4.2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程,掌握等差数列前n项和公式.
2.理解并应用等差数列前n项和的性质,能利用前n项和公式的性质求一些基本量.
1.数列前n项和的概念
一般地,对于数列{an},把 称为数列{an}的前n项和,记作Sn.
2.等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式
|微|点|助|解|
(1)公式Sn=反映了等差数列的性质,任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和.
(2)由公式Sn=na1+d知d=0时,Sn=na1;d≠0时,等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”.
(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.
3.等差数列前n项和的常见性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 .
(2)若Sn,S2n,S3n,…分别为等差数列{an}的前n项,前2n项,前3n项,…和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为 .
(3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=.
(4)若等差数列的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇= ,=(S奇≠0).
(5)若等差数列的项数为2n+1,则=(2n+1)an+1(an+1是数列的中间项),S偶-S奇=-an+1,= (S奇≠0).
(6)在等差数列中,若Sn=m,Sm=n,则=-(m+n).
[提醒] 上述性质可用于小题,大题中要先证再用.性质(2)不要误解为Sn,S2n,S3n,…成等差数列.
基础落实训练
1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=-2,则前10项和S10= ( )
A.-20 B.-40
C.-60 D.-80
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于 ( )
A.72 B.54
C.36 D.18
3.已知等差数列{an},若a2=10,a5=1,则{an}的前7项的和是 ( )
A.112 B.51
C.28 D.18
题型(一) 等差数列前n项和的基本运算
[例1] (1)已知{an}为等差数列,公差d=2,前n项和为Sn,an=11,Sn=35,求a1,n;
(2)在等差数列{an}中,已知a2+a5=19,S5=40,求a10.
听课记录:
[变式拓展]
本例(1)中,将“d=2”改为“a1=3”,其他条件不变,求n和公差d.
|思|维|建|模|
等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值
(2)利用等差数列的性质解题
[针对训练]
1.等差数列{an}前n项和为Sn,公差d=-2,S3=21,则a1的值为 ( )
A.10 B.9
C.6 D.5
2.(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7= ( )
A.-2 B.
C.1 D.
题型(二) 等差数列前n项和的性质及应用
[例2] 在项数为2n+1的等差数列中,若所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n= ( )
A.9 B.10
C.11 D.12
[例3] 已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}前3m项的和S3m.
听课记录:
|思|维|建|模|
等差数列前n项和运算的几种思维方法
(1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解.
(2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算.
(3)利用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列进行求解.
[针对训练]
3.等差数列{an}共有2n+1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n等于 .
4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2 023,-=6,则S2 025= .
题型(三) 等差数列前n项和公式的应用
[例4] 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
听课记录:
[变式拓展]
若本例中 Sn=2n2-3n变为Sn=2n2-3n-1,该如何求解
|思|维|建|模|
由Sn求得通项公式an的特点
若Sn是关于n的二次函数,不含常数项,则由Sn求得an,知数列{an}是等差数列;否则an=数列{an}不是等差数列.
[针对训练]
5.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是 .
6.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=-n2+13n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列为等差数列.
第1课时 等差数列的前n项和
?课前预知教材
1．a1＋a2＋…＋an
2．Sn＝ Sn＝na1＋d
3．(1) (2)n2d (4)nd (5)
[基础落实训练]
1．选D 由公式Sn＝na1＋d得S10＝10×1＋×(－2)＝－80.
2．选A 由a4＝18－a5，可得a4＋a5＝18，所以S8＝＝4(a4＋a5)＝4×18＝72，故选A.
3．选C 由题意知，解得则S7＝7a1＋d＝28，故选C.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)由题设可得
解得或
(2)由题设可得
即解得
故a10＝2＋3×(10－1)＝29.
[变式拓展]
解：由
得解得
[针对训练]
1．选B ∵S3＝21，∴3a1＋d＝21，∴a1＋d＝7，∵d＝－2，∴a1＝9.
2．选D 设等差数列{an}的公差为d，由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1，得a1＋4d＝，所以a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝，故选D.
[题型(二)]
[例2] 选B 根据等差数列前n项和的性质可得＝＝，解得n＝10.
[例3] 解：在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列，
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
[针对训练]
3．解析：因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10.
答案：10
4．解析：由等差数列的性质可得数列也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 024d＝－2 023＋2 024＝1，所以S2 025＝1×2 025＝2 025.
答案：2 025
[题型(三)]
[例4] 解：当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，
所以数列{an}是等差数列．
[变式拓展]
解：∵Sn＝2n2－3n－1 ①，
当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2，
当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1 ②，
①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5，
经检验当n＝1时，a1＝－2不满足上式，故an＝故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第2项起以4为公差的等差数列．
[针对训练]
5．解析：∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，
∴λ＝－1.
答案：－1
6．解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝12；当n≥2时，∵Sn＝13n－n2，∴Sn－1＝13(n－1)－(n－1)2，∴an＝Sn－Sn－1＝14－2n(n≥2，n∈N*)．当n＝1时，a1＝14－2＝12满足上式，故{an}的通项公式为an＝14－2n.
(2)证明：设bn＝＝13－n，其中b1＝12，
∴bn＋1＝13－(n＋1)＝12－n.∴bn＋1－bn＝12－n－13＋n＝－1，即数列是首项为12，公差为－1的等差数列．
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4.2.3
等差数列的前n项和
等差数列的前n项和
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列前n项和公式.
2.理解并应用等差数列前n项和的性质，能利用前n项和公式的性质求一些基本量.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.数列前n项和的概念
一般地，对于数列{an}，把_______________称为数列{an}的前n项和，记作Sn.
2.等差数列的前n项和公式
a1+a2+…+an
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 ___________ ______________
Sn=
Sn=na1+d
|微|点|助|解|
(1)公式Sn=反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和.
(2)由公式Sn=na1+d知d=0时，Sn=na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”.
(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.
3.等差数列前n项和的常见性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为____.
(2)若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项，…和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…也成等差数列，公差为_____.
(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=.
(4)若等差数列的项数为2n，则S2n=n(an+an+1)，S偶-S奇=___，=(S奇≠0).
(5)若等差数列的项数为2n+1，则=(2n+1)an+1(an+1是数列的中间项)，S偶-S奇=-an+1，=_______(S奇≠0).
(6)在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则=-(m+n).
[提醒] 上述性质可用于小题，大题中要先证再用.性质(2)不要误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列.
nd
基础落实训练
1.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=-2，则前10项和S10= ( )
A.-20 B.-40
C.-60 D.-80
解析:由公式Sn=na1+d得S10=10×1+×(-2)=-80.
√
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于 ( )
A.72 B.54
C.36 D.18
√
解析:由a4=18-a5，可得a4+a5=18，所以S8==4(a4+a5)=
4×18=72，故选A.
3.已知等差数列{an}，若a2=10，a5=1，则{an}的前7项的和是 ( )
A.112 B.51
C.28 D.18
√
解析:由题意知，解得则S7=7a1+d=28，故选C.
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 等差数列前n项和的基本运算
[例1] (1)已知{an}为等差数列，公差d=2，前n项和为Sn，an=11，Sn=35，求a1，n；
解:由题设可得
解得或
(2)在等差数列{an}中，已知a2+a5=19，S5=40，求a10.
解:由题设可得
即解得
故a10=2+3×(10-1)=29.
变式拓展
解:法一 由得解得
法二 ∵a1=3，an=11，Sn=35，∴35==7n，即n=5.
又11=3+(5-1)d，∴d=2.
本例(1)中，将“d=2”改为“a1=3”，其他条件不变，求n和公差d.
|思|维|建|模|
等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值
(2)利用等差数列的性质解题
针对训练
1.等差数列{an}前n项和为Sn，公差d=-2，S3=21，则a1的值为 ( )
A.10 B.9
C.6 D.5
√
解析:法一 ∵S3=21，∴3a1+d=21，∴a1+d=7，∵d=-2，∴a1=9.
法二 S3=21，∴3a2=21，∴a2=7，∵a1=a2-d，∴a1=9.故选B.
2.(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7= ( )
A.-2 B.
C.1 D.
√
解析:法一 设等差数列{an}的公差为d，由S9=9a1+d=9(a1+4d)=1，得a1+4d=，所以a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=2(a1+4d)=，故选D.
法二 因为{an}为等差数列，所以S9==9a5=1，得a5=，所以a3+a7=2a5=，故选D.
法三 令公差d=0，则S9=9a1=1，解得a1=，所以a3+a7=2a1=.
题型(二) 等差数列前n项和的性质及应用
[例2] 在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n= ( )
A.9 B.10
C.11 D.12
√
解析:根据等差数列前n项和的性质可得
==，解得n=10.
[例3] 已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}前3m项的和S3m.
解:法一 在等差数列中，∵Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列，
∴30，70，S3m-100成等差数列，∴2×70=30+(S3m-100)，∴S3m=210.
法二 在等差数列中，成等差数列，
∴=+.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.∴S3m=210.
|思|维|建|模|
等差数列前n项和运算的几种思维方法
(1)整体思路:利用公式Sn=，设法求出整体a1+an，再代入求解.
(2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数，设Sn=An2+Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设=an+b(a≠0)进行计算.
(3)利用Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列进行求解.
针对训练
3.等差数列{an}共有2n+1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于_____.
10
解析:因为等差数列共有2n+1项，所以S奇-S偶=an+1=，即132-120=，解得n=10.
4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2 023，-=6，则S2 025
=_______.
2 025
解析:由等差数列的性质可得数列也为等差数列.设其公差为d，则-=6d=6，所以d=1.故=+2 024d=-2 023+2 024=1，所以S2 025=1×2 025=2 025.
题型(三) 等差数列前n项和公式的应用
[例4] 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
解:当n=1时，a1=S1=-1；当n≥2时，an=Sn-=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5，经检验，当n=1时，a1=-1满足上式，故an=4n-5.
数列{an}是等差数列，证明如下:
因为-an=4(n+1)-5-4n+5=4，所以数列{an}是等差数列.
变式拓展
若本例中 Sn=2n2-3n变为Sn=2n2-3n-1，该如何求解
解:∵Sn=2n2-3n-1 ①，
当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2，
当n≥2时，=2(n-1)2-3(n-1)-1 ②，
①-②得an=Sn-=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5，
经检验当n=1时，a1=-2不满足上式，故an=故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第2项起以4为公差的等差数列.
|思|维|建|模|
由Sn求得通项公式an的特点
若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an=数列{an}不是等差数列.
针对训练
5.已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=(n+1)2+λ，则λ的值是____.
-1
解析:∵Sn=n2+2n+1+λ，∴1+λ=0，∴λ=-1.
解:当n=1时，S1=a1=12；当n≥2时，∵Sn=13n-n2，∴Sn-1=13(n-1)-(n-1)2，∴an=Sn-Sn-1=14-2n(n≥2，n∈N*).当n=1时，a1=14-2=12满足上式，故{an}的通项公式为an=14-2n.
6.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=-n2+13n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证:数列为等差数列.
解:证明:设bn==13-n，其中b1=12，∴bn+1=13-(n+1)=12-n.∴bn+1-bn=12-n-13+n=-1，即数列是首项为12，公差为-1的等差数列.
课时检测
03
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2
1.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=(n+1)2+λ，则λ的值是 ( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
√
解析:等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn，所以λ=-1.
1
5
6
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2
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4
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=17，S17=340，则数列{an}的公差是 ( )
A.-4 B.-3
C. D.3
√
15
解析:因为S17===17a9=340，所以a9=20，又a8=17，所以d=a9-a8=20-17=3.故选D.
1
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3
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2
3.已知等差数列{an}中，a1=1，Sn为{an}的前n项和，S5=5S3-5，则S4= ( )
A.4 B.-2
C.3 D.-1
√
15
解析:记等差数列{an}的公差为d，则S5=5a1+10d=5(3a1+3d)-5，整理得2a1+d-1=0，又a1=1，所以d=-1，所以S4=4×1+×(-1)=-2.故选B.
1
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3
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2
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9= ( )
A.27 B.45
C.81 D.18
√
15
解析:由等差数列{an}，得S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，可得2(S6-S3)= S3+S9-S6，即2×(36-9)=9+ S9-S6，解得S9-S6=45，即a7+a8+a9=45.故选B.
1
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5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5=5，a1+S11=67，则a3a12是{an}中的 ( )
A.第30项 B.第36项
C.第48项 D.第60项
√
15
解析:设公差为d，则解得所以an=n，则a3a12=3×12=36，令an=36，则n=36，所以a3a12是{an}中的第36项.故选B.
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3
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2
6.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=( )
A. B. C. D.
15
解析:由已知得=，可设Sn=kn(3n+5)，Tn=kn(4n+6)，则a7=S7-S6=182k-138k=44k，b8=T8-T7=304k-238k=66k，即==，故选A.
√
1
5
6
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8
9
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3
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2
7.[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=2，an+1+an=3n，则( )
A.a4=5 B.S20=300
C.S31=720 D.n为奇数时，Sn=
15
√
√
√
1
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3
4
2
解析:由an+1+an=3n，则an+2+an+1=3(n+1)，两式作差，得an+2-an=3，a1=1，当n为奇数时，{an}是首项为1，公差为3的等差数列，即an=n-；a2=2，当n为偶数时，{an}是首项为2，公差为3的等差数列，即an=n-1.所以a4=a2+3=5，A正确；S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)
=+=300，B正确；S31=(a1+a3+…+a31)+(a2+a4+…+a30)
=+=721，C错误；n为奇数时，Sn=+
=+=，D正确.故选ABD.
15
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3
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2
8.(5分)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3=2，且S6=30，则S9=______.
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126
解析:由已知可得解得∴S9=9a1+d=-90+36×6=126.
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9.(5分)等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且=3，则=___.
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解析:由等差数列性质可得==3，解得=.
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10.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y=2x-3的图象上，则数列{an}的通项公式an=_______.
15
4n-5
解析:依题意得=2n-3，即Sn=2n2-3n，所以数列{an}为等差数列，且a1=S1=-1，a2=S2-S1=3，设其公差为d，则d=4，所以an=4n-5(n∈N*).
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11.(5分)已知数列{an}中，a1=1，a2=2，对任意正整数n，-an=
2+cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100=_______.
15
5 050
解析:当n为奇数时，-an=1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列；当n为偶数时，-an=3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，所以S100=(a1+a3+…+a99)+
(a2+a4+…+a100)=50×1+×1+50×2+×3=5 050.
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12.(5分)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且+4an-8Sn=0，则an=______.
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4n
解析:因为+4an-8Sn=0 ①，所以当n=1时，+4a1-8S1=0，即+4a1-8a1=0，所以-4a1=0，解得a1=0或a1=4.又因为数列{an}的各项均为正数，所以a1=4.当n≥2时，+4an-1-8Sn-1=0 ②，
①-②，得(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
又因为数列{an}的各项均为正数，所以an-an-1-4=0，即an-an-1=4，所以数列{an}是等差数列，所以an=4+(n-1)×4=4n.
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13.(10分)在等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式；(5分)
15
解:设等差数列{an}的公差为d，由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2.从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.(5分)
解:由(1)可知an=3-2n，所以Sn==2n-n2.
由Sk=-35，可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0，
解得k=7或k=-5.又k∈N*，故k=7.
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14.(15分)已知在各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn满足Sn=(an+2)2.
(1)求证:数列{an}是等差数列；(7分)
15
解:证明:由Sn=(an+2)2，得Sn+1=(an+1+2)2，
所以an+1=Sn+1-Sn=(an+1+2)2-(an+2)2，整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0.
因为an+an+1>0，所以an+1-an=4，即数列{an}为等差数列.
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(2)若bn=an-30，求数列{bn}的前n项和Tn.(8分)
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解:因为S1=(a1+2)2，所以a1=(a1+2)2，解得a1=2，
所以an=2+4(n-1)=4n-2，所以bn=an-30=(4n-2)-30=2n-31.
因为bn+1-bn=2，所以{bn}为等差数列.
又b1=-29，所以Tn===n2-30n.
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15.(15分)已知公差不为0的等差数列{an}，=a1a13，a3+a6+a9=153.记bn=[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.7]=0，[1.9]=1.
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
15
解:设等差数列{an}的公差为d，则=a1(a1+12d)，又a3+a9=2a6，故3a6=153，即a6=51，所以a1+5d=51，解得d=10或d=0(舍去)，a1=1，所以数列{an}的通项公式为an=1+10(n-1)=10n-9.
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(2)求数列{bn}前101项和.(9分)
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解:由题意得bn=[lg an]=[lg(10n-9)]，令an=10n-9≥1 000得n≥100.9，
令an=10n-9≥100，解得n≥10.9，令an=10n-9≥10，解得n≥1.9.
当n=1时，a1=10n-9=1，故b1=[lg a1]=0，
当2≤n≤10时，bn=[lg an]=1，
当11≤n≤100时，bn=[lg an]=2，当n=101时，bn=[lg an]=3，
设{bn}的前n项和为Tn，所以T101=0×1+1×9+2×90+3=192.课时检测(三十二) 等差数列的前n项和
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是 ( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a8=17,S17=340,则数列{an}的公差是 ( )
A.-4 B.-3
C. D.3
3.已知等差数列{an}中,a1=1,Sn为{an}的前n项和,S5=5S3-5,则S4= ( )
A.4 B.-2
C.3 D.-1
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9= ( )
A.27 B.45
C.81 D.18
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=5,a1+S11=67,则a3a12是{an}中的 ( )
A.第30项 B.第36项
C.第48项 D.第60项
6.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则= ( )
A. B.
C. D.
7.[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,an+1+an=3n,则 ( )
A.a4=5 B.S20=300
C.S31=720 D.n为奇数时,Sn=
8.(5分)已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a3=2,且S6=30,则S9= .
9.(5分)等差数列{an},{bn}前n项和分别为Sn,Tn,且=3,则= .
10.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N*)均在函数y=2x-3的图象上,则数列{an}的通项公式an= .
11.(5分)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,对任意正整数n,-an=2+cos nπ,Sn为{an}的前n项和,则S100= .
12.(5分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且+4an-8Sn=0,则an= .
13.(10分)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;(5分)
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.(5分)
14.(15分)已知在各项均为正数的数列{an}中,前n项和Sn满足Sn=(an+2)2.
(1)求证:数列{an}是等差数列;(7分)
(2)若bn=an-30,求数列{bn}的前n项和Tn.(8分)
15.(15分)已知公差不为0的等差数列{an},=a1a13,a3+a6+a9=153.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.7]=0,[1.9]=1.
(1)求数列{an}的通项公式;(6分)
(2)求数列{bn}前101项和.(9分)
课时检测(三十二)
1．选B 等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，所以λ＝－1.
2．选D 因为S17＝＝＝17a9＝340，所以a9＝20，又a8＝17，所以d＝a9－a8＝20－17＝3.故选D.
3．选B 记等差数列{an}的公差为d，则S5＝5a1＋10d＝5(3a1＋3d)－5，整理得2a1＋d－1＝0，又a1＝1，所以d＝－1，所以S4＝4×1＋×(－1)＝－2.故选B.
4．选B 由等差数列{an}，得S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，可得2(S6－S3)＝ S3＋S9－S6，即2×(36－9)＝9＋ S9－S6，解得S9－S6＝45，即a7＋a8＋a9＝45.故选B.
5．选B 设公差为d，
则
解得所以an＝n，则a3a12＝3×12＝36，令an＝36，则n＝36，所以a3a12是{an}中的第36项．故选B.
6．选A 由已知得＝，可设Sn＝kn(3n＋5)，Tn＝kn(4n＋6)，则a7＝S7－S6＝182k－138k＝44k，b8＝T8－T7＝304k－238k＝66k，即＝＝，故选A.
7．选ABD 由an＋1＋an＝3n，则an＋2＋an＋1＝3(n＋1)，两式作差，得an＋2－an＝3，a1＝1，当n为奇数时，{an}是首项为1，公差为3的等差数列，即an＝n－；a2＝2，当n为偶数时，{an}是首项为2，公差为3的等差数列，即an＝n－1.所以a4＝a2＋3＝5，A正确；S20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝＋＝300，B正确；S31＝(a1＋a3＋…＋a31)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝＋＝721，C错误；
n为奇数时，Sn＝＋＝＋＝，D正确．故选ABD.
8．解析：由已知可得解得∴S9＝9a1＋d＝－90＋36×6＝126.
答案：126
9．解析：由等差数列性质可得＝＝3，
解得＝.
答案：
10．解析：依题意得＝2n－3，即Sn＝2n2－3n，所以数列{an}为等差数列，且a1＝S1＝－1，a2＝S2－S1＝3，设其公差为d，则d＝4，所以an＝4n－5(n∈N*)．
答案：4n－5
11．解析：当n为奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列；当n为偶数时，an＋2－an＝3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50×1＋×1＋50×2＋×3＝5 050.
答案：5 050
12．解析：因为a＋4an－8Sn＝0 ①，所以当n＝1时，a＋4a1－8S1＝0，即a＋4a1－8a1＝0，所以a－4a1＝0，解得a1＝0或a1＝4.又因为数列{an}的各项均为正数，所以a1＝4.当n≥2时，a＋4an－1－8Sn－1＝0 ②，
①－②，得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
又因为数列{an}的各项均为正数，所以an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4，所以数列{an}是等差数列，所以an＝4＋(n－1)×4＝4n.
答案：4n
13．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.
由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.
14．解：(1)证明：由Sn＝(an＋2)2，得Sn＋1＝(an＋1＋2)2，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝(an＋1＋2)2－(an＋2)2，
整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0.
因为an＋an＋1>0，
所以an＋1－an＝4，即数列{an}为等差数列．
(2)因为S1＝(a1＋2)2，
所以a1＝(a1＋2)2，解得a1＝2，
所以an＝2＋4(n－1)＝4n－2，所以bn＝an－30＝(4n－2)－30＝2n－31.
因为bn＋1－bn＝2，所以{bn}为等差数列．
又b1＝－29，所以Tn＝＝＝n2－30n.
15．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋12d)，又a3＋a9＝2a6，故3a6＝153，即a6＝51，所以a1＋5d＝51，解得d＝10或d＝0(舍去)，a1＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝1＋10(n－1)＝10n－9.
(2)由题意得bn＝[lg an]＝[lg(10n－9)]，令an＝10n－9≥1 000得n≥100.9，
令an＝10n－9≥100，解得n≥10.9，令an＝10n－9≥10，解得n≥1.9.
当n＝1时，a1＝10n－9＝1，故b1＝[lg a1]＝0，
当2≤n≤10时，bn＝[lg an]＝1，
当11≤n≤100时，bn＝[lg an]＝2，当n＝101时，bn＝[lg an]＝3，
设{bn}的前n项和为Tn，所以T101＝0×1＋1×9＋2×90＋3＝192.
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