第2课时 导数的几何意义及应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标] 进一步了解导函数的概念,理解导数的几何意义.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
题型(一) 利用导数的几何意义判断函数的图象变化
[例1] 若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]内单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]内的图象可能是 ( )
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)曲线f(x)在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值,从而得出在x=x0附近曲线是上升的;f'(x0)<0说明在x=x0附近曲线是下降的.
(2)曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢.
[针对训练]
1.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系正确的是 ( )
A.0B.0C.0D.0题型(二) 利用导数的几何意义求解切线问题
题点1 求切线方程
[例2] 已知曲线y=x3+,求曲线在点P(2,4)处的切线方程.
听课记录:
[变式拓展]
1.本例条件不变,求曲线过点P(2,4)的切线方程.
2.本例条件不变,求满足斜率为1的曲线的切线方程.
|思|维|建|模|
求曲线切线方程的两种情形
(1)如果所给点P(x0,y0)是切点,一般叙述为“在点P处的切线”,此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f'(x0),即得切线的斜率k=f'(x0),再根据点斜式得出切线方程.
(2)如果所给点P不是切点,应先设出切点M(x0,y0),再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述,点P不一定是切点,也不一定在曲线上.
题点2 求切点坐标或参数
[例3] (1)已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a= ( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
(2)已知f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
求切点坐标的步骤
(1)设出切点坐标;
(2)利用导数或斜率公式求出斜率;
(3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标;
(4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标.
[针对训练]
2.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,则a的值为 ,切点坐标为 .
3.已知曲线f(x)=.
(1)求过点A(1,0)的切线方程;
(2)求满足斜率为-的曲线的切线方程.
题型(三) 导函数的实际意义
[例4] 对一名工人的研究表明,工作t h后生产出的产品量Q(单位:t)可以近似表示为Q=Q(t)=-t3+15t2+12t,该工人每天工作8 h.
(1)求当t从2 h变到4 h时,该工人生产的产品量Q关于时间t的平均变化率,并解释它的实际意义;
(2)求Q'(2),Q'(4),并解释它们的实际意义.
听课记录:
|思|维|建|模|
函数y=f(x)在x=x0处的导函数f'(x0)反映了函数在x=x0处的瞬时变化率,它揭示了事物在某时刻的变化情况.
[针对训练]
4.建造一栋占地面积为x m2的房屋需要成本y万元,y是x的函数,y=f(x)=++0.3,求f'(100),并解释它的实际意义.
第2课时 导数的几何意义及应用
[题型(一)]
[例1] 选A 函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]内单调递增，由导数的几何意义可知，曲线y＝f(x)在区间[a，b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．
[针对训练]
1．选C kAB＝＝f(3)－f(2)，f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，根据图象可知0[题型(二)]
[例2] 解：∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k＝
＝ ＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
[变式拓展]
1．解：设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，
则切线的斜率为k＝
＝x，∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝xx－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0.
∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
2．解：设切点为(x0，y0)，
由变式拓展1可知切线的斜率为k＝x，即x＝1，x0＝±1，∴切点为或(－1,1)，∴切线方程为y－＝x－1或y－1＝x＋1，即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
[例3] (1)选B
f′(1)＝
＝
＝ [(Δx)2＋3Δx＋3＋a]＝3＋a.
又曲线f(x)在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，∴f′(1)·＝(3＋a)·＝－1，解得a＝1.
(2)解析：设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝[2(x0＋Δx)2＋1]－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0＋2Δx，∴f′(x0)＝ ＝4x0.
又∵切线的斜率为k＝tan 45°＝1，
∴4x0＝1，即x0＝.∴y0＝2×2＋1＝，∴切点坐标为.
答案：
[针对训练]
2．解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，因为y′＝
＝3x2－2x，则y′|x＝x0＝3x－2x0＝1，
解得x0＝1或x0＝－.
当x0＝1时，y0＝x－x＋1＝1.
又因为(x0，y0)在直线y＝x＋a上，将x0＝1，y0＝1代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去．
当x0＝－时，y0＝x－x＋1＝，
则切点坐标为，将代入直线y＝x＋a中得a＝.
答案：
3．解：(1)f′(x)＝
＝ ＝－.
设过点A(1,0)的切线的切点为P，则f′(x0)＝－，即该切线的斜率k＝－.因为点A(1,0)，P在切线上，所以＝－，解得x0＝，故切线的斜率k＝－4，故曲线过点(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.
(2)设斜率为－的切线的切点为Q，由(1)，知k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±，
所以切点坐标为或.故满足斜率为－的曲线的切线方程为y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
[题型(三)]
[例4] 解：(1)由题意可知，＝＝74，它表示该工人在2 h到4 h时间段内，平均每小时生产产品量为74 t.
(2)由题意可得Q′(t)＝－3t2＋30t＋12，所以Q′(2)＝－12＋60＋12＝60，Q′(4)＝－48＋120＋12＝84.Q′(2)＝60表示在2 h时刻，工人的生产速度为每小时生产出的产品量为60 t，Q′(4)＝84表示在4 h时刻，工人的生产速度为每小时生产出的产品量为84 t.
[针对训练]
4．解：根据导数的定义，得f′(100)
＝＝＝
＝
＝
＝＋＝0.105.
f′(100)＝0.105表示当建筑房屋占地面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2.
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导数的几何意义及应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
进一步了解导函数的概念，理解导数的几何意义.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 利用导数的几何意义判断函数的图象变化
题型(二) 利用导数的几何意义求解切线问题
题型(三) 导函数的实际意义
4
课时检测
题型(一) 利用导数的几何意义判断函数的图象变化
01
[例1] 若函数y=f(x)的导函数在区间[a，b]内单调递增，则函数y=f(x)在区间[a，b]内的图象可能是 ( )
√
解析:函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在[a，b]内单调递增，由导数的几何意义可知，曲线y=f(x)在区间[a，b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合.
|思|维|建|模|
(1)曲线f(x)在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x=x0附近曲线是上升的；f'(x0)<0说明在x=x0附近曲线是下降的.
(2)曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.
针对训练
1.已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系正确的是 ( )
A.0B.0C.0D.0√
解析:kAB==f(3)-f(2)，f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，根据图象可知0题型(二) 利用导数的几何意义求解切线问题
02
题点1 求切线方程
[例2] 已知曲线y=x3+，求曲线在点P(2，4)处的切线方程.
解:∵P(2，4)在曲线y=x3+上，∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为
k= = =4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.
变式拓展
1.本例条件不变，求曲线过点P(2，4)的切线方程.
解:设曲线y=x3+与过点P(2，4)的切线相切于点A，
则切线的斜率为k= =，
∴切线方程为y-=(x-x0)，即y=x-+.
∵点P(2，4)在切线上，∴4=2-+，
即-3+4=0.∴+-4+4=0，
∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，∴(x0+1)(x0-2)2=0，
解得x0=-1或x0=2.故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
2.本例条件不变，求满足斜率为1的曲线的切线方程.
解:设切点为(x0，y0)，
由变式拓展1可知切线的斜率为k=，即=1，x0=±1，∴切点为或(-1，1)，∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1，即3x-3y+2=0或x-y+2=0.
|思|维|建|模|
求曲线切线方程的两种情形
(1)如果所给点P(x0，y0)是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)，即得切线的斜率k=f'(x0)，再根据点斜式得出切线方程.
(2)如果所给点P不是切点，应先设出切点M(x0，y0)，再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上.
题点2 求切点坐标或参数
[例3] (1)已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a=( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
解析:f'(1)===[(Δx)2+3Δx
+3+a]=3+a.又曲线f(x)在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴f'(1)·
=(3+a)·=-1，解得a=1.
√
(2)已知f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为_______.
解析:设切点坐标为(x0，y0)，则Δy=[2(x0+Δx)2+1]-(2+1)=4x0·Δx+2(Δx)2，∴=4x0+2Δx，∴f'(x0)==4x0.又∵切线的斜率为k=tan 45°=1，∴4x0=1，即x0=.∴y0=2×+1=，∴切点坐标为.
|思|维|建|模|
求切点坐标的步骤
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.
针对训练
2.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切，则a的值为_______，切点坐标为___________.
解析:设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，因为y'==3x2-2x，则y'=3-2x0=1，
解得x0=1或x0=-.当x0=1时，y0=-+1=1.又因为(x0，y0)在直线y=x+a上，将x0=1，y0=1代入得a=0，与已知条件矛盾，舍去.当x0=-时，y0=-+1
=，则切点坐标为，将代入直线y=x+a中得a=.
3.已知曲线f(x)=.
(1)求过点A(1，0)的切线方程；
解: f'(x)===-.设过点A(1，0)的切线的切点为P，则f'(x0)=-，即该切线的斜率k=-.因为点A(1，0)，P在切线上，所以=-，解得x0=，故切线的斜率k=-4，故曲线过点(1，0)的切线方程为y=-4(x-1)，即4x+y-4=0.
(2)求满足斜率为-的曲线的切线方程.
解:设斜率为-的切线的切点为Q，
由(1)，知k=f'(a)=-=-，得a=±，
所以切点坐标为或.故满足斜率为-的曲线的切线方程为y-=-(x-)或y+=-(x+)，即x+3y-2=0或x+3y+2=0.
题型(三) 导函数的实际意义
03
[例4] 对一名工人的研究表明，工作t h后生产出的产品量Q(单位:t)可以近似表示为Q=Q(t)=-t3+15t2+12t，该工人每天工作8 h.
(1)求当t从2 h变到4 h时，该工人生产的产品量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
解:由题意可知，==74，
它表示该工人在2 h到4 h时间段内，
平均每小时生产产品量为74 t.
(2)求Q'(2)，Q'(4)，并解释它们的实际意义.
解:由题意可得Q'(t)=-3t2+30t+12，所以Q'(2)=-12+60+12=60，Q'(4)=-48+120+12=84.Q'(2)=60表示在2 h时刻，工人的生产速度为每小时生产出的产品量为60 t，Q'(4)=84表示在4 h时刻，工人的生产速度为每小时生产出的产品量为84 t.
|思|维|建|模|
函数y=f(x)在x=x0处的导函数f'(x0)反映了函数在x=x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况.
针对训练
4.建造一栋占地面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y=f(x)=++0.3，求f'(100)，并解释它的实际意义.
解:根据导数的定义，得f'(100)==
==
==+=0.105.
f'(100)=0.105表示当建筑房屋占地面积为100 m2时，
成本增加的速度为1 050元/m2.
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1.函数f(x)=的图象如图所示，则下列大小关系正确的是( )
A.f'(-2)B.f'(-1)C.f'(1)D.f'(1)√
解析:因为函数在某点处的导数值表示的是此点处切线的斜率，所以由图可得，f'(1)<
f'(-1)15
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2.若曲线y=h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x+y+1=0，则 ( )
A.h'(a)=0 B.h'(a)<0
C.h'(a)>0 D.h'(a)不确定
√
解析:由2x+y+1=0，得y=-2x-1.由导数的几何意义知，h'(a)=-2<0.
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3.已知函数f(x)满足f'(x1)>0，f'(x2)<0，则在x=x1和x=x2附近符合条件的f(x)的图象大致是 ( )
解析:由f'(x1)>0，f'(x2)<0可知，f(x)的图象在x=x1处切线的斜率为正，在x=x2处切线的斜率为负.
√
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4.曲线y=x3-2在点处的切线的倾斜角为( )
A.30° B.45°
C.135° D.60°
√
解析:∵==1，∴切线的斜率为1，∴倾斜角为45°.
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5.若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为 ( )
A.4x-y-4=0 B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0
√
解析:设切点为(x0，y0)，因为f'(x)= =(2x+Δx)=2x.由题意可知，切线斜率k=4，即f'(x0)=2x0=4，所以x0=2.所以切点坐标为(2，4)，所以切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.
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6.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是( )
A.(-∞，-1) B.(-1，1)
C.(-∞，1) D.(1，+∞)
√
解析:y=x+上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率k=y'=
==1-<1.即k<1.
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7.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0)在x=0处的导数f'(0)>0，函数f(x)的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为( )
A.2 B. C.3 D.
√
解析:f'(0)==(aΔx+b)=b>0.
∵函数f(x)的图象与x轴恰有一个交点，即b2-4a=0，∴==+
+1≥2+1=2，当且仅当=，即b=2时等号成立.故的最小值为2.故选A.
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8.(5分)已知函数y=f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x-y-2=0平行，则y'|x=2=____.
3
解析:因为直线3x-y-2=0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y'=3.
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9.(5分)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则=_____.
-2
解析:由导数的概念和几何意义知，=f'(1)=kAB==-2.
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10.(5分)已知函数f(x)=ax2+2bx的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y=4x+3，则a=____，b=____.
-3
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解析:由导数的定义得，函数的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为f'(1)=2a+2b=4.由切线方程为y=4x+3，可得f(1)=a+2b=4+3=7，所以
a=-3，b=5.
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11.(5分)若点P是抛物线y=2x2+1上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为______.
解析:由题意知，当点P到直线y=x-2的距离最小时，点P为抛物线y=2x2+1的一条切线的切点，且该切线平行于直线y=x-2.设y=f(x)=2x2+1.由导数的几何意义知y'=f'(x)==4x=1，解得x=，∴P，故点P到直线y=x-2的最小距离d==.
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12.(10分)已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，Q(2，-1)，且在点Q处与直线y=x-3相切，求实数a，b，c的值.
解:∵曲线y=ax2+bx+c过点P(1，1)，∴a+b+c=1①.
∵y'==
==(2ax+b+aΔx)=2ax+b，
∴y'|x=2=4a+b，∴4a+b=1②.
又曲线过Q(2，-1)点，∴4a+2b+c=-1③，
联立①②③解得a=3，b=-11，c=9.
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13.(10分)在抛物线y=x2上，哪一点处的切线平行于直线4x-y+1=0 哪一点处的切线垂直于这条直线
解:y'==(2x+Δx)=2x.设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x-y+1=0，则k1=2x0=4，解得x0=2.所以y0==4，即P(2，4).设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x-y+1=0，则k2=2x1=
-，解得x1=-.所以y1==，即Q.故抛物线y=x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x-y+1=0，在点处的切线垂直于直线4x-y+1=0.
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14.(10分)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0)，若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y-6=0平行，求a的值.
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解:设切点为P(x0，y0)，则f'(x0)=
=[3+3x0Δx+(Δx)2+2ax0+aΔx-9]=3+2ax0-9=3-9-.
∵斜率最小的切线与直线12x+y-6=0平行，
∴该切线斜率为-12.∴-9-=-12.解得a=±3.又a<0，∴a=-3.
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15.(10分)已知曲线y=x2+1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线 若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
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解:∵==2x+Δx，∴y'==(2x+Δx)=2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k=y'=2x0，
由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).
又∵切线过点(1，a)，且y0=+1，∴a-(+1)=2x0(1-x0)，
即-2x0+a-1=0.∵切线有两条，∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(-∞，2).课时检测(四十三) 导数的几何意义及应用
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.函数f(x)=的图象如图所示,则下列大小关系正确的是 ( )
A.f'(-2)B.f'(-1)C.f'(1)D.f'(1)2.若曲线y=h(x)在点P(a,h(a))处的切线方程为2x+y+1=0,则 ( )
A.h'(a)=0 B.h'(a)<0
C.h'(a)>0 D.h'(a)不确定
3.已知函数f(x)满足f'(x1)>0,f'(x2)<0,则在x=x1和x=x2附近符合条件的f(x)的图象大致是 ( )
4.曲线y=x3-2在点处的切线的倾斜角为 ( )
A.30° B.45°
C.135° D.60°
5.若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为 ( )
A.4x-y-4=0 B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0
6.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
7.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0)在x=0处的导数f'(0)>0,函数f(x)的图象与x轴恰有一个交点,则的最小值为 ( )
A.2 B.
C.3 D.
8.(5分)已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y'|x=2= .
9.(5分)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则= .
10.(5分)已知函数f(x)=ax2+2bx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x+3,则a= ,b= .
11.(5分)若点P是抛物线y=2x2+1上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 .
12.(10分)已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),Q(2,-1),且在点Q处与直线y=x-3相切,求实数a,b,c的值.
13.(10分)在抛物线y=x2上,哪一点处的切线平行于直线4x-y+1=0 哪一点处的切线垂直于这条直线
14.(10分)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y-6=0平行,求a的值.
15.(10分)已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
课时检测(四十三)
1.选C 因为函数在某点处的导数值表示的是此点处切线的斜率，所以由图可得，f′(1)2．选B 由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1.由导数的几何意义知，h′(a)＝－2<0.
3．选D 由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x＝x1处切线的斜率为正，在x＝x2处切线的斜率为负．
4．选B ∵ ＝ ＝1，∴切线的斜率为1，∴倾斜角为45°.
5．选A 设切点为(x0，y0)，因为f′(x)＝
＝ (2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2,4)，所以切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
6．选C y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率k＝y′|x＝x0
＝
＝ ＝1－<1.即k<1.
7．选A f′(0)＝
＝
(aΔx＋b)＝b>0.
∵函数f(x)的图象与x轴恰有一个交点，
即b2－4a＝0，
∴＝＝＋＋1≥2＋1＝2，当且仅当＝，即b＝2时等号成立．故的最小值为2.故选A.
8．解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
答案：3
9．解析：由导数的概念和几何意义知， ＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
答案：－2
10．解析：由导数的定义得，函数的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)＝2a＋2b＝4.
由切线方程为y＝4x＋3，可得f(1)＝a＋2b＝4＋3＝7，所以a＝－3，b＝5.
答案：－3 5
11．解析：由题意知，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝2x2＋1的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2.设y＝f(x)＝2x2＋1.由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝ ＝4x＝1，解得x＝，∴P，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝＝.
答案：
12．解：∵曲线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，
∴a＋b＋c＝1①.
∵y′＝
＝
＝
＝ (2ax＋b＋aΔx)＝2ax＋b，
∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1②.
又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1③，联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.
13．解：y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，则k1＝2x0＝4，解得x0＝2.所以y0＝x＝4，即P(2,4)．设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，则k2＝2x1＝－，解得x1＝－.所以y1＝x＝，即Q.故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
14．解：设切点为P(x0，y0)，则f′(x0)＝
＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2＋2ax0＋aΔx－9]＝3x＋2ax0－9＝32－9－.
∵斜率最小的切线与直线12x＋y－6＝0平行，
∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
15．解：∵＝＝2x＋Δx，
∴y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，
则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，
由点斜式可得所求切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)．
又∵切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，
∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，即x－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．
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