5.1.1 平均变化率 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
[课时目标]
1.了解平均变化率的实际背景.
2.理解平均变化率的含义.
3.会求函数在某一点附近的平均变化率,并能用平均变化率解释一些实际问题.
逐点清(一) 平均变化率的概念
[多维理解]
1.平均变化率
(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为 .
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“ ”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“ ”.
2.平均变化率的几何意义
函数y=f(x)在定义域内,从x0变化到x0+Δx的平均变化率等于该函数图象上过两点P0(x0,f(x0)),P(x0+Δx,f(x0+Δx))割线的斜率,如图.
|微|点|助|解|
(1)要注意Δx,Δy的值可正、可负,但Δx≠0,Δy可为零,若函数f(x)为常数函数,则Δy=0.
(2)求点x0附近的平均变化率可用表示.
(3)平均变化率一定是相对某一区间而言的,一般地,区间不同,平均变化率也不同.
[微点练明]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为零,说明函数值在此区间上没有发生变化. ( )
(2)自变量的改变量x2-x1取值越小,越能准确体现函数的变化率. ( )
(3)已知某弯曲山路的上、下两点A(x1,y1),B(x2,y2),则可以近似刻画此弯曲山路的陡峭程度. ( )
2.[多选]某物体的位移公式为s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内,下列理解正确的有 ( )
A.(t0+Δt)-t0为自变量的改变量
B.t0为函数值的改变量
C.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)为函数值的改变量
D.为s(t)在区间[t0,Δt+t0]上的平均变化率
3.若函数f(x)=x2-t,当1≤x≤m时,平均变化率为2,则m等于 ( )
A. B.2
C.3 D.1
4.(1)已知函数f(x)=x+,分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快;
(2)已知函数f(x)=x2+1,求f(x)在区间[2,2+Δx]上的平均变化率.
逐点清(二) 实际问题中的平均变化率
[多维理解]
实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似,首先求f(x2)-f(x1),再求比值.当函数解析式没有给定时,先根据实际问题求出函数解析式,再重复上述步骤即可.
[微点练明]
1.某水库储水量与水深的关系如下表所示:
水深(m) 0 5 10 15 20 25 30 35
储水量 (104m3) 0 10 30 90 160 275 435 650
在35 m范围内,当水深每增加5 m时,水库储水量的平均变化率 ( )
A.不变 B.越来越小
C.越来越大 D.不能确定
2.“天问一号”于2021年2月到达火星附近,实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨,在距离火星表面100 m时,“天问一号”进入悬停阶段,完成精准避障和缓速下降后,着陆巡视器在缓冲机构的保护下,抵达火星表面,巡视器在9 min内将速度从约20 000 km/h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v,着陆过程中速度的平均变化率为a,则 ( )
A.v≈0.185 m/s,a≈10.288 m/s2
B.v≈-0.185 m/s,a≈10.288 m/s2
C.v≈0.185 m/s,a≈-10.288 m/s2
D.v≈-0.185 m/s,a≈-10.288 m/s2
3.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T=+15,其中T为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min),则t=0到t=10,蜥蜴的体温的平均变化率为 ℃/min.
4.一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5,则Δt的取值范围是 .
逐点清(三) 平均变化率的意义
1.某环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.则下列命题正确的是 ( )
A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业弱
B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业弱
C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都不达标
D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t1,t2]的污水治理能力最强
2.已知气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)=πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V);
(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率;哪段半径变化得快(精确到0.01) 此结论可说明什么意义
5.1.1 平均变化率
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.(1)
(2)数量化 视觉化
[微点练明]
1．(1)× (2)√ (3)√ 2.ACD 3.D
4．解：(1)当自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝，当自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝，因为<，所以函数f(x)在区间(3,5)上函数值变化得较快．
(2)由已知得f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2＋1－(22＋1)＝4Δx＋(Δx)2，所以f(x)在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率为＝＝4＋Δx.
[逐点清(二)]
1．C 2.D 3.－1.6 4.(0,1]
[逐点清(三)]
1．D
2．解：(1)∵V＝πr3，∴r3＝，
∴r＝，即r(V)＝.
(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率为＝≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率为＝－≈0.16(dm/L)．
显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化得快，这说明气球刚开始膨胀得快，随着体积的增大，半径增加得越来越慢．
1 / 4(共45张PPT)
5.1.1
平均变化率
[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
课时目标
1.了解平均变化率的实际背景.
2.理解平均变化率的含义.
3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 平均变化率的概念
逐点清(二) 实际问题中的平均变化率
逐点清(三) 平均变化率的意义
4
课时检测
逐点清(一) 平均变化率的概念
01
多维理解
1.平均变化率
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为_______________.
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“________”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“_________”.
2.平均变化率的几何意义
函数y=f(x)在定义域内，从x0变化到x0+Δx的平均变化率等于该函数图象上过两点P0(x0，f(x0))，P(x0+Δx，f(x0+Δx))割线的斜率，如图.
|微|点|助|解|
(1)要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常数函数，则Δy=0.
(2)求点x0附近的平均变化率可用表示.
(3)平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同.
微点练明
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为零，说明函数值在此区间上没有发生变化.( )
(2)自变量的改变量x2-x1取值越小，越能准确体现函数的变化率.( )
(3)已知某弯曲山路的上、下两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可以近似刻画此弯曲山路的陡峭程度.( )
×
√
√
2.[多选]某物体的位移公式为s=s(t)，从t0到t0+Δt这段时间内，下列理解正确的有 ( )
A.(t0+Δt)-t0为自变量的改变量
B.t0为函数值的改变量
C.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)为函数值的改变量
D.为s(t)在区间[t0，Δt+t0]上的平均变化率
√
√
√
解析:由自变量的改变量、函数值的改变量、平均变化率的概念易得A、C、D正确.
3.若函数f(x)=x2-t，当1≤x≤m时，平均变化率为2，则m等于 ( )
A. B.2
C.3 D.1
√
解析:由题得===m+1=2，所以m=1.
4.(1)已知函数f(x)=x+，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快；
解:当自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为==，当自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为==，因为<，所以函数f(x)在区间(3，5)上函数值变化得较快.
(2)已知函数f(x)=x2+1，求f(x)在区间[2，2+Δx]上的平均变化率.
解:由已知得f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2+1-(22+1)=4Δx+(Δx)2，
所以f(x)在区间[2，2+Δx]上的平均变化率为==4+Δx.
逐点清(二) 实际问题中的平均变化率
02
多维理解
实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似，首先求f(x2)-f(x1)，再求比值.当函数解析式没有给定时，先根据实际问题求出函数解析式，再重复上述步骤即可.
微点练明
1.某水库储水量与水深的关系如下表所示:
在35 m范围内，当水深每增加5 m时，水库储水量的平均变化率 ( )
A.不变 B.越来越小
C.越来越大 D.不能确定
√
水深(m) 0 5 10 15 20 25 30 35
储水量(104m3) 0 10 30 90 160 275 435 650
解析:根据平均变化率的定义， 在35 m范围内，当水深每增加5 m时，水库储水量的平均变化率依次为
平均变化率越来越大.
水深(m) 0 5 10 15 20 25 30 35
平均变化率(104m2) 0 2 4 12 14 23 32 43
2.“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精准避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min内将速度从约20 000 km/h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则 ( )
A.v≈0.185 m/s，a≈10.288 m/s2
B.v≈-0.185 m/s，a≈10.288 m/s2
C.v≈0.185 m/s，a≈-10.288 m/s2
D.v≈-0.185 m/s，a≈-10.288 m/s2
√
解析:巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以v=≈-0.185 m/s.巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以a=≈
-10.288 m/s2.
3.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T=+15，其中T为体温(单位:℃)，t为太阳落山后的时间(单位:min)，则t=0到t=10，蜥蜴的体温的平均变化率为______℃/min.
-1.6
解析:==-1.6(℃/min)，故从t=0到t=10，蜥蜴的体温的平均变化率为-1.6 ℃/min.
4.一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1，该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5，则Δt的取值范围是________.
(0，1]
解析:质点在2到2+Δt之间的平均速度为v===4+Δt，又v≤5，则4+Δt≤5，所以Δt≤1.又Δt>0，所以Δt的取值范围是(0，1].
逐点清(三) 平均变化率的意义
03
1.某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用-的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.则下列命题正确的是( )
A.在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
B.在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
C.在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标
D.甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强
√
解析:设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=h(t)，乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=g(t).在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力h(t)=-，乙企业的污水治理能力g(t)=-.由题图可知，h(t1)-h(t2)>g(t1)-g(t2)，所以h(t)>g(t)，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A错误；由题图可知，在t2时刻h(t)的切线斜率小于在t2时刻g(t)的切线斜率，但两切线斜率均为负值，故在t2时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B错误；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都小于污水达标排放量，故甲、乙两企业的污水排放量都达标，故C错误；由题图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]时h(t1)-h(t2)的差值最大，所以在[t1，t2]时的污水治理能力最强，故D正确.
2.已知气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)=πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；
解:∵V=πr3，∴r3=，
∴r=，即r(V)=.
(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0.01) 此结论可说明什么意义
解:函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为=≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为=-≈0.16(dm/L).显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化得快，这说明气球刚开始膨胀得快，随着体积的增大，半径增加得越来越慢.
课时检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
1.已知函数y=2+，当x由1变到2时，函数值的改变量等于( )
A. B.-
C.1 D.-1
√
解析:函数值的改变量为-(2+1)=-.
1
5
6
7
8
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10
11
12
13
2
3
4
2.一物体的运动方程是s=3+2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均变化率为 ( )
A.0.4 B.2
C.0.3 D.0.2
√
解析:在[2，2.1]这段时间内的平均变化率为=2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
3.一个物体做直线运动，位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt，且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，则实数m的值为 ( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
√
解析:由题意得Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m，Δt=2-1=1，因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，所以v===18+m=20 m/s，解得m=2.
1
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3
4
2
4.函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0-Δx，x0]上的平均变化率为k2，则 ( )
A.k1>k2 B.k1C.k1=k2 D.不确定
√
解析:因为k1==2x0+Δx，k2==2x0-Δx，又由题意知Δx>0，所以k1>k2.
1
5
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7
8
9
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13
3
4
2
5.如图，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为h=f(t)，定义域为D，设t0∈D，k1，k2分别表示f(t)在区间[t0，t0+Δt]，[t0-Δt，t0](Δt>0)上的平均变化率，则 ( )
A.k1k2
C.k1=k2 D.无法确定
√
1
5
6
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3
4
2
解析:由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，所以f(t)在区间[t0-Δt，t0]，[t0，t0+Δt](Δt>0)上的平均变化率由大变小，即k2>k1.
1
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2
6.某公司的盈利y(元)与时间x(天)的函数关系是y=f(x)，假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且=10，=1，则说明后10天与前10天比( )
A.公司亏损且亏损幅度变大 B.公司的盈利增加，增加的幅度变大
C.公司亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利增加，增加的幅度变小
√
解析:由>0(x1>x0≥0)恒成立，可知y=f(x)单调递增，即盈利增加.又平均变化率=10>=1，说明盈利增加的幅度变小.
1
5
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3
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2
7.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的关系如图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是 ( )
A.[5，10] B.[5，15]
C.[5，20] D.[5，35]
√
1
5
6
7
8
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11
12
13
3
4
2
解析:如图，令t=5，t=10，t=15，t=20，t=35所对应的点分别为A，B，C，D，E，由图可知0>kAB>kAC>kAE>kAD，所以[5，20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快.
1
5
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13
3
4
2
8.已知二次函数f(x)=x2和指数函数g(x)=ax(a>0，a≠1)在区间[2，4]上的平均变化率相同，则a= ( )
A. B.2
C.2或 D.不能确定
√
1
5
6
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8
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11
12
13
3
4
2
解析:二次函数f(x)=x2在区间[2，4]上的平均变化率为==6.
指数函数g(x)=ax在区间[2，4]上的平均变化率为==.
因为两个函数在区间[2，4]上的平均变化率相同，所以=6.又a>0，且a≠1，解得a=2.
1
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3
4
2
9.函数f(x)=log5(x2+1)在区间[1，7]上的平均变化率为_______.
解析:f(x)在区间[1，7]上的平均变化率为===.
1
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3
4
2
10.某地某天上午9:20的气温为23.4 ℃，下午1:30的气温为15.9 ℃，则在这段时间内气温的平均变化率为_______℃/min.
-0.03
解析:从上午9:20到下午1:30，共250 min，这段时间内气温的变化量为15.9-23.4=-7.5 ℃，(即气温下降7.5 ℃)，所以在这段时间内气温的平均变化率为=-0.03(℃/min).
1
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3
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2
11.函数y=x3+2在区间[1，a]上的平均变化率为21，则a=____.
4
解析:由==a2+a+1=21，解得a=4或a=-5.又∵a>1，∴a=4.
1
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13
3
4
2
12.(10分)如图，路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯.
(1)求身影的长度y(单位:m)与人距C点的距离x(单位:m)之间的关系式；(4分)
解:如图，设人从C点运动到B点位移为x m，AB为身影长度，为y m，D为路灯顶部，BE为此人的身高，由于CD∥BE，则=，即=，所以y=0.25x.
1
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2
(2)求人离开C点10 s内身影长度的平均变化率.(6分)
解:设人离开C点的时间为t s，而84 m/min=1.4 m/s，而x=1.4t，所以y=0.35t.在[0，10]内自变量的增量为t2-t1=10-0=10，函数值的增量为f(t2)-f(t1)=0.35×10-0.35×0=3.5，所以==0.35.即人离开C点10 s内身影长度的平均变化率为0.35 m/s.
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13.(10分)已知某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t，t∈.
(1)分别求s(t)在区间和上的平均速度；(5分)
解:物体在区间上的平均速度为===， 物体在区间上的平均速度为===.
1
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(2)比较(1)中两个平均速度的大小，并说明其几何意义.(5分)
解:由(1)可知 - =>0，所以> .作函数s(t)=sin t在上的图象，如图所示，可以发现，在s(t)=sin t的图象上，连接(0，0)，的直线的斜率大于连接的直线的斜率.课时检测(四十一) 平均变化率
(选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.已知函数y=2+,当x由1变到2时,函数值的改变量等于 ( )
A. B.-
C.1 D.-1
2.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均变化率为 ( )
A.0.4 B.2
C.0.3 D.0.2
3.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt,且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,则实数m的值为 ( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
4.函数y=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则 ( )
A.k1>k2 B.k1C.k1=k2 D.不确定
5.如图,向一个圆台形的容器倒水,任意相等时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为h=f(t),定义域为D,设t0∈D,k1,k2分别表示f(t)在区间[t0,t0+Δt],[t0-Δt,t0](Δt>0)上的平均变化率,则 ( )
A.k1k2
C.k1=k2 D.无法确定
6.某公司的盈利y(元)与时间x(天)的函数关系是y=f(x),假设>0(x1>x0≥0)恒成立,且=10,=1,则说明后10天与前10天比 ( )
A.公司亏损且亏损幅度变大
B.公司的盈利增加,增加的幅度变大
C.公司亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利增加,增加的幅度变小
7.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气,即开窗通风换气.在某室内,空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的关系如图所示.则下列时间段内,空气中微生物密度变化的平均速度最快的是 ( )
A.[5,10] B.[5,15]
C.[5,20] D.[5,35]
8.已知二次函数f(x)=x2和指数函数g(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[2,4]上的平均变化率相同,则a= ( )
A. B.2
C.2或 D.不能确定
9.(5分)函数f(x)=log5(x2+1)在区间[1,7]上的平均变化率为 .
10.(5分)某地某天上午9:20的气温为23.4 ℃,下午1:30的气温为15.9 ℃,则在这段时间内气温的平均变化率为 ℃/min.
11.(5分)函数y=x3+2在区间[1,a]上的平均变化率为21,则a= .
12.(10分)如图,路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯.
(1)求身影的长度y(单位:m)与人距C点的距离x(单位:m)之间的关系式;(4分)
(2)求人离开C点10 s内身影长度的平均变化率.(6分)
13.(10分)已知某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t,t∈.
(1)分别求s(t)在区间和上的平均速度;(5分)
(2)比较(1)中两个平均速度的大小,并说明其几何意义.(5分)
课时检测(四十一)
1．选B 函数值的改变量为－(2＋1)＝－.
2．选B 在[2,2.1]这段时间内的平均变化率为＝2.
3．选A 由题意得Δs＝s(2)－s(1)＝6×22＋2m－(6×12＋m)＝18＋m，Δt＝2－1＝1，因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，所以v＝＝＝18＋m＝20 m/s，解得m＝2.
4．选A 因为k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，又由题意知Δx>0，所以k1>k2.
5．选A 由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，所以f(t)在区间[t0－Δt，t0]，[t0，t0＋Δt](Δt>0)上的平均变化率由大变小，即k2>k1.
6．选D 由>0(x1>x0≥0)恒成立，可知y＝f(x)单调递增，即盈利增加．又平均变化率＝10>＝1，说明盈利增加的幅度变小．
7．选C 如图，令t＝5，t＝10，t＝15，t＝20，t＝35所对应的点分别为A，B，C，D，E，由图可知0>kAB>kAC>kAE>kAD，所以[5,20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快．
8．选B 二次函数f(x)＝x2在区间[2,4]上的平均变化率为＝＝6.
指数函数g(x)＝ax在区间[2,4]上的平均变化率为＝＝.因为两个函数在区间[2,4]上的平均变化率相同，所以＝6.又a＞0，且a≠1，解得a＝2.
9．解析：f(x)在区间[1,7]上的平均变化率为＝＝＝.
答案：
10．解析：从上午9：20到下午1：30，共250 min，这段时间内气温的变化量为15.9－23.4＝－7.5 ℃，(即气温下降7.5 ℃)，所以在这段时间内气温的平均变化率为＝－0.03(℃/min)．
答案：－0.03
11．解析：由＝＝a2＋a＋1＝21，解得a＝4或a＝－5.
又∵a>1，∴a＝4.
答案：4
12．解：(1)如图，设人从C点运动到B点位移为x m，AB为身影长度，为y m，D为路灯顶部，BE为此人的身高，由于CD∥BE，则＝，即＝，所以y＝0.25x.
(2)设人离开C点的时间为t s，而84 m/min＝1.4 m/s，而x＝1.4t，所以y＝0.35t.在[0,10]内自变量的增量为t2－t1＝10－0＝10，函数值的增量为f(t2)－f(t1)＝0.35×10－0.35×0＝3.5，所以＝＝0.35.即人离开C点10 s内身影长度的平均变化率为0.35 m/s.
13．解：(1)物体在区间上的平均速度为＝＝＝， 物体在区间上的平均速度为＝＝＝.
(2)由(1)可知 － ＝>0，所以 > .
作函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，在s(t)＝sin t的图象上，连接(0,0)，的直线的斜率大于连接，的直线的斜率．
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