第2课时 数列的递推公式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.
2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法(累加法、累乘法).
题型(一) 数列的递推公式及应用
1.递推公式的定义
一般地,如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的 .递推公式也是给定数列的一种方法.
2.递推公式的特点
(1)利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第1项或前几项,②递推关系,这两个条件缺一不可.
(2)有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化.
(3)与所有数列不一定有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式.
[例1] 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出.
(1)写出此数列的前5项;
(2)通过公式bn=(n≥1)构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项.
听课记录:
|思|维|建|模|
由递推关系写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可;
(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1;
(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=.
[针对训练]
1.在数列{an}中,a1=3,且an+1=,则a2 025= ( )
A.3 B.-2
C.- D.
2.试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项:
(1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*;
(2)a1=2,an+1=2-,其中n∈N*.
题型(二) 由递推公式求数列的通项公式
[例2] (1)在数列{an}中,a1=1,=an+-,则an等于 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an,则{an}的通项公式为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题)
(2)迭代法、累加法或累乘法:递推公式对应的有以下几类:
①-an=常数或-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法.
②=pan(p为非零常数)或=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法.
③=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决.
[针对训练]
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,n∈N*,则an= .
4.已知数列{an},a1=2,an+1=2an,写出数列的前4项,猜想an,并加以证明.
第2课时 数列的递推公式
[题型(一)]
1．它的前一项an－1 递推公式
[例1] 解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，
a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为
a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，
a5＝8，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.
故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
[针对训练]
1．选A 数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝，则a1＝3，a2＝－2，a3＝－，a4＝，a5＝3，…，所以an＋4＝an，即数列{an}是以4为周期的数列，所以a2 025＝a4×506＋1＝a1＝3.
2．解：(1)因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*，所以a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4，a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8，a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16.因此数列{an}的前5项依次为1,2,4,8,16.(2)因为a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*，所以a2＝2－＝2－＝，a3＝2－＝2－＝，a4＝2－＝2－＝，a5＝2－＝2－＝.因此数列{an}的前5项依次为2，，，，.
[题型(二)]
[例2] (1)选B 数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，a3＝＋－＝2－＝，a4＝＋－＝2－＝，a5＝＋－＝2－＝，又a1＝1，由此可得数列的一个通项公式为an＝.
(2)解析：已知an＋1＝an，将n换为n－1，可得an＝an－1＝an－1，
那么＝(n≥2)．
由＝(n≥2)可得an＝··…··a1＝··…·×1，
观察发现，约分后可得an＝n·2n－1(n≥2)．
当n＝1时，a1＝1×21－1＝1，与已知a1＝1相符．所以an＝n·2n－1，n∈N*.
答案：an＝n·2n－1，n∈N*
[针对训练]
3．解析：由题意得，an＝an－1＋2＝an－2＋2×2＝…＝a1＋2×(n－1)＝2n－1，n≥2，又a1＝1适合上式，∴an＝2n－1，n∈N*.
答案：2n－1
4．解：由a1＝2，an＋1＝2an，得a2＝2a1＝4＝22，a3＝2a2＝2·22＝23，a4＝2a3＝2·23＝24.猜想an＝2n(n∈N*)．证明如下：
由a1＝2，an＋1＝2an，
得＝＝…＝＝＝2(n≥2)．
∴an＝··…···a1＝2·2·…·2·2＝2n.
又当n＝1时，a1＝21＝2符合上式，
∴an＝2n(n∈N*)．
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数列的递推公式
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第2课时
课时目标
1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法(累加法、累乘法).
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 数列的递推公式及应用
题型(二) 由递推公式求数列的通项公式
课时检测
题型(一) 数列的递推公式及应用
01
1.递推公式的定义
一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与______
__________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的_________.递推公式也是给定数列的一种方法.
它的前
一项an-1
递推公式
2.递推公式的特点
(1)利用递推公式求一个数列，必须具备:①数列第1项或前几项，②递推关系，这两个条件缺一不可.
(2)有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化.
(3)与所有数列不一定有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
[例1] 已知数列{an}中，a1=1，a2=2，以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出.
(1)写出此数列的前5项；
解:∵an=an-1+an-2(n≥3)，且a1=1，a2=2，∴a3=a2+a1=3，
a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8.
故数列{an}的前5项依次为a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，a5=8.
(2)通过公式bn=(n≥1)构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项.
解:∵bn=，且a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，
a5=8，∴b1==，b2==，b3==，b4==.
故数列{bn}的前4项依次为b1=，b2=，b3=，b4=.
|思|维|建|模|
由递推关系写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可；
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an=2an+1+1；
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an+1=.
针对训练
1.在数列{an}中，a1=3，且an+1=，则a2 025=( )
A.3 B.-2 C.- D.
解析:数列{an}中，a1=3，且an+1=，则a1=3，a2=-2，a3=-，a4=，a5=3，…，所以an+4=an，即数列{an}是以4为周期的数列，所以a2 025=
a4×506+1=a1=3.
√
2.试分别根据下列条件，写出数列{an}的前5项:
(1)a1=1，a2=2，an+2=an+1+2an，其中n∈N*；
解:因为a1=1，a2=2，an+2=an+1+2an，其中n∈N*，所以a3=a2+2a1=2+2×1=4，a4=a3+2a2=4+2×2=8，a5=a4+2a3=8+2×4=16.因此数列{an}的前5项依次为1，2，4，8，16.
(2)a1=2，an+1=2-，其中n∈N*.
解:因为a1=2，an+1=2-，其中n∈N*，所以a2=2-=2-=，a3=2-=2-=，a4=2-=2-=，a5=2-=2-=.因此数列{an}的前5项依次为2，.
题型(二) 由递推公式求数列的通项公式
02
[例2] (1)在数列{an}中，a1=1，=an+-，则an等于( )
A. B. C. D.
解析:法一:归纳法
数列的前5项分别为a1=1，a2=1+1-=2-=，a3=+-=2-=，a4=+-=2-=，a5=+-=2-=，又a1=1，由此可得数列的一个通项公式为an=.
√
法二:迭代法
a2=a1+1-，a3=a2+-，…，an=+-(n≥2)，则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2).又a1=1也适合上式，所以an=(n∈N*).
法三:累加法
由题意得-an=-，又a1=1，所以a2-a1=1-，a3-a2=-，a4-a3=-，…，an-=-(n≥2)，以上各式相加得an=1+1-+-+…+-=(n≥2).因为a1=1也适合上式，所以an=(n∈N*).
(2)已知数列{an}满足a1=1，an+1=an，则{an}的通项公式为
__________________.
解析:已知an+1=an，将n换为n-1，可得an=an-1=an-1，
那么=(n≥2).由=(n≥2)可得an=··…··a1
=··…·×1，观察发现，约分后可得an=n·2n-1(n≥2).当n=1时，a1=1×21-1=1，与已知a1=1相符.所以an=n·2n-1，n∈N*.
an=n·2n-1，n∈N*
|思|维|建|模|
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题)
(2)迭代法、累加法或累乘法:递推公式对应的有以下几类:
①-an=常数或-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法.
②=pan(p为非零常数)或=f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法.
③=pan+q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
针对训练
3.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2，n∈N*，则an=________.
2n-1
解析:由题意得，an=an-1+2=an-2+2×2=…=a1+2×(n-1)=2n-1，n≥2，又a1=1适合上式，∴an=2n-1，n∈N*.
4.已知数列{an}，a1=2，an+1=2an，写出数列的前4项，猜想an，并加以证明.
解:由a1=2，=2an，得a2=2a1=4=22，a3=2a2=2·22=23，a4=2a3=2·23=24.猜想an=2n(n∈N*).证明如下:
由a1=2，an+1=2an，得==…===2(n≥2).
∴an=··…···a1=2·2·…·2·2=2n.
又当n=1时，a1=21=2符合上式，∴an=2n(n∈N*).
课时检测
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2
1.已知数列{an}满足a1=2，an=1+(n≥2)，则a3=( )
A. B.
C. D.
√
解析:因为a1=2，所以a2=1+=，a3=1+=1+=.故选C.
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2.数列1，3，6，10，15，…的递推公式是 ( )
A.an+1=an+n，n∈N*
B.an=an-1+n，n∈N*
C.an+1=an+(n+1)，n∈N*
D.an=an-1+(n-1)，n∈N*，n≥2
√
15
解析:由已知得a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，a5-a4=5，…，an+1-an
=n+1，n∈N*.故选C.
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3.已知在数列{an}中，a1=2，an+1=an+n(n∈N*)，则a4的值为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
√
15
解析:因为a1=2，an+1=an+n，所以a2=a1+1=2+1=3，a3=a2+2=3+2=5，a4=a3+3=5+3=8.
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4.已知数列{an}中，a1=1，=，则数列{an}的通项公式是( )
A.an=2n B.an=
C.an= D.an=
√
15
解析:法一 由已知可知，a1=1，a2=，a3=，a4=，…，∴an=.
法二 an=··…···a1=·1=.
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5.在数列{an}中，若a1=2，an=1-(n≥2)，则a2 024=( )
A.-1 B.
C.2 D.1
√
15
解析:由题意得a1=2，a2=1-=1-=，a3=1-=1-2=-1，a4=1-=
1+1=2，…，故{an}为周期数列，周期为3，故a2 024=a674×3+2=a2=.故选B.
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6.已知数列{an}满足a1=1，且an+1=，则a10=( )
A. B.
C. D.
√
解析:∵an+1=，则==+n，∴-=1，-=2，…，-=9，以上各式相加可得，-=1+2+3+…+9=45，∴a10=.故选B.
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7.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列:1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an+2=an+1+an(n≥1)，那么1+a2+a4+a6+…+a2 024等于( )
A.a2 022 B.a2 023
C.a2 024 D.a2 025
√
解析:由于an+2=an+1+an(n≥1)，则1+a2+a4+a6+…+a2 024=a1+a2+a4+a6
+…+a2 024=a3+a4+a6+…+a2 024=a5+a6+…+a2 024=a2 023+a2 024=a2 025.
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8.(5分)已知数列{an}满足an=若a4∈[2，3]，则a1的取值范围是_______.
15
[1，3]
解析:设a4=m，则m∈[2，3]，得a3=m-1，a2=2(m-1)=2m-2，所以a1=2m-3∈[1，3].
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9.(5分)若数列{an}满足a2=11，an+1=，则a985=______.
15
解析:因为a2=11，an+1=，所以a1=，a3==-，a4==，所以{an}是周期为3的数列，故a985=a1=.
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10.(5分)在数列{an}中，a1=，an=n(an+1-an)(n∈N*)，则a2 024=_____.
15
2 025
解析:因为an=n(an+1-an)(n∈N*)，所以(n+1)an=nan+1，所以=，
所以是常数列，又==，所以a2 024=2 025.
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11.(5分)若数列{an}对任意正整数n，满足a1a2…an=n2，则数列{an}的通项公式an=________________.
15
解析:当n=1时，a1=1；当n≥2时，由a1a2…an=n2可得a1a2…an-1=(n-1)2，两式作商可得an=，又a1=12不符合上式，所以an=
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12.(10分)已知数列{an}中，a1=1，an+1=an.
(1)写出数列{an}的前5项；(4分)
15
解: a1=1，a2=×1=，a3=×=，a4=×=，a5=×=.
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明；(4分)
解:猜想:an=.证明如下:
因为an+1=an，显然an≠0，所以=，
则===，…，=(n≥2)，
累乘得=(n≥2)，所以an=(n≥2)，对n=1也适合.所以an=.
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(3)画出数列{an}的图象.(2分)
15
解:图象如图所示，
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13.(10分)数列{an}满足a1=1，an+1+2anan+1-an=0.
(1)写出数列的前5项；(4分)
15
解:由已知可得a1=1，a2=，a3=，a4=，a5=.
(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式；(4分)
解:由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，
所以它的一个通项公式为an=.
(3)实数是否为这个数列中的一项 若是，应为第几项 (2分)
解:令=，解得n=50，故是这个数列的第50项.
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14.(10分)已知数列{an}满足a1=-1，an+1=an+-，n∈N*，求数列的通项公式an.
15
解:∵an+1-an=-，∴a2-a1=-，a3-a2=-，a4-a3=-，…，an-an-1=-(n≥2)，将以上n-1个式子相加，得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=++…+，即an-a1=1-(n≥2，n∈N*).∴an=a1+1-=-1+1-=-(n≥2，n∈N*).又当n=1时，a1=-1也符合上式.∴an=-，n∈N*.
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15.(10分)数列{an}满足an+1=4an+3，且a1=1，求此数列的通项公式.
15
解:法一:累乘法 由an+1=4an+3，可得an+1+1=4(an+1)，即=4，∴=4，=4，=4，…，=4(n≥2).
以上各式的两边分别相乘，得=4n-1(n≥2)，
即an=2·4n-1-1=22n-1-1(n≥2).
又a1=1也满足上式，∴an=22n-1-1.
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法二:迭代法 由an+1=4an+3，可得an+1+1=4(an+1)，则a2+1=4(a1+1)，a3+1=4(a2+1)，a4+1=4(a3+1)，…，an+1=4(an-1+1)(n≥2)，
∴an+1=4n-1(a1+1)(n≥2)，
即an=2·4n-1-1=22n-1-1(n≥2).
又a1=1也满足上式，∴an=22n-1-1.
15
6
7课时检测(二十九) 数列的递推公式
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.已知数列{an}满足a1=2,an=1+(n≥2),则a3= ( )
A. B.
C. D.
2.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是 ( )
A.an+1=an+n,n∈N*
B.an=an-1+n,n∈N*
C.an+1=an+(n+1),n∈N*
D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2
3.已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n(n∈N*),则a4的值为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
4.已知数列{an}中,a1=1,=,则数列{an}的通项公式是 ( )
A.an=2n B.an=
C.an= D.an=
5.在数列{an}中,若a1=2,an=1-(n≥2),则a2 024= ( )
A.-1 B.
C.2 D.1
6.已知数列{an}满足a1=1,且an+1=,则a10= ( )
A. B.
C. D.
7.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,满足an+2=an+1+an(n≥1),那么1+a2+a4+a6+…+a2 024等于 ( )
A.a2 022 B.a2 023
C.a2 024 D.a2 025
8.(5分)已知数列{an}满足an=若a4∈[2,3],则a1的取值范围是 .
9.(5分)若数列{an}满足a2=11,an+1=,则a985= .
10.(5分)在数列{an}中,a1=,an=n(an+1-an)(n∈N*),则a2 024= .
11.(5分)若数列{an}对任意正整数n,满足a1a2·…·an=n2,则数列{an}的通项公式an= .
12.(10分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=an.
(1)写出数列{an}的前5项;(4分)
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明;(4分)
(3)画出数列{an}的图象.(2分)
13.(10分)数列{an}满足a1=1,an+1+2anan+1-an=0.
(1)写出数列的前5项;(4分)
(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式;(4分)
(3)实数是否为这个数列中的一项 若是,应为第几项 (2分)
14.(10分)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+-,n∈N*,求数列的通项公式an.
15.(10分)数列{an}满足an+1=4an+3,且a1=1,求此数列的通项公式.
课时检测(二十九)
1．选C 因为a1＝2，所以a2＝1＋＝，a3＝1＋＝1＋＝.故选C.
2．选C 由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N*.故选C.
3．选D 因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
4．选C 由已知可知，a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，…，∴an＝.
5．选B 由题意得a1＝2，a2＝1－＝1－＝，a3＝1－＝1－2＝－1，a4＝1－＝1＋1＝2，…，故{an}为周期数列，周期为3，故a2 024＝a674×3＋2＝a2＝.故选B.
6．选B ∵an＋1＝，则＝＝＋n，∴－＝1，－＝2，…，－＝9，以上各式相加可得，－＝1＋2＋3＋…＋9＝45，∴a10＝.故选B.
7．选D 由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a5＋a6＋…＋a2 024＝a2 023＋a2 024＝a2 025.
8．解析：设a4＝m，则m∈[2,3]，得a3＝m－1，a2＝2(m－1)＝2m－2，所以a1＝2m－3∈[1,3]．
答案：[1,3]
9．解析：因为a2＝11，an＋1＝，
所以a1＝，a3＝＝－，a4＝＝，所以{an}是周期为3的数列，故a985＝a1＝.
答案：
10．解析：因为an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，
所以(n＋1)an＝nan＋1，所以＝，
所以是常数列，又＝＝，
所以a2 024＝2 025.
答案：2 025
11．解析：当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，由a1a2…an＝n2可得a1a2…an－1＝(n－1)2，两式作商可得an＝，又a1＝12不符合上式，所以an＝
答案：
12．解：(1)a1＝1，a2＝×1＝，
a3＝×＝，a4＝×＝，
a5＝×＝.
(2)猜想：an＝.证明如下：
因为an＋1＝an，显然an≠0，所以＝，则＝，＝，＝，…，＝(n≥2)，累乘得＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)，对n＝1也适合．所以an＝.
(3)图象如图所示，
13．解：(1)由已知可得a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.
(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1,3,5,7,9，…，
所以它的一个通项公式为an＝.
(3)令＝，解得n＝50，
故是这个数列的第50项．
14．解：∵an＋1－an＝－，∴a2－a1＝－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－(n≥2)，将以上n－1个式子相加，得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝＋＋…＋，即an－a1＝1－(n≥2，n∈N*)．∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2，n∈N*)．又当n＝1时，a1＝－1也符合上式．∴an＝－，n∈N*.
15．解：由an＋1＝4an＋3，可得an＋1＋1＝4(an＋1)，即＝4，∴＝4，＝4，＝4，…，＝4(n≥2)．
以上各式的两边分别相乘，得＝4n－1(n≥2)，
即an＝2·4n－1－1＝22n－1－1(n≥2)．
又a1＝1也满足上式，∴an＝22n－1－1.
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