第2课时 抛物线的焦点弦结论的应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l.
(1)x1x2=,y1y2=-p2;
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切;
(3)AB=x1+x2+p=2==2p(α是直线AB的倾斜角,α≠0°);
(4)+=为定值(F是抛物线的焦点).
(一) AB=x1+x2+p==2p的应用
[例1] 过点M(1,0)作直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,当直线l的斜率为1时,AB= .
听课记录:
|反|思|领|悟|
在求解焦点弦长时,有多种公式可以运用,在选择、填空题的求解中可以灵活选择,从而实现快速求解.
[针对训练]
1.过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若A,B中点为M(x0,y0),AB=18,则x0= ( )
A.4 B.6
C.8 D.10
2.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,则抛物线的方程为 .
(二) x1x2=,y1y2=-p2的应用
[例2] 已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若·=-12,则抛物线C的方程为 ( )
A.x2=8y B.x2=4y
C.y2=8x D.y2=4x
听课记录:
|反|思|领|悟|
(1)在涉及一些求斜率之积或者数量积的问题时,往往需要x1x2或y1y2,通过抛物线特殊性质的记忆,可以避免联立方程组,从而快速求解.
(2)x1x2=,y1y2=-p2适用于y2=±2px,而在x2=±2py中,x1x2=-p2,y1y2=.
[针对训练]
3.已知抛物线x2=-8y的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则k1k2= ( )
A.4 B.-4
C. D.-
(三) +=的应用
[例3] 如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且AF=4,则线段AB的长为 ( )
A.5 B.6
C. D.
听课记录:
|反|思|领|悟|
焦半径公式AF=xA+=,BF=xB+=(AF,BF分别为上方、下方焦半径,θ为直线的倾斜角).
[针对训练]
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A,B两点,且AF>BF,则的值为 ( )
A.3 B.2
C. D.
5.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P,Q两点,则+的值为 .
第2课时 抛物线的焦点弦结论的应用
(一)
[例1] 解析：直线l为y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，∴AB＝x1＋x2＋p＝8.
答案：8
[针对训练]
1．选B 由AB＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋6＝18，∴x1＋x2＝12，∴x0＝6.
2．解析：依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝，∴＝8，∴p＝2，故所求的抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上，抛物线方程为y2＝±4x.
答案：y2＝±4x
(二)
[例2] 选C 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝my＋，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2＝，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
[针对训练]
3．选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1k2＝·＝＝＝－.
(三)
[例3] 选C 如图，过点A作AD⊥l，AD＝AF＝AC＝4，则∠ACD＝30°，∠AFx＝60°，则p＋2＝4，所以p＝2，因为＋＝，AF＝4，所以BF＝，所以AB＝AF＋BF＝4＋＝.
[针对训练]
4．选A 由抛物线的性质可知，AF＋BF＝AB＝＝①，
＋＝②，
由①②解得AF＝2p，BF＝p，∴＝3.
5．解析：由抛物线焦点弦的性质得＋＝＝＝1.
答案：1
1 / 3(共50张PPT)
抛物线的焦点弦结论的应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
如图，AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.
(1)x1x2=，y1y2=-p2；
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(3)AB=x1+x2+p=2==2p(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)；
(4)+=为定值(F是抛物线的焦点).
CONTENTS
目录
1
2
3
(一) AB=x1+x2+p==2p的应用
(二) x1x2=，y1y2=-p2的应用
(三) +=的应用
4
课时检测
(一) AB=x1+x2+p==2p的应用
01
[例1] 过点M(1，0)作直线l与抛物线y2=4x交于A，B两点，当直线l的斜率为1时，AB=__________.
解析：法一 直线l为y=x-1，
由得x2-6x+1=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=6，∴AB=x1+x2+p=8.
8
法二 由过焦点M(1，0)的弦长AB=，直线斜率为1，则sin α=，∴AB==8.
法三 ∵直线的斜率为1，∴AB=2p=4×=8.
|反|思|领|悟|
在求解焦点弦长时，有多种公式可以运用，在选择、填空题的求解中可以灵活选择，从而实现快速求解.
针对训练
1.过抛物线C：y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若A，B中点为M(x0，y0)，AB=18，则x0= ( )
A.4 B.6
C.8 D.10
√
解析：由AB=x1+x2+p=x1+x2+6=18，∴x1+x2=12，∴x0=6.
2.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，则抛物线的方程为____________.
解析：依题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，则直线方程为y=-x+.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB=，
∴=8，∴p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2=-4x.
综上，抛物线方程为y2=±4x.
y2=±4x
(二) x1x2=，y1y2=-p2的应用
02
[例2] 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·=-12，则抛物线C的方程为( )
A.x2=8y B.x2=4y
C.y2=8x D.y2=4x
√
解析：设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，直线AB的方程为x=my+，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2=，y1y2=-p2，
得·=x1x2+y1y2=-p2=-p2=-12，得p=4(舍负)，
即抛物线C的方程为y2=8x.
|反|思|领|悟|
(1)在涉及一些求斜率之积或者数量积的问题时，往往需要x1x2或y1y2，通过抛物线特殊性质的记忆，可以避免联立方程组，从而快速求解.
(2)x1x2=，y1y2=-p2适用于y2=±2px，而在x2=±2py中，x1x2=-p2，y1y2=.
针对训练
3.已知抛物线x2=-8y的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1k2= ( )
A.4 B.-4
C. D.-
√
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1k2=·===-.
(三) +=的应用
03
[例3] 如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且AF=4，则线段AB的长为 ( )
A.5 B.6
C. D.
√
解析：如图，过点A作AD⊥l，AD=AF=AC=4，则∠ACD=30°，∠AFx=60°，则p+2=4，所以p=2，因为+=，AF=4，
所以BF=，所以AB=AF+BF=4+=.
|反|思|领|悟|
焦半径公式AF=xA+=，BF=xB+=(AF，BF分别为上方、下方焦半径，θ为直线的倾斜角).
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且AF>BF，则的值为( )
A.3 B.2
C. D.
针对训练
√
法二 AF=，BF=，∴==3.
解析：法一 由抛物线的性质可知，AF+BF=AB==①，
+=②，由①②解得AF=2p，BF=p，∴=3.
5.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则+的值为________.
解析：由抛物线焦点弦的性质得+===1.
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1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( )
A.-4 B.4
C.p2 D.-p2
√
解析：==-4.
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2.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若AF=2BF，则AB等于 ( )
A.4 B.
C.5 D.6
√
解析：因为AF=2BF，+=+===1，解得BF=，AF=3，故AB=AF+BF=.
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3.[多选]已知抛物线y2=2px(p>0)，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论正确的是 ( )
A.x1x2= B.·=-p2
C.∠AMB=90° D.+=
√
√
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解析：由抛物线焦点弦的性质知A、B、D正确.设过焦点F的直线方程为x=my+，代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm，y1y2=-p2，x1x2=，x1+x2=2pm2+p，∵M点坐标为，故==·=x1x2+(x1+x2)++y1y2=m2p2.当m≠0时，·≠0，即∠AMB≠90°，故C错误.
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4.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦.若AB=4，则AB中点的纵坐标是 ( )
A.1 B.2
C. D.
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解析：如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得AA'+BB'=AB=4，PQ==2.又PQ=y0+，∴y0+=2，∴y0=.
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5.抛物线x2=8y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么PF等于 ( )
A.2 B.4
C. D.3
√
解析：如图所示，抛物线x2=8y的焦点为F，则F(0，2)，准线方程为y=-2，设直线l与y轴交点为B，直线AF的倾斜角等于60°，即∠FAB=60°，
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而PA⊥l，所以∠FAP=30°，由抛物线定义可知PF=PA，因而∠FAP=∠PFA=30°，作FE垂直于AP的延长线于E，则EA=4，∠FPE=60°，所以EF=EA·tan 30°=，在△FEP中，PF===.
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6.已知O为坐标原点，过点M(a，0)(a≠0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1k2=-2p，则a等于 ( )
A.1 B.2
C. D.
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解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1===，同理可得k2=，∴k1k2=.易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+a(a≠0)，与抛物线方程联立，得消去x，
可得y2-2mpy-2pa=0，由根与系数的关系可得y1y2=-2pa，
则k1k2===-=-2p，∴a=1.
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7.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则AB+DE的最小值为( )
A.16 B.14
C.12 D.10
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解析：由题知l1，l2斜率均存在，设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，
则k1k2=-1，∴AB+DE=2p+2p=4p+2p=8+4≥8+4×2=16，
当k1=±1时，最小值为16.
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8.[多选]已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k>0，C，B两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.·=-p2
B.四边形ABCD面积的最小值为16p2
C.+=
D.若AF·BF=4p2，则直线CD的斜率为-
√
√
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解析：如图所示，F，设直线AB的方程为x=y+，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，∴y1y2=-p2，x1x2=，AB=，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，同理可得
y3y4=-p2，x3x4=，CD=.对于A，·
=x3x4+y3y4=-p2=-，故正确；
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对于B，四边形ACBD的面积S=CD·AB==，故其最小值为8p2，故错误；
对于C，+=+=，故正确；对于D，若AF·BF==x1x2+(x1+x2)+=4p2，则(x1+x2)=，∴x1+x2=7p，即7p+p=，∴sin2θ=，sin θ=(舍负)，又k>0，∴θ=，则直线CD的倾斜角为，其斜率为-，故正确.
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9.(5分)已知直线l：y=x-1经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则AB=_________.
解析：设直线AB的倾斜角为α，则sin α=，由题意知，直线l：y=x-1过点(1，0)，所以=1，解得p=2，则AB===8.
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10.(5分)直线l过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p=_______；=____________.
解析：∵=1，∴p=2，由抛物线的性质，知==+==1.
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11.(5分)过抛物线T：y2=2px(p>0)的焦点F的直线与T交于A，B两点，且=2，T的准线l与x轴交于点C，△CBF的面积为4，则T的通径长为___________.
解析：设过抛物线的焦点F的直线方程为x=my+，与抛物线方程y2=2px(p>0)联立得y2-2pmy-p2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2<0，则y1y2=-p2，又因为=2，所以y1=-2y2，解得y2=-p，所以S△CBF=CF×|y2|=×p×p=4，解得p=4，所以2p=8，所以T的通径长为8.
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12.(10分)已知点P(1，m)是抛物线C：y2=2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且PF=2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.
(1)求抛物线C的方程；(2分)
解：由题意PF=1+=2，p=2，
∴抛物线方程为y2=4x.
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(2)若AB=8，求直线l的斜率.(8分)
解：法一 由(1)知焦点为F(1，0)，
若直线l斜率不存在，则AB=4，不符合题意，
因此设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，
AB=x1+x2+2=+2=8，解得k=1或k=-1.
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法二 若直线l的斜率不存在，则AB=4，不符合题意，
设直线l的倾斜角为α，
根据焦点弦的性质，AB=，
代入可得sin2α==，
即α=45°或135°，则k=tan α=±1.
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13.(10分)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，
且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；(5分)
解：法一 因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k=tan 60°=.又F.
所以直线l的方程为y=.
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联立消去y，得x2-5x+=0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=5，
而AB=AF+BF=+=x1+x2+p.所以AB=5+3=8.
法二 因为抛物线y2=6x，所以p=3，
又直线l的倾斜角α=60°，所以AB===8.
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(2)若AB=9，求线段AB的中点M到准线的距离.(5分)
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，
AB=AF+BF=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9，
所以x1+x2=6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x=-，
所以M到准线的距离等于3+=.
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14.(15分)已知直线x-2y+2=0与抛物线C：y2=2px(p>0)交于M，N两点，MN=8，O为坐标原点.
(1)求p；(5分)
解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立直线与抛物线消去x得y2-4py+4p=0，∴y1+y2=4p，y1y2=4p，
∴MN=|y1-y2|=·=
·=8.
解得p=4或p=-3(舍去)∴p=4.
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(2)过点P(3，2)作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求△OAB的面积.(10分)
解：由(1)得抛物线C的方程为y2=8x.
设A(x3，y3)，B(x4，y4)，
∵A，B在抛物线C上，
∴=8x3，=8x4，
两式作差得(y3+y4)(y3-y4)=8(x3-x4).
∵AB中点坐标为(3，2)，∴x3+x4=6，
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14
3
4
2
y3+y4=4，∴4(y3-y4)=8(x3-x4)，∴=2，∴l：y-2=2(x-3)，
整理得y=2x-4.
故l过C的焦点，弦长AB=x3+x4+p=6+4=10.
又点O到l的距离为=，
∴S△OAB=××10=4.
故△OAB的面积为4.课时检测(二十六) 抛物线的焦点弦结论的应用
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于 ( )
A.-4 B.4
C.p2 D.-p2
2.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若AF=2BF,则AB等于 ( )
A.4 B.
C.5 D.6
3.[多选]已知抛物线y2=2px(p>0),过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且抛物线的准线与x轴的交点为M,则以下结论正确的是 ( )
A.x1x2= B.·=-p2
C.∠AMB=90° D.+=
4.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦.若AB=4,则AB中点的纵坐标是 ( )
A.1 B.2
C. D.
5.抛物线x2=8y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的倾斜角等于60°,那么PF等于 ( )
A.2 B.4
C. D.3
6.已知O为坐标原点,过点M(a,0)(a≠0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-2p,则a等于 ( )
A.1 B.2
C. D.
7.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则AB+DE的最小值为 ( )
A.16 B.14
C.12 D.10
8.[多选]已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,AB的斜率为k,且k>0,C,B两点在x轴上方,O为坐标原点,则下列结论正确的是 ( )
A.·=-p2
B.四边形ABCD面积的最小值为16p2
C.+=
D.若AF·BF=4p2,则直线CD的斜率为-
9.(5分)已知直线l:y=x-1经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,则AB= .
10.(5分)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p= ;= .
11.(5分)过抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与T交于A,B两点,且=2,T的准线l与x轴交于点C,△CBF的面积为4,则T的通径长为 .
12.(10分)已知点P(1,m)是抛物线C:y2=2px(p>0)上的点,F为抛物线的焦点,且PF=2,过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A,B.
(1)求抛物线C的方程;(2分)
(2)若AB=8,求直线l的斜率.(8分)
13.(10分)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求AB的值;(5分)
(2)若AB=9,求线段AB的中点M到准线的距离.(5分)
14.(15分)已知直线x-2y+2=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于M,N两点,MN=8,O为坐标原点.
(1)求p;(5分)
(2)过点P(3,2)作直线l交抛物线C于A,B两点,且点P是线段AB的中点,求△OAB的面积.(10分)
课时检测(二十六)
1．选A ＝＝－4.
2．选B 因为AF＝2BF，＋＝＋＝＝＝1，解得BF＝，AF＝3，故AB＝AF＋BF＝.
3．选ABD 由抛物线焦点弦的性质知A、B、D正确．设过焦点F的直线方程为x＝my＋，代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0.∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，x1x2＝，x1＋x2＝2pm2＋p，∵M点坐标为，故＝，＝，·＝x1x2＋(x1＋x2)＋＋y1y2＝m2p2.当m≠0时，·≠0，即∠AMB≠90°，故C错误．
4.选D 如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得AA′＋BB′＝AB＝4，PQ＝＝2.又PQ＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.
5.选C 如图所示，抛物线x2＝8y的焦点为F，则F(0,2)，准线方程为y＝－2，设直线l与y轴交点为B，直线AF的倾斜角等于60°，即∠FAB＝60°，而PA⊥l，所以∠FAP＝30°，由抛物线定义可知PF＝PA，因而∠FAP＝∠PFA＝30°，作FE垂直于AP的延长线于E，则EA＝4，∠FPE＝60°，所以EF＝EA·tan 30°＝，在△FEP中，PF＝＝＝.
6．选A 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1＝＝＝，同理可得k2＝，∴k1k2＝.
易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋a(a≠0)，
与抛物线方程联立，得消去x，可得y2－2mpy－2pa＝0，
由根与系数的关系可得y1y2＝－2pa，则k1k2＝＝＝－＝－2p，∴a＝1.
7．选A 由题知l1，l2斜率均存在，设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则k1k2＝－1，∴AB＋DE＝2p＋2p＝4p＋2p＝8＋4≥8＋4×2＝16，
当k1＝±1时，最小值为16.
8.选ACD 如图所示，F，设直线AB的方程为x＝y＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，∴y1y2＝－p2，x1x2＝，AB＝，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，同理可得y3y4＝－p2，x3x4＝，CD＝.对于A，·＝x3x4＋y3y4＝－p2＝－，故正确；对于B，四边形ACBD的面积S＝CD·AB＝＝，故其最小值为8p2，故错误；对于C，＋＝＋＝，故正确；对于D，若AF·BF＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝4p2，则(x1＋x2)＝，∴x1＋x2＝7p，即7p＋p＝，∴sin2θ＝，sin θ＝(舍负)，又k>0，∴θ＝，则直线CD的倾斜角为，其斜率为－，故正确．
9．解析：设直线AB的倾斜角为α，则sin α＝，由题意知，直线l：y＝x－1过点(1,0)，所以＝1，解得p＝2，则AB＝＝＝8.
答案：8
10．解析：∵＝1，∴p＝2，由抛物线的性质，知＝＝＋＝＝1.
答案：2 1
11．解析：设过抛物线的焦点F的直线方程为x＝my＋，与抛物线方程y2＝2px(p>0)联立得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2<0，则y1y2＝－p2，又因为＝2，所以y1＝－2y2，解得y2＝－p，所以S△CBF＝CF×|y2|＝×p×p＝4，解得p＝4，所以2p＝8，所以T的通径长为8.
答案：8
12．解：(1)由题意PF＝1＋＝2，p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)由(1)知焦点为F(1,0)，
若直线l斜率不存在，则AB＝4，不符合题意，
因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，AB＝x1＋x2＋2＝＋2＝8，
解得k＝1或k＝－1.
13．解：(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.又F.
所以直线l的方程为y＝.
联立消去y，得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而AB＝AF＋BF＝＋＝x1＋x2＋p.所以AB＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，
AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
14．解：(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立直线与抛物线消去x得y2－4py＋4p＝0，∴y1＋y2＝4p，y1y2＝4p，
∴MN＝|y1－y2|＝·＝·＝8.
解得p＝4或p＝－3(舍去)∴p＝4.
(2)由(1)得抛物线C的方程为y2＝8x.
设A(x3，y3)，B(x4，y4)，
∵A，B在抛物线C上，
∴y＝8x3，y＝8x4，
两式作差得(y3＋y4)(y3－y4)＝8(x3－x4)．∵AB中点坐标为(3,2)，∴x3＋x4＝6，y3＋y4＝4，∴4(y3－y4)＝8(x3－x4)，∴＝2，∴l：y－2＝2(x－3)，整理得y＝2x－4.
故l过C的焦点，弦长AB＝x3＋x4＋p＝6＋4＝10.又点O到l的距离为＝，∴S△OAB＝××10＝4.故△OAB的面积为4.
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