5.2.3 简单复合函数的导数
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
能求简单的复合函数导数,了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则.
能够利用复合函数的求导法则及学过的求导公式对复合函数求导.
1.复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成关于x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'= .
特别地,若y=f(u),u=ax+b,则yx'= ,即yx'= .
|微|点|助|解|
使用复合函数求导法则的注意事项
(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的,选择适当的中间变量.
(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的导数,如(sin 2x)'=2cos 2x,不能得出(sin 2x)'=cos 2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数,如求y=sin的导数,设y=sin u,u=2x+,则y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos.
(4)熟练掌握复合函数的求导后,中间步骤可省略不写.
基础落实训练
1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是 ( )
A.y=un,u=x2-1
B.y=(u-1)n,u=x2
C.y=tn,t=(x2-1)n
D.y=(t-1)n,t=x2-1
2.设函数f(x)=(1-2x)10,则f'(1)= ( )
A.0 B.-1
C.-20 D.20
3.函数y=cos的导数为 .
4.指出下列函数由哪些函数复合而成.
(1)y=ln ;(2)y=esin x;(3)y=cos(x+1).
题型(一) 求复合函数的导数
[例1] 求下列函数的导数.
(1)y=;(2)y=cos x2;
(3)y=sin;(4)y=.
听课记录:
|思|维|建|模| 求复合函数的导数的步骤
[针对训练]
1.求下列函数的导数:
(1)y=(3x-2)2;(2)y=ln(6x+4);
(3)y=.
题型(二) 复合函数与导数的运算法则的综合应用
[例2] 求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=x;
(3)y=xcossin.
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的.
(2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,开始由外及内逐层求导.
[针对训练]
2.求下列函数的导数:
(1)y=e-x+2(2x+1)5;
(2)y=cos(3x-1)-ln(-2x-1);
(3)y=sin 2x+cos2x;
(4)y=.
题型(三) 复合函数求导的综合应用
[例3] (1)曲线y=f(x)=esin x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,则直线l的方程为 .
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a= .
听课记录:
|思|维|建|模|
复合函数应用问题的注意点
(1)正确求导是关键.
(2)涉及切线问题,若切点已知,则求出切线斜率、切线方程;若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.
(3)实际问题中,函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率,体现了导数揭示物体某时刻的变化状况.
[针对训练]
3.某市在一次降雨过程中,降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=,则在时刻t=40 min的降雨强度为 ( )
A.20 mm/min B.400 mm/min
C. mm/min D. mm/min
4.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
5.2.3 简单复合函数的导数
?课前预知教材
2．yu′·ux′ yu′·ux′ yu′·a
[基础落实训练]
1．选A 由复合函数求导法则知A正确．
2．选D 因为f′(x)＝10(1－2x)9×(－2)＝－20(1－2x)9，所以f′(1)＝20.
3．解析：y′＝′＝－sin(－3)＝3sin.
答案：3sin
4．解：(1)y＝ln 由y＝ln u，u＝复合而成．
(2)y＝esin x由y＝eu，u＝sin x复合而成．
(3)y＝cos(x＋1)由y＝cos u，u＝x＋1复合而成．
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝.
(2)令u＝x2，则y＝cos u，所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·(2x)＝－2x sin x2.
(3)令u＝2x－，则y＝sin u，
所以y′x＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos.
(4)令u＝1＋x2，则y＝u，所以y′x＝y′u·u′x＝u－·2x＝x·u－＝.
[针对训练]
1．解：(1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，∴y′x＝y′u·u′x＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12.
(2)∵y＝ln(6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成，∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(6x＋4)′＝＝＝.
(3)函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝()′·(3x＋5)′＝＝.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝，
∴y′＝
＝＝.
(2)y′＝(x)′＝x′＋x()′
＝＋＝.
(3)∵y＝xcossin
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x×4＝－sin 4x－2xcos 4x.
[针对训练]
2．解：(1)y′＝(e－x＋2)′·(2x＋1)5＋e－x＋2·[(2x＋1)5]′＝－e－x＋2·(2x＋1)5＋5e－x＋2·(2x＋1)4·(2x＋1)′
＝－e－x＋2(2x＋1)4(2x－9)．
(2)y′＝－sin(3x－1)·(3x－1)′－·(－2x－1)′＝－3sin(3x－1)－.
(3)y′＝cos 2x·(2x)′＋2cos x·(cos x)′＝2cos 2x－2sin xcos x＝2cos 2x－sin 2x.
(4)y′＝
＝.
[题型(三)]
[例3] (1)解析：设u＝sin x，
则f′(x)＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝cos xesin x，
所以f′(0)＝1.则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0，c≠1，由两平行线间的距离d＝＝，解得c＝3或c＝－1.故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
答案：x－y＋3＝0或x－y－1＝0
(2)解析：由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1.
由y＝ln(x＋1)＋a得y′＝，设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)，
由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln＝2x＋1＋a－ln 2.由两切线重合，得a－ln 2＝0，解得a＝ln 2.
答案：ln 2
[针对训练]
3．选D 由f(t)＝，得f′(t)＝·(10t)′＝，所以f′(40)＝＝.
4．解析：设f(x)＝ln x＋2，g(x)＝ln(x＋1)，
则f′(x)＝，g′(x)＝.
设曲线f(x)＝ln x＋2上的切点为(x1，y1)，
曲线g(x)＝ln(x＋1)上的切点为(x2，y2)，
则k＝＝，则x2＋1＝x1.
又y1＝ln x1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝ln x1，
所以k＝＝2，
故x1＝＝，y1＝ln＋2＝2－ln 2.
故b＝y1－kx1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.
答案：1－ln 2
1 / 4(共43张PPT)
5.2.3
简单复合函数的导数
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
课时目标
能求简单的复合函数导数，了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.
能够利用复合函数的求导法则及学过的求导公式对复合函数求导.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yx'=__________.
特别地，若y=f(u)，u=ax+b，则yx'=_______，即yx'=______.
y'u·u'x
yu'·ux'
yu'·a
|微|点|助|解|
使用复合函数求导法则的注意事项
(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的，选择适当的中间变量.
(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin 2x)'=2cos 2x，不能得出(sin 2x)'=cos 2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y=sin的导数，设y=sin u，u=2x+，则y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos.
(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写.
基础落实训练
1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是 ( )
A.y=un，u=x2-1 B.y=(u-1)n，u=x2
C.y=tn，t=(x2-1)n D.y=(t-1)n，t=x2-1
√
解析:由复合函数求导法则知A正确.
2.设函数f(x)=(1-2x)10，则f'(1)= ( )
A.0 B.-1
C.-20 D.20
√
解析:因为f'(x)=10(1-2x)9×(-2)=-20(1-2x)9，所以f'(1)=20.
3.函数y=cos的导数为__________________.
3sin
解析:y'='=-sin(-3)=3sin.
4.指出下列函数由哪些函数复合而成.
(1)y=ln ;
解: y=ln 由y=ln u，u=复合而成.
(2)y=esin x;
解: y=esin x由y=eu，u=sin x复合而成.
(3)y=cos(x+1).
解:y=cos(x+1)由y=cos u，u=x+1复合而成.
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 求复合函数的导数
[例1] 求下列函数的导数.
(1)y=;
解:令u=1-3x，则y==u-4，所以y'u=-4u-5，u'x=-3.
所以y'x=y'u·u'x=12u-5=.
(2)y=cos x2;
解:令u=x2，则y=cos u，所以y'x=y'u·u'x=-sin u·(2x)=-2x sin x2.
(3)y=sin;
解:令u=2x-，则y=sin u，所以y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos.
(4)y=.
解:令u=1+x2，则y=，所以y'x=y'u·u'x=·2x=x·=.
|思|维|建|模| 求复合函数的导数的步骤
针对训练
1.求下列函数的导数:
(1)y=(3x-2)2;
解:∵y=(3x-2)2由函数y=u2和u=3x-2复合而成，∴y'x=y'u·u'x=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12.
(2)y=ln(6x+4);
解:∵y=ln(6x+4)由函数y=ln u和u=6x+4复合而成，∴y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(6x+4)'===.
(3)y=.
解:函数y=可以看作函数y=和u=3x+5的复合函数，根据复合函数求导法则有y'x=y'u·u'x=()'·(3x+5)'==.
题型(二) 复合函数与导数的运算法则的综合应用
[例2] 求下列函数的导数.
(1)y=;
解:∵(ln 3x)'=×(3x)'=，∴y'===.
(2)y=x;
解:y'=(x)'=x'+x()'=+=.
(3)y=xcossin.
解:∵y=xcossin
=x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x，
∴y'='=-sin 4x-cos 4x×4=-sin 4x-2xcos 4x.
|思|维|建|模|
(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，开始由外及内逐层求导.
针对训练
2.求下列函数的导数:
(1)y=e-x+2(2x+1)5;
解: y'=(e-x+2)'·(2x+1)5+e-x+2·[(2x+1)5]'=-e-x+2·(2x+1)5+5e-x+2·
(2x+1)4·(2x+1)'=-e-x+2(2x+1)4(2x-9).
(2)y=cos(3x-1)-ln(-2x-1);
解: y'=-sin(3x-1)·(3x-1)'-·(-2x-1)'=-3sin(3x-1)-.
(3)y=sin 2x+cos2x;
解:y'=cos 2x·(2x)'+2cos x·(cos x)'=2cos 2x-2sin xcos x=2cos 2x-sin 2x.
(4)y=.
解:y'==.
题型(三) 复合函数求导的综合应用
[例3] (1)曲线y=f(x)=esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，则直线l的方程为____________________.
x-y+3=0或x-y-1=0
解析:设u=sin x，则f'(x)=(esin x)'=(eu)'(sin x)'=cos xesin x，
所以f'(0)=1.则切线方程为y-1=x-0，即x-y+1=0.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x-y+c=0，c≠1，由两平行线间的距离d==，解得c=3或c=-1.故直线l的方程为x-y+3=0或x-y-1=0.
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=_____.
ln 2
解析:由y=ex+x得y'=ex+1，y'|x=0=e0+1=2，故曲线y=ex+x在(0，1)处的切线方程为y=2x+1.由y=ln(x+1)+a得y'=，设切线与曲线y=ln(x+1)+a的切点为(x0，ln(x0+1)+a)，由两曲线有公切线得y'==2，解得x0=-，则切点为，切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2.由两切线重合，得a-ln 2=0，解得a=ln 2.
|思|维|建|模|
复合函数应用问题的注意点
(1)正确求导是关键.
(2)涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程;若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.
(3)实际问题中，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现了导数揭示物体某时刻的变化状况.
针对训练
3.某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=，则在时刻t=40 min的降雨强度为( )
A.20 mm/min B.400 mm/min
C. mm/min D. mm/min
√
解析:由f(t)=，得f'(t)=·(10t)'=，所以f'(40)==.
4.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=_______.
1-ln 2
解析:设f(x)=ln x+2，g(x)=ln(x+1)，则f'(x)=，g'(x)=.设曲线f(x)=
ln x+2上的切点为(x1，y1)，曲线g(x)=ln(x+1)上的切点为(x2，y2)，则k==，则x2+1=x1.又y1=ln x1+2，y2=ln(x2+1)=ln x1，所以k==2，故x1==，y1=ln+2=2-ln 2.故b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2.
课时检测
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.若函数f(x)=e2x+e2，则f'(1)= ( )
A.e2 B.2e2
C.3e2 D.4e2
√
解析:f'(x)=e2x·2+0=2e2x，则f'(1)=2e2.故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.函数y=exsin 2x的导数为 ( )
A.y'=2excos 2x B.y'=ex(sin 2x+2cos 2x)
C.y'=2ex(sin 2x+cos 2x) D.y'=ex(2sin 2x+cos 2x)
√
15
解析:若y=sin 2x，根据复合函数的求导法则，y'=2cos 2x，根据两函数乘积的求导公式，y=exsin 2x的导数为y'=exsin 2x+ex·2cos 2x=ex(sin 2x+2cos 2x).故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.函数f(x)=e4x-x-2的图象在点(0，f(0))处的切线方程是 ( )
A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0
C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0
√
15
解析:因为f'(x)=4e4x-1，所以k= f'(0)=3.因为f(0)=-1，所以切线方程为y+1=3x，即3x-y-1=0.故选D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.设f(x)=ln(3x-1)，若f(x)在x0处的导数f'(x0)=6，则x0的值为 ( )
A.0 B.
C.3 D.6
√
15
解析:对于函数f(x)=ln(3x-1)，由3x-1>0，可得x>，即函数f(x)的定义域为，f'(x)=，由f'(x0)==6，解得x0=，合乎题意.故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N0，其中N0为t=0时该同位素的含量.已知t=24时，该同位素含量的瞬时变化率为-e-1，则N(120)=( )
A.24贝克 B.24e-5贝克
C.1贝克 D.e-5贝克
√
15
解析:由N(t)=N0，得N'(t)=-N0，因为t=24时，该同位素含量的瞬时变化率为-e-1，所以N'(24)=-N0=-e-1，解得N0=24，所以N(120)=24×，故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
6.函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1，0)处的切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直，则实数a的值为 ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
15
√
解析:函数f(x)=xln(x+2)，求导得f'(x)=ln(x+2)+，则f'(-1)=-1，即函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1，0)处的切线斜率为-1，因为切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直，有(2-a)×(-1)=-1，所以a=1.故选C.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
7.已知f(x)及其导函数f'(x)定义域为R，满足:x∈R，f(x)=f(2-x)+2(x-1)，g(x)=sin，g(x)定义域为，若g(x)在点(x0，g(x0))处的切线斜率与f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率相同，则x0=( )
A. B.
C. D.
15
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:由题知，f(x)及其导函数f'(x)定义域为R，满足:x∈R，f(x)=f(2-x)+2(x-1)，所以f'(x)=-f'(2-x)+2，所以f'(1)=-f'(1)+2，即f'(1)=1.因为g(x)=sin，x∈，所以g'(x)=2cos.因为g(x)在点(x0，g(x0))处的切线斜率与f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率相同，所以g'(x0)=2cos=1，所以cos=，所以2x0+=±+2kπ，k∈Z，由x∈，解得x0=.
15
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8.(5分)设函数y=ln，则y'=__________.
15
解析:对于函数y=ln ，可看作y=ln u，u=，v=1+x的复合函数，所以y'=××1=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
9.(5分)一个质点的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)满足函数关系式s=3t3-(2t+1)2+1，则当t=1时，该质点的瞬时速度为_____m/s.
15
-3
解析:因为s=3t3-(2t+1)2+1，所以s'=9t2-4(2t+1).当t=1时，s'|t=1=9-4×(2+1)=-3，故当t=1时，该质点的瞬时速度为-3 m/s.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10.(5分)与函数f(x)=e3x-1在点(0，0)处具有相同切线的一个函数的解析式是________________________.
15
g(x)=3ex-3(答案不唯一)
解析:f'(x)=3e3x，故f'(0)=3e0=3，则函数f(x)=e3x-1在点(0，0)处的切线为y=3x.不妨令g(x)=3ex-3，g(0)=3e0-3=0，故(0，0)在g(x)=3ex-3上，g'(x)=3ex，故g'(0)=3e0=3，则函数g(x)=3ex-3在点(0，0)处的切线为y=3x，满足要求.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
11.(5分)如图，在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面，墙面与底面垂直.在t=0 s时，木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动，端点A向下沿直线运动，则端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为_____ m/s.
15
解析:设端点A运动的路程为s，则(3-s)2+=9，因为t=2 s，所以BB'=0.5×2=1 m<3 m，此时木棒处于倾斜状态，所以3-s>0，所以s=3-，则s'=.当t=2 s时，s'=，即端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
12.(5分)函数y=[f(x)]g(x)在求导时可运用对数法:在解析式两边同时取对数得到ln y=g(x)ln f(x)，然后两边同时求导得=g'(x)ln f(x)+g(x)，于是y'=[f(x)]g(x)，用此法探求y=(x+1)x(x>0)的导数为__________________________.
15
y'=(x+1)x
解析:两边取对数可得ln y=ln(x+1)x=xln(x+1)，两边求导可得= ln(x+1)+，所以y'=y=(x+1)x.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.(10分)已知a∈R，函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x)，且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是，求切点的横坐标x0.
15
解:易得f'(x)=ex-ae-x，x∈R.∵f'(x)为奇函数，∴f'(x)+ f'(-x)=0对任意x∈R恒成立，即(1-a)(ex+e-x)=0对任意x∈R恒成立，∴a=1，
∴f(x)=ex+e-x，f'(x)=ex-e-x.设切点的横坐标为x0，由题可得-=，令=t(t>0)，则t-=，解得t=2或t=-(舍去)，∴=2，∴x0=ln 2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.(10分)某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)=3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t=18时的导数，并解释它的实际意义.
15
解:函数y=s(t)=3sin是由函数f(z)=3sin z和函数z=φ(t)=t+复合而成的，其中z是中间变量.由导数公式表可得f'(z)=3cos z，φ'(t)=
.再由复合函数求导法则得y't=s'(t)=f'(z)φ'(t)=3cos z·=cos.将t=18代入s'(t)，得s'(18)=cos=.它表示当t=18时，潮水的高度上升速度为 m/h.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
15.(10分)设函数f(x)=aexln x+.
(1)求导函数f'(x);(5分)
15
解:由f(x)=aexln x+，得f'(x)=(aexln x)'+'=aexln x++.
(2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2，求a，b的值.(5分)
解:由于切点既在曲线y=f(x)上，又在切线y=e(x-1)+2上，将x=1代入切线方程得y=2，将x=1代入函数f(x)得f(1)=b，∴b=2，将x=1代入导函数f'(x)中，得f'(1)=ae=e，∴a=1.∴a=1，b=2.课时检测(四十六) 简单复合函数的导数
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.若函数f(x)=e2x+e2,则f'(1)= ( )
A.e2 B.2e2
C.3e2 D.4e2
2.函数y=exsin 2x的导数为 ( )
A.y'=2excos 2x
B.y'=ex(sin 2x+2cos 2x)
C.y'=2ex(sin 2x+cos 2x)
D.y'=ex(2sin 2x+cos 2x)
3.函数f(x)=e4x-x-2的图象在点(0,f(0))处的切线方程是 ( )
A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0
C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0
4.设f(x)=ln(3x-1),若f(x)在x0处的导数f'(x0)=6,则x0的值为 ( )
A.0 B.
C.3 D.6
5.某放射性同位素在衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N0,其中N0为t=0时该同位素的含量.已知t=24时,该同位素含量的瞬时变化率为-e-1,则N(120)= ( )
A.24贝克 B.24e-5贝克
C.1贝克 D.e-5贝克
6.函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1,0)处的切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直,则实数a的值为 ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
7.已知f(x)及其导函数f'(x)定义域为R,满足:x∈R,f(x)=f(2-x)+2(x-1),g(x)=sin,g(x)定义域为,若g(x)在点(x0,g(x0))处的切线斜率与f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率相同,则x0= ( )
A. B.
C. D.
8.(5分)设函数y=ln,则y'= .
9.(5分)一个质点的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)满足函数关系式s=3t3-(2t+1)2+1,则当t=1时,该质点的瞬时速度为 m/s.
10.(5分)与函数f(x)=e3x-1在点(0,0)处具有相同切线的一个函数的解析式是 .
11.(5分)如图,在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面,墙面与底面垂直.在t=0 s时,木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动,端点A向下沿直线运动,则端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
12.(5分)函数y=[f(x)]g(x)在求导时可运用对数法:在解析式两边同时取对数得到ln y=g(x)ln f(x),然后两边同时求导得=g'(x)ln f(x)+g(x),于是y'=[f(x)]g(x),用此法探求y=(x+1)x(x>0)的导数为 .
13.(10分)已知a∈R,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,求切点的横坐标x0.
14.(10分)某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)=3sin(0≤t≤24),其中s的单位是m,t的单位是h,求函数在t=18时的导数,并解释它的实际意义.
15.(10分)设函数f(x)=aexln x+.
(1)求导函数f'(x);(5分)
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.(5分)
课时检测(四十六)
1．选B f′(x)＝e2x·2＋0＝2e2x，则f′(1)＝2e2.故选B.
2．选B 若y＝sin 2x，根据复合函数的求导法则，y′＝2cos 2x，根据两函数乘积的求导公式，y＝exsin 2x的导数为y′＝exsin 2x＋ex·2cos 2x＝ex(sin 2x＋2cos 2x)．故选B.
3．选D 因为f′(x)＝4e4x－1，所以k＝ f′(0)＝3.因为f(0)＝－1，所以切线方程为y＋1＝3x，即3x－y－1＝0.故选D.
4．选B 对于函数f(x)＝ln(3x－1)，由3x－1>0，可得x>，即函数f(x)的定义域为，f′(x)＝，由f′(x0)＝＝6，解得x0＝，合乎题意．故选B.
5．选B 由N(t)＝N0e－，得N′(t)＝－N0e－，因为t＝24时，该同位素含量的瞬时变化率为－e－1，所以N′(24)＝－N0e－＝－e－1，解得N0＝24，所以N(120)＝24×e－，故选B.
6．选C 函数f(x)＝xln(x＋2)，求导得f′(x)＝ln(x＋2)＋，则f′(－1)＝－1，即函数f(x)＝xln(x＋2)的图象在点(－1,0)处的切线斜率为－1，因为切线与直线(a－2)x＋y－2＝0垂直，有(2－a)×(－1)＝－1，所以a＝1.故选C.
7．选B 由题知，f(x)及其导函数f′(x)定义域为R，满足：x∈R，f(x)＝f(2－x)＋2(x－1)，所以f′(x)＝－f′(2－x)＋2，所以f′(1)＝－f′(1)＋2，即f′(1)＝1.因为g(x)＝sin，x∈，所以g′(x)＝2cos.因为g(x)在点(x0，g(x0))处的切线斜率与f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率相同，所以g′(x0)＝2cos＝1，所以cos＝，所以2x0＋＝±＋2kπ，k∈Z，由x∈，解得x0＝.
8．解析：对于函数y＝ln ，可看作y＝ln u，u＝v，v＝1＋x的复合函数，所以y′＝××1＝.
答案：
9．解析：因为s＝3t3－(2t＋1)2＋1，所以s′＝9t2－4(2t＋1)．当t＝1时，s′|t＝1＝9－4×(2＋1)＝－3，故当t＝1时，该质点的瞬时速度为－3 m/s.
答案：－3
10．解析：f′(x)＝3e3x，故f′(0)＝3e0＝3，则函数f(x)＝e3x－1在点(0,0)处的切线为y＝3x.不妨令g(x)＝3ex－3，g(0)＝3e0－3＝0，故(0,0)在g(x)＝3ex－3上，g′(x)＝3ex，故g′(0)＝3e0＝3，则函数g(x)＝3ex－3在点(0,0)处的切线为y＝3x，满足要求．
答案：g(x)＝3ex－3(答案不唯一)
11．解析：设端点A运动的路程为s，则(3－s)2＋＝9，因为t＝2 s，所以BB′＝0.5×2＝1 m<3 m，此时木棒处于倾斜状态，所以3－s>0，所以s＝3－，则s′＝.当t＝2 s时，s′＝，即端点A在t＝2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
答案：
12．解析：两边取对数可得ln y＝ln(x＋1)x＝xln(x＋1)，两边求导可得＝ ln(x＋1)＋，所以y′＝y＝(x＋1)x.
答案：y′＝(x＋1)x
13．解：易得f′(x)＝ex－ae－x，x∈R.
∵f′(x)为奇函数，∴f′(x)＋ f′(－x)＝0对任意x∈R恒成立，即(1－a)(ex＋e－x)＝0对任意x∈R恒成立，∴a＝1，
∴f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x.
设切点的横坐标为x0，由题可得ex0－e－x0＝，令ex0＝t(t>0)，则t－＝，
解得t＝2或t＝－(舍去)，
∴ex0＝2，∴x0＝ln 2.
14．解：函数y＝s(t)＝3sin是由函数f(z)＝3sin z和函数z＝φ(t)＝t＋复合而成的，其中z是中间变量．由导数公式表可得f′(z)＝3cos z，φ′(t)＝.
再由复合函数求导法则得y′t＝s′(t)＝f′(z)φ′(t)＝3cos z·＝cos.
将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝.它表示当t＝18时，潮水的高度上升速度为 m/h.
15．解：(1)由f(x)＝aexln x＋，
得f′(x)＝(aexln x)′＋′＝aexln x＋＋.
(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，将x＝1代入切线方程得y＝2，
将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，∴b＝2，将x＝1代入导函数f′(x)中，得f′(1)＝ae＝e，∴a＝1.∴a＝1，b＝2.
1 / 2
