3.3.2 抛物线的几何性质
第1课时 抛物线的几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
了解抛物线的简单几何性质.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
1.四种抛物线形式的特征
类型 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图象
焦点
准线 x=- x= y=- y=
范围 , y∈R , y∈R x∈R, x∈R,
对称轴 x轴 y轴
顶点
离心率 e=1
开口方向
|微|点|助|解|
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
(1)它们都是轴对称图形,但椭圆和双曲线又是中心对称图形;
(2)顶点个数不同,椭圆有4个顶点,双曲线有2个顶点,抛物线只有1个顶点.
2.抛物线的焦点弦、通径
设抛物线的焦点在x轴上,则抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦,弦长公式为AB= ,在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短,称为抛物线的通径长,其公式为A0B0=2p.
|微|点|助|解|
如图,M1M2叫作抛物线的通径,长度是2p,这是常数2p的又一几何意义,所以p越大,通径越大,即抛物线的开口越大.反之,p越小,通径越小,抛物线的开口越小.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线没有渐近线. ( )
(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p. ( )
(3)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切. ( )
(4)抛物线y2=2px(p>0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是[0,+∞). ( )
2.抛物线x=8y2的通径长为 ( )
A.8 B.4
C. D.
3.抛物线C与抛物线x2=4y关于x轴对称,则抛物线C的准线方程是 ( )
A.y=-1 B.y=-2
C.y=1 D.y=2
题型(一) 由抛物线的性质求其标准方程
[例1] 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
听课记录:
|思|维|建|模|
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
[针对训练]
1.(1)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.
题型(二) 与抛物线有关的实际应用问题
[例2] 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示,这只杯盏的轴截面如图2所示,其中光滑的曲线是抛物线的一部分,已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为4 cm,往杯盏里面放入一个半径为r cm的小球,要使小球能触及杯盏的底部(顶点),则r最大值为 ( )
A. B.
C. D.
听课记录:
|思|维|建|模|
解决抛物线实际问题的步骤
(1)建立平面直角坐标系;
(2)设出合适的抛物线方程;
(3)经过计算求出抛物线的方程;
(4)求出需要的量;
(5)还原实际问题,从而解决问题.
[针对训练]
2.一隧道内设双行线公路,其截面由一个长方形和抛物线构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m,如图所示.已知行车道总宽度AB=6 m,那么车辆通过隧道的限制高度为 ( )
A.2.25 m B.2.5 m
C.3.25 m D.3.5 m
题型(三) 抛物线性质的综合应用
[例3] 已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若AF+BF=4,求l的方程;
(2)若=3,求AB.
听课记录:
|思|维|建|模| 应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便.
(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值探路法找定点、定值.
[针对训练]
3.在平面直角坐标系xOy中,直线l经过抛物线E:y2=12x的焦点F,且与E相交于A,B两点,直线OB交E的准线于点C.
(1)若AB=15,求直线l的方程;
(2)证明:直线AC平行于x轴.
第1课时 抛物线的几何性质
?课前预知教材
1．x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 (0,0) 向右 向左 向上 向下 2.x1＋x2＋p
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．选C 抛物线x＝8y2，即y2＝x，可得2p＝，因此通径长为.
3．选C ∵抛物线C与抛物线x2＝4y关于x轴对称，∴抛物线C的方程为x2＝－4y，
∴抛物线C的准线方程是y＝1.
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，
∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
[针对训练]
1．解：(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，－3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下．
设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F.
因为M(m，－3)在抛物线上且MF＝5，
故解得
故m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
(2)由题意，可设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，则焦点为F，直线l：x＝，所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为，，所以AB＝2|a|.因为△OAB的面积为4，所以··2|a|＝4，所以a＝±2.故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x.
[题型(二)]
[例2] 选C 以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得A的坐标为，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则＝8p，解得p＝，故该抛物线的标准方程为x2＝y.
设小球大圆圆周方程为x2＋(y－r)2＝r2，联立方程组解得y＝0或y＝2r－，要使小球能触及杯盏的底部(顶点)，则小球与杯子有且只有一个交点，就是抛物线的顶点，所以y＝2r－＝0或y＝2r－无效，考虑到抛物线不可能在x轴下方，所以y<0不成立，即y＝2r－<0，所以2r－≤0，解得r≤，所以r的最大值为.
[针对训练]
2．选C 如图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则C(4，－4)，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点C代入抛物线方程得p＝2，∴抛物线方程为x2＝－4y.
∵行车道总宽度AB＝6 m，
∴将x＝3代入抛物线方程，解得y＝－2.25，
∴车辆通过隧道的限制高度为6－2.25－0.5＝3.25 m.
[题型(三)]
[例3] 解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设，得F，故AF＋BF＝x1＋x2＋.又AF＋BF＝4，所以x1＋x2＝.
由得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－.从而－＝，
解得t＝－.所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3，得y1＝－3y2.
由得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程，得x1＝3，x2＝.故AB＝.
[针对训练]
3．解：(1)抛物线E：y2＝12x的焦点为F(3,0)，准线方程为x＝－3，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，得AB＝AF＋BF＝x1＋3＋x2＋3＝x1＋x2＋6＝15，
所以x1＋x2＝9，当直线l的斜率不存在时，x1＋x2＝6，不符合要求，
故直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，联立方程y2＝12x，得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0，则x1＋x2＝＝9，解得k＝±2，所以直线l的方程为2x－y－6＝0或2x＋y－6＝0.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线OB的方程为y＝x＝x，
令x＝－3，可得yC＝－，设直线l的方程为x＝my＋3，代入方程y2＝12x，
得y2－12my－36＝0，所以y1y2＝－36，所以y1＝－＝yC，所以直线AC平行于x轴．
1 / 5(共58张PPT)
3.3.2
抛物线的几何性质
抛物线的几何性质
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
了解抛物线的简单几何性质.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.四种抛物线形式的特征
类型 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py
(p>0)
图象
焦点
准线 x=- x= y=- y=
范围 ______， y∈R ______， y∈R x∈R， _______ x∈R，
_______
对称轴 x轴 y轴
顶点 _______
离心率 e=1
开口方向 _____ _____ _____ _______
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
(0，0)
向右
向左
向上
向下
续表
|微|点|助|解|
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
(1)它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
(2)顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点.
2.抛物线的焦点弦、通径
设抛物线的焦点在x轴上，则抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦，弦长公式为AB=__________，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，称为抛物线的通径长，其公式为A0B0=2p.
x1+x2+p
|微|点|助|解|
如图，M1M2叫作抛物线的通径，长度是2p，这是常数2p的又一几何意义，所以p越大，通径越大，即抛物线的开口越大.反之，p越小，通径越小，抛物线的开口越小.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线没有渐近线.( )
(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.( )
(3)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.( )
(4)抛物线y2=2px(p>0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是
[0，+∞). ( )
√
√
×
×
2.抛物线x=8y2的通径长为 ( )
A.8 B.4
C. D.
解析：抛物线x=8y2，即y2=x，可得2p=，因此通径长为.
√
3.抛物线C与抛物线x2=4y关于x轴对称，则抛物线C的准线方程是 ( )
A.y=-1 B.y=-2
C.y=1 D.y=2
解析：∵抛物线C与抛物线x2=4y关于x轴对称，∴抛物线C的方程为x2=-4y，
∴抛物线C的准线方程是y=1.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 由抛物线的性质求其标准方程
[例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
解：椭圆的方程可化为+=1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即=3，
∴p=6，∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x，
其准线方程分别为x=-3和x=3.
|思|维|建|模|
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
针对训练
1.(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，-3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程；
解：因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，-3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下.
设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0)，则焦点为F.
因为M(m，-3)在抛物线上且MF=5，
故解得
故m=±2，抛物线方程为x2=-8y，准线方程为y=2.
(2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.
解：由题意，可设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0)，则焦点为F，直线l：x=，所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为，所以AB=2|a|.因为△OAB的面积为4，所以··2|a|=4，所以a=±2.故所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x.
题型(二) 与抛物线有关的实际应用问题
[例2] 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为4 cm，往杯盏里面放入一个半径为r cm的小球，要使小球能触及杯盏的底部(顶点)，则r最大值为 ( )
A. B.
C. D.
√
解析：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得A的坐标为，设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，则=8p，解得p=，故该抛物线的标准方程为x2=y.
设小球大圆圆周方程为x2+(y-r)2=r2，联立方程组解得y=0或y=2r-，要使小球能触及杯盏的底部(顶点)，则小球与杯子有且只有一个交点，就是抛物线的顶点，所以y=2r-=0或y=2r-无效，考虑到抛物线不可能在x轴下方，所以y<0不成立，即y=2r-<0，所以2r-≤0，解得r≤，所以r的最大值为.
|思|维|建|模|
解决抛物线实际问题的步骤
(1)建立平面直角坐标系；
(2)设出合适的抛物线方程；
(3)经过计算求出抛物线的方程；
(4)求出需要的量；
(5)还原实际问题，从而解决问题.
针对训练
2.一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m，如图所示.已知行车道总宽度AB=6 m，那么车辆通过隧道的限制高度为 ( )
A.2.25 m B.2.5 m
C.3.25 m D.3.5 m
√
解析：如图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则C(4，-4)，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，将点C代入抛物线方程得p=2，∴抛物线方程为x2=-4y.
∵行车道总宽度AB=6 m，
∴将x=3代入抛物线方程，解得y=-2.25，
∴车辆通过隧道的限制高度为6-2.25-0.5=3.25 m.
[例3] 已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若AF+BF=4，求l的方程；
题型(三) 抛物线性质的综合应用
解：设直线l：y=x+t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由题设，得F，故AF+BF=x1+x2+.又AF+BF=4，
所以x1+x2=.由得9x2+12(t-1)x+4t2=0，
则x1+x2=-.从而-=，解得t=-.所以l的方程为y=x-.
(2)若=3，求AB.
解：由=3，得y1=-3y2.
由得y2-2y+2t=0，所以y1+y2=2，
从而-3y2+y2=2，故y2=-1，y1=3.
代入C的方程，得x1=3，x2=.故AB=.
|思|维|建|模|
应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便.
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值.
3.在平面直角坐标系xOy中，直线l经过抛物线E：y2=12x的焦点F，且与E相交于A，B两点，直线OB交E的准线于点C.
(1)若AB=15，求直线l的方程；
针对训练
解：抛物线E：y2=12x的焦点为F(3，0)，准线方程为x=-3，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，得AB=AF+BF=x1+3+x2+3=x1+x2+6=15，
所以x1+x2=9，当直线l的斜率不存在时，x1+x2=6，不符合要求，
故直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-3)，联立方程y2=12x，得k2x2-(6k2+12)x+9k2=0，则x1+x2==9，解得k=±2，
所以直线l的方程为2x-y-6=0或2x+y-6=0.
(2)证明：直线AC平行于x轴.
解：证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线OB的方程为y=x=x，
令x=-3，可得yC=-，设直线l的方程为x=my+3，代入方程y2=12x，
得y2-12my-36=0，所以y1y2=-36，所以y1=-=yC，所以直线AC平行于x轴.
课时检测
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2
1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1+x2=3p，则PQ= ( )
A.4p B.5p
C.6p D.8p
√
解析：因为PQ过焦点，所以PQ=x1+x2+p=4p.
1
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4
2.若抛物线y2=2mx(m≠0)的焦点与圆x2+y2-4x=0的圆心重合，则m的值为 ( )
A.-2 B.2
C.-4 D.4
√
解析：由抛物线方程y2=2mx可知其焦点为，将圆的方程变形为(x-2)2+y2=4可知其圆心为(2，0)，根据题意可得=2，所以m=4.故选D.
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3.[多选]以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为 ( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=4y
√
√
解析：设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0)，依题意将x=代入y2=2px或将x=-代入y2=-2px，得|y|=p，
∴2|y|=2p=8，p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.
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4.如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径AB为2 m，灶深CD为0.5 m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为( )
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A.3 m B.2 m
C.1.5 m D.1 m
解析：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px(p>0)，由题意可知A(0.5，)，
B(0.5，-)在抛物线上，故p=2，
因此焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为=1.
√
1
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3
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2
5.抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
√
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7
8
9
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解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，OF=，∴+=6，∴p=8.
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6.已知抛物线C：y2=4x，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α=45°时，如图所示的“蝴蝶形”图案(阴影区域)的面积为 ( )
A.4 B.8
C.16 D.32
√
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解析：由题意知F(1，0)，直线AC的倾斜角α=45°，则直线AC的方程为y=x-1，联立y2=4x，消去y可得x2-6x+1=0，解得x=3±2，xA=3+2，xC=3-2.由抛物线的定义可得AF=xA+1=4+2，CF=xC+1=4-2，根据抛物线的对称性，结合AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，可知DF=AF=4+2，BF=CF=4-2，
故S△AFB=AF×BF=(4+2)(4-2)=4，故“蝴蝶形”图案的面积为2×4=8.
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7.[多选]已知F(2，0)是抛物线C：y2=2px的焦点，A(4，4)，P是C上的任意一点，则( )
A.PF的最小值是2
B.以P为圆心且过F的圆与C的准线相切
C.PF的中点轨迹方程为y2=4x-4
D.使△PFA面积为5的点P有4个
√
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解析：抛物线C：y2=2px的焦点F(2，0)，则抛物线C的方程为y2=8x.
对于A，设P(x0，y0)且x0≥0，则PF==
≥2，当且仅当x0=0时取等号，A正确；
对于B，点P到抛物线C的准线的距离等于PF，
因此以P为圆心且过F的圆与C的准线相切，B正确；
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对于C，设线段PF的中点坐标为(x，y)，则点P(2x-2，2y)在抛物线C上，即(2y)2=8(2x-2)，整理得y2=4x-4，因此PF的中点轨迹方程为y2=4x-4，C正确；对于D，FA==2，当△PFA的面积为5时，点P到直线FA的距离h==，直线FA的斜率k==2，设与直线FA平行，且距离为的直线方程为y=2x+m(m≠-4)，于是=，解得m=1或m=-9.当m=1时，把y=2x+1与y2=8x联立，消去y得4x2-4x+1=0，Δ=(-4)2-4×4×1=0，即直线y=2x+1与抛物线相切，该直线上有且只有1点(切点)符合题意，而直线y=2x-9上最多两点符合题意，因此抛物线上最多有3点符合题意，D错误.
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8.[多选]抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的
光线l1从点P(m，n)(n2<4m)射入，经过抛物
线上的点A(x1，y1)反射后，再经抛物线上另
一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下
列结论正确的是( )
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A.x1x2=1
B.点A(x1，y1)关于x轴的对称点在直线l2上
C.若直线l2与直线x=-1相交于点D，则A，O，D三点共线
D.直线l1与l2间的距离最小值为4
√
√
√
解析：由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点F(1，0)，设直线AB的方程为x=ty+1，将直线AB的方程代入y2=4x中，得y2-4ty-4=0，由根与系数的关系得y1y2=-4，y1+y2=4t，所以x1x2=·=1，故A正确；
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若点A(x1，y1)关于x轴的对称点在直线l2上，则y1=-y2，所以|y1|=|y2|=2，即|n|=2，不一定成立，故B错误；因为直线l2与x=-1相交于点D(-1，y2)，所以直线OD的斜率为kOD=-y2.又直线OA的斜率为kOA====-y2，所以kOD=kOA，所以A，O，D三点共线，故C正确；直线l1与l2间的距离d=|y1-y2|==≥4，
当t=0时，d取最小值4，故D正确.
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9.(5分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，则p=________，B到该抛物线准线的距离为__________.
解析：由已知得B，把点B坐标代入y2=2px得1=2p·，∴p2=2，∴p=，∴B，故d=+=.
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10.(5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线-=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p= .
解析：抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y=-.
将y=-代入-=1得|x|=.
要使△ABF为等边三角形，则tan===，
化简得p2=36，又p>0，所以p=6.
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11.(5分)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为抛物线C上一点，若PF=4，则△POF的面积为___________.
解析：由y2=4x知焦点为F(，0)，准线为x=-.
设P点坐标为(x0，y0)，
则x0+=4，∴x0=3.
∴=4×3=24，
∴|y0|=2，∴S△POF=××2=2.
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12.(10分)如图，过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=3，求此抛物线的标准方程.
解：如图，过A，B分别作准线的垂线AA'，BD，垂足分别为A'，D，则BF=BD，
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又2BF=BC，
∴在Rt△BCD中，∠BCD=30°.
又AF=3，∴AA'=3，
∴AC=6，FC=3.∴F到准线的距离p=FC=.
∴抛物线的标准方程为y2=3x.
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13.(15分)已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(5分)
解：抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x=-2，x轴，x≥0.
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(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，OA=OB，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.(10分)
解：如图所示，由OA=OB可知AB⊥x轴，设垂足为点
M，又焦点F是△OAB的重心，则OF=OM.
因为F(2，0)，所以OM=OF=3，所以M(3，0).
故设A(3，m)，代入y2=8x得m2=24，
所以m=2或m=-2，所以A(3，2)，B(3，-2)，
所以OA=OB=，AB=4，所以△OAB的周长为2+4.
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14.(15分)已知抛物线E：y2=2px(p>0)与双曲线-=1的渐近线在第一象限的交点为Q，且点Q的横坐标为6.
(1)求抛物线E的方程；(5分)
解：设点Q的坐标为(6，y0)，因为点Q在第一象限，所以y0>0，
双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以y0=4，所以点Q的坐标为(6，4).又点Q(6，4)在抛物线y2=2px上，所以48=2p×6，所以p=4，故抛物线的标准方程为y2=8x.
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(2)过点M(-3，0)的直线l与抛物线E相交于A，B两点，B关于x轴的对称点为B'，证明：直线AB'必过定点.(10分)
解：证明：设直线AB的方程为x=my-3，
联立y2=8x，消去x得，y2-8my+24=0，
判别式Δ=64m2-96>0，即2m2-3>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=8m，y1y2=24，
B关于x轴的对称点为B'(x2，-y2)，
所以直线AB'的方程为y+y2=(x-x2)，
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根据抛物线的对称性可知定点必定在x轴上，
令y=0得x=y2×+x2==
===3.
所以直线AB'过定点(3，0).课时检测(二十五) 抛物线的几何性质
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则PQ= ( )
A.4p B.5p
C.6p D.8p
2.若抛物线y2=2mx(m≠0)的焦点与圆x2+y2-4x=0的圆心重合,则m的值为 ( )
A.-2 B.2
C.-4 D.4
3.[多选]以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程可以为 ( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=4y
4.如图,抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候,平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面,经过反光材料的反射,这些反射光线都从它的焦点处通过,形成太阳光线的高密集区,抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶,灶口直径AB为2 m,灶深CD为0.5 m,则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为 ( )
A.3 m B.2 m
C.1.5 m D.1 m
5.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,O为坐标原点,若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
6.已知抛物线C:y2=4x,其中AC,BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦,直线AC的倾斜角为α,当α=45°时,如图所示的“蝴蝶形”图案(阴影区域)的面积为 ( )
A.4 B.8
C.16 D.32
7.[多选]已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,A(4,4),P是C上的任意一点,则 ( )
A.PF的最小值是2
B.以P为圆心且过F的圆与C的准线相切
C.PF的中点轨迹方程为y2=4x-4
D.使△PFA面积为5的点P有4个
8.[多选]抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经过抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,一束平行于x轴的光线l1从点P(m,n)(n2<4m)射入,经过抛物线上的点A(x1,y1)反射后,再经抛物线上另一点B(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,则下列结论正确的是 ( )
A.x1x2=1
B.点A(x1,y1)关于x轴的对称点在直线l2上
C.若直线l2与直线x=-1相交于点D,则A,O,D三点共线
D.直线l1与l2间的距离最小值为4
9.(5分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则p= ,B到该抛物线准线的距离为 .
10.(5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .
11.(5分)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若PF=4,则△POF的面积为 .
12.(10分)如图,过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若BC=2BF,且AF=3,求此抛物线的标准方程.
13.(15分)已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;(5分)
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰△OAB,OA=OB,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.(10分)
14.(15分)已知抛物线E:y2=2px(p>0)与双曲线-=1的渐近线在第一象限的交点为Q,且点Q的横坐标为6.
(1)求抛物线E的方程;(5分)
(2)过点M(-3,0)的直线l与抛物线E相交于A,B两点,B关于x轴的对称点为B',证明:直线AB'必过定点.(10分)
课时检测(二十五)
1．选A 因为PQ过焦点，所以PQ＝x1＋x2＋p＝4p.
2．选D 由抛物线方程y2＝2mx可知其焦点为，将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2,0)，根据题意可得＝2，所以m＝4.故选D.
3．选AB 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p>0)，依题意将x＝代入y2＝2px或将x＝－代入y2＝－2px，得|y|＝p，
∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
4．选D 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由题意可知A(0.5，)，B(0.5，－)在抛物线上，故p＝2，
因此焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为＝1.
5．选D ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，OF＝，∴＋＝6，∴p＝8.
6．选B 由题意知F(1,0)，直线AC的倾斜角α＝45°，则直线AC的方程为y＝x－1，联立y2＝4x，消去y可得x2－6x＋1＝0，解得x＝3±2，xA＝3＋2，xC＝3－2.由抛物线的定义可得AF＝xA＋1＝4＋2，CF＝xC＋1＝4－2，根据抛物线的对称性，结合AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，可知DF＝AF＝4＋2，BF＝CF＝4－2，故S△AFB＝AF×BF＝(4＋2)(4－2)＝4，故“蝴蝶形”图案的面积为2×4＝8.
7．选ABC 抛物线C：y2＝2px的焦点F(2,0)，则抛物线C的方程为y2＝8x.
对于A，设P(x0，y0)且x0≥0，则PF＝＝≥2，当且仅当x0＝0时取等号，A正确；对于B，点P到抛物线C的准线的距离等于PF，因此以P为圆心且过F的圆与C的准线相切，B正确；对于C，设线段PF的中点坐标为(x，y)，则点P(2x－2,2y)在抛物线C上，即(2y)2＝8(2x－2)，整理得y2＝4x－4，因此PF的中点轨迹方程为y2＝4x－4，C正确；对于D，FA＝＝2，当△PFA的面积为5时，点P到直线FA的距离h＝＝，直线FA的斜率k＝＝2，设与直线FA平行，且距离为的直线方程为y＝2x＋m(m≠－4)，于是＝，解得m＝1或m＝－9.当m＝1时，把y＝2x＋1与y2＝8x联立，消去y得4x2－4x＋1＝0，Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，即直线y＝2x＋1与抛物线相切，该直线上有且只有1点(切点)符合题意，而直线y＝2x－9上最多两点符合题意，因此抛物线上最多有3点符合题意，D错误．
8．选ACD 由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点F(1,0)，设直线AB的方程为x＝ty＋1，将直线AB的方程代入y2＝4x中，得y2－4ty－4＝0，由根与系数的关系得y1y2＝－4，y1＋y2＝4t，所以x1x2＝·＝1，故A正确；若点A(x1，y1)关于x轴的对称点在直线l2上，则y1＝－y2，所以|y1|＝|y2|＝2，即|n|＝2，不一定成立，故B错误；因为直线l2与x＝－1相交于点D(－1，y2)，所以直线OD的斜率为kOD＝－y2.又直线OA的斜率为kOA＝＝＝＝－y2，所以kOD＝kOA，所以A，O，D三点共线，故C正确；直线l1与l2间的距离d＝|y1－y2|＝＝≥4，
当t＝0时，d取最小值4，故D正确．
9．解析：由已知得B，把点B坐标代入y2＝2px得1＝2p·，∴p2＝2，
∴p＝，∴B，故d＝＋＝.
答案：
10．解析：抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－.
将y＝－代入－＝1得|x|＝ .
要使△ABF为等边三角形，
则tan＝＝＝，
化简得p2＝36，又p＞0，所以p＝6.
答案：6
11．解析：由y2＝4x知焦点为F(，0)，
准线为x＝－.
设P点坐标为(x0，y0)，则x0＋＝4，
∴x0＝3.∴y＝4×3＝24，∴|y0|＝2，∴S△POF＝××2＝2.
答案：2
12．解：如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，则BF＝BD，
又2BF＝BC，
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.
又AF＝3，∴AA′＝3，
∴AC＝6，FC＝3.
∴F到准线的距离p＝FC＝.
∴抛物线的标准方程为y2＝3x.
13．解：(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示，由OA＝OB可知AB⊥x轴，设垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则OF＝OM.
因为F(2,0)，所以OM＝OF＝3，所以M(3,0)．
故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，
所以m＝2或m＝－2，
所以A(3,2)，B(3，－2)，
所以OA＝OB＝，AB＝4，
所以△OAB的周长为2＋4.
14．解：(1)设点Q的坐标为(6，y0)，因为点Q在第一象限，所以y0>0，
双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以y0＝4，所以点Q的坐标为(6，4)．又点Q(6，4)在抛物线y2＝2px上，所以48＝2p×6，所以p＝4，故抛物线的标准方程为y2＝8x.
(2)证明：设直线AB的方程为x＝my－3，联立y2＝8x，消去x得，y2－8my＋24＝0，
判别式Δ＝64m2－96>0，即2m2－3>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝24，B关于x轴的对称点为B′(x2，－y2),
所以直线AB′的方程为y＋y2＝(x－x2)，根据抛物线的对称性可知定点必定在x轴上，
令y＝0得x＝y2×＋x2＝＝
＝＝＝3.
所以直线AB′过定点(3,0)．
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