4.3.1+4.3.2 第2课时 等比数列的性质及应用(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册

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名称 4.3.1+4.3.2 第2课时 等比数列的性质及应用(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册
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资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-29 20:46:45

文档简介

第2课时 等比数列的性质及应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
进一步理解等比数列,能根据等比数列的定义推出等比数列的性质.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.掌握等比数列的综合应用问题.
题型(一) 等比数列的性质
对称性 对有穷等比数列,与首末两端“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1an=a2an-1=a3an-2=…=am·an-m+1(n>m且n,m∈N*); 特别地:(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an; (2)若m,p,n(m,p,n∈N*)成等差数列,则am,ap,an成等比数列
子数列 (1)对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为q; (2)若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk; (3)连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列
合成数列 (1)若{an}是等比数列,公比为q,则数列{λan}(λ≠0),,{}都是等比数列,且公比分别是q,,q2; (2)若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,那么{anbn}与也都是等比数列,公比分别为pq和
                
[例1] 已知{an}为等比数列,
(1)若{an}满足a2a4=,求a1a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
听课记录:
|思|维|建|模|
等比数列的运算常用的两条思路
(1)根据已知条件,寻找、列出两个方程,确定a1,q,然后求其他;
(2)利用性质巧解,其中m+n=k+l=2s(m,n,k,l,s∈N*) am·an=ak·al=.
  [针对训练]
1.在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=36,则a2a14= (  )
A.6 B.9
C.±6 D.±9
2.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则+++的值为 (  )
A.20 B.10
C.5 D.
题型(二) 等比数列项的设法与求解
[例2] 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且首末两数的和是16,中间两数的和是12.求这四个数.
听课记录:
  [变式拓展]
若将本例中“和是16”改为“积是-128”,将“和是12”改为“积是16”,如何求解
|思|维|建|模|
在解决与等比数列有关的项的设法时常用的规律
  对称设元法:一般地,连续奇数个项成等比数列,可设为…,,x,xq,…;连续偶数个项成等比数列,可设为…,,,xq,xq3,…(此时公比q2>0,并不适合所有情况),这样既可以减少未知量的个数,也使得解方程较为方便.
  [针对训练]
3.三个互不相等的数构成等差数列,如果适当排列这三个数,又可构成等比数列,这三个数的和为6,求这三个数.
题型(三) 等比数列的实际应用
[例3] 某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值;
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱
听课记录:
|思|维|建|模|
解等比数列应用题的步骤
(1)审题:解决数列应用题的关键是读懂题意;
(2)建立数学模型:将实际问题转化为等比数列的问题;
(3)解数学模型:注意隐含条件,数列中n的值是正整数;
(4)还原:即最后转化为实际问题作出回答.
  [针对训练]
4.某公司的月销售额近几年下跌严重,从某年的6月销售额128万元,到8月跌至32万元,你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗 若按此计算,什么时候月销售额跌至8万元
第2课时 等比数列的性质及应用
[题型(一)]
[例1] 解:(1)等比数列{an}中,∵a2a4=,∴a=a1a5=a2a4=,∴a1aa5=.
(2)由等比中项,化简条件得a+2a3a5+a=25,即(a3+a5)2=25,
∵an>0,∴a3+a5=5.
(3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]=log395=10.
[针对训练]
1.选A 因为a5a7a9a11= a=36,所以a=6(舍负),所以a2a14=a=6.故选A.
2.选B 在等比数列{an}中,由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2.所以+++=+===10.故选B.
[题型(二)]
[例2] 解:从前三个数入手,设这四个数依次为a-d,a,a+d,,
由条件得
解得或
当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;
当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
[变式拓展]
解:设这四个数依次为-aq,,aq,aq3(q≠0).
则由已知得
由①得a2=16,∴a=4或a=-4.由②得2a2q2-a2q4=-128.
将a2=16代入整理,得q4-2q2-8=0,解得q2=4或q2=-2(舍去),∴q=2或q=-2.∴所求四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32.
[针对训练]
3.解:由已知,可设这三个数为a-d,a,a+d,d≠0,则a-d+a+a+d=6,即a=2,这三个数可表示为2-d,2,2+d.①若2-d为2和2+d的等比中项,
则(2-d)2=2(2+d),解得d=6或d=0(舍去),此时这三个数为-4,2,8.②若2+d为2-d和2的等比中项,则(2+d)2=2(2-d),解得d=-6或d=0(舍去),此时这三个数为8,2,-4.③若2为2-d和2+d的等比中项,则22=(2+d)(2-d),解得d=0(舍去).综上,这三个数为-4,2,8.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an,
由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),
a3=13.5(1-10%)2,….
由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,
首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9,
∴an=a1·qn-1=13.5×(0.9)n-1.
∴n年后车的价值为an+1=13.5×(0.9)n万元.
(2)由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元),∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元.
[针对训练]
4.解:设每月平均下降的百分比为x,则每月的销售额构成了等比数列{an},且a1=128,
则a2=a1(1-x),a3=a1(1-x)2=128(1-x)2=32,解得x=50%.设an=8,即an=128(1-50%)n-1=8,解得n=5,即从该年6月算起第5个月,也就是在该年的10月,该公司的月销售额跌至8万元.
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等比数列的性质及应用
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第2课时
课时目标
进一步理解等比数列,能根据等比数列的定义推出等比数列的性质.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.掌握等比数列的综合应用问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 等比数列的性质
题型(二) 等比数列项的设法与求解
题型(三) 等比数列的实际应用
4
课时检测
题型(一) 等比数列的性质
01
对称性 对有穷等比数列,与首末两端“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1an=a2an-1=a3an-2=…=am·an-m+1(n>m且n,m∈N*);
特别地:(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an;
(2)若m,p,n(m,p,n∈N*)成等差数列,则am,ap,an成等比数列
子数列
续表
合成数列
[例1] 已知{an}为等比数列,
(1)若{an}满足a2a4=,求a1a5;
解:等比数列{an}中,∵a2a4=,∴=a1a5=a2a4=,∴a1a5=.
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
解:由等比中项,化简条件得+2a3a5+=25,即(a3+a5)2=25,
∵an>0,∴a3+a5=5.
解:由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10.
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
|思|维|建|模|
等比数列的运算常用的两条思路
(1)根据已知条件,寻找、列出两个方程,确定a1,q,然后求其他;
(2)利用性质巧解,其中m+n=k+l=2s(m,n,k,l,s∈N*) am·an=ak·al=.
针对训练
1.在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=36,则a2a14= (  )
A.6 B.9
C.±6 D.±9

解析:因为a5a7a9a11= =36,所以=6(舍负),所以a2a14==6.故选A.
2.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则+++的值为(  )
A.20 B.10
C.5 D.

解析:在等比数列{an}中,由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2.所以+++=+===10.故选B.
题型(二) 等比数列项的设法与求解
02
[例2] 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且首末两数的和是16,中间两数的和是12.求这四个数.
解:法一 从前三个数入手,设这四个数依次为a-d,a,a+d,,
由条件得解得或
当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;
当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二 从后三个数入手,设这四个数依次为-a,,a,aq(q≠0),
由条件得解得或
当q=2,a=8时,所求四个数为0,4,8,16;
当q=,a=3时,所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法三 从首末两项的和与中间两项的和入手,
设这四个数依次为x,y,12-y,16-x,
由已知得
解得或
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
变式拓展
若将本例中“和是16”改为“积是-128”,将“和是12”改为“积是16”,如何求解
解:设这四个数依次为-aq,,aq,aq3(q≠0).则由已知得由①得a2=16,∴a=4或a=-4.由②得2a2q2-a2q4=-128.将a2=16代入整理,得q4-2q2-8=0,解得q2=4或q2=-2(舍去),∴q=2或q=-2.∴所求四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32.
|思|维|建|模|
在解决与等比数列有关的项的设法时常用的规律
  对称设元法:一般地,连续奇数个项成等比数列,可设为…,,x,xq,…;连续偶数个项成等比数列,可设为…,,xq,xq3,…
(此时公比q2>0,并不适合所有情况),这样既可以减少未知量的个数,也使得解方程较为方便.
解:由已知,可设这三个数为a-d,a,a+d,d≠0,则a-d+a+a+d=6,即a=2,这三个数可表示为2-d,2,2+d.①若2-d为2和2+d的等比中项,
则(2-d)2=2(2+d),解得d=6或d=0(舍去),此时这三个数为-4,2,8.②若2+d为2-d和2的等比中项,则(2+d)2=2(2-d),解得d=-6或d=0(舍去),此时这三个数为8,2,-4.③若2为2-d和2+d的等比中项,则22=(2+d)(2-d),解得d=0(舍去).综上,这三个数为-4,2,8.
针对训练
3.三个互不相等的数构成等差数列,如果适当排列这三个数,又可构成等比数列,这三个数的和为6,求这三个数.
题型(三) 等比数列的实际应用
03
[例3] 某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值;
解:从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an,
由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1-10%)2,….
由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,
首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9,∴an=a1·qn-1=13.5×(0.9)n-1.
∴n年后车的价值为an+1=13.5×(0.9)n万元.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱
解:由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元),
∴用满4年时卖掉这辆车,
大概能得到8.9万元.
|思|维|建|模|
解等比数列应用题的步骤
(1)审题:解决数列应用题的关键是读懂题意;
(2)建立数学模型:将实际问题转化为等比数列的问题;
(3)解数学模型:注意隐含条件,数列中n的值是正整数;
(4)还原:即最后转化为实际问题作出回答.
针对训练
4.某公司的月销售额近几年下跌严重,从某年的6月销售额128万元,到8月跌至32万元,你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗 若按此计算,什么时候月销售额跌至8万元
解:设每月平均下降的百分比为x,则每月的销售额构成了等比数列{an},且a1=128,则a2=a1(1-x),a3=a1(1-x)2=128(1-x)2=32,解得x=50%.设an=8,即an=128(1-50%)n-1=8,解得n=5,
即从该年6月算起第5个月,也就是在该年的10月,该公司的月销售额跌至8万元.
课时检测
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1.等比数列{an}中,若a2a6+=π,则a3a5等于(  )
A. B.
C. D.

解析:∵a2a6==a3a5,∴a3a5=.
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2.生物学指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H1→H2→H3这个生物链中,若能使H3获得10 kJ的能量,则需H1提供的能量为 (  )
A.105 kJ B.104 kJ
C.103 kJ D.102 kJ

解析:设H1需提供的能量为a,由题意知,H2的能量为10%a,H3的能量为(10%)2a,即(10%)2a =10,解得a=103,所以要能使H3获得10 kJ的能量,则需H1提供的能量为103 kJ,故选C.
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3.若{an}为等比数列,则“a1A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

解析:若等比数列{an}是递增数列,可得a11
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4.在1与100之间插入n个正数,使这n+2个数成等比数列,则插入的n个数的积为 (  )
A.10n B.n10
C.100n D.n100

解析:设这n+2个数为a1,a2,…,an+1,an+2,则(a2·a3·…·an+1)2=
(a1·an+2)n=100n,∴a2·a3·…·an+1=10n.
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5.已知正项等比数列{an},满足a2··a2 024=16,则a1·a2·…·a1 021=(  )
A.41 021 B.21 021
C.41 022 D.21 022

解析:在正项等比数列{an}中, a2··a2 024=16,因为a2·a2 024=,所以=16,即 a9a1 013==4.所以a511=2.所以a1·a2·a3·…·
a1 021==21 021.故选B.
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6.[多选]已知等比数列{an}的公比q=-,等差数列{bn}的首项b1=9,若a7>b7且a8>b8,则以下结论正确的是(  )
A.a8>0 B.b8<0
C.a7>a8 D.b7>b8


解析:因为等比数列{an}的公比q=-,则a7=a1,a8=-a1,而a1的正负不确定,因此不能确定a7和a8的正负及大小关系,A、C错误;显然a7和a8异号,又a7>b7且a8>b8,则b7,b8中至少有一个是负数,而b1=9>0,于是等差数列{bn}的公差d<0,即数列{bn}递减,因此b7>b8,且b8<0,B、D正确.故选BD.
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7.[多选]已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,则(  )
A.S11=11π B.sin=
C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4



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解析:因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,所以a1+a6+a11=3a6=3π,即a6=π,b1b5b9==8,即b5=2.对于A,S11==11a6=11π,故A正确;对于B,a2+a10=2a6=2π,b4b6==4,所以sin=sin=1,故B错误;对于C,设等差数列{an}的公差为d,则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π,故C正确;对于D,由b5=2,得b3,b7>0,故b3+b7≥2=2=4,当且仅当b3=b7=2时等号成立,故D正确.
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8.(5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=____.
1
解析:设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,∴q===1.
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9.(5分)在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为______.
解析:设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得石,28石,28q石,∴+28+28q=98,解得q=2或q=.又01
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10.(5分)若数列a1,,…,,…,是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=_____.
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解析:由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=
(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4
=32.又a1=1,所以a5=32.
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11.(5分)我国生物科技发展日新月异,其中生物制药发展尤其迅速,某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发,并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少____年后每年投入的资金可达250万元以上(精确到1年.参考数据lg 1.2≈0.08,lg 5≈0.70)
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解析:由题知,某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发,并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%,满足等比数列模型,令a1=50,q=1.2,所以an=50×(1.2)n-1,令an=50×(1.2)n-1>250,所以(1.2)n-1>5,所以n-1>log1.25=≈=8.75,所以n>9.75,又因为n为正整数,所以n=10.故至少9年后每年投入的资金可达250万元以上.
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12.(5分)已知数列{an},{bn}满足bn=log2an(n∈N*).其中{bn}是等差数列,若a10a2 016=2,则b1+b2+…+b2 025=_______.
解析:∵{bn}为等差数列,设公差为d,则bn+1=log2an+1,bn=log2an,bn+1-bn=log2=d,则=2d,故{an}为等比数列,∴b1+b2 025=
log2a1+log2a2 025=log2(a1a2 025)=log2(a10a2 016)=1,∴b1+b2+…+b2 025
==.
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13.(10分)2024年,某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a,甲林场木材存量每年比上年递增25%,而乙林场木材存量每年比上年递减20%.
(1)求哪一年两林场木材的存量相等 (5分)
解:设经过n年两林场木材的存量相等,即16a(1+25%)n=25a(1-20%)n,解得n=1,故到2025年两林场木材的存量相等.
(2)问两林场木材的总量到2029年能否翻一番 (5分)
解:令n=5,则16a+25a<2(16a+25a),故到2029年不能翻一番.
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14.(15分)已知等比数列{an}的首项a1=16,公比q=,在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式;(7分)
解:由已知得,数列{bn}的首项b1=16,b5=a2=16×=1,
设数列{bn}的公比为q1(q1>0),则===,∴q1=,即bn=b1=16×=.
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(2)记数列{bn}前n项的乘积为Tn,试问Tn是否有最大值 如果有,请求出此时n的值以及最大值;若没有,请说明理由.(8分)
解:Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·= ==
=,即当n=4或n=5时,Tn有最大值=210=1 024.故Tn有最大值,为1 024,此时n的值为4或5.
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15.(15分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是一个等比数列的第2项,第3项,第4项.
(1)求数列{an}的通项公式;(5分)
解:由题意,得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,整理得2a1d=d2.又a1=1,d>0,所以d=2,an=2n-1.
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(2)设bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,是否存在最大的整数t,使得对任意的n均有Sn>成立 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.(10分)
解:bn==>0,所以数列{Sn}是递增数列,S1=b1=为Sn的最小值,
故>,t<9.又t为整数,所以适合条件的t的最大值为8.课时检测(三十五) 等比数列的性质及应用
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.等比数列{an}中,若a2a6+=π,则a3a5等于 (  )
A. B.
C. D.
2.生物学指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H1→H2→H3这个生物链中,若能使H3获得10 kJ的能量,则需H1提供的能量为 (  )
A.105 kJ B.104 kJ
C.103 kJ D.102 kJ
3.若{an}为等比数列,则“a1A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.在1与100之间插入n个正数,使这n+2个数成等比数列,则插入的n个数的积为 (  )
A.10n B.n10
C.100n D.n100
5.已知正项等比数列{an},满足a2··a2 024=16,则a1·a2·…·a1 021= (  )
A.41 021 B.21 021
C.41 022 D.21 022
6.[多选]已知等比数列{an}的公比q=-,等差数列{bn}的首项b1=9,若a7>b7且a8>b8,则以下结论正确的是 (  )
A.a8>0 B.b8<0
C.a7>a8 D.b7>b8
7.[多选]已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,则 (  )
A.S11=11π B.sin=
C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4
8.(5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=    .
9.(5分)在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为    .
10.(5分)若数列a1,,,…,,…,是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=    .
11.(5分)我国生物科技发展日新月异,其中生物制药发展尤其迅速,某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发,并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少     年后每年投入的资金可达250万元以上(精确到1年.参考数据lg 1.2≈0.08,lg 5≈0.70)
12.(5分)已知数列{an},{bn}满足bn=log2an(n∈N*).其中{bn}是等差数列,若a10a2 016=2,则b1+b2+…+
b2 025=      .
13.(10分)2024年,某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a,甲林场木材存量每年比上年递增25%,而乙林场木材存量每年比上年递减20%.
(1)求哪一年两林场木材的存量相等 (5分)
(2)问两林场木材的总量到2029年能否翻一番 (5分)
14.(15分)已知等比数列{an}的首项a1=16,公比q=,在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式;(7分)
(2)记数列{bn}前n项的乘积为Tn,试问Tn是否有最大值 如果有,请求出此时n的值以及最大值;若没有,请说明理由.(8分)
15.(15分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是一个等比数列的第2项,第3项,第4项.
(1)求数列{an}的通项公式;(5分)
(2)设bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,是否存在最大的整数t,使得对任意的n均有Sn>成立 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.(10分)
课时检测(三十五)
1.选C ∵a2a6=a=a3a5,∴a3a5=.
2.选C 设H1需提供的能量为a,由题意知,H2的能量为10%a,H3的能量为(10%)2a,即(10%)2a =10,解得a=103,所以要能使H3获得10 kJ的能量,则需H1提供的能量为103 kJ,故选C.
3.选B 若等比数列{an}是递增数列,可得a1<a3<a5一定成立;反之:例如数列{(-1)n+12n},此时满足a1<a3<a5,但数列{an}不是递增数列.所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要且不充分条件.
4.选A 设这n+2个数为a1,a2,…,an+1,an+2,则(a2·a3·…·an+1)2=(a1·an+2)n=100n,∴a2·a3·…·an+1=10n.
5.选B 在正项等比数列{an}中, a2·a·a2 024=16,因为a2·a2 024=a,所以(a9a1 013)2=16,即 a9a1 013=a=4.所以a511=2.所以a1·a2·a3·…·a1 021=a=21 021.故选B.
6.选BD 因为等比数列{an}的公比q=-,则a7=a1,a8=-a1,而a1的正负不确定,因此不能确定a7和a8的正负及大小关系,A、C错误;显然a7和a8异号,又a7>b7且a8>b8,则b7,b8中至少有一个是负数,而b1=9>0,于是等差数列{bn}的公差d<0,即数列{bn}递减,因此b7>b8,且b8<0,B、D正确.故选BD.
7.选ACD 因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,所以a1+a6+a11=3a6=3π,即a6=π,b1b5b9=b=8,即b5=2.对于A,S11==11a6=11π,故A正确;对于B,a2+a10=2a6=2π,b4b6=b=4,所以sin=sin=1,故B错误;对于C,设等差数列{an}的公差为d,则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π,故C正确;对于D,由b5=2,得b3,b7>0,故b3+b7≥2=2=4,当且仅当b3=b7=2时等号成立,故D正确.
8.解析:设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,
∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),
解得d=-1,∴q===1.
答案:1
9.解析:设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得石,28石,28q石,∴+28+28q=98,解得q=2或q=.又0答案:
10.解析:由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-,=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.
答案:32
11.解析:由题知,某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发,并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%,满足等比数列模型,令a1=50,q=1.2,所以an=50×(1.2)n-1,令an=50×(1.2)n-1>250,所以(1.2)n-1>5,所以n-1>log1.25=≈=8.75,所以n>9.75,又因为n为正整数,所以n=10.故至少9年后每年投入的资金可达250万元以上.
答案:9
12.解析:∵{bn}为等差数列,设公差为d,则bn+1=log2an+1,bn=log2an,bn+1-bn=log2=d,则=2d,故{an}为等比数列,∴b1+b2 025=log2a1+log2a2 025=log2(a1a2 025)=log2(a10a2 016)=1,∴b1+b2+…+b2 025==.
答案:
13.解:(1)设经过n年两林场木材的存量相等,即
16a(1+25%)n=25a(1-20%)n,解得n=1,
故到2025年两林场木材的存量相等.
(2)令n=5,则16a5+25a5<2(16a+25a),故到2029年不能翻一番.
14.解:(1)由已知得,数列{bn}的首项b1=16,b5=a2=16×=1,
设数列{bn}的公比为q1(q1>0),则==q=,∴q1=,即bn=b1q=16×n-1=25-n.
(2)Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·25-n=24+3+2+…+(5-n)=24n-=2-n2+n=2-2+,即当n=4或n=5时,Tn有最大值2-×2+=210=1 024.故Tn有最大值,为1 024,此时n的值为4或5.
15.解:(1)由题意,得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,整理得2a1d=d2.又a1=1,d>0,所以d=2,an=2n-1.
(2)bn==>0,所以数列{Sn}是递增数列,S1=b1=为Sn的最小值,故>,t<9.又t为整数,所以适合条件的t的最大值为8.
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