第2课时 等差数列的前n项和的应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
构造等差数列求和模型,解决实际问题.能够利用等差数列的前n项和的函数性质求其前n项和的最值.
题型(一) 等差数列前n项和的实际应用
[例1] 某车间全年共生产2 250个零件,又已知1月生产了105个零件,每月生产零件的个数按等差数列递增.平均每月比前一个月多生产多少个零件 12月生产多少个零件
听课记录:
|思|维|建|模|
应用等差数列解决实际问题的一般思路
建 模 根据题设条件,建立数列模型:①分析实际问题的结构特征;②找出所含元素的数量关系;③确定为何种数学模型
解 模 利用相关的数列知识加以解决:①分清首项、公差、项数等;②分清是an还是Sn问题;③选用适当的方法求解
还 原 把数学问题的解客观化,针对实际问题的约束条件合理修正,使其成为实际问题的解
[针对训练]
1.老张为锻炼身体,增强体质,计划从下个月1号开始慢跑,第一天跑步3公里,以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用20天跑完98公里,则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为 ( )
A.8 B.9
C.13 D.14
题型(二) 等差数列前n项和的最值问题
(1)等差数列前n项和公式的函数特征
由Sn=na1+d=dn2+n,当d≠0时,Sn是关于n的二次函数,且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A≠0);当d=0时,Sn=na1,Sn是关于n的一次函数.
(2)等差数列前n项和的最值
①若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.
②若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.
特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最大值.
[例2] 在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值.
听课记录:
[变式拓展]
1.在本例中,根据第(2)题的结果,若Sn=0,求n.
2.将本例变为:等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大
|思|维|建|模|
等差数列前n项和的最值问题的三种解法
(1)利用an:当a1>0,d<0时,前n项和有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.
(2)利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0),利用二次函数配方法求取得最值时n的值.
(3)利用二次函数的图象的对称性.
[针对训练]
2.[多选]设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0且S6=S9,则 ( )
A.d>0
B.a8=0
C.S7或S8为Sn的最大值
D.S5>S6
题型(三) 求数列{|an|}的前n项和
[例3] 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn.
听课记录:
|思|维|建|模|
由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧
常先由Sn的最值判断出哪些项为正,哪些项为负或先求出an,解an≥0得n的取值范围判断出哪些项为正,哪些项为负.
(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.
(2)若前k项为负,从k+1项开始以后的项非负,则{|an|}的前n项和Tn=
(3)若前k项为正,以后各项非正,则Tn=
(4)也可以分别求出an≥0与an<0的和再相减求出|an|的和.
[针对训练]
3.已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2+1,若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,则T30= ( )
A.578 B.579
C.580 D.581
第2课时 等差数列的前n项和的应用
[题型(一)]
[例1] 解：设每个月生产的零件数成等差数列{an}(1≤n≤12)，Sn为{an}的前n项和，且a1＝105，S12＝2 250，设公差为d(d>0)，则S12＝12a1＋＝2 250，
即12×105＋＝2 250，解得d＝15，所以a12＝a1＋(12－1)d＝105＋11×15＝270，即平均每月比前一个月多生产15个零件，12月生产270个零件．
[针对训练]
1．选B 由已知可得这20天日跑步量成等差数列，记为{an}，设其公差为d，前n项和为Sn，且a1＝3，则S20＝20a1＋d，即20×3＋d＝98，解得d＝，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)·＝＋.由an>5，得＋>5，解得n>11，所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20－11＝9，故选B.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意得
解得∴an＝3n－12.
(2)Sn＝＝(3n2－21n)＝2－，
∴当n＝3或4时，前n项和取得最小值，
最小值为S3＝S4＝－18.
[变式拓展]
1．解：因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知，其对称轴为x＝，所以当x＝0和x＝7时，图象与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N*，所以S7＝0，所以n＝7.
2．解：要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn＝an2＋bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大．由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.
从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，又a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大．
[针对训练]
2．选BC a1＞0且S6＝S9，∴6a1＋d＝9a1＋d，化为a1＋7d＝0，可得a8＝0，d＜0.S7或S8为Sn的最大值，S5＜S6.故选BC.
[题型(三)]
[例3] 解：a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104.
由an＝－3n＋104≥0得n≤34，
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
①当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n.
②当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2－＝n2－n＋3 502.
故Tn＝
[针对训练]
3．选B 当n＝1时，a1＝S1＝14，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝15－2n(n≥2)，经检验n＝1时，不成立，故得到an＝令an<0，则15－2n<0，解得n>，且n≥2，n∈N*.当n≤7时，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＋1＝(14－n)n＋1；当n≥8时，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ a1＋…＋a7－(a8＋a9＋…＋an)＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝100－(14n－n2＋1)＝n2－14n＋99.故Tn＝
T30＝579.故选B.
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等差数列的前n项和的应用
[教学方式:拓展融通课 ——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
构造等差数列求和模型，解决实际问题.能够利用等差数列的前n项和的函数性质求其前n项和的最值.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 等差数列前n项和的实际应用
题型(二) 等差数列前n项和的最值问题
课时检测
4
题型(三) 求数列{|an|}的前n项和
题型(一) 等差数列前n项和的实
际应用
01
[例1] 某车间全年共生产2 250个零件，又已知1月生产了105个零件，每月生产零件的个数按等差数列递增.平均每月比前一个月多生产多少个零件 12月生产多少个零件
解:设每个月生产的零件数成等差数列{an}(1≤n≤12)，Sn为{an}的前n项和，且a1=105，S12=2 250，设公差为d(d>0)，则S12=12a1+=2 250，
即12×105+=2 250，解得d=15，所以a12=a1+(12-1)d=105+11×15=270，
即平均每月比前一个月多生产15个零件，12月生产270个零件.
|思|维|建|模| 应用等差数列解决实际问题的一般思路
建模 根据题设条件，建立数列模型:①分析实际问题的结构特征；
②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数学模型
解模 利用相关的数列知识加以解决:①分清首项、公差、项数等；
②分清是an还是Sn问题；③选用适当的方法求解
还原 把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解
针对训练
1.老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用20天跑完98公里，则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为 ( )
A.8 B.9
C.13 D.14
√
解析:由已知可得这20天日跑步量成等差数列，记为{an}，设其公差为d，前n项和为Sn，且a1=3，则S20=20a1+d，即20×3+d
=98，解得d=，所以an=a1+(n-1)d=3+(n-1)·=+.由an>5，得+>5，解得n>11，所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20-11=9，故选B.
题型(二) 等差数列前n项和的最值问题
02
(1)等差数列前n项和公式的函数特征
由Sn=na1+d=dn2+n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn=An2+Bn(A≠0)；当d=0时，Sn=na1，Sn是关于n的一次函数.
(2)等差数列前n项和的最值
①若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.
②若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值.
[例2] 在等差数列{an}中，a10=18，前5项的和S5=-15.
(1)求数列{an}的通项公式；
解:设等差数列{an}的公差为d，
由题意得
解得∴an=3n-12.
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值.
解:法一 Sn==(3n2-21n)=-，
∴当n=3或4时，前n项和取得最小值，最小值为S3=S4=-18.
法二 设Sn最小，则
即解得3≤n≤4，
又n∈N*，∴当n=3或4时，前n项和取得最小值，最小值为S3=S4=-18.
变式拓展
1.在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn=0，求n.
解:法一 因为S3=S4=-18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知，其对称轴为x=，所以当x=0和x=7时，图象与x轴的交点为(0，0)，(7，0)，又n∈N*，所以S7=0，所以n=7.
法二 因为S3=S4，所以a4=S4-S3=0，故S7=×7×(a1+a7)=7a4=0，所以n=7.
2.将本例变为:等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3=S11，则当n为多少时，Sn最大
解:法一 要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn=an2+bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大.由S3=S11，可得3a1+d=11a1+d，即d=-a1.
从而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1，又a1>0，所以-<0.故当n=7时，Sn最大.
法二 由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数，由S3=S11，可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称.由法一可知a=-<0，故当n=7时，Sn最大.
|思|维|建|模| 等差数列前n项和的最值问题的三种解法
(1)利用an:当a1>0，d<0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an+1≤0，求得n的值；当a1<0，d>0时，前n项和有最小值，可由an≤0且an+1≥0，求得n的值.
(2)利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n的值.
(3)利用二次函数的图象的对称性.
针对训练
2.[多选]设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0且S6=S9，则 ( )
A.d>0
B.a8=0
C.S7或S8为Sn的最大值
D.S5>S6
√
√
解析:a1>0且S6=S9，∴6a1+d=9a1+d，化为a1+7d=0，可得a8=0，d<0.S7或S8为Sn的最大值，S5
题型(三) 求数列{|an|}的前n项和
03
[例3] 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解:a1=S1=-×12+×1=101.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-3n+104.∵n=1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104.由an=-3n+104≥0得n≤34，
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
法一 ①当n≤34时，
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n.
②当n≥35时，Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=2-=n2-n+3 502.
故Tn=
法二 ①当n≤34时，同法一.
②当n≥35时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)
=-=n2-n+3 502.故Tn=
|思|维|建|模|
由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧
常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出an，解an≥0得n的取值范围判断出哪些项为正，哪些项为负.
(1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解.
(2)若前k项为负，从k+1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn=
(3)若前k项为正，以后各项非正，则Tn=
(4)也可以分别求出an≥0与an<0的和再相减求出|an|的和.
针对训练
3.已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2+1，若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，则T30= ( )
A.578 B.579
C.580 D.581
√
解析:当n=1时，a1=S1=14，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=15-2n(n≥2)，经检验n=1时，不成立，故得到an=令an<0，则15-2n<0，解得n>，且n≥2，n∈N*.当n≤7时，Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
a1+a2+a3+…+an=+1=(14-n)n+1；当n≥8时，Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= a1+…+a7-(a8+a9+…+an)=S7-(Sn-S7)=2S7-Sn=100-(14n-n2+1)=n2-14n+99.故Tn=T30=579.故选B.
课时检测
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1.等差数列{an}中，d=2，S3=-24，其前n项和Sn取最小值时n的值为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.5或6
√
解析:由d=2，S3=3a1+3d=-24，得a1=-10.令an=-10+(n-1)×2=0，解得n=6，所以a6=0.从而S5=S6均为最小值.
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2.已知等差数列{an}是无穷数列，若a1A.无最大值，有最小值 B.有最大值，无最小值
C.有最大值，有最小值 D.无最大值，无最小值
√
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解析:由数列{an}为等差数列，且a10，故数列{an}为递增数列，且a1<0，所以Sn有最小值，无最大值.
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3.某中学募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款2 250元，他们第1天只得到10元，之后采取了积极的措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多20元，则这次募捐活动共进行的天数为 ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
√
15
解析:由题意可知，募捐款构成了一个以10元为首项，20元为公差的等差数列，设共募捐了n天，则2 250=10n+×20，解得n=15.
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4.若数列{an}满足an+1=an+2，且a3+a10=4，那么数列{an}的前n项和Sn的最小值是 ( )
A.S1 B.S5 C.S6 D.S11
√
15
解析:根据an+1=an+2，可得an+1-an=2，所以数列{an}是公差为2的等差数列，再由a3+a10=2a1+11d=4，可得a1=-9，所以an=2n-11，Sn=-9n
+×2=n2-10n=(n-5)2-25，所以前n项和Sn取得最小值时，n=5.故选B.
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5.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=11，a5=3，则 ( )
A.S5=35 B.an=13-2n
C.|an|的最小值为0 D.Sn的最大值为36
√
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解析:设等差数列{an}的公差为d，则a5=a1+4d=11+4d=3，解得d=-2.
S5=5a1+d=5×11+10×(-2)=35，A正确；an=a1+(n-1)d=11-2(n-1)
=13-2n，B正确；|an|=|13-2n|=故当n=6或n=7时，|an|取最小值1，C错误；Sn=na1+=11n-n(n-1)=-n2+12n=-(n-6)2+36，故当n=6时，Sn取得最大值36，D正确.故选ABD.
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6.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，n>(n+1)Sn(n∈N*)，且<-1，则在Sn中( )
A.最小值是S7 B.最小值是S8
C.最大值是S8 D.最大值是S7
15
解析:由n>(n+1)Sn，得>，即->0.而-=，所以d>0.因为<-1，所以<0，即a7(a7+a8)<0.由于d>0，因此数列{an}是递增数列，所以a7<0，a7+a8>0，所以a7<0，a8>0，所以在Sn中最小值是S7.
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7.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为 ( )
A.9 B.10 C.19 D.29
15
解析:钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个，∴钢管总数为1+2+3+…+n
=.当n=19时，S19=190.当n=20时，S20=210>200.∴当n=19时，剩余钢管根数最少，剩余根数为10.
√
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8.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S8=-556，an+2-an=6，则 ( )
A.an=3n-83
B.{Sn}中的最小值为S28
C.使Sn<0的n的最大值为52
D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=37
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解析:依题意，等差数列{an}的公差d==3，由S8=-556，得8a1+28×3=-556，解得a1=-80，数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=3n-83，A正确；显然等差数列{an}是递增数列，且a27<0，a28>0，则{Sn}中的最小值为S27，B错误；又Sn==，由Sn<0，得015
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9.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n，第k项满足515
7
解析:当n=1时，a1=S1=-5；当n≥2时，=(n-1)2-6(n-1)=n2-8n+7，an=Sn-=2n-7，当n=1时，a1=-5符合上式，所以{an}的通项公式为an=2n-7，所以ak=2k-7.由5<2k-7<8，解得61
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10.(5分)某人在银行贷款60万元，贷款时间为5年，若个人贷款月利率为4 ‰，按照等额本金方式(利息部分=(贷款总额-已归还本金累计额)×月利率)进行还款，则第一年支付给银行的利息共________万元.
15
2.616
解析:由题可得，从第一个月开始，每月应还本金为=1万元，
每月应还的利息依次为60×0.004=0.24，0.24-1×0.004，0.24-2×0.004，…，即满足首项为0.24，公差为-0.004的等差数列，
则S12=12a1+d=2.616，故第一年支付给银行的利息共2.616万元.
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11.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=-3，S5=-10，则a5=_____，Sn的最小值为_______.
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-10
解析:设数列{an}的公差为d.∵a2=a1+d=-3，S5=5a1+10d=-10，∴a1=
-4，d=1，∴a5=a1+4d=0，∴an=a1+(n-1)d=n-5.令an<0，则n<5，即数列{an}中前4项为负，a5=0，第6项及以后为正.∴Sn的最小值为S4=S5=-10.
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12.(5分)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，则k的值为_____.
15
20
解析:设等差数列{an}的公差为d，
由解得
∴Sn=na1+=39n-n(n-1)=-n2+40n=-(n-20)2+400.∴当n=20时，Sn取得最大值.由对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，则Sk为数列{Sn}的最大值，因此，k=20.
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13.(10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3=11，S8=64.
(1)求数列{an}的通项公式；(4分)
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解:设{an}的公差为d，
则
∴an=17-2n.
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(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.(6分)
15
解:Sn==-n2+16n，令an=17-2n>0 n<8.5，
当n≤8时，an>0，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+16n，
当n≥9时，an<0，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a8-(a9+…+an)=S8-(Sn- S8)=2S8-Sn=2(-82+16×8)-(-n2+16n)=n2-16n+128.
综上所述，Tn=
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14.(10分)设等差数列的前n项和为Sn.已知a3=12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；(6分)
15
解:依题意得
即由a3=12，得a1+2d=12 ③.
将③分别代入①②，得解得-1
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(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由.(4分)
15
解:由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an+1<0，则Sn最大.
由于S12=6(a6+a7)>0，S13=13a7<0，可得a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大.
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15.(15分)某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同公顷数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同公顷数的土地沙化，具体情况如下表所示:
而一旦植完，则不会被沙化.
15
2022年 2023年 2024年
新植公顷数 1 000 1 400 1 800
沙地公顷数 25 200 24 000 22 400
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(1)每年沙化的土地公顷数为多少 (7分)
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解:依题意，每年比上一年多造林400公顷，
其中2023年新植1 400公顷，
故当年沙地应为25 200-1 400=23 800公顷，
而实际沙地面积为24 000公顷，
所以2023年沙化土地面积为24 000-23 800=200公顷，同理可得2024年沙化土地面积也为200公顷.所以每年沙化的土地面积为200公顷.
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(2)到哪一年可绿化完全部荒沙地 (8分)
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解:设2024年及其以后各年的造林面积分别为a1，a2，a3，…，an，则an=1 800+(n-1)×400=400n+1 400，所以n年造林的面积总和为Sn=1 800n+×400，
由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷，依题意可得Sn-200n≥24 000，化简得n2+7n-120≥0，解得n≥8.
故8年，即到2031年可绿化完全部荒沙地.课时检测(三十三) 等差数列的前n项和的应用
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.等差数列{an}中,d=2,S3=-24,其前n项和Sn取最小值时n的值为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.5或6
2.已知等差数列{an}是无穷数列,若a1A.无最大值,有最小值
B.有最大值,无最小值
C.有最大值,有最小值
D.无最大值,无最小值
3.某中学募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动,共收到捐款2 250元,他们第1天只得到10元,之后采取了积极的措施,从第2天起,每一天收到的捐款都比前一天多20元,则这次募捐活动共进行的天数为 ( )
A.13 B.14
C.15 D.16
4.若数列{an}满足an+1=an+2,且a3+a10=4,那么数列{an}的前n项和Sn的最小值是 ( )
A.S1 B.S5
C.S6 D.S11
5.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=11,a5=3,则 ( )
A.S5=35 B.an=13-2n
C.|an|的最小值为0 D.Sn的最大值为36
6.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,n>(n+1)Sn(n∈N*),且<-1,则在Sn中 ( )
A.最小值是S7 B.最小值是S8
C.最大值是S8 D.最大值是S7
7.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为 ( )
A.9 B.10
C.19 D.29
8.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S8=-556,an+2-an=6,则 ( )
A.an=3n-83
B.{Sn}中的最小值为S28
C.使Sn<0的n的最大值为52
D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=37
9.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,第k项满足510.(5分)某人在银行贷款60万元,贷款时间为5年,若个人贷款月利率为4 ‰,按照等额本金方式(利息部分=(贷款总额-已归还本金累计额)×月利率)进行还款,则第一年支付给银行的利息共 万元.
11.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 .
12.(5分)设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,则k的值为 .
13.(10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=11,S8=64.
(1)求数列{an}的通项公式;(4分)
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.(6分)
14.(10分)设等差数列的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;(6分)
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.(4分)
15.(15分)某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,每年比上一年多植相同公顷数的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同公顷数的土地沙化,具体情况如下表所示:
2022年 2023年 2024年
新植公顷数 1 000 1 400 1 800
沙地公顷数 25 200 24 000 22 400
而一旦植完,则不会被沙化.
(1)每年沙化的土地公顷数为多少 (7分)
(2)到哪一年可绿化完全部荒沙地 (8分)
课时检测(三十三)
1．选D 由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10.令an＝－10＋(n－1)×2＝0，解得n＝6，所以a6＝0.从而S5＝S6均为最小值．
2．选A 由数列{an}为等差数列，且a1＜a2＜0，得公差d＝a2－a1＞0，故数列{an}为递增数列，且a1＜0，所以Sn有最小值，无最大值．
3．选C 由题意可知，募捐款构成了一个以10元为首项，20元为公差的等差数列，设共募捐了n天，则2 250＝10n＋×20，解得n＝15.
4．选B 根据an＋1＝an＋2，可得an＋1－an＝2，所以数列{an}是公差为2的等差数列，再由a3＋a10＝2a1＋11d＝4，可得a1＝－9，所以an＝2n－11，Sn＝－9n＋×2＝n2－10n＝(n－5)2－25，所以前n项和Sn取得最小值时，n＝5.故选B.
5．选ABD 设等差数列{an}的公差为d，则a5＝a1＋4d＝11＋4d＝3，解得d＝－2.S5＝5a1＋d＝5×11＋10×(－2)＝35，A正确；an＝a1＋(n－1)d＝11－2(n－1)＝13－2n，B正确；|an|＝|13－2n|＝故当n＝6或n＝7时，|an|取最小值1，C错误；Sn＝na1＋＝11n－n(n－1)＝－n2＋12n＝－(n－6)2＋36，故当n＝6时，Sn取得最大值36，D正确．故选ABD.
6．选A 由nSn＋1>(n＋1)Sn，得>，即－>0.而－＝，所以d>0.因为<－1，所以<0，即a7(a7＋a8)<0.由于d>0，因此数列{an}是递增数列，所以a7<0，a7＋a8>0，所以a7<0，a8>0，所以在Sn中最小值是S7.
7．选B 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个，∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，剩余根数为10.
8．选AD 依题意，等差数列{an}的公差d＝＝3，由S8＝－556，得8a1＋28×3＝－556，解得a1＝－80，数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝3n－83，A正确；显然等差数列{an}是递增数列，且a27<0，a28>0，则{Sn}中的最小值为S27，B错误；又Sn＝＝，由Sn<0，得09．解析：当n＝1时，a1＝S1＝－5；
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)＝n2－8n＋7，an＝Sn－Sn－1＝2n－7，当n＝1时，a1＝－5符合上式，所以{an}的通项公式为an＝2n－7，所以ak＝2k－7.由5＜2k－7＜8，解得6＜k＜7.5.因为k为正整数，所以k＝7.
答案：7
10．解析：由题可得，从第一个月开始，每月应还本金为＝1万元，
每月应还的利息依次为60×0.004＝0.24,0.24－1×0.004,0.24－2×0.004，…，
即满足首项为0.24，公差为－0.004的等差数列，
则S12＝12a1＋d＝2.616，故第一年支付给银行的利息共2.616万元．
答案：2.616
11．解析：设数列{an}的公差为d.∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，∴a1＝－4，d＝1，∴a5＝a1＋4d＝0，∴an＝a1＋(n－1)d＝n－5.令an<0，则n<5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正．∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10.
答案：0 －10
12．解析：设等差数列{an}的公差为d，由
解得∴Sn＝na1＋＝39n－n(n－1)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴当n＝20时，Sn取得最大值．由对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，则Sk为数列{Sn}的最大值，因此，k＝20.
答案：20
13．解：(1)设{an}的公差为d，
则
∴an＝17－2n.
(2)Sn＝＝－n2＋16n，
令an＝17－2n>0 n<8.5，
当n≤8时，an>0，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋16n，
当n≥9时，an<0，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a8－(a9＋…＋an)＝S8－(Sn－ S8)＝2S8－Sn＝2(－82＋16×8)－(－n2＋16n)＝n2－16n＋128.
综上所述，Tn＝
14．解：(1)依题意得
即由a3＝12，得a1＋2d＝12 ③.
将③分别代入①②，得
解得－(2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大．
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
15．解：(1)依题意，每年比上一年多造林400公顷，其中2023年新植1 400公顷，
故当年沙地应为25 200－1 400＝23 800公顷，而实际沙地面积为24 000公顷，
所以2023年沙化土地面积为24 000－23 800＝200公顷，同理可得2024年沙化土地面积也为200公顷．所以每年沙化的土地面积为200公顷．
(2)设2024年及其以后各年的造林面积分别为a1，a2，a3，…，an，则an＝1 800＋(n－1)×400＝400n＋1 400，所以n年造林的面积总和为Sn＝1 800n＋×400，
由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷，依题意可得Sn－200n≥24 000，化简得n2＋7n－120≥0，解得n≥8.
故8年，即到2031年可绿化完全部荒沙地．
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