第2课时 等差数列的性质及应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
进一步理解等差数列,能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质,能运用等差数列的性质简化计算.
题型(一) 等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列,则an=am+(n-m)d(m,n∈N*).
(2){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak.
②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….
(3)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列.
(4)若{an}是公差为d的等差数列,则
①{c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列;
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;
③{an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列.
(5)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.
(6)若{an}的公差为d,则d>0 {an}为递增数列;d<0 {an}为递减数列;d=0 {an}为常数列.
[例1] (1)已知数列{an}为等差数列,且a1+a2+a3=3,a2+a3+a4=6,则a8= ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{an+bn}的第37项为 ( )
A.0 B.37
C.100 D.-37
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担.
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
②巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.
[针对训练]
1.在等差数列{an}中,a3+a11=40,则a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值为 ( )
A.84 B.72
C.60 D.48
2.[多选]已知递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 ( )
A.a1+a101>0 B.a2+a100=0
C.a3+a100≤0 D.a51=0
题型(二) 等差数列的设法与求解
[例2] 已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.
听课记录:
[变式拓展]
已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{an}的通项公式.
|思|维|建|模|
等差数列项的常见设法
(1)通项法:设数列的通项公式,即设an=a1+(n-1)d.
(2)对称项设法:当等差数列{an}的项数为奇数时,可设中间一项为a,再以公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;当等差数列{an}的项数为偶数时,可设中间两项分别为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….对称项设法的优点是,若有n个数构成等差数列,利用对称项设出这个数列,则其各项和为na.
[针对训练]
3.一个等差数列由三个数组成,三个数的和为9,三个数的平方和为35,求这三个数.
题型(三) 等差数列的实际应用
[例3] 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费
听课记录:
[变式拓展]
在本例中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km计费)处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需支付多少车费
|思|维|建|模|
(1)解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.
(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.
[针对训练]
4.做一个木梯需要7根横梁,这7根横梁的长度从上到下成等差数列,现有长为1.5 m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁,长为2 m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁,那么正中间的一根横梁的长度是 ( )
A. m B. m
C. m D. m
5.在通常情况下,从海平面到10 km高空,海拔每增加1 km,气温就下降一固定数值.如果海拔1 km高空的气温是9 ℃,海拔5 km高空的气温是-15 ℃,那么海拔2 km,4 km和8 km高空的气温各是多少
第2课时 等差数列的性质及应用
[题型(一)]
[例1] (1)选D 由等差数列的下标性质可知a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1，
a2＋a3＋a4＝3a3＝6，得a3＝2，设等差数列{an}的公差为d，则d＝a3－a2＝1，
所以a8＝a2＋6d＝1＋6＝7.
(2)选C 因为{an}，{bn}都是等差数列，
所以{an＋bn}也是等差数列．
又因为a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，所以数列{an＋bn}的公差为0，即数列{an＋bn}为常数列．所以{an＋bn}的第37项为100.
[针对训练]
1．选C 在等差数列{an}中，a3＋a11＝2a7＝40，可得a7＝20，所以a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10＝(a4＋a10)－(a5＋a9)＋(a6＋a7＋a8)＝3a7＝60.故选C.
2．选BD 设等差数列{an}的公差为d，易知d＞0，∵等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，∴a1＋a2＋a3＋…＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋…＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0，∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B、D正确，A错误；又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，∴a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d＞0，故C错误．
[题型(二)]
[例2] 解：设四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
又因为是递增数列，所以d>0，所以解得a＝±，d＝，故此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.
[变式拓展]
解：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
则
即
解得或因为数列{an}为递增数列，所以从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
[针对训练]
3．解：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，根据题意，得
解得
∴这三个数为1,3,5或5,3,1.
[题型(三)]
[例3] 解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．
[变式拓展]
解：由题意知，当出租车行至18.5 km处时，n＝16，此时需支付车费a16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．即需要支付车费29.2元．
[针对训练]
4．选B 记7根横梁的长度从上到下成等差数列{an}(1≤n≤7，n∈N),
由题意得，a1＋a2＋a3＝1.5，a5＋a6＋a7＝2，
∴3a2＝1.5,3a6＝2，故a2＝，a6＝.
∵2a4＝a2＋a6，∴a4＝，即正中间的一根横梁的长度是 m.
5．解：设从海平面到10 km高空气温成等差数列{an}(1≤n≤10，n∈N)，公差为d，则a1＝9，a5＝－15，
所以d＝＝＝－6，
所以an＝－6n＋15，
所以a2＝9－6＝3，a4＝－6×4＋15＝－9，a8＝－6×8＋15＝－33，
所以海拔2 km高空的气温是3 ℃，海拔4 km高空的气温是－9 ℃，海拔8 km高空的气温是－33 ℃.
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等差数列的性质及应用
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第2课时
课时目标
进一步理解等差数列，能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，能运用等差数列的性质简化计算.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 等差数列的性质
题型(二) 等差数列的设法与求解
课时检测
4
题型(三) 等差数列的实际应用
题型(一) 等差数列的性质
01
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则an=am+(n-m)d(m，n∈N*).
(2){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m+n=p+q，则am+an=ap+aq.
①特别地，当m+n=2k(m，n，k∈N*)时，am+an=2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….
(3)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列.
(4)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an+an+k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列.
(5)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan+qbn}(p，q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.
(6)若{an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；d<0 {an}为递减数列；d=0 {an}为常数列.
[例1] (1)已知数列{an}为等差数列，且a1+a2+a3=3，a2+a3+a4=6，则a8= ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
√
解析:由等差数列的下标性质可知a1+a2+a3=3a2=3，得a2=1，a2+a3+a4
=3a3=6，得a3=2，设等差数列{an}的公差为d，则d=a3-a2=1，所以a8=a2+6d=1+6=7.
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么数列{an+bn}的第37项为 ( )
A.0 B.37
C.100 D.-37
√
解析:因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{an+bn}也是等差数列.又因为a1+b1=100，a2+b2=100，所以数列{an+bn}的公差为0，即数列{an+bn}为常数列.所以{an+bn}的第37项为100.
|思|维|建|模|
(1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m=1，an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d，可以减少记忆负担.
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法:根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
②巧用性质法:观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am+an=ap+aq=2ar.
针对训练
1.在等差数列{an}中，a3+a11=40，则a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值为 ( )
A.84 B.72
C.60 D.48
√
解析:在等差数列{an}中，a3+a11=2a7=40，可得a7=20，所以a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10=(a4+a10)-(a5+a9)+(a6+a7+a8)=3a7=60.故选C.
2.[多选]已知递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则下列各式一定成立的有 ( )
A.a1+a101>0 B.a2+a100=0
C.a3+a100≤0 D.a51=0
√
√
解析:设等差数列{an}的公差为d，易知d>0，∵等差数列{an}满足a1+a2
+a3+…+a101=0，且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51，∴a1+a2+a3+…+
a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0，∴a51=0，a1+a101=
a2+a100=2a51=0，故B、D正确，A错误；又∵a51=a1+50d=0，∴a1=-50d，a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0，故C错误.
题型(二) 等差数列的设法与求解
02
[例2] 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
解:设四个数依次为a-3d，a-d，a+d，a+3d，
则
又因为是递增数列，所以d>0，所以解得a=±，d=，
故此等差数列为-1，2，5，8或-8，-5，-2，1.
变式拓展
已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.
解:法一 根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1+d，a1+2d，
则即
解得或因为数列{an}为递增数列，所以从而等差数列{an}的通项公式为an=4n-1.
法二 由于数列{an}为等差数列，所以可设前三项分别为a2-d，a2，a2+d，由题意得
即解得或
由于数列{an}为递增数列，所以从而an=4n-1.
|思|维|建|模| 等差数列项的常见设法
(1)通项法:设数列的通项公式，即设an=a1+(n-1)d.
(2)对称项设法:当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项:…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项:…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，….对称项设法的优点是，若有n个数构成等差数列，利用对称项设出这个数列，则其各项和为na.
针对训练
3.一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数.
解:设这三个数分别为a-d，a，a+d，根据题意，得解得
∴这三个数为1，3，5或5，3，1.
题型(三) 等差数列的实际应用
03
[例3] 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费
解:根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1=11.2，表示4 km处的车费，公差d=1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n=11，此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即需要支付车费23.2元.
变式拓展
在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km，按1 km计费)处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需支付多少车费
解:由题意知，当出租车行至18.5 km处时，n=16，此时需支付车费a16=11.2+(16-1)×1.2=29.2(元).即需要支付车费29.2元.
|思|维|建|模|
(1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.
(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题.
针对训练
4.做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.5 m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2 m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是 ( )
A. m B. m
C. m D. m
√
解析:记7根横梁的长度从上到下成等差数列{an}(1≤n≤7，n∈N)，
由题意得，a1+a2+a3=1.5，a5+a6+a7=2，
∴3a2=1.5，3a6=2，故a2=，a6=.
∵2a4=a2+a6，∴a4=，即正中间的一根横梁的长度是 m.
5.在通常情况下，从海平面到10 km高空，海拔每增加1 km，气温就下降一固定数值.如果海拔1 km高空的气温是9 ℃，海拔5 km高空的气温是-15 ℃，那么海拔2 km，4 km和8 km高空的气温各是多少
解:设从海平面到10 km高空气温成等差数列{an}(1≤n≤10，n∈N)，公差为d，则a1=9，a5=-15，所以d===-6，
所以an=-6n+15，所以a2=9-6=3，a4=-6×4+15=-9，a8=-6×8+15=-33，
所以海拔2 km高空的气温是3 ℃，海拔4 km高空的气温是-9 ℃，海拔8 km高空的气温是-33 ℃.
课时检测
04
1
3
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5
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10
11
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14
15
2
1.已知等差数列{an}递增且满足a1+ a8=6，则a6的取值范围是 ( )
A.(-∞，3) B.(3，6)
C.(3，+∞) D.(6，+∞)
√
16
解析:因为{an}为等差数列，设公差为d，因为数列{an}递增，所以d>0，所以a1+ a8= a3+ a6=2a6-3d=6，则2a6-6=3d>0，解得a6>3，故选C.
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2
3
4
2.已知数列{an}为等差数列，且a1+a5+a9=π，则cos(a2+a8)= ( )
A.- B.-
C. D.
√
15
16
解析:因为a1+a5+a9=π，所以3a5=π，解得a5=.由等差数列的性质知a2+a8=a1+a9=2a5，所以cos(a2+a8)=cos 2a5=cos =-.
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3.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则b2 024= ( )
A.4 044 B.4 046
C.4 048 D.4 050
√
15
16
解析:设数列{bn}的公差为d1，由题意可知，b1=a1，b5=a2，b5-b1=a2-a1=8=4d1，故d1=2，故bn=2n，则b2 024=2 024×2=4 048.
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3
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2
4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 ( )
A.1升 B.升
C.升 D.升
√
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解析:设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，由条件得即解得所以a5=a1+4d=.
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2
5.在等差数列{an}中，已知a3与a9是方程2x2-x+m=0的两根，则=( )
A. B. C. D.
√
15
16
解析:因为a3与a9是方程2x2-x+m=0的两根，由根与系数的关系得a3+a9=，
又数列{an}为等差数列，所以a1+a11=a2+a10=a3+a9=…=2a6=，a6=，所以=====.
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4
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6.将2至2 024这2 023个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是 ( )
A.132 B.133 C.134 D.135
15
16
解析:设所求数列为{an}，该数列为11，26，41，56，…，所以数列{an}为等差数列，且首项为a1=11，公差为d=26-11=15，所以an=a1+
(n-1)d=11+15(n-1)=15n-4，则2≤an≤2 024，即2≤15n-4≤2 024，解得≤n≤135，则满足≤n≤135的正整数n的个数为135，因此该数列共有135项.
√
1
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3
4
2
7.[多选]在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9是数列{an}的项，则k的值可能为( )
A.1 B.3
C.5 D.7
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√
√
√
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解析:由题意得，插入k(k∈N*)个数，则a1=b1，a2=bk+2，a3=b2k+3，a4=b3k+4，…. 所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且角标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，所以an=b1+(n-1)(k+1)，因为b9是数列{an}的项，所以令1+(n-1)(k+1)=9，n∈N*，k∈N*，当n=2时，解得k=7，当n=3时，解得k=3，当n=5时，解得k=1，故k的值可能为1，3，7.
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8.(5分)各项都为正数的等差数列{an}中，2a3-+2a11=0，则a5+a9=___.
解析:因为{an}为各项都为正数的等差数列，又2a3-+2a11=0，所以4a7-=0，即a7=4，所以a5+a9=2a7=8.
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9.(5分)已知等差数列{an}满足a5=2，a11=11，则-=______.
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解析:法一 设数列首项为a1，公差为d，则解得所以a8=a1+7d=-4+=，a2=a1+d=-4+=-，故-=-==36.
法二 因为a5+a8=a2+a11，则a8-a2=a11-a5=9，因此-=(a8-a2)(a8+a2)=9×2a5=36.
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10.(5分)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为-8，则这四个数为____________________.
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-2，0，2，4
解析:设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差为2d)，依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8，即a=1，a2-9d2=-8，所以d2=1，所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4.
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11.(5分)已知数列{an}满足a1=15，且3=3an-2.则ak·<0的k值为___.
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解析:因为3an+1=3an-2，所以-an=-，所以数列{an}是首项为15，公差为-的等差数列，所以an=15-(n-1)=-n+.令an=-n+>0，得n<23.5.又k∈N*，所以使ak·<0的k值为23.
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12.在如表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行、每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是________.
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解析:记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52=x，a41=y.
由第3行得a33=，由第3列得a33=2×103-2x，所以2x+y=113 ①.
由第1列得a21=3y，则由第2行得a23=2×74-3y，由第3列得a33+103=a23+2x，则a23=3×103-4x，所以2×74-3y=3×103-4x，即4x-3y=161 ②，
联立①②，得x=50，y=13，所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172，a13=2a33-a53=112，a14==142.
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13.(5分)某城市的绿化建设有如下统计数据:
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年份 2021 2022 2023 2024
绿化覆盖率/% 17.0 17.8 18.6 19.4
如果以后的几年继续依此速度发展绿化，则至少到_______年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%.(填年份)
2030
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解析:由表中数据可知，每年的绿化覆盖率成等差数列，设为{an}，则a1=17，公差d=17.8-17=0.8，故通项公式为an=a1+(n-1)d=17+0.8·
(n-1)=0.8n+16.2，令0.8n+16.2>23.4，解得n>9，2 021+9=2 030.故至少到2030年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%.
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14.(10分)已知{an}为等差数列，且a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24.
(1)求a20的值；(3分)
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解:因为a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24，所以a3=6，a4=8，则公差d=2，
所以a20=a3+17d=40.
(2)若bn=an-，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.(7分)
解:由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)×2=2n，所以bn=×2n-=3n-.
由bn>0，即3n->0，得n>，所以数列{bn}从第7项开始大于0.
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15.(10分)已知无穷等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=-5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2；(4分)
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解:数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列.
因为a1=3，d=-5，所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n.
数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，所以b1=a3=-7，b2=a7=-27.
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(2)求{bn}的通项公式；(4分)
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解:设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn=am，则m=3+4(n-1)=4n-1，所以bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n，即{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N*).
(3){bn}中的第506项是{an}中的第几项 (2分)
解:由(2)得m=4n-1=4×506-1=2 023，
即{bn}中的第506项是{an}中的第2 023项.
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16.(10分)已知正项数列{an}满足a1=1，+=2，且a4-a2=.
(1)求数列{}的通项公式；(4分)
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解:由已知得-=-，所以数列{}是等差数列，设其公差为d.由a4-a2=，得-=2.
所以2d=2，即d=1，所以=+(n-1)d=n.
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(2)求满足不等式+1<2an的正整数n的最小值.(6分)
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解:由an>0，得an=，所以原不等式可化为+1<2，两边平方可得n+6+2<4n，
即2<3n-6，所以4(n+5)<(3n-6)2，整理得(n-4)(9n-4)>0，解得n>4或n<.所以正整数n的最小值为5.课时检测(三十一) 等差数列的性质及应用
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.已知等差数列{an}递增且满足a1+ a8=6,则a6的取值范围是 ( )
A.(-∞,3) B.(3,6)
C.(3,+∞) D.(6,+∞)
2.已知数列{an}为等差数列,且a1+a5+a9=π,则cos(a2+a8)= ( )
A.- B.-
C. D.
3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},则b2 024= ( )
A.4 044 B.4 046
C.4 048 D.4 050
4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 ( )
A.1升 B.升
C.升 D.升
5.在等差数列{an}中,已知a3与a9是方程2x2-x+m=0的两根,则= ( )
A. B.
C. D.
6.将2至2 024这2 023个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列,则此数列的项数是 ( )
A.132 B.133
C.134 D.135
7.[多选]在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9是数列{an}的项,则k的值可能为 ( )
A.1 B.3
C.5 D.7
8.(5分)各项都为正数的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,则a5+a9= .
9.(5分)已知等差数列{an}满足a5=2,a11=11,则-= .
10.(5分)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,则这四个数为 .
11.(5分)已知数列{an}满足a1=15,且3=3an-2.则ak·<0的k值为 .
12.(5分)在如表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数,使得每一行、每一列都成等差数列,问标有*号的空格应填的数是 .
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13.(5分)某城市的绿化建设有如下统计数据:
年份 2021 2022 2023 2024
绿化覆盖率/% 17.0 17.8 18.6 19.4
如果以后的几年继续依此速度发展绿化,则至少到 年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%.(填年份)
14.(10分)已知{an}为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24.
(1)求a20的值;(3分)
(2)若bn=an-,试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.(7分)
15.(10分)已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2;(4分)
(2)求{bn}的通项公式;(4分)
(3){bn}中的第506项是{an}中的第几项 (2分)
16.(10分)已知正项数列{an}满足a1=1,+=2,且a4-a2=.
(1)求数列{}的通项公式;(4分)
(2)求满足不等式+1<2an的正整数n的最小值.(6分)
课时检测(三十一)
1．选C 因为{an}为等差数列，设公差为d，因为数列{an}递增，所以d>0，所以a1＋ a8＝ a3＋ a6＝2a6－3d＝6，则2a6－6＝3d>0，解得a6>3，故选C.
2．选A 因为a1＋a5＋a9＝π，所以3a5＝π，解得a5＝.由等差数列的性质知a2＋a8＝a1＋a9＝2a5，所以cos(a2＋a8)＝cos 2a5＝cos ＝－.
3．选C 设数列{bn}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5－b1＝a2－a1＝8＝4d1，故d1＝2，故bn＝2n，则b2 024＝2 024×2＝4 048.
4．选B 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，
由条件得
即解得
所以a5＝a1＋4d＝.
5．选B 因为a3与a9是方程2x2－x＋m＝0的两根，由根与系数的关系得a3＋a9＝，
又数列{an}为等差数列，所以a1＋a11＝a2＋a10＝a3＋a9＝…＝2a6＝，a6＝，
所以log4(a1＋a2＋…＋a11)＝log411a6＝log4＝2log4＝2log2＝.
6．选D 设所求数列为{an}，该数列为11,26,41,56，…，所以数列{an}为等差数列，且首项为a1＝11，公差为d＝26－11＝15，所以an＝a1＋(n－1)d＝11＋15(n－1)＝15n－4，则2≤an≤2 024，即2≤15n－4≤2 024，解得≤n≤135，则满足≤n≤135的正整数n的个数为135，因此该数列共有135项．
7．选ABD 由题意得，插入k(k∈N*)个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，…. 所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1)，因为b9是数列{an}的项，所以令1＋(n－1)(k＋1)＝9，n∈N*，k∈N*，当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1，故k的值可能为1,3,7.
8．解析：因为{an}为各项都为正数的等差数列，又2a3－a＋2a11＝0，所以4a7－a＝0，即a7＝4，所以a5＋a9＝2a7＝8.
答案：8
9．解析：设数列首项为a1，公差为d，则解得所以a8＝a1＋7d＝－4＋＝，a2＝a1＋d＝－4＋＝－，故a－a＝2－2＝＝36.
答案：36
10．解析：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
答案：－2,0,2,4
11．解析：因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－(n－1)＝－n＋.令an＝－n＋＞0，得n＜23.5.又k∈N*，所以使ak·ak＋1＜0的k值为23.
答案：23
12．解析：记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52＝x，a41＝y.
由第3行得a33＝，由第3列得a33＝2×103－2x，所以2x＋y＝113 ①.
由第1列得a21＝3y，则由第2行得a23＝2×74－3y，由第3列得a33＋103＝a23＋2x，则a23＝3×103－4x，所以2×74－3y＝3×103－4x，即4x－3y＝161 ②，
联立①②，得x＝50，y＝13，所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172，a13＝2a33－a53＝112，a14＝＝142.
答案：142
13．解析：由表中数据可知，每年的绿化覆盖率成等差数列，设为{an}，则a1＝17，公差d＝17.8－17＝0.8，故通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝17＋0.8·(n－1)＝0.8n＋16.2，令0.8n＋16.2>23.4，解得n>9,2 021＋9＝2 030.故至少到2030年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%.
答案：2030
14．解：(1)因为a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24，所以a3＝6，a4＝8，则公差d＝2，
所以a20＝a3＋17d＝40.
(2)由(1)得an＝a3＋(n－3)d＝6＋(n－3)×2＝2n，所以bn＝×2n－＝3n－.
由bn>0，即3n－>0，得n>，
所以数列{bn}从第7项开始大于0.
15．解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列．
(1)因为a1＝3，d＝－5，
所以an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.
数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，
所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，
即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，所以bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n，
即{bn}的通项公式为bn＝13－20n(n∈N*)．
(3)由(2)得m＝4n－1＝4×506－1＝2 023，
即{bn}中的第506项是{an}中的第2 023项．
16．解：(1)由已知得a－a＝a－a，所以数列{a}是等差数列，设其公差为d.
由a4－a2＝，得a－a＝2.所以2d＝2，即d＝1，所以a＝a＋(n－1)d＝n.
(2)由an＞0，得an＝，
所以原不等式可化为＋1＜2，
两边平方可得n＋6＋2＜4n，
即2＜3n－6，所以4(n＋5)＜(3n－6)2，整理得(n－4)(9n－4)＞0，解得n＞4或n＜.所以正整数n的最小值为5.
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