第4章 专题微课 构造法求数列通项公式(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册

文档属性

名称 第4章 专题微课 构造法求数列通项公式(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册
格式 zip
文件大小 2.3MB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-30 13:51:05

文档简介

专题微课 构造法求数列通项公式
  数列构造法是一种常用的数学解题方法,通常用于解决一些看似复杂或难以直接解决的问题,其核心思想是将原问题转化为一个等差或等比数列问题,通过数列的性质规律求解.
题型(一) 形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式
[例1] 已知数列{an}满足a1=,an+1=(an+1),求通项公式an.
听课记录:
|思|维|建|模|
  形如=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:
(1)假设递推公式可改写为+t=p(an+t).
(2)由待定系数法,解得t=.
(3)写出数列的通项公式.
(4)写出数列{an}的通项公式.
  [针对训练]
1.已知数列{an}满足=2an+2,且a1=1,则 (  )
A.{an}是等差数列
B.{an}是等比数列
C.{an+1}是等比数列
D.{an+2}是等比数列
2.已知数列{an}满足a1=1,=2an+1,求{an}的通项公式.
题型(二) 形如an=p+pn的递推关系求通项公式
[例2] 已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2),且a1=1,求数列{an}的通项公式.
听课记录:
  [变式拓展]
 本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”,其余不变,求数列{an}的通项公式.
|思|维|建|模|
  形如an=pan-1+pn(p≠0且p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤
第一步:等式两边同除以pn,不管这一项是pn-1或pn+1,都同除以pn,为的是数列的下标和p的指数对应起来.
第二步:写出数列的通项公式.
第三步:写出数列{an}的通项公式.
  [针对训练]
3.已知数列{an}满足=+,且a1=1,求数列{an}的通项公式.
4.已知数列{an}中,a1=3,an+1=3an+2×3n+1,n∈N*,求数列{an}的通项公式.
题型(三) 形如an+1=(A,B,C为常数)的递推关系求通项公式
[例3] 已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=    .
听课记录:
|思|维|建|模|
  形如an+1=(A,B,C为常数且A≠0)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
  [针对训练]
5.[多选]已知数列{an}满足a1=1,=(n∈N*),则下列结论正确的有 (  )
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列
D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4
专题微课 构造法求数列通项公式
[题型(一)]
[例1] 解:∵an+1=an+,∴an+1-1=(an-1).又a1-1=-.
∴数列{an-1}是首项为-,公比为的等比数列.∴an-1=-×n-1,∴an=1-×n-1.
[针对训练]
1.选D 由an+1=2an+2,可得an+1+2=2(an+2),所以=2.
又由a1=1,得a1+2=3,所以{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列.
所以an+2=3×2n-1,an=3×2n-1-2,an+1=3×2n-2,an+1-an=3×2n-2-(3×2n-1-2)=3×2n-1,所以{an}不是等差数列;=不等于常数,所以{an}不是等比数列;=不等于常数,所以{an+1}不是等比数列.
2.解:∵an+1=2an+1,令an+1+t=2(an+t),即an+1=2an+t,∴t=1,即an+1+1=2(an+1),
∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.∴an+1=2×2n-1=2n,∴an=2n-1.
[题型(二)]
[例2] 解:因为an=2an-1+2n(n≥2),等式两边同时除以2n,得=+1,即-=1,又=,所以是以为首项,1为公差的等差数列,即=+(n-1)×1,所以an=×2n.
[变式拓展]
解:等式两边同时除以2n,得=+2,
即-=2,又=,所以是以为首项,2为公差的等差数列,所以=+(n-1)×2,即an=×2n.
[针对训练]
3.解:由题意,等式两边同乘2n,得=+1,即-=1,所以是以2为首项,1为公差的等差数列,所以=2+(n-1)×1=n+1,即an=.
4.解:由an+1=3an+2×3n+1,得=+2,∴-=2,又=1,即数列是首项为1,公差为2的等差数列,
∴=2n-1,得an=(2n-1)·3n.
[题型(三)]
[例3] 解析:因为an+1=,a1=1,
所以an≠0,所以=+,即-=.又a1=1,则=1,所以是以1为首项,为公差的等差数列.所以=+(n-1)×=+.所以an=.
答案:
[针对训练]
5.选ABD 因为an+1=(n∈N*),得=+3,可转化为+3=2,所以是以+3=4为首项,2为公比的等比数列,故+3=4·2n-1=2n+1,所以=2n+1-3,所以an=.易知{an}为递减数列,故A、B正确,C错误.的前n项和Tn=-3n=2n+2-3n-4,故D正确.
1 / 2(共38张PPT)
专题微课 构造法求数列通项公式
数列构造法是一种常用的数学解题方法,通常用于解决一些看似复杂或难以直接解决的问题,其核心思想是将原问题转化为一个等差或等比数列问题,通过数列的性质规律求解.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式
题型(二) 形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式
题型(三) 形如an+1=(A,B,C为常数)的递推关系求通项公式
4
课时检测
题型(一) 形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式
01
[例1] 已知数列{an}满足a1=,an+1=(an+1),求通项公式an.
解:∵an+1=an+,∴an+1-1=(an-1).
又a1-1=-.∴数列{an-1}是首项为-,公比为的等比数列.
∴an-1=-×,∴an=1-×.
|思|维|建|模|
  形如=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:
(1)假设递推公式可改写为+t=p(an+t).
(2)由待定系数法,解得t=.
(3)写出数列的通项公式.
(4)写出数列{an}的通项公式.
针对训练
1.已知数列{an}满足=2an+2,且a1=1,则(  )
A.{an}是等差数列 B.{an}是等比数列
C.{an+1}是等比数列 D.{an+2}是等比数列

解析:由=2an+2,可得+2=2(an+2),所以=2.
又由a1=1,得a1+2=3,所以{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列.
所以an+2=3×,an=3×-2,=3×2n-2,-an=3×2n-2-(3×-2)=3×,所以{an}不是等差数列;=不等于常数,所以{an}不是等比数列;=不等于常数,所以{an+1}不是等比数列.
2.已知数列{an}满足a1=1,=2an+1,求{an}的通项公式.
解:∵=2an+1,令+t=2(an+t),
即=2an+t,∴t=1,即+1=2(an+1),
∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
∴an+1=2×=2n,∴an=2n-1.
题型(二) 形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式
02
[例2] 已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2),且a1=1,求数列{an}的通项公式.
解:因为an=2an-1+2n(n≥2),等式两边同时除以2n,得=+1,即-=1,又=,所以是以为首项,1为公差的等差数列,即=+(n-1)×1,所以an=×2n.
变式拓展
本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”,其余不变,求数列{an}的通项公式.
解:等式两边同时除以2n,得=+2,即-=2,又=,
所以是以为首项,2为公差的等差数列,
所以=+(n-1)×2,即an=×2n.
|思|维|建|模|
  形如an=pan-1+pn(p≠0且p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤
第一步:等式两边同除以pn,不管这一项是pn-1或pn+1,都同除以pn,为的是数列的下标和p的指数对应起来.
第二步:写出数列的通项公式.
第三步:写出数列{an}的通项公式.
针对训练
3.已知数列{an}满足=+,且a1=1,求数列{an}的通项公式.
解:由题意,等式两边同乘2n,得=+1,
即-=1,所以是以2为首项,
1为公差的等差数列,所以=2+(n-1)×1=n+1,即an=.
4.已知数列{an}中,a1=3,an+1=3an+2×3n+1,n∈N*,求数列{an}的通项公式.
解:由an+1=3an+2×3n+1,得=+2,
∴-=2,又=1,即数列是首项为1,
公差为2的等差数列,∴=2n-1,得an=(2n-1)·3n.
03
题型(三) 形如an+1=(A,B,C为常数)的递推关系求通项公式
[例3] 已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=______.
解析:因为an+1=,a1=1,所以an≠0,所以=+,即-=.又a1=1,则=1,所以是以1为首项,为公差的等差数列.所以=+(n-1)×=+.所以an=.
|思|维|建|模|
  形如an+1=(A,B,C为常数且A≠0)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
针对训练
5.[多选]已知数列{an}满足a1=1,=(n∈N*),则下列结论正确的有(  )
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列
D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4



解析:因为an+1=(n∈N*),得=+3,可转化为+3=2,
所以是以+3=4为首项,2为公比的等比数列,故+3=4·2n-1
=2n+1,所以=2n+1-3,所以an=.易知{an}为递减数列,故A、B正确,C错误.的前n项和Tn=-3n=2n+2-3n-4,故D正确.
课时检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
1.若数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则此数列第5项是 (  )
A.15 B.255
C.16 D.63

解析:∵an=4an-1+3(n≥2),∴an+1=4(an-1+1)(n≥2),∴{an+1}是以1为首项,4为公比的等比数列,则an+1=4n-1.∴an=4n-1-1,∴a5=44-1
=255.故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
13
2
3
4
2.在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则a20=(  )
A. B.
C. D.

解析:因为an+1=,则==+1,又=,故是首项为,公差为1的等差数列.=+n-1=n-,an=,a20=.故选B.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=0,an+1=an+2+1,则a5+S4=(  )
A.39 B.45 C.50 D.55

解析:∵an+1=an+2+1,∴an+1+1=,∴
=+1,即-=1,∴数列{}是公差为1,首项为=1的等差数列,∴=n,an=n2-1.a1=0,a2=3,a3=8,a4=15,a5=24,S4=0+3+8+15=26,∴a5+S4=24+26=50.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
4.已知数列{an}满足a1=10,an+1=10,若as·at=a10,则s+t的最大值为(  )
A.10 B.12
C.16 D.18

12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
解析:由an+1=10可得an>0,则lg an+1=lg(10)=2lg an+1,故lg an+1
+1=2(lg an+1),又lg a1+1=2,故{lg an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,则lg an+1=2n,故an=1.由as·at=a10,得1·1=
1=1,故2s+2t=210,则210≥2=2=,故+1≤10,解得012
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
5.(5分)若正项数列{an}满足a1=2,=4+4an+1,则数列{an}的通项公式是________________.
an=3×2n-1-1
解析:在正项数列{an}中,=4+4an+1=(2an+1)2,则有an+1=2an+1,于是得an+1+1=2(an+1),而a1+1=3,因此数列{an+1}是首项为3,公比为2的等比数列,则有an+1=3×2n-1,即an=3×2n-1-1,所以数列{an}的通项公式是an=3×2n-1-1.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
6.(5分)在数列{an}中,a1=1,且an+1=an+3n+1,则通项公式an=______.
n2-
解析:∵an+1=an+3n+1,∴an+1-(n+1)2+=an-n2+,∴数列为常数列,又a1=1,则a1-+=0,∴an=n2-.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
7.(5分)已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n-1(n≥2,n∈N),则an=___________.
n·2n-1
解析:由题设,=+(n≥2),即-=(n≥2),而=,∴是首项、公差均为的等差数列,即=+(n-1)=,∴an=n·2n-1.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
8.(5分)已知数列{an}满足a1=1,3an+1an=an-an+1,则通项公式an=_________.
解析:∵3an+1an=an-an+1,∴-=3,且=1,∴是以1为首项,3为公差的等差数列,∴=1+(n-1)·3=3n-2,∴an=.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
9.(5分)已知数列{an}的首项是a1=1,且an+1=,则数列{an}的通项公式为_______.
an=
解析:由an+1=,即(n+1)an+1=nan,故数列{nan}为常数列,a1=1,即nan=1,an=.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
10.(5分)在数列{an}中,a1=1,a2=3,且对任意的n∈N*,都有=3an+1-2an,则数列{an}的通项公式为_________________.
an=2n-1
解析:由=3an+1-2an,得-an+1=2(an+1-an).
又a1=1,a2=3,所以a2-a1=2≠0,所以{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1-an=2n,所以an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=1+2+
22+…+2n-1=2n-1,n≥2,因为a1=1符合上式,所以an=2n-1.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
11.(10分)数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,3Sn=an+1-+2(n∈N*).
(1) n∈N*时,写出an+1与an之间的递推关系;(6分)
解:因为3Sn=an+1-2n+2+2 ①,
所以当n≥2时,3Sn-1=an-2n+1+2 ②,
①-②得3an=an+1-an-2n+1(n≥2),即an+1=4an+2n+1(n≥2),
在①中,令n=1得a2=3a1+23-2=12=4a1+22,也符合上式,所以an+1=4an+2n+1.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
(2)求{an}的通项公式.(4分)
解:因为an+1=4an+2n+1,则an+1+2n+1=4(an+2n),且a1+2=4≠0,
所以数列{an+2n}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以an+2n=4n,故an=4n-2n.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
12.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3且Sn+Sn+1=2n2+6n+3,n∈N*.
(1)求S9的值;(5分)
解:因为Sn+Sn+1=2n2+6n+3,所以Sn+2+Sn+1=2(n+1)2+6(n+1)+3.
两式相减,得an+2+an+1=4(n+2),n∈N*.所以S9=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a8+a9)=3+4[(1+2)+(3+2)+…+(7+2)]
=3+4×=99.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
(2)求数列{an}的通项公式.(10分)
解:由(1)知an+2+an+1=4(n+2)①,可得an+an+1=4(n+1)②,n≥2.因为a1=3,S2+S1=11,所以a2=5,又S3+S2=23=2a1+2a2+a3,
所以a3=7.又由①②得an+2-an=4,n≥2.所以a2n=a2+4(n-1)=4n+1,即an=2n+1,n为偶数,则当n≥3,且为奇数时,an=4(n+1)-an+1=4(n+1)-[2(n+1)+1]=2n+1,
又a1=3,a3=7符合上式,综上得an=2n+1.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
13.(15分)在数列{an}中, a1=4且 an+1=,求数列{an}的通项公式.
解:由an+1=两边减去1得,an+1-1=-1=,
两边取倒数得,===+·,
两边同加得,+=+·=·,
12
1
5
6
7
8
9
10
11
13
3
4
2
由a1=4,则+=≠0,所以有=,
故是以为首项,为公比的等比数列.
所以+=·,故an-1=,解得an=.
12课时检测(三十六) 构造法求数列通项公式
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择题请在答题区内作答,填空、解答题请在题后作答)
1.若数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则此数列第5项是 (  )
A.15 B.255
C.16 D.63
2.在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则a20= (  )
A. B.
C. D.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=0,an+1=an+2+1,则a5+S4= (  )
A.39 B.45
C.50 D.55
4.已知数列{an}满足a1=10,an+1=10,若as·at=a10,则s+t的最大值为 (  )
A.10 B.12
C.16 D.18
5.(5分)若正项数列{an}满足a1=2,=4+4an+1,则数列{an}的通项公式是    .
6.(5分)在数列{an}中,a1=1,且an+1=an+3n+1,则通项公式an=    .
7.(5分)已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n-1(n≥2,n∈N),则an=    .
8.(5分)已知数列{an}满足a1=1,3an+1an=an-an+1,则通项公式an=    .
9.(5分)已知数列{an}的首项是a1=1,且an+1=,则数列{an}的通项公式为      .
10.(5分)在数列{an}中,a1=1,a2=3,且对任意的n∈N*,都有=3an+1-2an,则数列{an}的通项公式为    .
11.(10分)数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,3Sn=an+1-+2(n∈N*).
(1) n∈N*时,写出an+1与an之间的递推关系;(6分)
(2)求{an}的通项公式.(4分)
12.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3且Sn+Sn+1=2n2+6n+3,n∈N*.
(1)求S9的值;(5分)
(2)求数列{an}的通项公式.(10分)
13.(15分)在数列{an}中, a1=4且 an+1=,求数列{an}的通项公式.
课时检测(三十六)
1.选B ∵an=4an-1+3(n≥2),∴an+1=4(an-1+1)(n≥2),∴{an+1}是以1为首项,4为公比的等比数列,则an+1=4n-1.
∴an=4n-1-1,∴a5=44-1=255.故选B.
2.选B 因为an+1=,则==+1,又=,故是首项为,公差为1的等差数列.=+n-1=n-,an=,a20=.故选B.
3.选C ∵an+1=an+2+1,∴an+1+1=( +1)2,∴=+1,即-=1,
∴数列{}是公差为1,首项为=1的等差数列,∴=n,an=n2-1.a1=0,a2=3,a3=8,a4=15,a5=24,S4=0+3+8+15=26,∴a5+S4=24+26=50.
4.选D 由an+1=10a可得an>0,则lg an+1=lg(10a)=2lg an+1,故lg an+1+1=2(lg an+1),又lg a1+1=2,故{lg an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,则lg an+1=2n,故an=102n-1.由as·at=a10,得102s-1·102t-1=102s+2t-2=10210-2,故2s+2t=210,则210≥2=2=2+1,故+1≤10,解得05.解析:在正项数列{an}中,a=4a+4an+1=(2an+1)2,则有an+1=2an+1,于是得an+1+1=2(an+1),而a1+1=3,因此数列{an+1}是首项为3,公比为2的等比数列,则有an+1=3×2n-1,即an=3×2n-1-1,所以数列{an}的通项公式是an=3×2n-1-1.
答案:an=3×2n-1-1
6.解析:∵an+1=an+3n+1,∴an+1-(n+1)2+=an-n2+,
∴数列为常数列,又a1=1,则a1-+=0,∴an=n2-.
答案:n2-
7.解析:由题设,=+(n≥2),即-=(n≥2),而=,∴是首项、公差均为的等差数列,即=+(n-1)=,∴an=n·2n-1.
答案:n·2n-1
8.解析:∵3an+1an=an-an+1,∴-=3,且=1,∴是以1为首项,3为公差的等差数列,∴=1+(n-1)·3=3n-2,∴an=.
答案:
9.解析:由an+1=,即(n+1)an+1=nan,故数列{nan}为常数列,a1=1,即nan=1,an=.
答案:an=
10.解析:由an+2=3an+1-2an,得an+2-an+1=2(an+1-an).
又a1=1,a2=3,所以a2-a1=2≠0,所以{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1-an=2n,所以an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=1+2+22+…+2n-1=2n-1,n≥2,
因为a1=1符合上式,所以an=2n-1.
答案:an=2n-1
11.解:(1)因为3Sn=an+1-2n+2+2 ①,
所以当n≥2时,3Sn-1=an-2n+1+2 ②,
①-②得3an=an+1-an-2n+1(n≥2),
即an+1=4an+2n+1(n≥2),
在①中,令n=1得a2=3a1+23-2=12=4a1+22,也符合上式,所以an+1=4an+2n+1.
(2)因为an+1=4an+2n+1,则an+1+2n+1=4(an+2n),且a1+2=4≠0,
所以数列{an+2n}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以an+2n=4n,故an=4n-2n.
12.解:(1)因为Sn+Sn+1=2n2+6n+3,所以Sn+2+Sn+1=2(n+1)2+6(n+1)+3.
两式相减,得an+2+an+1=4(n+2),n∈N*.所以S9=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a8+a9)=3+4[(1+2)+(3+2)+…+(7+2)]=3+4×=99.
(2)由(1)知an+2+an+1=4(n+2)①,可得an+an+1=4(n+1)②,n≥2.因为a1=3,S2+S1=11,所以a2=5,又S3+S2=23=2a1+2a2+a3,
所以a3=7.又由①②得an+2-an=4,n≥2.所以a2n=a2+4(n-1)=4n+1,即an=2n+1,n为偶数,则当n≥3,且为奇数时,an=4(n+1)-an+1=4(n+1)-[2(n+1)+1]=2n+1,又a1=3,a3=7符合上式,综上得an=2n+1.
13.解:由an+1=两边减去1得,
an+1-1=-1=,
两边取倒数得,===+·,
两边同加得,+=+·=·,
由a1=4,则+=≠0,所以有=,故是以为首项,为公比的等比数列.
所以+=·n-1,
故an-1=,
解得an=.
1 / 2