5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.
2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题.
1.几个一般函数的求导公式
原函数 导函数
f(x)=kx+b(k,b为常数) f'(x)=
f(x)=C(C为常数) f'(x)=
f(x)=x f'(x)=
f(x)=x2 f'(x)=
f(x)=x3 f'(x)=3x2
f(x)= f'(x)=-
f(x)= f'(x)=
2.基本初等函数的求导公式
原函数 导函数
f(x)=xα(α为常数) f'(x)=
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ex f'(x)=
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
f(x)=sin x f'(x)=
f(x)=cos x f'(x)=
|微|点|助|解|
关于几个基本初等函数导数公式的特点
(1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”.
(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数.
(3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数.
基础落实训练
1.已知f(x)=cos 30°,则f'(x)的值为 ( )
A.- B.
C.- D.0
2.若f(x)=,则f'(1)等于 ( )
A.0 B.-
C.3 D.
3.已知函数f(x)=x3,f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x0)=12,则x0= ( )
A.2 B.-2
C.±2 D.±
题型(一) 用公式求函数的导数
[例1] 求下列函数的导数:
(1)y=x-3;(2)y=3x;(3)y= ;
(4)y=lox;(5)y=cos;
(6)y=sin;(7)y=ln x;(8)y=ex.
听课记录:
|思|维|建|模|
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂.
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.
[针对训练]
1.求下列函数的导数:
(1)y=6x;(2)y=x2;
(3)y=cos2-sin2.
2.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为,求底数a的值.
题型(二) 利用导数公式求曲线的切线方程
[例2] 已知曲线y=ln x,点P(e,1)是曲线上一点,求曲线在点P处的切线方程.
听课记录:
[变式拓展]
1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线,求k的值.
2.求曲线y=ln x过点O(0,0)的切线方程.
3.若方程ln x=mx恰有一个根,求m的取值范围.
|思|维|建|模|
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数;
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
[针对训练]
3.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )
A.e2 B.2e2
C.e2 D.
4.在曲线y=f(x)=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.
题型(三) 导数公式的实际应用
[例3] 质点的运动方程是s=sin t,则质点在t=时的速度为 ,质点运动的加速度为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数.
[针对训练]
5.已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为y=,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min.
5.2.1 基本初等函数的导数
?课前预知教材
1．k 0 1 2x
2．αxα－1 axln a ex cos x －sin x
[基础落实训练]
1．选D ∵f(x)＝cos 30°＝，因此，f′(x)＝0.
2．选D 因为f(x)＝，则f′(x)＝x－，所以f′(1)＝.
3．选C 依题意f′(x)＝3x2，故3x＝12，解得x0＝±2.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)y′＝－3x－4.
(2)y′＝3xln 3.
(3)y＝ ＝ ＝x，
∴y′＝x－＝ .
(4)y′＝＝－.
(5)y＝sin x，y′＝cos x．(6)y′＝0.
(7)y′＝.(8)y′＝ex.
[针对训练]
1．解：(1)y′＝(6x)′＝6xln 6.
(2)y′＝(x2)′＝(x)′＝x－1＝x.
(3)∵y＝cos2－sin2＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
2．解：f′(x)＝(logax)′＝，
由题得f′(2)＝＝，
所以ln a＝ln 2，得a＝2.
[题型(二)]
[例2] 解：因为y′＝，所以当x＝e时，
y′＝，即切线斜率为，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
[变式拓展]
1．解：设切点坐标为(x0，y0)，
由题意得y′|x＝x0＝＝k，
又解得∴k＝.
2．解：因为点O(0,0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率k＝，又因为k＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，所以切线方程为x－ey＝0.
3．解：问题可以转化为函数y＝ln x与y＝mx的图象有且仅有一个公共点．由图象易知m≤0满足条件．
另外就是y＝mx是y＝ln x的切线时满足条件．
因为y＝mx的图象过(0,0)，
设切点为Q(a，b)，则切线斜率m＝，
又因为m＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，m＝，即m的取值范围为(－∞，0]∪.
[针对训练]
3．选D y′＝ex，在点(2，e2)处的切线为y－e2＝e2(x－2)，截距分别为－e2,1，故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1＝.
4．解：设切点坐标为P(x0，y0)，f′(x0)＝－2x＝tan 135°＝－1，即－2x＝－1，
∴x0＝2 .
代入曲线方程得y0＝2－，
∴点P的坐标为.
[题型(三)]
[例3] 解析：v(t)＝s′(t)＝cos t，
∴v＝cos ＝，
即质点在t＝时的速度为.
∵v(t)＝cos t，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t．a＝－sin＝－.
答案： －
[针对训练]
5．解析：因为y＝f(t)＝＝t，
所以f′(t)＝′＝t－，
所以f′(4)＝×4－＝，
故在t＝4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min.
答案：
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5.2.1
基本初等函数的导数
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
课时目标
1.能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数.
2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.几个一般函数的求导公式
原函数 导函数
f(x)=kx+b(k，b为常数) f'(x)=____
f(x)=C(C为常数) f'(x)=____
f(x)=x f'(x)=____
f(x)=x2 f'(x)=____
f(x)=x3 f'(x)=3x2
f(x)= f'(x)=-
f(x)= f'(x)=
k
0
1
2x
2.基本初等函数的求导公式
原函数 导函数
f(x)=xα(α为常数) f'(x)=_______
f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=_______
f(x)=ex f'(x)=_______
f(x)=logax(a>0，且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
f(x)=sin x f'(x)=_______
f(x)=cos x f'(x)=_______
αxα-1
axln a
ex
cos x
-sin x
|微|点|助|解|
关于几个基本初等函数导数公式的特点
(1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”.
(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数.
(3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数.
基础落实训练
1.已知f(x)=cos 30°，则f'(x)的值为 ( )
A.- B.
C.- D.0
√
解析:∵f(x)=cos 30°=，因此，f'(x)=0.
2.若f(x)=，则f'(1)等于( )
A.0 B.-
C.3 D.
√
解析:因为f(x)=，则f'(x)=，所以f'(1)=.
3.已知函数f(x)=x3，f'(x)是f(x)的导函数，若f'(x0)=12，则x0= ( )
A.2 B.-2
C.±2 D.±
√
解析:依题意f'(x)=3x2，故3=12，解得x0=±2.
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 用公式求函数的导数
[例1] 求下列函数的导数:
(1)y=x-3；
解: y'=-3x-4.
(2)y=3x；
解:y'=3xln 3.
(3)y= ；
解:y= = =，∴y'== .
(4)y=lox；
解: y'==-.
(5)y=cos；
解:y=sin x，y'=cos x.
(6)y=sin；
解:y'=0.
(7)y=ln x；
解:y'=.
(8)y=ex.
解:y'=ex.
|思|维|建|模|
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂.
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
针对训练
1.求下列函数的导数:
(1)y=6x；
解: y'=(6x)'=6xln 6.
(2)y=x2；
解: y'=(x2)'=()'==.
(3)y=cos2-sin2.
解:∵y=cos2-sin2=cos x，∴y'=(cos x)'=-sin x.
2.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为，求底数a的值.
解:f'(x)=(logax)'=，由题得f'(2)==，
所以ln a=ln 2，得a=2.
题型(二) 利用导数公式求曲线的切线方程
[例2] 已知曲线y=ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.
解:因为y'=，所以当x=e时，y'=，
即切线斜率为，所以切线方程为y-1=(x-e)，即x-ey=0.
变式拓展
1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线，求k的值.
解:设切点坐标为(x0，y0)，由题意得y'==k，
又解得∴k=.
2.求曲线y=ln x过点O(0，0)的切线方程.
解:因为点O(0，0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率k=，又因为k=，且b=ln a，所以a=e，b=1，所以切线方程为x-ey=0.
3.若方程ln x=mx恰有一个根，求m的取值范围.
解:问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象易知m≤0满足条件.
另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件.
因为y=mx的图象过(0，0)，设切点为Q(a，b)，则切线斜率m=，
又因为m=，且b=ln a，所以a=e，b=1，m=，
即m的取值范围为(-∞，0]∪.
|思|维|建|模|
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
针对训练
3.曲线y=ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )
A.e2 B.2e2
C.e2 D.
√
解析:y'=ex，在点(2，e2)处的切线为y-e2=e2(x-2)，截距分别为-e2，1，故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1=.
4.在曲线y=f(x)=上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.
解:设切点坐标为P(x0，y0)，f'(x0)=-2=tan 135°=-1，
即-2=-1，∴x0= .
代入曲线方程得y0=，∴点P的坐标为.
题型(三) 导数公式的实际应用
[例3] 质点的运动方程是s=sin t，则质点在t=时的速度为____，质点运动的加速度为_______.
-
解析:v(t)=s'(t)=cos t，∴v=cos =，即质点在t=时的速度为.
∵v(t)=cos t，∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t.a=-sin=-.
|思|维|建|模|
由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
针对训练
5.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为y=，则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为______mm/min.
解析:因为y=f(t)==，所以f'(t)='=，
所以f'(4)=×=，故在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min.
课时检测
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1.[多选]下列运算错误的是 ( )
A.(2x)'=2xlog2e B.()'=
C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'=
√
√
解析:对于A，(2x)'=2xln 2，A错误；对于B，()'=()'==，B正确；对于C，(sin 1)'=0，C错误；对于D，(log3x)'=，D正确.
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2.已知函数f(x)=，则f'(-2) =( )
A.4 B.
C.-4 D.-
√
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解析:∵f'(x)=-，∴f'(-2)=-=-.故选D.
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3.函数f(x)=x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率，则m= ( )
A. B.1 C.2 D.
√
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解析:函数f(x)=x2在区间[0，2]上的平均变化率等于==2.由f(x)=x2，得f'(x)=2x，所以f'(m)=2m.因为函数f(x)=x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率，所以2=2m，解得m=1.
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4.设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M=m，则f'(x) ( )
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不确定
√
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解析:因为M=m且M，m分别是函数f(x)的最大值和最小值，所以f(x)为常函数，故f'(x)=0.
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5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定
√
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解析:∵f'(x)=3x2，设切点为(x0，)，∴3=1，解得x0=±，∴在点和点处有斜率等于1的切线，∴满足题意切线有2条.故选B.
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6.已知函数f(x)及其导数f'(x)，若存在x0使得f(x0)=f'(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是 ( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x
C.f(x)=sin x D.f(x)=2x
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√
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解析:对于A，f'(x)=2x，由x2=2x解得x=0或x=2，所以f(x)存在“巧值点”；对于B，f'(x)=(x>0)，作函数f(x)与f'(x)的图象，由图可知f(x)存在“巧值点”；对于C，f'(x)=cos x，由sin x=cos x得tan x=1，解得x=+kπ，k∈Z，所以f(x)存在“巧值点”；对于D，f'(x)=2xln 2，因为2x>0，所以2x=2xln 2无实数解，所以f(x)不存在“巧值点”.
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7.若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间距离AB的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
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√
解析:点A(a，a)在直线y=x，点B(b，eb)在y=ex上.由y=ex，得y'=ex.设y=ex的切线的切点为(x0，y0)，令y'=1 =1 x0=0 ，所以y=ex在点(0，1)处的切线为y=x+1，此时切线y=x+1与直线y=x平行，直线y=x与y=x+1之间的距离=为AB的最小值.
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8.(5分)已知函数f(x)=ln x，则=_______.
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解析:∵f(x)=ln x，∴f'(x)=，∴=f'(2)=.
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9.(5分)已知曲线y=x2的一条切线倾斜角为，则切点坐标为_________.
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解析:设切点为(x0，)，由y=x2，求导得y'=2x，可得切线的斜率为k=f'(x0)=2x0，由切线倾斜角为，则斜率是1，即2x0=1，解得x0=，故切点的坐标为.
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10.(5分)已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0，则c=_____.
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-1
解析:设切点为(x0，ln x0)，由y=ln x得y'=.因为曲线y=ln x在x=x0处的切线为x-y+c=0，其斜率为1.所以y'==1，即x0=1，所以切点为(1，0).所以1-0+c=0，解得c=-1.
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11.(5分)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c叫作f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值点”为______.
15
e-1
解析:由f(x)=ln x可得f'(x)=，令x0为函数f(x)=ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值点”，则==，解得x0=e-1.
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12.(5分)抛物线y=x2上的一动点M到直线l:x-y-1=0距离的最小值为______.
15
解析:因为y=x2，所以y'=2x，令y'=2x=1，得x=，所以与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的直线的切点为，切线方程为y-=x-，即x-y-=0，由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离d==.
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13.(10分)若质点P的运动方程是s(t)=(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t=8 s时的瞬时速度.
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解:s(t)=，故s'(t)=，s'(8)=×=，故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.
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14.(10分)直线y=-x+b是下列函数的切线吗 如果是，请求出b的值；如果不是，请说明理由.
(1)y=ln x；(4分)
15
解:函数y=ln x的定义域为(0，+∞)，
则对任意的x>0，y'=>0，
所以直线y=-x+b不是曲线y=ln x的切线.
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(2)y=.(6分)
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解:函数y=的定义域为{x|x≠0}，令y'=-=-1，解得x=±1，
将x=1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(1，1)，
则-1+b=1，解得b=2.
将x=-1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(-1，-1)，则1+b=-1，解得b=-2.综上所述，y=-x+b是函数y=的切线方程，且b=±2.
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15.(10分)设l是曲线y=的一条切线，证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
15
证明:由题意，设点P(x0，y0)为y=图象上的任意一点，且点P的切线即为l，很明显y0=，y'=-，则y'=-.
故曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率为-，
∴切线l方程为y-y0=-(x-x0)，
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即y-=-(x-x0).当x=0时，y=；当y=0时，x=2x0，
∴l与坐标轴所围成的三角形的面积S=··2|x0|=2.
很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值，
与切点选取无关.
所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
15
9课时检测(四十四) 基本初等函数的导数
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.[多选]下列运算错误的是 ( )
A.(2x)'=2xlog2e B.()'=
C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'=
2.已知函数f(x)=,则f'(-2) = ( )
A.4 B.
C.-4 D.-
3.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m= ( )
A. B.1
C.2 D.
4.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f'(x) ( )
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不确定
5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定
6.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中,没有“巧值点”的是 ( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x
C.f(x)=sin x D.f(x)=2x
7.若点A(a,a),B(b,eb)(a,b∈R),则A,B两点间距离AB的最小值为 ( )
A.1 B.
C. D.2
8.(5分)已知函数f(x)=ln x,则= .
9.(5分)已知曲线y=x2的一条切线倾斜角为,则切点坐标为 .
10.(5分)已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c= .
11.(5分)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,内容为如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不间断,在开区间(a,b)内的导数为f'(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立,其中c叫作f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理,可得函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”为 .
12.(5分)抛物线y=x2上的一动点M到直线l:x-y-1=0距离的最小值为 .
13.(10分)若质点P的运动方程是s(t)=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度.
14.(10分)直线y=-x+b是下列函数的切线吗 如果是,请求出b的值;如果不是,请说明理由.
(1)y=ln x;(4分)
(2)y=.(6分)
15.(10分)设l是曲线y=的一条切线,证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
课时检测(四十四)
1．选AC 对于A，(2x)′＝2xln 2，A错误；对于B，()′＝(x)′＝x－＝，B正确；对于C，(sin 1)′＝0，C错误；对于D，(log3x)′＝，D正确．
2．选D ∵f′(x)＝－，∴f′(－2)＝－＝－.故选D.
3．选B 函数f(x)＝x2在区间[0,2]上的平均变化率等于＝＝2.由f(x)＝x2，得f′(x)＝2x，所以f′(m)＝2m.因为函数f(x)＝x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，所以2＝2m，解得m＝1.
4．选A 因为M＝m且M，m分别是函数f(x)的最大值和最小值，所以f(x)为常函数，故f′(x)＝0.
5．选B ∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，x)，∴3x＝1，解得x0＝±，∴在点和点处有斜率等于1的切线，∴满足题意切线有2条．故选B.
6.选D 对于A，f′(x)＝2x，由x2＝2x解得x＝0或x＝2，所以f(x)存在“巧值点”；对于B，f′(x)＝(x>0)，作函数f(x)与f′(x)的图象，由图可知f(x)存在“巧值点”；对于C，f′(x)＝cos x，由sin x＝cos x得tan x＝1，解得x＝＋kπ，k∈Z，所以f(x)存在“巧值点”；对于D，f′(x)＝2xln 2，因为2x>0，所以2x＝2xln 2无实数解，所以f(x)不存在“巧值点”．
7．选B 点A(a，a)在直线y＝x，点B(b，eb)在y＝ex上．由y＝ex，得y′＝ex.设y＝ex的切线的切点为(x0，y0)，令y′＝1 ex0＝1 x0＝0 ，所以y＝ex在点(0,1)处的切线为y＝x＋1，此时切线y＝x＋1与直线y＝x平行，直线y＝x与y＝x＋1之间的距离＝为AB的最小值．
8．解析：∵f(x)＝ln x，∴f′(x)＝，
∴ ＝f′(2)＝.
答案：
9．解析：设切点为(x0，x)，由y＝x2，求导得y′＝2x，可得切线的斜率为k＝f′(x0)＝2x0，由切线倾斜角为，则斜率是1，即2x0＝1，解得x0＝，故切点的坐标为.
答案：
10．解析：设切点为(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝.因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线为x－y＋c＝0，其斜率为1.所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＝1，所以切点为(1,0)．所以1－0＋c＝0，解得c＝－1.
答案：－1
11．解析：由f(x)＝ln x可得f′(x)＝，令x0为函数f(x)＝ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值点”，则＝＝，解得x0＝e－1.
答案：e－1
12．解析：因为y＝x2，所以y′＝2x，令y′＝2x＝1，得x＝，所以与直线x－y－1＝0平行且与抛物线y＝x2相切的直线的切点为，切线方程为y－＝x－，即x－y－＝0，由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离d＝＝.
答案：
13．解：s(t)＝，故s′(t)＝t－，s′(8)＝×8－＝，故质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s.
14．解：(1)函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，则对任意的x>0，y′＝>0，所以直线y＝－x＋b不是曲线y＝ln x的切线．
(2)函数y＝的定义域为{x|x≠0}，
令y′＝－＝－1，解得x＝±1，
将x＝1代入函数y＝的解析式可得切点坐标为(1,1)，则－1＋b＝1，解得b＝2.
将x＝－1代入函数y＝的解析式可得切点坐标为(－1，－1)，则1＋b＝－1，解得b＝－2.综上所述，y＝－x＋b是函数y＝的切线方程，且b＝±2.
15．证明：由题意，设点
P(x0，y0)为y＝图象上的任意一点，且点P的切线即为l，很明显y0＝，y′＝－，则y′|x＝x0＝－.故曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率为－，∴切线l方程为y－y0＝－(x－x0)，
即y－＝－(x－x0)．
当x＝0时，y＝；
当y＝0时，x＝2x0，∴l与坐标轴所围成的三角形的面积S＝··2|x0|＝2.
很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值，与切点选取无关．
所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．
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