4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
4.2.2 等差数列的通项公式
第1课时 等差数列的概念与通项公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
[课时目标]
1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列通项公式的意义.
逐点清(一) 等差数列的有关概念
[多维理解]
等差数列的概念
(1)一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于 常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的 ,公差通常用 表示.
(2)递推公式:an+1-an= (d为常数).
|微|点|助|解|
对等差数列概念的解读
(1)作差的起始项:“从第2项起”,因为第1项没有前一项;
(2)作差的顺序:“每一项与它的前一项的差”,即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项,不可颠倒;
(3)等差的含义:“同一个常数”指所有的差都相等,即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d,其中d是与n无关的常数;
(4)公差d的取值范围:可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列),它是一个与n无关的常数,因此公差d的取值范围为(-∞,+∞).
[微点练明]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)常数列是等差数列. ( )
(2)-1,-2,-3,-4,-5不是等差数列. ( )
(3)若数列{an}是等差数列,则其公差d=a7-a8. ( )
2.下列数列是等差数列的是 ( )
A.,,, B.1,,,
C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0
3.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}是 ( )
A.公差为1的等差数列
B.公差为的等差数列
C.公差为-的等差数列
D.不是等差数列
4.在-1和8之间插入两个数a,b,使这四个数成等差数列,则公差为 .
逐点清(二) 等差数列的通项公式
[多维理解]
1.等差中项
(1)如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的 .
(2)在一个等差数列中,中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它前一项与后一项的等差中项.
|微|点|助|解|
(1)A= a,A,b成等差数列,因此两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数,可以类比数轴上的中点坐标公式进行记忆和应用.
(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1(n≥2).
2.等差数列的通项公式
一般地,对于等差数列{an}的第n项an,有an= .这就是等差数列{an}的通项公式,其中a1为首项,d为公差.
3.等差数列通项公式中的四个参数及其关系
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d
四个参数 a1,d,n,an
“知三求一” 知a1,d,n求an
知a1,d,an求n
知a1,n,an求d
知d,n,an求a1
[微点练明]
1.已知a=+,b=-,则a,b的等差中项为 ( )
A. B.
C. D.
2.记等差数列{an}的公差为d(d≥0),若是与-2的等差中项,则d的值为 ( )
A.0 B.
C.1 D.2
3.已知等差数列{an}中,a1+a8=2,a2+a9=8,则数列{an}的公差为 ( )
A.4 B.3
C.1 D.-1
4.首项为-12的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是 ( )
A. B.(-∞,3)
C. D.
5.在等差数列{an}中,
(1)已知a1=2,d=3,n=10,求an;
(2)已知a1=3,an=21,d=2,求n;
(3)已知a1=12,a6=27,求d;
(4)已知d=-,a7=8,求a1和an.
逐点清(三) 等差数列的判定与证明
[典例] 已知数列{an}满足a1=1,an+1=.若bn=.
(1)求证:{bn}为等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
听课记录:
[变式拓展]
本例条件an+1=变为an+1=(n∈N*),其他条件不变.求证:是等差数列.
|思|维|建|模|
证明等差数列的方法
证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法.
(1)在解答题中,证明一个数列是等差数列首选定义法;其次是等差中项法.
(2)通项公式法可用于选择、填空题的求解.
[针对训练]
1.已知在数列{an}中,a1=1,an=2+1(n≥2,n∈N*),记bn=log2(an+1).
(1)判断{bn}是否为等差数列,并说明理由;
(2)求数列{an}的通项公式.
2.已知,,是等差数列,求证:,,也是等差数列.
第1课时 等差数列的概念与通项公式
[逐点清(一)]
[多维理解] (1)同一个 公差 d (2)d
[微点练明]
1．(1)√ (2)× (3)× 2.D 3.B 4.3
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.(1)等差中项 2.a1＋(n－1)d
[微点练明]
1．B 2.C 3.B 4.D
5．解：(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.
(2)由an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
(3)由a6＝a1＋5d＝12＋5d＝27，解得d＝3.
(4)由a7＝a1＋6d＝a1－2＝8，解得a1＝10，所以an＝a1＋(n－1)d＝10－(n－1)＝－n＋.
[逐点清(三)]
[典例] 解：(1)证明：因为an＋1＝，所以＝＝2＋，即－＝2，且因为bn＝，所以bn＋1－bn＝2，b1＝＝1，所以{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
又bn＝，所以an＝＝，
即数列{an}的通项公式为an＝.
[变式拓展]
证明：∵an＋1＝(n∈N*)，∴＝＝＋2，∴－＝2.又＝1，
∴是以1为首项，2为公差的等差数列．
[针对训练]
1．解：(1){bn}是等差数列，理由如下：
因为a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，
所以an＞0.
b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1，
当n≥2时，bn－bn－1
＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1)＝log2
＝log2＝log2＝log22＝1，所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)得bn＝1＋(n－1)×1＝n，
所以an＋1＝2bn＝2n，所以an＝2n－1.
2．证明：∵，，成等差数列，∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)．∵＋＝＝＝＝＝，∴，，成等差数列．
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4.2.1
等差数列的概念
4.2.2
等差数列的通项公式
等差数列的概念与通项公式
[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
第1课时
课时目标
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列通项公式的意义.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 等差数列的有关概念
逐点清(二) 等差数列的通项公式
逐点清(三) 等差数列的判定与证明
4
课时检测
逐点清(一) 等差数列的有关概念
01
多维理解
等差数列的概念
(1)一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于________常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的_____，公差通常用____表示.
(2)递推公式:an+1-an=___ (d为常数).
同一个
公差
d
d
|微|点|助|解| 对等差数列概念的解读
(1)作差的起始项:“从第2项起”，因为第1项没有前一项；
(2)作差的顺序:“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒；
(3)等差的含义:“同一个常数”指所有的差都相等，即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d，其中d是与n无关的常数；
(4)公差d的取值范围:可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列)，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(-∞，+∞).
微点练明
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常数列是等差数列.( )
(2)-1，-2，-3，-4，-5不是等差数列.( )
(3)若数列{an}是等差数列，则其公差d=a7-a8.( )
√
×
×
2.下列数列是等差数列的是 ( )
A. B.1，
C.1，-1，1，-1 D.0，0，0，0
√
解析:由等差数列的定义知，0，0，0，0是等差数列，故选D.
3.若数列{an}满足3an+1=3an+1，则数列{an}是 ( )
A.公差为1的等差数列
B.公差为的等差数列
C.公差为-的等差数列
D.不是等差数列
√
4.在-1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为____.
3
解析:由已知a-(-1)=b-a=8-b=d，∴8-(-1)=3d，∴d=3.
逐点清(二) 等差数列的通项公式
02
多维理解
1.等差中项
(1)如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的_____________.
(2)在一个等差数列中，中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它前一项与后一项的等差中项.
等差中项
|微|点|助|解|
(1)A= a，A，b成等差数列，因此两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数，可以类比数轴上的中点坐标公式进行记忆和应用.
(2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，即2an=an-1+an+1(n≥2).
2.等差数列的通项公式
一般地，对于等差数列{an}的第n项an，有an=___________.这就是等差数列{an}的通项公式，其中a1为首项，d为公差.
3.等差数列通项公式中的四个参数及其关系
a1+(n-1)d
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d
四个参数 a1，d，n，an
“知三求一” 知a1，d，n求an
知a1，d，an求n
知a1，n，an求d
知d，n，an求a1
微点练明
1.已知a=+，b=-，则a，b的等差中项为( )
A. B.
C. D.
√
解析:a，b的等差中项为==.
2.记等差数列{an}的公差为d(d≥0)，若是与-2的等差中项，则d的值为( )
A.0 B.
C.1 D.2
√
解析:由等差数列{an}的公差为d，是与-2的等差中项，得2=+-2，即2(a1+d)2=+(a1+2d)2-2，整理得d2=1，而d≥0，解得d=1.
3.已知等差数列{an}中，a1+a8=2，a2+a9=8，则数列{an}的公差为 ( )
A.4 B.3
C.1 D.-1
√
解析:在等差数列{an}中，因为a1+a8=2，所以a2+a9=a1+d+a8+d=
2+2d=8，解得d=3.
4.首项为-12的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是 ( )
A. B.(-∞，3)
C. D.
√
解析:设等差数列首项为a1=-12，公差为d，因为从第10项起开始为正数，所以即解得5.在等差数列{an}中，
(1)已知a1=2，d=3，n=10，求an；
解: an=a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
(2)已知a1=3，an=21，d=2，求n；
解:由an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=21，解得n=10.
(3)已知a1=12，a6=27，求d；
解:由a6=a1+5d=12+5d=27，解得d=3.
(4)已知d=-，a7=8，求a1和an.
解:由a7=a1+6d=a1-2=8，解得a1=10，所以an=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+.
逐点清(三) 等差数列的判定与证明
03
[典例] 已知数列{an}满足a1=1，an+1=.若bn=.
(1)求证:{bn}为等差数列.
解:证明:因为an+1=，所以==2+，即-=2，且因为bn=，所以bn+1-bn=2，b1==1，
所以{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解:由(1)知bn=1+2(n-1)=2n-1，
又bn=，所以an==，
即数列{an}的通项公式为an=.
变式拓展
本例条件an+1=变为an+1=(n∈N*)，其他条件不变.求证:是等差数列.
证明:∵an+1=(n∈N*)，∴==+2，∴-=2.
又=1，∴是以1为首项，2为公差的等差数列.
|思|维|建|模|
证明等差数列的方法
证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法.
(1)在解答题中，证明一个数列是等差数列首选定义法；其次是等差中项法.
(2)通项公式法可用于选择、填空题的求解.
针对训练
1.已知在数列{an}中，a1=1，an=2+1(n≥2，n∈N*)，记bn=log2(an+1).
(1)判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
解: {bn}是等差数列，理由如下:
因为a1=1，an=2+1(n≥2)，所以an>0.
b1=log2(a1+1)=log22=1，当n≥2时，bn-=log2(an+1)-log2(+1)=log2=log2=log2=log22=1，
所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解:由(1)得bn=1+(n-1)×1=n，
所以an+1==2n，所以an=2n-1.
证明:∵成等差数列，∴=+，即2ac=b(a+c).
∵+=====，∴成等差数列.
2.已知是等差数列，求证:也是等差数列.
课时检测
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1.[多选]下列数列中，是等差数列的是 ( )
A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2
√
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解析:A、B、D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为24-25≠23-24≠22-23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.
√
√
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2.已知等差数列{an}中，a2=6，a4=2，则公差d= ( )
A.-2 B.2
C.3 D.-4
√
16
解析:由题意得a4=a2+2d，即6+2d=2，解得d=-2.故选A.
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3.在等差数列{an}中，a1=1，公差d=-2，则a5= ( )
A.-5 B.-11
C.-9 D.-7
√
16
解析:a5=a1+4d=1+4×(-2)=-7，故选D.
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4.已知等差数列{an}中，a6=-24 ，a30=-48 ，则首项a1与公差d分别为 ( )
A.-18，-2 B.-18，-1
C.-19，-2 D.-19，-1
√
16
解析:依题意得解得故选D.
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5.设a>0，b>0，若lg a和lg b的等差中项是0，则a+b的最小值为 ( )
A.1 B.2
C.4 D.2
√
16
解析:∵lg a，lg b的等差中项是0，∴lg a+lg b=0，即lg ab=0，ab=1，∴a+b≥2=2，当且仅当a=b=1时取等号，故a+b的最小值为2.
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6.已知等差数列{an}满足4a3=3a2，则{an}中一定为零的项是 ( )
A.a6 B.a4
C.a10 D.a12
√
16
解析:由4a3=3a2得4(a1+2d)=3(a1+d)，即a1=-5d，所以an=a1+(n-1)d=
-5d+(n-1)d=(n-6)d，所以a6=0.
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7.已知数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则a2 025的值是 ( )
A.1 011 B.1 012
C.1 013 D.1 014
√
16
解析:由2an+1=2an+1，得an+1-an=.所以{an}是等差数列，首项a1=2，公差d=.所以an=2+(n-1)=.所以a2 025==1 014.
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8.[多选]已知在等差数列{an}中，a2+a9+a12-a14+a20-a7=8，则 ( )
A.a10=4 B.a11=4
C.a9-a3=3 D.a10-a3=3
√
16
√
解析:由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a2+a9+a12-a14+a20-a7
=2a1+20d=2(a1+10d)=8.即a11=a1+10d=4，所以a9-a3=a1+8d-(a1+2d)
=(a1+10d)=3.
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9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2(如2，5，8，…)且被5除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a4= ( )
A.32 B.47 C.62 D.77
√
16
解析:根据题意可知an-2既是3的倍数，又是5的倍数，即是15的倍数，可得an-2=15(n-1)，n∈N*，即an=15n-13，所以a4=15×4-13=47.
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10.已知递增数列{an}是等差数列，若a4=8，3(a2+a6)=a2a6，则a2 024=
( )
A.2 024 B.2 023
C.4 048 D.4 046
√
16
解析:设数列{an}的公差为d(d>0)，因为a4=8，3(a2+a6)=a2a6，
则解得
所以a2 024=2+2×(2 024-1)=4 048.
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11.(5分)已知a，m∈R，m是a和10-a的等差中项，则m的值等于___.
解析:因为m是a和10-a的等差中项，故2m=a+(10-a)=10，则m=5.
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12.(5分)已知等差数列{an}递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是_____________.
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(2，+∞)
解析:设等差数列{an}的公差为d，因为{an}递增，所以d>0，由a1+a10=4得2a1+9d=4，所以a1==2-，则a8=a1+7d=2-d+7d=
2+d>2，所以a8的取值范围是(2，+∞).
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13.(5分)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列，且a1=3，a3=9，则数列{an}的通项公式为____________.
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an=2n+1
解析:设等差数列{log2(an-1)}的公差为d，由a1=3，a3=9，得log2(a3-1)= log2(a1-1)+2d，解得d=1，所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n，即an=2n+1.
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14.(10分)在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73.求:
(1)a4；(3分)
16
解:因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84，所以3a4=84，所以a4=28.
(2)数列{an}的通项公式.(7分)
解:因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84，a9=73，
所以解得
得an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8，所以an=9n-8.
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15.(10分)若数列是等差数列，则称数列{an}为调和数列.若实数a，b，c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项.
(1)求和1的调和中项；(5分)
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解:设和1的调和中项为b，依题意得3，，1成等差数列，所以==2，解得b=，故和1的调和中项为.
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(2)已知调和数列{an}，a1=6，a4=2，求{an}的通项公式.(5分)
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解:依题意，是等差数列，设其公差为d，
则3d=- d=，所以=+(n-1)d=+(n-1)=，故an=.
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16.(10分)数列{an}满足a1=1，an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*)，λ是常数.
(1)当a2=-1时，求λ及a3的值；(3分)
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解:因为an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*)，且a1=1，
所以当a2=-1时，得-1=2-λ，解得λ=3.
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
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解:不存在实数λ使得{an}为等差数列.
理由如下:由a1=1，an+1=(n2+n-λ)an，得a2=2-λ，a3=(6-λ)(2-λ)，
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).若存在实数λ，使得{an}为等差数列，则a3-a2=a2-a1，即(5-λ)·(2-λ)=1-λ，解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2，a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24，a2-a1≠a4-a3，这与{an}为等差数列矛盾.所以不存在实数λ使得{an}为等差数列.
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(2)判断是否存在实数λ使得数列{an}为等差数列，并说明理由.(7分)课时检测(三十) 等差数列的概念与通项公式
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.[多选]下列数列中,是等差数列的是 ( )
A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2
2.已知等差数列{an}中,a2=6,a4=2,则公差d= ( )
A.-2 B.2
C.3 D.-4
3.在等差数列{an}中,a1=1,公差d=-2,则a5= ( )
A.-5 B.-11
C.-9 D.-7
4.已知等差数列{an}中,a6=-24 ,a30=-48 ,则首项a1与公差d分别为 ( )
A.-18,-2 B.-18,-1
C.-19,-2 D.-19,-1
5.设a>0,b>0,若lg a和lg b的等差中项是0,则a+b的最小值为 ( )
A.1 B.2
C.4 D.2
6.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是 ( )
A.a6 B.a4
C.a10 D.a12
7.已知数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a2 025的值是 ( )
A.1 011 B.1 012
C.1 013 D.1 014
8.[多选]已知在等差数列{an}中,a2+a9+a12-a14+a20-a7=8,则 ( )
A.a10=4 B.a11=4
C.a9-a3=3 D.a10-a3=3
9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2(如2,5,8,…)且被5除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a4= ( )
A.32 B.47
C.62 D.77
10.已知递增数列{an}是等差数列,若a4=8,3(a2+a6)=a2a6,则a2 024= ( )
A.2 024 B.2 023
C.4 048 D.4 046
11.(5分)已知a,m∈R,m是a和10-a的等差中项,则m的值等于 .
12.(5分)已知等差数列{an}递增且满足a1+a10=4,则a8的取值范围是 .
13.(5分)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9,则数列{an}的通项公式为 .
14.(10分)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.求:
(1)a4;(3分)
(2)数列{an}的通项公式.(7分)
15.(10分)若数列是等差数列,则称数列{an}为调和数列.若实数a,b,c依次成调和数列,则称b是a和c的调和中项.
(1)求和1的调和中项;(5分)
(2)已知调和数列{an},a1=6,a4=2,求{an}的通项公式.(5分)
16.(10分)数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(3分)
(2)判断是否存在实数λ使得数列{an}为等差数列,并说明理由.(7分)
课时检测(三十)
1．选ABD A、B、D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．
2．选A 由题意得a4＝a2＋2d，即6＋2d＝2，解得d＝－2.故选A.
3．选D a5＝a1＋4d＝1＋4×(－2)＝－7，故选D.
4．选D 依题意得解得故选D.
5．选B ∵lg a，lg b的等差中项是0，∴lg a＋lg b＝0，即lg ab＝0，ab＝1，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.
6．选A 由4a3＝3a2得4(a1＋2d)＝3(a1＋d)，即a1＝－5d，所以an＝a1＋(n－1)d＝－5d＋(n－1)d＝(n－6)d，所以a6＝0.
7．选D 由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝.所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝.所以an＝2＋(n－1)＝.
所以a2 025＝＝1 014.
8．选BC 由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a9＋a12－a14＋a20－a7＝2a1＋20d＝2(a1＋10d)＝8.即a11＝a1＋10d＝4，所以a9－a3＝a1＋8d－(a1＋2d)＝(a1＋10d)＝3.
9．选B 根据题意可知an－2既是3的倍数，又是5的倍数，即是15的倍数，可得an－2＝15(n－1)，n∈N*，即an＝15n－13，所以a4＝15×4－13＝47.
10．选C 设数列{an}的公差为d(d>0)，因为a4＝8,3(a2＋a6)＝a2a6，
则解得所以a2 024＝2＋2×(2 024－1)＝4 048.
11．解析：因为m是a和10－a的等差中项，故2m＝a＋(10－a)＝10，则m＝5.
答案：5
12．解析：设等差数列{an}的公差为d，因为{an}递增，所以d>0，由a1＋a10＝4得2a1＋9d＝4，所以a1＝＝2－，则a8＝a1＋7d＝2－d＋7d＝2＋d>2，所以a8的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
13．解析：设等差数列{log2(an－1)}的公差为d，由a1＝3，a3＝9，得log2(a3－1)＝ log2(a1－1)＋2d，解得d＝1，所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝2n＋1.
答案：an＝2n＋1
14．解：(1)因为{an}是等差数列且a3＋a4＋a5＝84，
所以3a4＝84，所以a4＝28.
(2)因为{an}是等差数列且a3＋a4＋a5＝84，a9＝73，
所以解得得an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8，所以an＝9n－8.
15．解：(1)设和1的调和中项为b，依题意得3，，1成等差数列，所以＝＝2，解得b＝，故和1的调和中项为.
(2)依题意，是等差数列，设其公差为d，
则3d＝－ d＝，所以＝＋(n－1)d＝＋(n－1)＝，故an＝.
16．解：(1)因为an＋1＝(n2＋n－λ)an(n∈N*)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，解得λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)不存在实数λ使得{an}为等差数列．
理由如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，
a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在实数λ，使得{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)·(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)·(6－λ)(2－λ)＝－24，a2－a1≠a4－a3，这与{an}为等差数列矛盾．所以不存在实数λ使得{an}为等差数列．
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