5.1.2 瞬时变化率——导数
第1课时 曲线上一点处的切线 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
[课时目标]
1.了解以直代曲的数学思想,体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.会求函数在某点处的切线方程.
2.理解平均速度、瞬时速度、瞬时加速度的概念.会求实际问题中的瞬时速度和瞬时加速度.
3.理解导数及导函数的概念.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数.
逐点清(一) 曲线上一点处的切线
[多维理解]
曲线的割线和切线
名称 割线 切线
定义 设Q为曲线C上不同于P的一点,则 称为曲线的割线 当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处 的直线l,直线l称为曲线在点P处的切线
斜率 设曲线C上一点P(x,f(x)),过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x+Δx,f(x+Δx)),则割线PQ的斜率为 当点Q沿曲线C向点P运动,并无限逼近点P时,割线PQ逼近点P的切线l,从而割线的斜率逼近切线l的斜率,即当Δx无限趋近于0时, 无限趋近于点P(x,f(x))处的切线的斜率
|微|点|助|解|
一条直线与一条曲线有两个公共点,我们就说这条直线是这条曲线的割线,当这两个点不断靠近,并重合为一个点时,这条直线就变成了这条曲线的切线.
[微点练明]
1.已知函数f(x)的图象如图所示,A(x0,y0)在曲线上,x0∈[2,2+Δx]且Δx无限趋近于0,则在A点处的切线斜率近似为 ( )
A.f(2) B.f(2+Δx)
C. D.f(x0)
2.已知点P(-1,1)为曲线上的一点,PQ为曲线的割线,当Δx无限趋近于0时,若kPQ无限趋近于-2,则曲线在点P处的切线方程为 ( )
A.y=-2x+1 B.y=-2x-1
C.y=-2x+3 D.y=-2x-2
3.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率是 ;当Δx=0.1时,割线AB的斜率是 .
4.若曲线f(x)=x2+2x在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,求点P的坐标.
逐点清(二) 瞬时速度与瞬时加速度
[多维理解]
1.平均速度
在物理学中,运动物体的位移与 的比称为平均速度.
2.瞬时速度
一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于 ,那么 称为物体在 时的瞬时速度,也就是位移对于时间的 .
3.瞬时加速度
一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的 .
|微|点|助|解|
瞬时速度与平均速度的区别和联系
区别:瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态,而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态,与该段时间内的某一时刻无关.
联系:瞬时速度是平均速度的极限值.
[微点练明]
1.如果质点按规律S=2t3运动,则该质点在t=3时的瞬时速度为 ( )
A.6 B.18
C.54 D.81
2.某物体的运动速度与时间的关系为v(t)=2t2-1,则t=2时的加速度为 ( )
A.2 B.-2
C.8 D.-8
3.一质点M按运动方程s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s).若质点M在t=2时的瞬时速度为8 m/s,则常数a的值为 .
4.一质点按S=2t2+2t(位移单位:m,时间单位:s)做直线运动.求:
(1)该质点在前3 s内的平均速度;
(2)该质点在2 s到3 s内的平均速度;
(3)该质点在3 s时的瞬时速度.
逐点清(三) 导 数
[多维理解]
1.导数
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于 时,比值=无限趋近于一个 ,则称f(x)在x=x0处 ,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作 .f'(x0)=A=.
2.导数的几何意义
导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点 处的切线的 .
[微点练明]
1.设函数y=f(x)在x=x0处可导,且=1,则f'(x0)等于 ( )
A. B.-
C.1 D.-1
2.f(x)=x2在x=1处的导数为 ( )
A.2x B.2
C.2+Δx D.1
3.已知f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于 ( )
A.-4 B.2
C.-2 D.±2
4.根据导数的定义,求下列函数的导数:
(1)求函数y=x2+3在x=1处的导数;
(2)求函数y=在x=2处的导数.
第1课时 曲线上一点处的切线
[逐点清(一)]
[多维理解] 直线PQ 最逼近曲线 kPQ＝
[微点练明] 1.C 2.B 3.5 4.1
4．解：设P(x0，y0)，则f′(x0)
＝
＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.所用时间 2.一个常数 这个常数 t＝t0 瞬时变化率 3.瞬时变化率
[微点练明]
1．C 2.C 3.2
4．解：(1)因为＝＝＝8(m/s)，所以该质点在前3 s内的平均速度为8 m/s.
(2)因为＝＝2×32＋2×3－2×22－2×2＝12(m/s)．所以该质点在2 s到3 s内的平均速度为12 m/s.
(3)因为
＝
＝2Δt＋14，当Δt无限趋近于0时，
2Δt＋14无限趋近于14，
所以该质点在3 s时的瞬时速度为14 m/s.
[逐点清(三)]
[多维理解] 1.0 常数A 可导 f′(x0) 2.P(x0，f(x0)) 斜率
[微点练明]
1．A 2.B 3.D
4．解：(1)因为Δy＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx＋(Δx)2，
所以＝＝2＋Δx.
所以f′(1)＝＝ (2＋Δx)＝2.
(2)因为Δy＝－，
所以＝
＝＝，
所以f′(2)＝＝＝.
1 / 4(共43张PPT)
5.1.2
瞬时变化率——导数
曲线上一点处的切线
[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
第1课时
课时目标
1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.会求函数在某点处的切线方程.
2.理解平均速度、瞬时速度、瞬时加速度的概念.会求实际问题中的瞬时速度和瞬时加速度.
3.理解导数及导函数的概念.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 曲线上一点处的切线
逐点清(二) 瞬时速度与瞬时加速度
逐点清(三) 导 数
4
课时检测
逐点清(一) 曲线上一点处的切线
01
多维理解
曲线的割线和切线
名称 割线 切线
定义 设Q为曲线C上不同于P的一点，则__________称为曲线的割线 当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处_______________的直线l，直线l称为曲线在点P处的切线
斜率 设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x+Δx，f(x+Δx))，则割线 PQ的斜率为_______________ 当点Q沿曲线C向点P运动，并无限逼近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，
_______________无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率
直线PQ
最逼近曲线
kPQ=
|微|点|助|解|
一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线.
微点练明
1.已知函数f(x)的图象如图所示，A(x0，y0)在曲线上，x0∈[2，2+Δx]且Δx无限趋近于0，则在A点处的切线斜率近似为 ( )
A.f(2) B.f(2+Δx)
C. D.f(x0)
√
解析:由两点割线的斜率知，当Δx无限趋近于0时，函数f(x)在A点处的切线斜率近似为.
2.已知点P(-1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx无限趋近于0时，若kPQ无限趋近于-2，则曲线在点P处的切线方程为 ( )
A.y=-2x+1 B.y=-2x-1
C.y=-2x+3 D.y=-2x-2
√
解析:根据题意，可知在点P处切线的斜率为-2，所以在点P处的切线方程为y-1=-2(x+1)，整理得y=-2x-1.
3.已知曲线y=x2-1上两点A(2，3)，B(2+Δx，3+Δy)，当Δx=1时，割线AB的斜率是______；当Δx=0.1时，割线AB的斜率是______.
5
4.1
解析:当Δx=1时，割线AB的斜率k1====5；同理，当Δx=0.1时，割线AB的斜率k2=4.1.
4.若曲线f(x)=x2+2x在点P处的切线垂直于直线x+2y=0，求点P的坐标.
解:设P(x0，y0)，则f'(x0)=
=(2x0+2+Δx)=2x0+2.
因为点P处的切线垂直于直线x+2y=0，
所以点P处的切线的斜率为2，所以2x0+2=2，
解得x0=0，即点P的坐标是(0，0).
逐点清(二) 瞬时速度与瞬时加速度
02
多维理解
1.平均速度
在物理学中，运动物体的位移与______________的比称为平均速度.
2.瞬时速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于__________，那么_________称为物体在_____时的瞬时速度，也就是位移对于时间的_____________.
所用时间
一个常数
这个常数
t=t0
瞬时变化率
3.瞬时加速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的_________________.
瞬时变化率
|微|点|助|解|
瞬时速度与平均速度的区别和联系
区别:瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关.
联系:瞬时速度是平均速度的极限值.
微点练明
1.如果质点按规律S=2t3运动，则该质点在t=3时的瞬时速度为 ( )
A.6 B.18
C.54 D.81
√
解析:∵===2(Δt)2+18Δt+54，∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于54.故该质点在t=3时的瞬时速度为54.
2.某物体的运动速度与时间的关系为v(t)=2t2-1，则t=2时的加速度为 ( )
A.2 B.-2
C.8 D.-8
√
解析:由题意知，==4t+2Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4t，则该物体在t=2时的加速度为8.
3.一质点M按运动方程s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m，时间单位:s).若质点M在t=2时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为_____.
2
解析:∵Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2，∴=4a+aΔt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4a，即4a=8，解得a=2.
4.一质点按S=2t2+2t(位移单位:m，时间单位:s)做直线运动.求:
(1)该质点在前3 s内的平均速度；
解:因为===8(m/s)，所以该质点在前3 s内的平均速度为8 m/s.
(2)该质点在2 s到3 s内的平均速度；
解:因为==2×32+2×3-2×22-2×2=12(m/s).
所以该质点在2 s到3 s内的平均速度为12 m/s.
(3)该质点在3 s时的瞬时速度.
解:因为
=
=2Δt+14，当Δt无限趋近于0时，
2Δt+14无限趋近于14，
所以该质点在3 s时的瞬时速度为14 m/s.
逐点清(三) 导 数
03
多维理解
1.导数
设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于___时，比值=无限趋近于一个______，则称f(x)在x=x0处_______，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作______.f'(x0)=A=.
0
常数A
可导
f'(x0)
2.导数的几何意义
导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点___________处的切线的______.
P(x0，f(x0))
斜率
微点练明
1.设函数y=f(x)在x=x0处可导，且=1，则f'(x0)等于( )
A. B.-
C.1 D.-1
√
解析:由题意知=×
=f'(x0)=1，所以f'(x0)=.
2.f(x)=x2在x=1处的导数为 ( )
A.2x B.2
C.2+Δx D.1
√
解析:===(2+Δx)=2.
3.已知f(x)=，且f'(m)=-，则m的值等于( )
A.-4 B.2
C.-2 D.±2
√
解析:因为===，所以f'(m)= =
-=-，即m2=4，解得m=±2.
4.根据导数的定义，求下列函数的导数:
(1)求函数y=x2+3在x=1处的导数；
解:因为Δy=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2，
所以==2+Δx.
所以f'(1)==(2+Δx)=2.
(2)求函数y=在x=2处的导数.
解:因为Δy=-，
所以===，
所以f'(2)===.
课时检测
04
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3
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2
1.一物体的运动方程为v(t)=t2+3，则t=2时物体的加速度为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
√
解析:因为==2t+Δt.所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2t.所以t=2时物体的加速度为4.
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2.已知抛物线y=x2上有一点P，Q是点P附近的一点，则点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
√
解析:当x=1+Δx时，y=(1+Δx)2.
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3.若函数f(x)可导，则 等于( )
A.-2f'(1) B.f'(1)
C.-f'(1) D.f'
√
解析: =- =-f'(1).
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2
4.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 =-1，则f'(0)等于( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
√
解析:∵f(x)的图象过原点，∴f(0)=0，∴f'(0)= =
=-1.
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5.已知曲线y=x3在点(2，8)处的切线斜率为12a，则实数a的值是 ( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
√
解析:==3x2+3Δx·x+(Δx)2，因为当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x2，所以曲线在点(2，8)处的切线斜率k=12，所以12a=12，即a=1.
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6.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则 ( )
A.k1
C.k3√
解析:由题意得k1==4-1=3，k2==9-4=5，k3==16-9=7，∴k11
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7.一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s=t2+2t，设其在t∈[2，3]内的平均速度为v1，在t=2时的瞬时速度为v2，则等于( )
A. B. C. D.
√
解析:∵v1==7，==6+Δt，
当Δt 无限趋近于0时，无限趋近于6，∴v2=6， 则=.
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8.[多选]甲、乙的速度v与时间t的关系如图，a(b)是t=b时的加速度，S(b)是从t=0到t=b的路程，则下列说法正确的是 ( )
A.a甲(b)>a乙(b) B.a甲(b)C.S甲(b)>S乙(b) D.S甲(b)√
√
解析:加速度是速度v对t的函数图象的切线斜率，由题图可得在b处，甲的切线斜率小于乙的切线斜率，即甲在b处的加速度小于乙在b处的加速度；由题图知t=0到t=b，甲的速度总大于等于乙的速度，所以甲从t=0到t=b的路程大于乙从t=0到t=b的路程.故B、C正确.
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9.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设=a，则下列不等式正确的是( )
A.f'(1)C.f'(2)√
解析:由题图可知，函数在[0，+∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，+∞))的切线的斜率越来越大，∵=a，∴f'(1)1
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10.已知曲线f(x)=x2+x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
√
解析:∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2+(x+Δx)-x2-x=x·Δx+(Δx)2+Δx，∴=x+Δx+1，∴f'(x)==x+1.设切点坐标为(x0，y0)，则f'(x0)=x0
+1=3，∴x0=2.
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11.(5分)当h无限趋近于0时，无限趋近于___，无限趋近于____.
8
解析:==8+h，当h无限趋近于0时，8+h无限趋近于8.==，当h无限趋近于0时，无限趋近于.
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12.(5分)自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h=gt2，若t=2时的瞬时速度为19.6，则g=______.
9.8
解析:==2g+gΔt.当Δt→0时，2g+gΔt→2g.∴2g=19.6，解得g=9.8.
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13.(5分)已知曲线y=ax2+b在点(1，3)处的切线斜率为2，则=___.
2
解析:由题意知a+b=3，又y'|x=1= =(2a+aΔx)
=2a=2，∴a=1，b=2，故=2.
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14.(10分)求函数y=(x>-1)的导函数.
解:令f(x)=，则=
==
=.∴f'(x)= =.
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15.(10分)子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为S=at2，如果它的加速度是a=5×105 m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×1 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度.
解:因为ΔS=a(t0+Δt)2-a=at0Δt+a(Δt)2，所以=at0+aΔt.所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于at0.由题意知，a=5×105 m/s2，t0=1.6×1 s，所以at0=8×102=800(m/s)，即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.课时检测(四十二) 曲线上一点处的切线
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.一物体的运动方程为v(t)=t2+3,则t=2时物体的加速度为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
2.已知抛物线y=x2上有一点P,Q是点P附近的一点,则点Q的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
3.若函数f(x)可导,则 等于 ( )
A.-2f'(1) B.f'(1)
C.-f'(1) D.f'
4.若可导函数f(x)的图象过原点,且满足 =-1,则f'(0)等于 ( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
5.已知曲线y=x3在点(2,8)处的切线斜率为12a,则实数a的值是 ( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
6.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),割线AB,BC,CD的斜率分别为k1,k2,k3,则 ( )
A.k1C.k37.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+2t,设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1,在t=2时的瞬时速度为v2,则等于 ( )
A. B.
C. D.
8.[多选]甲、乙的速度v与时间t的关系如图,a(b)是t=b时的加速度,S(b)是从t=0到t=b的路程,则下列说法正确的是 ( )
A.a甲(b)>a乙(b) B.a甲(b)C.S甲(b)>S乙(b) D.S甲(b)9.已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是 ( )
A.f'(1)B.f'(1)C.f'(2)D.a10.已知曲线f(x)=x2+x的一条切线的斜率是3,则该切点的横坐标为 ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
11.(5分)当h无限趋近于0时,无限趋近于 ,无限趋近于 .
12.(5分)自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h=gt2,若t=2时的瞬时速度为19.6,则g= .
13.(5分)已知曲线y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= .
14.(10分)求函数y=(x>-1)的导函数.
15.(10分)子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动,运动方程为S=at2,如果它的加速度是a=5×105 m/s2,子弹在枪筒中的运动时间为1.6×1 s,求子弹射出枪口时的瞬时速度.
课时检测(四十二)
1．选A 因为＝＝2t＋Δt.所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2t.所以t＝2时物体的加速度为4.
2．选C 当x＝1＋Δx时，y＝(1＋Δx)2.
3．选C ＝
－ ＝－f′(1)．
4．选C ∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝ ＝ ＝－1.
5．选B ＝＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，因为当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x2，所以曲线在点(2,8)处的切线斜率k＝12，所以12a＝12，即a＝1.
6．选A 由题意得k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5，k3＝＝16－9＝7，∴k17．选A ∵v1＝＝7，
＝＝6＋Δt，
当Δt 无限趋近于0时，无限趋近于6，
∴v2＝6, 则＝.
8．选BC 加速度是速度v对t的函数图象的切线斜率，由题图可得在b处，甲的切线斜率小于乙的切线斜率，即甲在b处的加速度小于乙在b处的加速度；由题图知t＝0到t＝b，甲的速度总大于等于乙的速度，所以甲从t＝0到t＝b的路程大于乙从t＝0到t＝b的路程．故B、C正确．
9．选B 由题图可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，
∵＝a，∴f′(1)10．选D ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，∴＝x＋Δx＋1，
∴f′(x)＝ ＝x＋1.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
11．解析：＝＝8＋h，当h无限趋近于0时，8＋h无限趋近于8.＝＝，当h无限趋近于0时，无限趋近于.
答案：8
12．解析：＝＝2g＋gΔt.当Δt―→0时，2g＋gΔt―→2g.
∴2g＝19.6，解得g＝9.8.
答案：9.8
13．解析：由题意知a＋b＝3，又y′|x＝1＝
＝ (2a＋aΔx)＝2a＝2，∴a＝1，b＝2，故＝2.
答案：2
14．解：令f(x)＝，
则＝
＝
＝
＝.
∴f′(x)＝ ＝.
15．解：因为ΔS＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，所以＝at0＋aΔt.所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于at0.由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，所以at0＝8×102＝800(m/s)，即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
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