5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
能利用导数的四则运算法则,求简单函数的导数.进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用.
导数的运算法则
设两个函数分别为f(x)和g(x),则
(1)(f(x)+g(x))'= ;
(2)(f(x)-g(x))'= ;
(3)(Cf(x))'= (C为常数);
(4)(f(x)g(x))'= ;
(5)'= (g(x)≠0).
|微|点|助|解|
1.公式推广
函数和、差的导数可以推广到n个函数.设f1(x),f2(x),…,fn(x)在x处可导,则(f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x))'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).
2.结构特征
积的导数公式,中间用“加号”,前导后不导+前不导后导;商的导数公式,分母平方,分子用“减号”.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)'=ex. ( )
(2)函数f(x)=xex的导数f'(x)=ex(x+1). ( )
(3)当g(x≠0)时,'=. ( )
2.设y=-2exsin x,则y'等于 ( )
A.-2excos x B.-2exsin x
C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x)
3.函数y=的导数是 ( )
A.- B.-sin x
C.- D.-
4.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则实数a= .
题型(一) 利用导数四则运算法则求函数的导数
[例1] 求下列函数的导数:
(1)y=+;
(2)y=x3·10x;
(3)y=cos x·ln x.
听课记录:
|思|维|建|模|
求函数导数的策略
(1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
[针对训练]
1.若函数f(x)=在x=a处的导数值与函数值互为相反数,求a的值.
2.求下列函数的导数:
(1)y=x5+x3;(2)y=3x+lg x;
(3)y=3x2+xcos x;(4)y=;
(5)y=xtan x.
题型(二) 导数四则运算法则在切线问题中的应用
[例2] 已知f(x)=ln x+x2.
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(2)设P为曲线f(x)上的点,求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围.
听课记录:
|思|维|建|模|
解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.
(3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点.
[针对训练]
3.曲线y=x3+bx2+c在点M(1,0)处的切线与直线x-y-2=0垂直,则c的值为 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
4.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )
A. B.
C. D.
5.点P是曲线f(x)=2x2-3ln x上任意一点,则点P到直线y=x-4的最短距离为 .
题型(三) 导数运算法则的实际应用
[例3] 日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加,已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用(单位:元)为c(x)=(80求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:(1)90%;(2)98%.
听课记录:
|思|维|建|模|
明确自变量及相应函数值的实际意义,是解释导数实际意义的前提,审题时要先在这方面下功夫.
[针对训练]
6.已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为p=25-q.
(1)求q从1变到3时,利润L关于产量q的平均变化率;
(2)求L'(2)并解释它的实际意义.
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
?课前预知教材
(1)f′(x)＋g′(x) (2)f′(x)－g′(x)
(3)Cf′(x) (4)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (5)
[基础落实训练]
1．(1)× (2)√ (3)√
2．选D ∵y＝－2exsin x，∴y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x)．
3．选C y′＝′
＝
＝＝－.
4．解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.
答案：
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)y＝＋＝2x－2＋3x－3，
y′＝－4x－3－9x－4.
(2)y′＝(x3)′·10x＋x3·(10x)′＝3x2·10x＋x3·10xln 10.
(3)y′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′＝－sin xln x＋.
[针对训练]
1．解： ∵f(x)＝，∴f(a)＝，又∵f′(x)＝′＝，∴f′(a)＝.由题意知f(a)＋f′(a)＝0，∴＋＝0，∴2a－1＝0，∴a＝.
故a的值为.
2．解：(1)y′＝′＝′＋′＝x4＋4x2.
(2)y′＝(3x＋lg x)′＝(3x)′＋(lg x)′＝3xln 3＋.
(3)y′＝(3x2＋xcos x)′＝(3x2)′＋(xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x.
(4)y′＝′＝＝＝.
(5)因为y＝xtan x＝，
所以y′＝′
＝
＝
＝.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)∵f(x)＝ln x＋x2，
∴f′(x)＝＋x，当x＝1时，f′(1)＝，f(1)＝，∴曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y－＝(x－1)，即10x－8y－9＝0.
(2)由题意x>0，f(x)＝ln x＋x2，
∴f′(x)＝＋x≥2＝1，当且仅当＝x，即x＝2时，等号成立，∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1，
∴tan α≥1，又0≤α<π，∴≤α<，即倾斜角α的取值范围为.
[针对训练]
3．选C 由f(x)＝x3＋bx2＋c，则f′(x)＝3x2＋2bx，直线x－y－2＝0的斜率为1，由题意可得解得故选C.
4．选A 因为f′(x)＝，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0,1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A.
5．解析：f′(x)＝4x－(x>0)，令f′(x)＝4x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，又f(1)＝2，可得与直线y＝x－4平行且与曲线y＝f(x)相切的直线的切点为(1,2)，所以点P到直线y＝x－4的最短距离为＝.
答案：
[题型(三)]
[例3] 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数c′(x)＝′
＝
＝＝.
(1)因为c′(90)＝＝52.84，所以净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
(2)因为c′(98)＝＝1 321，
所以净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1 321元/吨．
[针对训练]
6．解：(1)收入R＝qp＝q＝25q－q2，利润L＝R－C＝－(100＋4q)＝－q2＋21q－100(0＝
＝＝20.5.
所以q从1变到3时，利润L关于产量q的平均变化率为20.5.
(2)L′＝－q＋21，L′(2)＝21－＝20.5.
L′(2)表示产量为2时，产量每增加一个单位，利润增加20.5元．
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5.2.2
函数的和、差、积、商的导数
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
课时目标
能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数.进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
导数的运算法则
设两个函数分别为f(x)和g(x)，则
(1)(f(x)+g(x))'=___________;
(2)(f(x)-g(x))'=_____________;
(3)(Cf(x))'=________ (C为常数);
(4)(f(x)g(x))'=________________;
(5)'=_________________________(g(x)≠0).
f'(x)+g'(x)
f'(x)-g'(x)
Cf'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
|微|点|助|解|
1.公式推广
函数和、差的导数可以推广到n个函数.设f1(x)，f2(x)，…，fn(x)在x处可导，则(f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x))'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).
2.结构特征
积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导+前不导后导;商的导数公式，分母平方，分子用“减号”.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)'=ex.( )
(2)函数f(x)=xex的导数f'(x)=ex(x+1).( )
(3)当g(x≠0)时，'=.( )
×
√
√
2.设y=-2exsin x，则y'等于 ( )
A.-2excos x B.-2exsin x
C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x)
√
解析:∵y=-2exsin x，∴y'=-2exsin x-2excos x=-2ex(sin x+cos x).
3.函数y=的导数是( )
A.- B.-sin x
C.- D.-
√
解析:y'='===-.
4.已知f(x)=ax3+3x2+2，若f'(-1)=4，则实数a=________.
解析:∵f'(x)=3ax2+6x，∴f'(-1)=3a-6=4，∴a=.
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 利用导数四则运算法则求函数的导数
[例1] 求下列函数的导数:
(1)y=+;
解: y=+=2x-2+3x-3，y'=-4x-3-9x-4.
(2)y=x3·10x;
解:y'=(x3)'·10x+x3·(10x)'=3x2·10x+x3·10xln 10.
(3)y=cos x·ln x.
解:y'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin xln x+.
|思|维|建|模|
求函数导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
针对训练
1.若函数f(x)=在x=a处的导数值与函数值互为相反数，求a的值.
解: ∵f(x)=，∴f(a)=，又∵f'(x)='=，∴f'(a)=.由题意知f(a)+f'(a)=0，∴+=0，∴2a-1=0，∴a=.故a的值为.
2.求下列函数的导数:
(1)y=x5+x3;
解: y'='='+'=x4+4x2.
(2)y=3x+lg x;
解: y'=(3x+lg x)'=(3x)'+(lg x)'=3xln 3+.
(3)y=3x2+xcos x;
解:y'=(3x2+xcos x)'=(3x2)'+(xcos x)'=6x+cos x-xsin x.
(4)y=;
解:y'='===.
(5)y=xtan x.
解:因为y=xtan x=，所以y'='
===.
题型(二) 导数四则运算法则在切线问题中的应用
[例2] 已知f(x)=ln x+x2.
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
解:∵f(x)=ln x+x2，∴f'(x)=+x，
当x=1时，f'(1)=，f(1)=，
∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-=(x-1)，
即10x-8y-9=0.
(2)设P为曲线f(x)上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围.
解:由题意x>0，f(x)=ln x+x2，
∴f'(x)=+x≥2=1，当且仅当=x，即x=2时，等号成立，∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1，∴tan α≥1，又0≤α<π，
∴≤α<，即倾斜角α的取值范围为.
|思|维|建|模|
解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.
针对训练
3.曲线y=x3+bx2+c在点M(1，0)处的切线与直线x-y-2=0垂直，则c的值为 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
√
解析:由f(x)=x3+bx2+c，则f'(x)=3x2+2bx，直线x-y-2=0的斜率为1，由题意可得解得故选C.
4.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B.
C. D.
√
解析:因为f'(x)=，所以f'(0)=3，所以曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线方程为y-1=3(x-0)，即3x-y+1=0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=，故选A.
5.点P是曲线f(x)=2x2-3ln x上任意一点，则点P到直线y=x-4的最短距离为_______.
解析:f'(x)=4x-(x>0)，令f'(x)=4x-=1，解得x=1或x=-(舍去)，又f(1)=2，可得与直线y=x-4平行且与曲线y=f(x)相切的直线的切点为(1，2)，所以点P到直线y=x-4的最短距离为=.
题型(三) 导数运算法则的实际应用
[例3] 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用(单位:元)为c(x)=(80求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率:
(1)90%;
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数c'(x)='
===.
因为c'(90)==52.84，所以净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
(2)98%.
解:因为c'(98)==1 321，
所以净化到纯净度为98%时，
净化费用的瞬时变化率是1 321元/吨.
|思|维|建|模|
明确自变量及相应函数值的实际意义，是解释导数实际意义的前提，审题时要先在这方面下功夫.
针对训练
6.已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为p=25-q.
(1)求q从1变到3时，利润L关于产量q的平均变化率;
解:收入R=qp=q=25q-q2，
利润L=R-C=-(100+4q)
=-q2+21q-100(0所以q从1变到3时，利润L关于产量q的平均变化率为20.5.
(2)求L'(2)并解释它的实际意义.
解:L'=-q+21，L'(2)=21-=20.5.
L'(2)表示产量为2时，
产量每增加一个单位，利润增加20.5元.
课时检测
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1.[多选]下列求导运算错误的是 ( )
A.'=1+ B.(log2x)'=
C.(3x)'=3x D.(x2cos x)'=-2xsin x
√
√
√
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2.一质点运动的位移方程为s=60t-gt2(g=10 m/s2)，当t=5 s时，该质点的瞬时速度为( )
A.20 m/s B.25 m/s
C.10 m/s D.15 m/s
√
15
解析:因为s'=60-gt，所以当t=5 s时，s'=60-5g=10 m/s.故选C.
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3.曲线f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)在原点处的切线方程为 ( )
A.y=-6x B.y=-3x
C.y=3x D.y=6x
√
15
解析:因为f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，所以f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x·[(x-1)(x-2)(x-3)]'，所以f'(0)=(-1)×(-2)×(-3)+0=-6，所以切线方程为y=-6x.
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4.已知曲线y=在点(0，a)处的切线方程为y=x+b，则a+b=( )
A.2 B.e
C.3 D.2e
√
15
解析:根据导数的运算公式y'==，当x=0时，y'=2-a，∴2-a=1，即a=1.∵(0，1)在切线y=x+b上，即b=1，∴a+b=2.故选A.
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5.已知f(x)=ax2+ln x，且=6.若f(x)在(1，f(1))处的切线与直线bx+ay+1=0垂直，则a+b=( )
A. B. C. D.0
√
15
解析:依题意，=2×=2f'(1)=6，f'(1)=3，则-×3=-1，a=3b.又f(x)=ax2+ln x，f'(x)=2ax+，f'(1)=2a+
1=3，a=1，所以b=，所以a+b=.故选A.
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6.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如:当x→0时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则:在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如:===ex=e0=1，则=( )
A. B. C.1 D.2
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解析:由题意得====，故选B.
√
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7.函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，-2] B.(-∞，2)
C.(2，+∞) D.(0，+∞)
15
√
解析:函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线，即f'(x)=2在(0，+∞)上有解.所以f'(x)=+a=2在(0，+∞)上有解，则a=2-.因为x>0，所以2-<2，所以a的取值范围是(-∞，2).
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8.(5分)已知函数f(x)=(x-98)(x-99)，则f'(99)=_____.
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1
解析:由函数f(x)=(x-98)(x-99)，可得f'(x)=2x-197，所以f'(99)=2×99-197=1.
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9.(5分)已知函数f(x)的导函数是f'(x)，且满足f(x)=f'cos x+2x，则f'=_____.
15
1
解析:∵f(x)=f'cos x+2x，∴f'(x)=-f'sin x+2，∴f'=-f'sin+2，∴f'=1.
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10.(5分)已知函数f(x)=ln x+x，过原点作曲线y=f(x)的切线l，则切线l的斜率为_________.
15
+1
解析:由题意得，f'(x)=+1，设切点为P(x0，ln x0+x0)，则切线方程为y=(x-x0)+ln x0+x0，因为切线过原点，所以0=·(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1，解得x0=e，所以f'(x0)=f'(e)=+1.
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11.(5分)已知函数f(x)=ln x+x2，则曲线y=f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为_____________.
15
4x-2y-3=0
解析:由f(x)=ln x+x2，得f'(x)=+x(x>0)，又+x≥2，当且仅当x=1时，等号成立，曲线y=f(x)所有的切线中斜率最小的切线的斜率k=2，切点为，所以切线方程为y-=2(x-1)，整理可得4x-2y-3=0.
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12.(5分)现有一倒放圆锥形容器，该容器深24 m，底面直径为6 m，水以5π m3/s的速度流入，则当水流入时间为1 s时，水面上升的速度为_____m/s.
15
解析:设注入水后水面高度为h，水面所在圆的半径为r，=，即r=.因为水的体积为πr2h=v水流t=5πt，
即h=4，h'(t)=4×，
所以当t=1时，h'(1)=.
即水面上升的速度为 m/s.
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13.(10分)求下列函数的导数:
(1)y=-ln x;(2分)
15
解: y'=(-ln x)'=()'-(ln x)'=-.
(2)y=(x2+1)(x-1);(2分)
解: y'=[(x2+1)(x-1)]'=(x3-x2+x-1)'=(x3)'-(x2)'+(x)'-(1)'=3x2-2x+1.
(3)y=;(3分)
解: y'==.
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(4)y=.(3分)
15
解:y'=
=.
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14.(10分)已知函数f(x)=ln x+ax2+x(a∈R)，且f'(1)=4.
(1)求a的值;(5分)
15
解:由f(x)=ln x+ax2+x，得f'(x)=+2ax+1，
又f'(1)=4，所以1+2a+1=4，解得a=1.
(2)求函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程.(5分)
解:由a=1，得f(x)=ln x+x2+x，所以f(2)=ln 2+6，即切点为(2，ln 2+6)，
又切线的斜率为k=f'(2)=，所以函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y-(ln 2+6)=(x-2)，即11x-2y+2ln 2-10=0.
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15.(15分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导数，若f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”. 现已知f(x)=x3-3x2+2x-2.
请解答下列问题:
(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标;(5分)
15
解:∵f'(x)=3x2-6x+2，f″(x)=6x-6，∴令f″(x)=6x-6=0，得x=1.
有f(1)=1-3+2-2=-2，∴“拐点”A为(1，-2).
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(2)求证:f(x)的图象关于“拐点”A对称.(10分)
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解:证明:设P(x0，y0)是y=f(x)图象上任意一点，则y0=-3+2x0-2.
P(x0，y0)关于“拐点”A(1，-2)的对称点为P'(2-x0，-4-y0).
把点P'坐标代入y=f(x)得左边=-4-y0=-+3-2x0-2，右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-+3-2x0-2，∴左边=右边，
∴点P'(2-x0，-4-y0)在y=f(x)的图象上.∴y=f(x)关于“拐点”A对称.
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9课时检测(四十五) 函数的和、差、积、商的导数
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.[多选]下列求导运算错误的是 ( )
A.'=1+ B.(log2x)'=
C.(3x)'=3x D.(x2cos x)'=-2xsin x
2.一质点运动的位移方程为s=60t-gt2(g=10 m/s2),当t=5 s时,该质点的瞬时速度为 ( )
A.20 m/s B.25 m/s
C.10 m/s D.15 m/s
3.曲线f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)在原点处的切线方程为 ( )
A.y=-6x B.y=-3x
C.y=3x D.y=6x
4.已知曲线y=在点(0,a)处的切线方程为y=x+b,则a+b= ( )
A.2 B.e
C.3 D.2e
5.已知f(x)=ax2+ln x,且=6.若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线bx+ay+1=0垂直,则a+b= ( )
A. B.
C. D.0
6.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型,比如:当x→0时,的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在,为此,洛必达在1696年提出洛必达法则:在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如:===ex=e0=1,则= ( )
A. B.
C.1 D.2
7.函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(0,+∞)
8.(5分)已知函数f(x)=(x-98)(x-99),则f'(99)= .
9.(5分)已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=f'cos x+2x,则f'= .
10.(5分)已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切线l的斜率为 .
11.(5分)已知函数f(x)=ln x+x2,则曲线y=f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为 .
12.(5分)现有一倒放圆锥形容器,该容器深24 m,底面直径为6 m,水以5π m3/s的速度流入,则当水流入时间为1 s时,水面上升的速度为 m/s.
13.(10分)求下列函数的导数:
(1)y=-ln x;(2分)
(2)y=(x2+1)(x-1);(2分)
(3)y=;(3分)
(4)y=.(3分)
14.(10分)已知函数f(x)=ln x+ax2+x(a∈R),且f'(1)=4.
(1)求a的值;(5分)
(2)求函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程.(5分)
15.(15分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导数,若f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”. 现已知f(x)=x3-3x2+2x-2.
请解答下列问题:
(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标;(5分)
(2)求证:f(x)的图象关于“拐点”A对称.(10分)
课时检测(四十五)
1．ACD
2．选C 因为s′＝60－gt，所以当t＝5 s时，s′＝60－5g＝10 m/s.故选C.
3．选A 因为f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)，所以f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)＋x·[(x－1)(x－2)(x－3)]′，所以f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)＋0＝－6，所以切线方程为y＝－6x.
4．选A 根据导数的运算公式y′＝＝，当x＝0时，y′＝2－a，∴2－a＝1，即a＝1.∵(0,1)在切线y＝x＋b上，即b＝1，∴a＋b＝2.故选A.
5．选A 依题意， ＝2× ＝2f′(1)＝6，f′(1)＝3，则－×3＝－1，a＝3b.又f(x)＝ax2＋ln x，f′(x)＝2ax＋，f′(1)＝2a＋1＝3，a＝1，所以b＝，所以a＋b＝.故选A.
6．选B 由题意得 ＝ ＝ ＝ ＝，故选B.
7．选B 函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－.因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．
8．解析：由函数f(x)＝(x－98)(x－99)，可得f′(x)＝2x－197，所以f′(99)＝2×99－197＝1.
答案：1
9．解析：∵f(x)＝f′cos x＋2x，
∴f′(x)＝－f′sin x＋2，∴f′＝－f′sin＋2，∴f′＝1.
答案：1
10．解析：由题意得，f′(x)＝＋1，设切点为P(x0，ln x0＋x0)，则切线方程为y＝(x－x0)＋ln x0＋x0，因为切线过原点，所以0＝·(－x0)＋ln x0＋x0＝ln x0－1，解得x0＝e，所以f′(x0)＝f′(e)＝＋1.
答案：＋1
11．解析：由f(x)＝ln x＋x2，得f′(x)＝＋x(x>0)，又＋x≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，曲线y＝f(x)所有的切线中斜率最小的切线的斜率k＝2，切点为，所以切线方程为y－＝2(x－1)，整理可得4x－2y－3＝0.
答案：4x－2y－3＝0
12．解析：设注入水后水面高度为h，水面所在圆的半径为r，＝，即r＝.因为水的体积为πr2h＝v水流t＝5πt，即h＝4，h′(t)＝4×t－，所以当t＝1时，h′(1)＝.即水面上升的速度为 m/s.
答案：
13．解：(1)y′＝(－ln x)′＝()′－(ln x)′＝－.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.
(3)y′＝
＝.
(4)y′＝
＝.
14．解：(1)由f(x)＝ln x＋ax2＋x，得f′(x)＝＋2ax＋1，又f′(1)＝4，所以1＋2a＋1＝4，解得a＝1.
(2)由a＝1，得f(x)＝ln x＋x2＋x，
所以f(2)＝ln 2＋6，即切点为(2，ln 2＋6)，
又切线的斜率为k＝f′(2)＝，所以函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln 2＋6)＝(x－2)，即11x－2y＋2ln 2－10＝0.
15．解：(1)∵f′(x)＝3x2－6x＋2，f″(x)＝6x－6，∴令f″(x)＝6x－6＝0，得x＝1.
有f(1)＝1－3＋2－2＝－2，
∴“拐点”A为(1，－2)．
(2)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，则y0＝x－3x＋2x0－2.
P(x0，y0)关于“拐点”A(1，－2)的对称点为P′(2－x0，－4－y0)．
把点P′坐标代入y＝f(x)得左边＝－4－y0＝－x＋3x－2x0－2，右边＝(2－x0)3－3(2－x0)2＋2(2－x0)－2＝－x＋3x－2x0－2，
∴左边＝右边，∴点P′(2－x0，－4－y0)在y＝f(x)的图象上．
∴y＝f(x)关于“拐点”A对称．
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