为2∶3，所以=，即a2=a1.
在题图①中，BF1+BF2=2a1，AF2-AF1=2a2 ，
两式相减得BF1+BF2-AF2+AF1=2a1-2a2，
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即BF1+AB+AF1=2a1-2a2，即△ABF1 的周长为2a1-2a2.
在题图②中，△CF1D的周长为CF1+CF2+DF1+DF2=4a1，
由题意可知0.003v=2a1-2a2，tv=4a1 ，
则== ，故t=0.018.
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11.(10分)求证：双曲线C：-=1(a>0，b>0)上任一点P(x，y)到焦点F(c，0)(c>0)和它到定直线l：x=距离的比为定值.
证明：如图，点P(x，y)到直线l：x=的距离为d=，
由于-=1(a>0，b>0)，
∴y2=b2=-b2.
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点P(x，y)到点F(c，0)的距离为
PF==
===，
故==，为定值.
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12.(10分)已知双曲线C：3x2-y2=3.
(1)求双曲线的两条渐近线夹角的大小；(2分)
解：双曲线C的两条渐近线方程为y=±x，则它们的夹角是.
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(2)设定点A(a，0)(a>0)，求双曲线上的动点P到A的距离d的最小值.(8分)
解：设P(x，y)为双曲线上任意一点，则3x2-y2=3，
d=AP===，x∈(-∞，-1]∪[1，+∞).当≤1，即0当>1，即a>4时，dmin==.
综上，当04时，dmin=.
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13.(15分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F1F2=8，渐近线方程为y=±x.
(1)求C的方程；(5分)
解：双曲线C：-=1的渐近线方程为y=±x，依题意，得=，半焦距c=4，而a2+b2=c2，解得a=2，b=2，
所以C的方程为-=1.
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(2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若=3，求四边形AF1F2B的面积.(10分)
解：设A(x0，y0)，x0<-2，y0>0，而F1(-4，0)，
F2(4，0)，由=3，得B(3x0+16，3y0)，
依题意，
解得即A(-3，).
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所以F1A=4，F2B=12，F2A=2a+F1A=8=F1F2，
等腰△F2F1A底边F1A上的高h==2.
又四边形AF1F2B为梯形，则=·h=×2=16，
所以四边形AF1F2B的面积为16.课时检测(二十三) 双曲线几何性质的简单应用
(选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.若M为双曲线-x2=1上任意一点,O是坐标原点,则OM的最小值是 ( )
A.1 B.
C.2 D.2
2.[多选]已知方程+=1表示的曲线是双曲线,其离心率为e,则 ( )
A.-B.点(2,0)是该双曲线的一个焦点
C.1D.该双曲线的渐近线方程可能为x±2y=0
3.已知双曲线C:x2-=1(b>0)的离心率为,则双曲线C的焦点到渐近线的距离为 ( )
A. B.2
C.4 D.
4.在节目表演中为了增强舞台的亮度,且为了减弱演员面对强光的不适感,灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质,发散光线以保护演员的视力.如图,从双曲线右焦点F2发出的光线,其经过双曲线的反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点F1.已知双曲线的离心率为,则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时,cos∠F1F2P= ( )
A. B.
C. D.
5.已知F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为 ( )
A.(1,+∞) B.(1,2)
C.(1,1+) D.(2,1+)
6.[多选]已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1(m>0,n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则下列结论正确的是 ( )
A.椭圆的离心率e1=-1
B.双曲线的离心率e2=2
C.椭圆上不存在点A,使得·<0
D.双曲线上存在点B,使得·<0
7.设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,α,β分别为C的两条渐近线的倾斜角,已知点F到其中一条渐近线的距离为1,且满足β=5α,则双曲线C的焦距为 ( )
A. B.2
C. D.4
8.(5分)已知P(x,y)为双曲线C:-=1右支上一动点,点A的坐标是(4,0),则PA的最小值为 .
9.(5分)已知双曲线-=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,则双曲线离心率e的取值范围为 .
10.(5分)光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图①,一个光学装置由有公共焦点F1,F2的椭圆Γ与双曲线Ω构成,现一光线从左焦点F1发出,依次经Ω与Γ反射,又回到了点F1,历时0.003秒.若将装置中的Ω去掉,如图②,此光线从点F1发出,经Γ两次反射后又回到了点F1,历时t秒.已知Γ与Ω的离心率之比为2∶3,则t= .
11.(10分)求证:双曲线C:-=1(a>0,b>0)上任一点P(x,y)到焦点F(c,0)(c>0)和它到定直线l:x=距离的比为定值.
12.(10分)已知双曲线C:3x2-y2=3.
(1)求双曲线的两条渐近线夹角的大小;(2分)
(2)设定点A(a,0)(a>0),求双曲线上的动点P到A的距离d的最小值.(8分)
13.(15分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且F1F2=8,渐近线方程为y=±x.
(1)求C的方程;(5分)
(2)设x轴上方的点A,B分别在C的左支与右支上,若=3,求四边形AF1F2B的面积.(10分)
课时检测(二十三)
1．选B 设M(x，y)，则OM＝，
∵点M在双曲线－x2＝1上，∴x2＝－1，易知|y|≥，∴OM＝＝≥，故选B.
2．选AC 因为方程＋＝1表示的曲线是双曲线，所以(m2－2)(m2＋2)＜0，解得－＜m＜，故A正确；将＋＝1化为－＝1，得焦点在y轴上，故B错误；因为2≤m2＋2＜4，所以e2＝∈(1,2]，故C正确；双曲线的渐近线斜率的平方k2＝≥1，故D错误．故选AC.
3．选B 由题意a＝1，又＝，所以c＝，故b2＝c2－a2＝4，所以b＝2，所以双曲线C：x2－＝1，故渐近线方程为y＝±2x且焦点为(±，0)，则焦点到渐近线的距离为＝2.
4．选A 因为e＝，所以c＝a，a＝b，不妨设双曲线的标准方程为x2－y2＝1，PF2＝m(m>0)，则PF1＝2＋m，所以m2＋(m＋2)2＝(2)2，解得m＝－1(舍负)，
所以cos∠F1F2P＝＝.
5．选B 如图，
利用双曲线的性质可得AF＝BF＝，EF＝a＋c，要使△ABE是锐角三角形，只需∠AEB为锐角，故∠AEF＜45°，所以AF＜EF，即＜a＋c，整理得2a2＋ac－c2＞0，两边同除以a2，化简得e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2.因为e＞1，所以1＜e＜2.故选B.
6．选ABD 如图，
设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2＝2c，由正六边形的性质可得点I.由点I在椭圆上，可得＋＝1，结合a2－b2＝c2可得＝2－3(舍负)，∴椭圆的离心率e1＝＝＝－1，故A正确；由上知，当点A为椭圆的上顶点时，2a2－(2c)2＝[2－4(－1)2]a2＜0，即cos∠F1AF2＜0，此时·＜0，故C错误；
∵点I在双曲线N：－＝1(m＞0，n＞0)的渐近线上，∴·＝c，即＝，∴双曲线的离心率e2＝＝＝2，故B正确；易知当点B为双曲线的顶点时，·＜0，故D正确．故选ABD.
7．选D 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程为y＝±x，不妨设tan α＝，tan β＝－，右焦点F(c,0)到渐近线bx－ay＝0(不妨取这条)的距离为d＝.根据双曲线的性质c2＝a2＋b2，则d＝＝b.已知点F到其中一条渐近线的距离为1，所以b＝1.因为α，β分别为C的两条渐近线的倾斜角，且β＝5α，又α＋β＝π，所以α＋5α＝π，解得α＝，可得tan＝，即＝，解得a＝.则c2＝()2＋12＝4，所以c＝2，故双曲线的焦距为2c＝4.
8．解析：由－＝1得y2＝3＝x2－3.又PA＝＝＝，x≥2，所以当x＝时，(PA)min＝.
答案：
9．解析：由题意可知直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.点(1,0)到直线l的距离d1＝，点(－1,0)到直线l的距离d2＝，s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2，则5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，得≤e2≤5.因为e>1，所以e的取值范围是.
答案：
10．解析：设F1F2＝2c ，椭圆的长轴长为2a1 ，双曲线的实轴长为2a2 ，光速为v，
因为Γ与Ω的离心率之比为2∶3，所以＝，即a2＝a1.
在题图①中，BF1＋BF2＝2a1，AF2－AF1＝2a2 ，
两式相减得BF1＋BF2－AF2＋AF1＝2a1－2a2，
即BF1＋AB＋AF1＝2a1－2a2，即△ABF1 的周长为2a1－2a2.
在题图②中，△CF1D的周长为CF1＋CF2＋DF1＋DF2＝4a1，
由题意可知0.003v＝2a1－2a2，tv＝4a1 ，
则＝＝ ，故t＝0.018.
答案：0.018
11．证明：如图，
点P(x，y)到直线l：x＝的距离为d＝，由于－＝1(a＞0，b＞0)，
∴y2＝b2＝－b2.
点P(x，y)到点F(c,0)的距离为
PF＝
＝＝＝＝，
故＝＝，为定值．
12．解：(1)双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x，则它们的夹角是.
(2)设P(x，y)为双曲线上任意一点，则3x2－y2＝3，
d＝AP＝＝＝，x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．当≤1，即0＜a≤4时，dmin＝|a－1|；当＞1，即a＞4时，dmin＝＝.综上，当04时，dmin＝.
13．解：(1)双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，依题意，得＝，半焦距c＝4，而a2＋b2＝c2，解得a＝2，b＝2，
所以C的方程为－＝1.
(2)设A(x0，y0)，x0<－2，y0>0，而F1(－4,0)，F2(4,0)，由F2B――→＝3，得B(3x0＋16,3y0)，
依题意，
解得即A(－3，)．所以F1A＝4，F2B＝12，F2A＝2a＋F1A＝8＝F1F2，
等腰△F2F1A底边F1A上的高h＝＝2.
又四边形AF1F2B为梯形，则S四边形AF1F2B＝·h＝×2＝16，
所以四边形AF1F2B的面积为16.
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