第1课时 数列的概念与表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
[课时目标]
1.了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).会由数列的前几项归纳出通项公式.
2.会用数列的通项公式写出数列的任意一项,理解数列是一种特殊函数,并能通过函数思想研究数列的性质.
逐点清(一) 数列的概念与分类
[多维理解]
1.数列的概念
定义 按照一定 排列的一列数称为数列
项 数列中的 都叫作这个数列的项
数列的 表示 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为 ,其中a1称为数列{an}的第1项或 ,a2称为第2项……an称为第n项
2.数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的 个数 有穷数列 项数 的数列
无穷数列 项数 的数列
按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都 它的前一项的数列
递减数列 从第2项起,每一项都 它的前一项的数列
常数列 各项 的数列
摆动数列 从第2项起,有些项 它的前一项,有些项 它的前一项的数列
|微|点|助|解|
(1)数列的项与项数是两个不同的概念:数列的项是指数列中的某一个确定的数,而项数是指这个数在数列中的位置序号.
(2)数列中的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列.
(3)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
[微点练明]
1.下列各项表示数列的是 ( )
A.a,b,c,…,x,y,z
B.2 019,2 020,2 021,…,2 025
C.锐角三角形,直角三角形,钝角三角形
D.a+b,a-b,ab,2a
2.下列有关数列的说法正确的是 ( )
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列-2,0,2与数列2,0,-2是同一个数列
C.数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8}
D.数列中的每一项都与它的序号有关
3.已知下列数列:
①2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022,2 023,2 024;
②1,,,…,,…;
③1,-,,…,,…;
④1,0,-1,…,sin,…;
⑤2,4,8,16,32,…;
⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,递减数列是 ,常数列是 ,摆动数列是 (填序号).
逐点清(二) 数列的通项公式
[多维理解]
一般地,如果数列{an}的第n项与 之间的关系可以用 来表示,那么这个 叫作这个数列的通项公式.
|微|点|助|解|
(1)并不是所有的数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样.
(2)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如an=(-1)n还可以写成an=(-1的形式等.
(3)已知通项公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,…代替公式中的n,就可以求出数列的各项.
[微点练明]
1.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N*,则该数列的前4项依次为 ( )
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
C.,0,,0 D.2,0,2,0
2.下列四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是 ( )
A.380 B.392
C.321 D.232
3.已知数列{an}的通项公式为an=2 026-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为 .
4.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).
(1)计算a3+a4的值;
(2)是不是该数列中的项 若是,应为第几项 若不是,请说明理由.
5.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1)0,3,8,15,24,…;
(2),2,,8,,…;
(3)1,2,3,4,5,…;
(4)-,,-,,…;
(5)3,33,333,3 333,….
逐点清(三) 数列的函数特性
[典例] 设数列{an}的通项公式为an=n2+kn,数列{an}是递增的,求实数k的取值范围.
听课记录:
[变式拓展]
1.若本例条件增加“an≥a6恒成立”,求实数k的取值范围.
2.若本例条件增加“数列{an}仅第7项最小”,求实数k的取值范围.
3.若本例条件“an=n2+kn”变为“an=n·”,求数列{an}中的最大项.
|思|维|建|模|
(1)函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数列所对应的函数若具有单调性,则数列一定具有单调性,反之若数列具有单调性,其所对应的函数不一定具有单调性.
(2)求数列的最大(小)项,还可以通过研究数列的单调性求解.一般地,若则an为最大项;若则an为最小项.
[针对训练]
已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)讨论数列{an}的单调性;
(2)求数列{an}的最大项和最小项.
第1课时 数列的概念与表示
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.次序 每个数 {an} 首项
2．有限 无限 大于 小于 相等 大于 小于
[微点练明]
1．B 2.D
3．①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
[逐点清(二)]
[多维理解] 序号n 一个公式 公式
[微点练明]
1．A 2.A 3.675
4．解：(1)在数列{an}中，an＝，a3＝＝，a4＝＝，所以a3＋a4＝＋＝.
(2)若为数列{an}中的项，则＝，即n(n＋2)＝120，整理得n2＋2n－120＝0，而n∈N*，解得n＝10，所以是数列{an}的第10项．
5．解：(1)观察数列中的数可以看出0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，所以它的一个通项公式可以是an＝n2－1.
(2)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察，该数列为，，，，，…，其分母都是2，分子都是序号的平方，故an＝，n∈N*.
(3)此数列的整数部分为1,2,3,4，…，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求数列的一个通项公式为an＝n＋＝.
(4)这个数列的前4项为－，，－，，它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故an＝，n∈N*.
(5)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知9,99,999，9 999，…的通项为10n－1，则原数列的通项公式为an＝(10n－1)．
[逐点清(三)]
[典例] 解：∵数列{an}是递增的，
∴an
整理得k>－2n－1对任意n∈N*恒成立．
∵f(n)＝－2n－1(n∈N*)的最大值为－3，
∴k>－3，即k的取值范围是(－3，＋∞)．
[变式拓展]
1．解：由an＝n2＋kn＝2－，对称轴为n＝－.因为不等式an≥a6恒成立，所以≤－≤，所以－13≤k≤－11.故实数k的取值范围为[－13，－11]．
2．解：由an＝n2＋kn，知对称轴n＝－.因为数列{an}仅第7项最小，所以<－<，解得－153．解：an＋1－an＝(n＋1)n＋1－n·n＝·n，当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1a4>a5>…>an>…，所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.
[针对训练]
解：(1)数列{an}的通项公式an＝＝1＋，据此可得1>a1>a2>a3>…>a15，且a16>a17>a18>a19>…>1，所以当n<16时，数列{an}递减；当n≥16时，数列{an}递减．
(2)由(1)知数列{an}的最大项为a16＝，最小项为a15＝.
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4.1
数 列
数列的概念与表示
[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
第1课时
课时目标
1.了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).会由数列的前几项归纳出通项公式.
2.会用数列的通项公式写出数列的任意一项，理解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 数列的概念与分类
逐点清(二) 数列的通项公式
逐点清(三) 数列的函数特性
4
课时检测
逐点清(一) 数列的概念与分类
01
多维理解
1.数列的概念
定义 按照一定______排列的一列数称为数列
项 数列中的________都叫作这个数列的项
数列的 表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为_____，其中a1称为数列{an}的第1项或_____，a2称为第2项……an称为第n项
次序
每个数
{an}
首项
2.数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的 个数 有穷数列 项数______的数列
无穷数列 项数______的数列
按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
常数列 各项______的数列
摆动数列 从第2项起，有些项______它的前一项，有些项_______它的前一项的数列
有限
无限
大于
小于
相等
大于
小于
|微|点|助|解|
(1)数列的项与项数是两个不同的概念:数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.
(2)数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列.
(3)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
微点练明
1.下列各项表示数列的是 ( )
A.a，b，c，…，x，y，z
B.2 019，2 020，2 021，…，2 025
C.锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
D.a+b，a-b，ab，2a
解析:数列必须由数组成，A、C、D中均不是数.
√
2.下列有关数列的说法正确的是 ( )
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列-2，0，2与数列2，0，-2是同一个数列
C.数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8}
D.数列中的每一项都与它的序号有关
解析:常数列中任意两项都是相同的，所以A不正确；数列-2，0，2与2，0，-2中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；{2，4，6，8}表示一个集合，不是数列，所以C不正确；根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选D.
√
3.已知下列数列:
①2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2 024；
②1，，…，，…；③1，-，…，，…；④1，0，-1，…，sin，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥-1，-1，-1，-1.
其中，有穷数列是_____，无穷数列是___________，递增数列是____，递减数列是___，常数列是____，摆动数列是______ (填序号).
①⑥
②③④⑤
①⑤
②
⑥
③④
逐点清(二) 数列的通项公式
02
多维理解
一般地，如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用______________来表示，那么这个_______叫作这个数列的通项公式.
序号n
一个公式
公式
|微|点|助|解|
(1)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样.
(2)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an=(-1)n还可以写成an=
(-1的形式等.
(3)已知通项公式an=f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出数列的各项.
微点练明
1.已知数列{an}的通项公式为an=，n∈N*，则该数列的前4项依次为( )
A.1，0，1，0 B.0，1，0，1
C.，0，，0 D.2，0，2，0
√
解析:当n分别等于1，2，3，4时，a1=1，a2=0，a3=1，a4=0.
2.下列四个数中，是数列{n(n+1)}中的一项的是 ( )
A.380 B.392
C.321 D.232
√
解析:n=19时，n(n+1)=380.
解析:由an=2 026-3n>0，解得n<=675+，因为n∈N*，所以正整数n的最大值为675.
3.已知数列{an}的通项公式为an=2 026-3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为______.
675
4.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).
(1)计算a3+a4的值；
解:在数列{an}中，an=，a3==，
a4==，所以a3+a4=+=.
(2)是不是该数列中的项 若是，应为第几项 若不是，请说明理由.
解:若为数列{an}中的项，则=，即n(n+2)=120，整理得n2+2n-120=0，而n∈N*，解得n=10，所以是数列{an}的第10项.
5.写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数:
(1)0，3，8，15，24，…；
解:观察数列中的数可以看出0=1-1，3=4-1，8=9-1，15=16-1，24=25-1，所以它的一个通项公式可以是an=n2-1.
(2)，2，，8，，…；
解:数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察，该数列为，…，其分母都是2，分子都是序号的平方，故an=，n∈N*.
(3)1，2，3，4，5，…；
解:此数列的整数部分为1，2，3，4，…，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求数列的一个通项公式为an=n+=.
(4)-，-，…；
解:这个数列的前4项为-，-，它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故an=，n∈N*.
(5)3，33，333，3 333，….
解:原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知9，99，999，9 999，…的通项为10n-1，则原数列的通项公式为an=(10n-1).
逐点清(三) 数列的函数特性
03
[典例] 设数列{an}的通项公式为an=n2+kn，数列{an}是递增的，求实数k的取值范围.
解:∵数列{an}是递增的，∴an即n2+kn<(n+1)2+k(n+1)对任意n∈N*恒成立，
整理得k>-2n-1对任意n∈N*恒成立.
∵f(n)=-2n-1(n∈N*)的最大值为-3，
∴k>-3，即k的取值范围是(-3，+∞).
1.若本例条件增加“an≥a6恒成立”，求实数k的取值范围.
变式拓展
解:由an=n2+kn=-，对称轴为n=-.
因为不等式an≥a6恒成立，所以≤-≤，
所以-13≤k≤-11.故实数k的取值范围为[-13，-11].
2.若本例条件增加“数列{an}仅第7项最小”，求实数k的取值范围.
解:由an=n2+kn，知对称轴n=-.
因为数列{an}仅第7项最小，所以<-<，
解得-153.若本例条件“an=n2+kn”变为“an=n·”，求数列{an}中的最大项.
解:an+1-an=(n+1)-n·=·，当n<2时，an+1-an>0，即an+1>an；当n=2时，an+1-an=0，即an+1=an；当n>2时，an+1-an<0，
即an+1a4>a5>…>an>…，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2=a3=2×=.
|思|维|建|模|
(1)函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若具有单调性，则数列一定具有单调性，反之若数列具有单调性，其所对应的函数不一定具有单调性.
(2)求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解.一般地，若则an为最大项；若则an为最小项.
针对训练
已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)讨论数列{an}的单调性；
解:数列{an}的通项公式an==1+，
据此可得1>a1>a2>a3>…>a15，且a16>a17>a18>a19>…>1，
所以当n<16时，数列{an}递减；当n≥16时，数列{an}递减.
(2)求数列{an}的最大项和最小项.
解:由(1)知数列{an}的最大项为a16=，最小项为a15=.
课时检测
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1.下列说法正确的是 ( )
A.数列1，3，5，7可以表示为{1，3，5，7}
B.数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列
C.数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点
D.数列的项数一定是无限的
√
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解析:对A，{1，3，5，7}表示集合，不是数列；对B，两个数列中包含的数虽然相同，但排列顺序不同，不是相同的数列；对D，数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C.
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2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是 ( )
A.1，，…
B.-1，-2，-3，-4
C.-1，-，-，-，…
D.1，，…，
√
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解析:A、B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意.故选C.
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3.数列1，，…的第8项是( )
A. B.
C. D.
√
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解析:观察1，，…可看为，…，分母是2n-1，分子为n2，故第8项为，故选A.
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4.[多选]如果数列{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为 ( )
A.an= B.an=2n-1
C.an=2n2-5n D.an=2n-1
√
16
解析:对于A，a1=2，a2=1，故不是递增数列，A不符合；对于B，an+1-an=2n+1-(2n-1)=2>0，故是递增数列，B符合；对于C，an+1-an
=2(n+1)2-5(n+1)-(2n2-5n)=4n-3>0，故为递增数列，C符合；对于D，an+1-an=-1-(2n-1)=2n>0，故为递增数列，D符合.故选BCD.
√
√
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5.数列{an}中，an=-2n2+29n+3，则此数列最大项的值是 ( )
A.107 B.108
C.108 D.109
√
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解析:an=-2n2+29n+3=-2+3=-2+3+，当n=7时，an最大且等于108.
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6.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列的第40项为 ( )
A.648 B.722 C.800 D.882
√
16
解析:由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶数项的通项公式为a2n=2n2.则此数列第40项为2×202=800.
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7.数列-1，，-，…的一个通项公式是( )
A.an=(-1)n· B.an=(-1)n·
C.an=(-1)n· D.an=(-1)n·
√
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解析:由数列-1，，-，…可知奇数项的符号为“-”，偶数项的符号为“+”，其分母为奇数2n-1，分子为n2.∴此数列的一个通项公式an=(-1)n·.
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8.[多选]已知数列{an}的前5项依次如图所示，则{an}的通项公式可能为 ( )
A.an=sin
B.an=|n-3|-1
C.an=
D.an=(n-3)2-1
√
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√
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解析:an=sin时，a1=sin=1，a2=sin=0，a3=sin=-1，a4=sin=0，a5=sin=1，满足题意，故A正确；an=|n-3|-1时，a1=|1-3|-1=1，a2=|2-3|-1=0，a3=|3-3|-1=-1，a4=|4-3|-1=0，a5=|5-3|-1=1，满足题意，故B正确；an=时，a1=-1+2=1，a2=-2+2=0，a3=-3+2=-1，a4=4-4=0，a5=5-4=1，满足题意，故C正确；an=(n-3)2-1时，a1=(1-3)2-1=3，不满足题意，故D错误.
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9.数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=3n-2，bn=2n，在数列{an}中去掉两个数列的公共项后，小于25的项中质数占比为 ( )
A. B. C. D.
√
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解析: {an}中的项依次为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，…；{bn}中的项依次为2，4，8，16，32，64，…；{an}与{bn}小于25的公共项为4，16；在数列{an}中去掉{an}与{bn}的公共项后，小于25的项有1，7，10，13，19，22，其中质数有7，13，19，所以小于25的项中质数的占比为=.
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10.已知数列{an}满足an=(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
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解析:因为an=(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，所以有解得116
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11.(5分)已知数列1，2，，…，则 是这个数列的第_____项.
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解析:原数列前几项可以看为，根据此规律可得数列通项公式为an=.令3n-2=22，则n=8.
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12.(5分)斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第10项为______.
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解析:1，1，2，3，5，8，13，21，…，则从第三项起，每一项均为前2项的数字之和，13+21=34，21+34=55，故该数列的第10项为55.
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13.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=，则数列{an}的最大项是第_____项.
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解析:an==，当n≥6且n∈N*时，an>0，且递减；当n≤5且n∈N*时，an<0，且递减.∴当n=6时，an最大.
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14.(5分)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数)，例如:φ(3)=2，φ(4)=2，则φ(8)=____；若bn=，则bn的最大值为____.
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解析:由题设φ(2)=1，则1~8中与8互质的数有1，3，5，7，共4个数，故φ(8)=4.在1~2n中，与2n互质的数为范围内的所有奇数，共2n-1个，即φ(2n)=2n-1，所以bn==，则bn+1-bn=-=，当n≤2时bn+1-bn>0，当n≥3时bn+1-bn<0，即b1b4>b5>…，所以bn的最大值为b3==.
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15.(10分)在数列{an}中，an=n(n-8)-20，请回答下列问题:
(1)这个数列共有几项为负 (3分)
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解:由an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n+2)(n-10)<0，解得1≤n<10，n∈N*，所以数列{an}前9项为负数，即共有9项为负数.
(2)这个数列从第几项开始递增 (3分)
解:因为an+1-an=(n+1)(n+1-8)-20-[n(n-8)-20]=2n-7，当an+1-an=2n-7>0，n>，n∈N*，即从第4项开始数列{an}开始递增.
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(3)这个数列中有无最小值 若有，求出最小值；若无，请说明理由.(4分)
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解:an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n-4)2-36，
根据二次函数的性质知，当n=4时，
an取得最小值-36，即数列中有最小值，最小值为-36.
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16.(10分)已知数列{an}的通项公式为an=，试判断数列{an}的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项.
16
解:an+1-an=-=，当1≤n≤3时，an+1-an>0，即a1当n=4时，an+1-an=0，即a5=a4，当n≥5时，an+1-an<0，
即a5>a6>a7>…，所以{an}在1≤n≤4(n∈N*)时递增，
在n≥5(n∈N*)时递减，所以数列{an}的最大项为a5=a4=，
又a1所以数列{an}的最小项为a1=-1.课时检测(二十八) 数列的概念与表示
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.下列说法正确的是 ( )
A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}
B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列
C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点
D.数列的项数一定是无限的
2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是 ( )
A.1,,,,…
B.-1,-2,-3,-4
C.-1,-,-,-,…
D.1,,,…,
3.数列1,,,,…的第8项是 ( )
A. B.
C. D.
4.[多选]如果数列{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为 ( )
A.an= B.an=2n-1
C.an=2n2-5n D.an=2n-1
5.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是 ( )
A.107 B.108
C.108 D.109
6.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第40项为 ( )
A.648 B.722
C.800 D.882
7.数列-1,,-,,…的一个通项公式是 ( )
A.an=(-1)n· B.an=(-1)n·
C.an=(-1)n· D.an=(-1)n·
8.[多选]已知数列{an}的前5项依次如图所示,则{an}的通项公式可能为 ( )
A.an=sin
B.an=|n-3|-1
C.an=
D.an=(n-3)2-1
9.数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-2,bn=2n,在数列{an}中去掉两个数列的公共项后,小于25的项中质数占比为 ( )
A. B.
C. D.
10.已知数列{an}满足an=(n∈N*),且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
11.(5分)已知数列1,2,,,,…,则 是这个数列的第 项.
12.(5分)斐波那契数列的前7项是1,1,2,3,5,8,13,则该数列的第10项为 .
13.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大项是第 项.
14.(5分)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例如:φ(3)=2,φ(4)=2,则φ(8)= ;若bn=,则bn的最大值为 .
15.(10分)在数列{an}中,an=n(n-8)-20,请回答下列问题:
(1)这个数列共有几项为负 (3分)
(2)这个数列从第几项开始递增 (3分)
(3)这个数列中有无最小值 若有,求出最小值;若无,请说明理由.(4分)
16.(10分)已知数列{an}的通项公式为an=,试判断数列{an}的单调性,并判断该数列是否有最大项与最小项.
课时检测(二十八)
1．选C 对A，{1,3,5,7}表示集合，不是数列；对B，两个数列中包含的数虽然相同，但排列顺序不同，不是相同的数列；对D，数列的项数可以是有限的也可以是无限的．故选C.
2．选C A、B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．故选C.
3．选A 观察1，，，，…可看为，，，，…，分母是2n－1，分子为n2，故第8项为，故选A.
4．选BCD 对于A，a1＝2，a2＝1，故不是递增数列，A不符合；对于B，an＋1－an＝2n＋1－(2n－1)＝2>0，故是递增数列，B符合；对于C，an＋1－an＝2(n＋1)2－5(n＋1)－(2n2－5n)＝4n－3>0，故为递增数列，C符合；对于D，an＋1－an＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n>0，故为递增数列，D符合．故选BCD.
5．选B an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋，当n＝7时，an最大且等于108.
6．选C 由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2.则此数列第40项为2×202＝800.
7．选A 由数列－1，，－，，…可知奇数项的符号为“－”，偶数项的符号为“＋”，其分母为奇数2n－1，分子为n2.∴此数列的一个通项公式an＝(－1)n·.
8．选ABC an＝sin时，a1＝sin＝1，a2＝sin＝0，a3＝sin＝－1，a4＝sin＝0，a5＝sin＝1，满足题意，故A正确；an＝|n－3|－1时，a1＝|1－3|－1＝1，a2＝|2－3|－1＝0，a3＝|3－3|－1＝－1，a4＝|4－3|－1＝0，a5＝|5－3|－1＝1，满足题意，故B正确；an＝时，a1＝－1＋2＝1，a2＝－2＋2＝0，a3＝－3＋2＝－1，a4＝4－4＝0，a5＝5－4＝1，满足题意，故C正确；an＝(n－3)2－1时，a1＝(1－3)2－1＝3，不满足题意，故D错误．
9．选B {an}中的项依次为1,4,7,10,13,16,19,22,25,28，…；
{bn}中的项依次为2,4,8,16,32,64，…；
{an}与{bn}小于25的公共项为4,16；
在数列{an}中去掉{an}与{bn}的公共项后，小于25的项有1,7,10,13,19,22，其中质数有7,13,19，所以小于25的项中质数的占比为＝.
10．选A 因为an＝(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，所以有解得111．解析：原数列前几项可以看为，，，，，根据此规律可得数列通项公式为an＝.令3n－2＝22，则n＝8.
答案：8
12．解析：1,1,2,3,5,8,13,21，…，则从第三项起，每一项均为前2项的数字之和，13＋21＝34,21＋34＝55，故该数列的第10项为55.
答案：55
13．解析：an＝＝，当n≥6且n∈N*时，an>0，且递减；当n≤5且n∈N*时，an<0，且递减．∴当n＝6时，an最大．
答案：6
14．解析：由题设φ(2)＝1，则1～8中与8互质的数有1,3,5,7，共4个数，故φ(8)＝4.在1～2n中，与2n互质的数为范围内的所有奇数，共2n－1个，即φ(2n)＝2n－1，所以bn＝＝，则bn＋1－bn＝－＝，
当n≤2时bn＋1－bn>0，
当n≥3时bn＋1－bn<0，
即b1b4>b5>…，
所以bn的最大值为b3＝＝.
答案：4
15．解：(1)由an＝n(n－8)－20＝n2－8n－20＝(n＋2)(n－10)<0，解得1≤n<10，n∈N*，所以数列{an}前9项为负数，即共有9项为负数．
(2)因为an＋1－an＝(n＋1)(n＋1－8)－20－[n(n－8)－20]＝2n－7，当an＋1－an＝2n－7>0，n>，n∈N*，即从第4项开始数列{an}开始递增．
(3)an＝n(n－8)－20＝n2－8n－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，即数列中有最小值，最小值为－36.
16．解：an＋1－an＝－＝，当1≤n≤3时，an＋1－an>0，即a1当n＝4时，an＋1－an＝0，
即a5＝a4，当n≥5时，an＋1－an<0，
即a5>a6>a7>…，
所以{an}在1≤n≤4(n∈N*)时递增，
在n≥5(n∈N*)时递减，
所以数列{an}的最大项为a5＝a4＝，
又a1an＝≥0，
所以数列{an}的最小项为a1＝－1.
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