第2课时 等比数列的前n项和的应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.掌握等差数列与等比数列的综合应用.
题型(一) 等比数列前n项和的实际应用
[例1] 某家用电器一件现价2 000元,实行分期付款,每期付款数相同,每期为一月,购买后一个月开始付款,每月付款一次,共付12次,购买后一年还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少 (1.00812≈1.1)
听课记录:
|思|维|建|模|
应用等比数列解决实际问题的一般思路
(1)实际生活中的增长率问题,分期付款问题等都是等比数列问题;
(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型,利用知识求解.
[针对训练]
1.某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2024年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则:
(1)该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆
(2)到哪一年年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的
题型(二) 递推公式的实际应用
[例2] 某企业投资1 000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,问至少经过多少年,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标 (lg 2≈0.3)
听课记录:
|思|维|建|模|
理解题意,建立数列中an与an+1或an与an-1之间的关系,构造数列,确定数列的通项公式求解.
[针对训练]
2.某城市2024年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆
题型(三) 分组转化法求和
[例3] (2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前n项和.
听课记录:
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分组法求数列的前n项和的方法技巧
如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和,求其前n项和需要先分组再利用公式求和.
[针对训练]
3.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2+Sn(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=2n-1+a2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
第2课时 等比数列的前n项和的应用
[题型(一)]
[例1] 解：设每期应付款x元，则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)11，第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)10，…，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝x.
又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有x＝2 000×1.00812，解得x＝≈176(元)．
所以每期应付款176元．
[针对训练]
1．解：(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝.
∴2030年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×6＝1 458(辆)．
(2)设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝＝256×，由Sn＞(10 000＋Sn)×，即Sn＞5 000，解得n≥8.∴到2031年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
[题型(二)]
[例2] 解：设经过n年后，该项目的资金为an万元．
由题意得，an＝an－1(1＋25%)－200(n≥2)，
整理可得an－800＝(an－1－800)，
即{an－800}成一个等比数列，a1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050，a1－800＝250，
∴an－800＝250n－1，即an＝250n－1＋800，令an≥4 000，得n≥16，解得n≥12，即至少经过12年，该项目的资金可以达到或超过翻两番的目标．
[针对训练]
2．解：设每年新增汽车为b万辆，该城市第n年末的汽车保有量为an，
则容易得到an和an－1的递推关系为
an＝(1－6%)an－1＋b＝0.94an－1＋b(n≥2)，
即an－b＝0.94.
∴是以0.94为公比，以30－b为首项的等比数列．
∴an－b＝·0.94n－1，
即an＝b＋·0.94n－1.
①当30－b≥0，即b≤1.8时，an≤an－1≤…≤a1＝30.
②当30－b<0，即b>1.8时，an趋近于b，并且数列{an}为递增数列，因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，
即an≤60(n∈N*)，则b≤60，即b≤3.6.
综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆．
[题型(三)]
[例3] 解：(1)因为2Sn＝3an＋1－3，
所以2Sn＋1＝3an＋2－3，
两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1，即an＋2＝an＋1，所以等比数列{an}的公比为.
因为2S1＝3a2－3＝5a1－3，所以a1＝1，故an＝n－1.
(2)因为2Sn＝3an＋1－3，所以Sn＝(an＋1－1)＝.设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn＝×－n＝×n－n－.
[针对训练]
3．解：(1)因为数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N*)，
当n＝1时，a2＝2＋a1＝2＋2＝4，
当n≥2时，由an＋1＝2＋Sn可得an＝2＋Sn－1，上述两个等式作差可得an＋1－an＝an，可得an＋1＝2an，又因为a2＝2a1，
所以数列{an}为等比数列，且首项为2，公比为2，所以an＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)可得bn＝2n－1＋a2n＝2n－1＋4n，
所以Tn＝(1＋41)＋(3＋42)＋(5＋43)＋…＋[(2n－1)＋4n]＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(4＋42＋43＋…＋4n)＝＋＝n2＋.
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等比数列的前n项和的应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.掌握等差数列与等比数列的综合应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 等比数列前n项和的实际应用
题型(二) 递推公式的实际应用
题型(三) 分组转化法求和
4
课时检测
题型(一) 等比数列前n项和的实际应用
01
[例1] 某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少 (1.00812≈1.1)
解:设每期应付款x元，
则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)11，
第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)10，…，
第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x=x.
又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，
于是有x=2 000×1.00812，解得x=≈176(元).
所以每期应付款176元.
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应用等比数列解决实际问题的一般思路
(1)实际生活中的增长率问题，分期付款问题等都是等比数列问题；
(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型，利用知识求解.
针对训练
1.某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2024年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则:
(1)该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆
解:每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，
其中a1=128，q=.
∴2030年应投入的数量为a7=a1q6=128×=1 458(辆).
(2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的
解:设{an}的前n项和为Sn，则Sn==256×，由Sn>(10 000+Sn)×，即Sn>5 000，解得n≥8.
∴到2031年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
题型(二) 递推公式的实际应用
02
[例2] 某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问至少经过多少年，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标 (lg 2≈0.3)
解:设经过n年后，该项目的资金为an万元.
由题意得，an=an-1(1+25%)-200(n≥2)，整理可得an-800=(an-1-800)，
即{an-800}成一个等比数列，a1=1 000(1+25%)-200=1 050，a1-800=250，∴an-800=250，即an=250+800，令an≥4 000，得≥16，解得n≥12，即至少经过12年，该项目的资金可以达到或超过翻两番的目标.
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理解题意，建立数列中an与an+1或an与an-1之间的关系，构造数列，确定数列的通项公式求解.
针对训练
2.某城市2024年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆
解:设每年新增汽车为b万辆，该城市第n年末的汽车保有量为an，
则容易得到an和an-1的递推关系为an=(1-6%)an-1+b=0.94an-1+b(n≥2)，
即an-b=0.94.∴是以0.94为公比，以30-b为首项的等比数列.
∴an-b=·0.94n-1，即an=b+·0.94n-1.
①当30-b≥0，即b≤1.8时，an≤an-1≤…≤a1=30.
②当30-b<0，即b>1.8时，an趋近于b，
并且数列{an}为递增数列，因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，
即an≤60(n∈N*)，则b≤60，即b≤3.6.
综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.
题型(三) 分组转化法求和
03
[例3] (2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通项公式；
解:因为2Sn=3an+1-3，所以2Sn+1=3an+2-3，
两式相减可得2an+1=3an+2-3an+1，
即an+2=an+1，所以等比数列{an}的公比为.
因为2S1=3a2-3=5a1-3，所以a1=1，故an=.
(2)求数列{Sn}的前n项和.
解:因为2Sn=3an+1-3，所以Sn=(an+1-1)=.
设数列{Sn}的前n项和为Tn，
则Tn=×-n=×-n-.
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分组法求数列的前n项和的方法技巧
如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和，求其前n项和需要先分组再利用公式求和.
针对训练
3.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2+Sn(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
解:因为数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2+Sn(n∈N*)，
当n=1时，a2=2+a1=2+2=4，当n≥2时，由an+1=2+Sn可得an=2+，
上述两个等式作差可得an+1-an=an，可得an+1=2an，又因为a2=2a1，
所以数列{an}为等比数列，且首项为2，公比为2，所以an=2×2n-1=2n.
(2)若数列{bn}满足bn=2n-1+a2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解:由(1)可得bn=2n-1+a2n=2n-1+4n，
所以Tn=(1+41)+(3+42)+(5+43)+…+[(2n-1)+4n]=[1+3+5+…+(2n-1)]+
(4+42+43+…+4n)=+=n2+.
课时检测
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1.我国古代的数学名著《九章算术》中记载:“今有蒲生一日，长三尺，蒲生日自半”.其意为今有蒲草第一日长高3尺，以后蒲草每日长高前一日的半数，则蒲草第5日的高度为 ( )
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
√
解析:由题意，蒲草每日增长的高度成等比数列，等比数列的首项为3，公比为，蒲草第5日的高度为等比数列前5项和，S5==(尺).
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2.小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还 ( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
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解析:设每年应还x万元，则有x+x(1+P)+x(1+P)2+…+x(1+P)9=M(1+P)10，得 =M(1+P)10，解得x=.
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3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1，则数列{an}的前n项和为 ( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+n-2 D.2n+1+n2-2
√
解析:由题可知，设数列{an}的前n项和为Sn，所以Sn=a1+a2+…+an，即Sn=(2+22+…+2n)+(1+3+…+2n-1)，所以Sn=+，故Sn=2n+1-2+n2.
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4.有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是其上面一层的两倍，这座塔一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是 ( )
A.190 B.191
C.192 D.193
√
解析:设最上面一层有x盏，则第二层有2x盏，第三层有4x盏，第四层有8x盏，…，第七层有26x盏(层数从上面数).由题意知x+2x+4x+8x+
…+26x=x(1+2+22+23+…+26)==127x=381，∴x=3.故底层的盏数为26×3=192.
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5.某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活个数是 ( )
A.33 B.64 C.65 D.127
√
解析:将开始时的细胞个数记为a1=2，1小时后的细胞个数记为a2=3，2小时后的细胞个数记为a3=5，3小时后的细胞个数记为a4=9，…，由题意可得a1=2，当n≥2时，an=2an-1-1，则an-1=2(an-1-1)，所以数列{an-1}是以2为公比，1为首项的等比数列，所以an-1=2n-1，所以an=2n-1+1，所以6小时后细胞存活个数为a7=26+1=65.
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6.(5分)某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晩间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克.假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是______毫克，若该患者坚持长期服用此药_______明显副作用(此空填“有”或“无”).
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解析:由题意可设第n次服药后，其体内的残留量为an，则a1=200，a2=200+a1×(1-50%)=200×1.5=300，a3=200+a2×(1-50%)=200+
200×1.5×0.5=350，故第二天早上他第三次服药后，药在他体内的残留量为350毫克；该患者若长期服用此药，则此药在体内残留量为=400(1-0.5n)，∵0.5n>0，则400(1-0.5n)<400，∴长期服用此药无明显副作用.
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7.(5分)“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就.在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列{an}为2，3，3，4，6，4，5，10，…，则数列{an}的前10项和为_______；若am=10，m∈N*，则m的最大值为______.
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解析:由于n次二项式系数对应“杨辉三角”的第n+1行，例如(x+1)2=x2+2x
+1，系数分别为1，2，1，对应“杨辉三角”的第三行.令x=1，就可以求出该行的系数和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则“杨辉三角”的前n行之和为Sn==2n-1，若去除所有1的项，则剩下的每一行数字的个数为1，2，3，4，…，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列{bn}，则{bn}的前n项和Tn=，可得当n=4时，T4=10，则数列{an}的前10项和为S6-(2×5+1)=
26-12=52；根据“杨辉三角”的分布规律，最后出现am=10的位置应为去掉所有1的项的第9行的最后一项，所以T9==45.
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8.(5分)数列1，(1+2)，(1+2+22)，(1+2+22+23)，…，(1+2+…+2n-1)，…的前n项和为__________.
2n+1-2-n
解析:观察数列得到an=1+2+…+2n-1==2n-1，所以前n项和Sn=a1+
a2+…+an=21-1+22-1+…+2n-1=21+22+…+2n-n=-n=2n+1-2-n.
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9.(5分)已知数列{an}中，an=2n-1+，则数列{an}的前n项和Sn=________________________.
n2+
解析:因为an=2n-1+，
则Sn=+++…+=
(1+3+5+…+2n-1)+=+=n2+.
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10.(10分)已知数列{an}为等比数列，a2=2，a5=16，bn=log2an，cn=an+bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(4分)
解:设数列{an}的公比为q，则q3===8，所以q=2，
所以an=a2·qn-2=2·2n-2=2n-1，所以bn=log2an=log22n-1=n-1.
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.(6分)
解:cn=an+bn=2n-1+n-1，所以Sn=20+0+21+1+22+2+…+2n-1+n-1=
(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)=+=2n-1+n(n-1).
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11.(15分)已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；(5分)
解:当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=n.a1=1也满足an=n，
故数列{an}的通项公式为an=n.
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(2)设bn=+(-1)nan，求数列{bn}的前2n项和.(10分)
解:由(1)知an=n，故bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).
记A=21+22+…+22n，B=-1+2-3+4-…+2n，
则A==22n+1-2，B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.
故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
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12.(15分)某地牧场牧草深受病害困扰，某科研团队研制了治疗牧草病害的新药，为探究新药的效果，进行了如下的喷洒试验:隔离选取1 000平方米牧草，在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草，200平方米为受害牧草，每三天给受害牧草喷药一次.试验的结论为每次喷药前的受害牧草有80%的面积会在下一次喷药前变为正常牧草，每次喷药前的正常牧草有t%(0(1)求使得a2≥900成立的t的最大整数值；(5分)
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解:由题意，在第一次喷药前，正常牧草面积a1=800平方米.
每一次喷药后，正常牧草面积与喷药前正常牧草面积的关系为an+1=
(1 000-an)×80%+an×(1-t%)=800+an ①.
所以a2=800+×800=960-8t.
要使得a2≥900成立，即要使得960-8t≥900成立，解得t≤7.5.
所以使得a2≥900成立的t的最大整数值为7.
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(2)证明:在t取(1)中最大整数值的情况下，如果试验一直持续，正常牧草的面积不可能超过920平方米.(10分)
解:证明:由题设得t=7，代入①式可得an+1=0.13an+800 ②.
用待定系数法，设实数λ满足an+1+λ=0.13(an+λ) ③.
由③-②可得-0.87λ=800，λ=-，则数列{an+λ}是公比为0.13的等比数列，通项公式为an+λ=(a1+λ)×0.13n-1.即an=(a1+λ)×0.13n-1-λ，又因为a1+λ=800-<800-=0，故an<-λ.
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又因为87×920=80 040>80 000，
所以an<-λ=<=920，
即无论n取多少，
正常牧草的面积an不可能超过920平方米.课时检测(三十八) 等比数列的前n项和的应用
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.我国古代的数学名著《九章算术》中记载:“今有蒲生一日,长三尺,蒲生日自半”.其意为今有蒲草第一日长高3尺,以后蒲草每日长高前一日的半数,则蒲草第5日的高度为 ( )
A.尺 B.尺
C.尺 D.尺
2.小李年初向银行贷款M万元用于购房,购房贷款的年利率为P,按复利计算,并从借款后次年年初开始归还,分10次等额还清,每年1次,问每年应还 ( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为 ( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+n-2 D.2n+1+n2-2
4.有一座七层塔,每层所点灯的盏数都是其上面一层的两倍,这座塔一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是 ( )
A.190 B.191
C.192 D.193
5.某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律,6小时后细胞存活个数是 ( )
A.33 B.64
C.65 D.127
6.(5分)某慢性疾病患者,因病到医院就医,医生给他开了处方药(片剂),要求此患者每天早、晩间隔12小时各服一次药,每次一片,每片200毫克.假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%,并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8点第一次服药,则第二天上午8点服完药时,药在其体内的残留量是 毫克,若该患者坚持长期服用此药 明显副作用(此空填“有”或“无”).
7.(5分)“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就.在如图所示的“杨辉三角”中,去掉所有的数字1,余下的数逐行从左到右排列,得到数列{an}为2,3,3,4,6,4,5,10,…,则数列{an}的前10项和为 ;若am=10,m∈N*,则m的最大值为 .
8.(5分)数列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+23),…,(1+2+…+2n-1),…的前n项和为 .
9.(5分)已知数列{an}中,an=2n-1+,则数列{an}的前n项和Sn= .
10.(10分)已知数列{an}为等比数列,a2=2,a5=16,bn=log2an,cn=an+bn.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(4分)
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.(6分)
11.(15分)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;(5分)
(2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.(10分)
12.(15分)某地牧场牧草深受病害困扰,某科研团队研制了治疗牧草病害的新药,为探究新药的效果,进行了如下的喷洒试验:隔离选取1 000平方米牧草,在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草,200平方米为受害牧草,每三天给受害牧草喷药一次.试验的结论为每次喷药前的受害牧草有80%的面积会在下一次喷药前变为正常牧草,每次喷药前的正常牧草有t%(0(1)求使得a2≥900成立的t的最大整数值;(5分)
(2)证明:在t取(1)中最大整数值的情况下,如果试验一直持续,正常牧草的面积不可能超过920平方米.(10分)
课时检测(三十八)
1．选D 由题意，蒲草每日增长的高度成等比数列，等比数列的首项为3，公比为，蒲草第5日的高度为等比数列前5项和，S5＝＝(尺)．
2．选B 设每年应还x万元，则有x＋x(1＋P)＋x(1＋P)2＋…＋x(1＋P)9＝M(1＋P)10，得 ＝M(1＋P)10，解得x＝.
3．选D 由题可知，设数列{an}的前n项和为Sn，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an，即Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋…＋2n－1)，所以Sn＝＋，故Sn＝2n＋1－2＋n2.
4．选C 设最上面一层有x盏，则第二层有2x盏，第三层有4x盏，第四层有8x盏，…，第七层有26x盏(层数从上面数)．由题意知x＋2x＋4x＋8x＋…＋26x＝x(1＋2＋22＋23＋…＋26)＝＝127x＝381，
∴x＝3.故底层的盏数为26×3＝192.
5．选C 将开始时的细胞个数记为a1＝2,1小时后的细胞个数记为a2＝3,2小时后的细胞个数记为a3＝5,3小时后的细胞个数记为a4＝9，…，由题意可得a1＝2，当n≥2时，an＝2an－1－1，则an－1＝2(an－1－1)，所以数列{an－1}是以2为公比，1为首项的等比数列，所以an－1＝2n－1，所以an＝2n－1＋1，所以6小时后细胞存活个数为a7＝26＋1＝65.
6．解析：由题意可设第n次服药后，其体内的残留量为an，则a1＝200，a2＝200＋a1×(1－50%)＝200×1.5＝300，a3＝200＋a2×(1－50%)＝200＋200×1.5×0.5＝350，故第二天早上他第三次服药后，药在他体内的残留量为350毫克；该患者若长期服用此药，则此药在体内残留量为＝400(1－0.5n)，∵0.5n>0，则400(1－0.5n)<400，∴长期服用此药无明显副作用．
答案：350 无
7．解析：由于n次二项式系数对应“杨辉三角”的第n＋1行，例如(x＋1)2＝x2＋2x＋1，系数分别为1,2,1，对应“杨辉三角”的第三行．令x＝1，就可以求出该行的系数和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则“杨辉三角”的前n行之和为Sn＝＝2n－1，若去除所有1的项，则剩下的每一行数字的个数为1,2,3,4，…，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列{bn}，则{bn}的前n项和Tn＝，可得当n＝4时，T4＝10，则数列{an}的前10项和为S6－(2×5＋1)＝26－12＝52；根据“杨辉三角”的分布规律，最后出现am＝10的位置应为去掉所有1的项的第9行的最后一项，所以T9＝＝45.
答案：52 45
8．解析：观察数列得到an＝1＋2＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an＝21－1＋22－1＋…＋2n－1＝21＋22＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n.
答案：2n＋1－2－n
9．解析：因为an＝2n－1＋，
则Sn＝＋＋＋…＋＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋＝＋＝n2＋.
答案：n2＋
10．解：(1)设数列{an}的公比为q，则q3＝＝＝8，所以q＝2，
所以an＝a2·qn－2＝2·2n－2＝2n－1，
所以bn＝log2an＝log22n－1＝n－1.
(2)cn＝an＋bn＝2n－1＋n－1，所以Sn＝20＋0＋21＋1＋22＋2＋…＋2n－1＋n－1＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)＋(0＋1＋2＋…＋n－1)＝＋＝2n－1＋n(n－1)．
11．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.a1＝1也满足an＝n，
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
12．解：(1)由题意，在第一次喷药前，正常牧草面积a1＝800平方米．
每一次喷药后，正常牧草面积与喷药前正常牧草面积的关系为an＋1＝(1 000－an)×80%＋an×(1－t%)＝800＋an ①.
所以a2＝800＋×800＝960－8t.
要使得a2≥900成立，即要使得960－8t≥900成立，解得t≤7.5.所以使得a2≥900成立的t的最大整数值为7.
(2)证明：由题设得t＝7，代入①式可得
an＋1＝0.13an＋800 ②.
用待定系数法，设实数λ满足
an＋1＋λ＝0.13(an＋λ) ③.
由③－②可得－0.87λ＝800，λ＝－，
则数列{an＋λ}是公比为0.13的等比数列，通项公式为an＋λ＝(a1＋λ)×0.13n－1.
即an＝(a1＋λ)×0.13n－1－λ，又因为a1＋λ＝800－<800－＝0，故an<－λ.
又因为87×920＝80 040>80 000，
所以an<－λ＝<＝920，即无论n取多少，正常牧草的面积an不可能超过920平方米．
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