5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
第1课时 导数与函数的单调性 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.能利用导数研究函数的单调性.
2.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
1.导数与函数单调性的关系
对于函数y=f(x),
(1)如果在某区间上f'(x)>0,那么f(x)在该区间上单调 ;
(2)如果在某区间上f'(x)<0,那么f(x)在该区间上单调 .
|微|点|助|解|
(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,其余的点恒有f'(x)>0,则f(x)单调递增(单调递减的情形完全类似).也就是说,在某区间内f'(x)>0是f(x)在此区间内单调递增的充分条件,而不是必要条件.
(2)利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题
①定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
②注意“临界点”和“间断点”:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点.
③单调区间的表示:如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开.
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)内:
导数的 绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 越 比较“ ”(向上或向下)
越小 越 比较“ ”(向上或向下)
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,那么f(x)在此区间内不增不减或为常数函数. ( )
(2)如果函数f(x)是定义在R上的增函数,那么一定有f'(x)>0. ( )
(3)在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分不必要条件. ( )
2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
3.函数y=f(x)的图象如图所示,则 ( )
A.f'(3)>0
B.f'(3)<0
C.f'(3)=0
D.f'(3)的正负不确定
题型(一) 利用导数的正负判断函数的单调性
[例1] 判断下列函数的单调性.
(1)f(x)=x2-ln x;(2)f(x)=;
(3)f(x)=x3+.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用导数判断或证明函数单调性的思路
[针对训练]
1.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上是 ( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.不确定
2.求证:f(x)=ex+在(0,+∞)上单调递增.
题型(二) 利用导数求函数的单调区间
[例2] 确定下列函数的单调区间.
(1)y=x3-9x2+24x;
(2)f(x)=(x>0且x≠1).
听课记录:
|思|维|建|模|
求函数y=f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.
(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
[针对训练]
3.求函数f(x)=x+(b>0)的单调区间.
4.若函数f(x)=2ln x+x+,求 f(x)的单调区间.
题型(三) 导数与函数图象的关系
[例3] 画出函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的大致图象.
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)由导函数图象画原函数图象的依据:根据f'(x)>0,则f(x)单调递增,f'(x)<0,则f(x)单调递减.
(2)由原函数图象画导函数图象的依据:若f(x)单调递增,则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减,则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数,则f'(x)=0.
[针对训练]
5.已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的 ( )
6.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为 ( )
第1课时 导数与函数的单调性
?课前预知教材
1．(1)递增 (2)递减 2.快 陡峭 慢 平缓
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)√
2．选D ∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0得x>2，故选D.
3．选B 由题图可知，函数f(x)在(1,5)内单调递减，则在(1,5)内有f′(x)<0，故f′(3)<0.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
因为x>0，所以x＋1>0，令f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)在上单调递增；令f′(x)<0，解得0所以函数f(x)在内单调递减．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
f′(x)＝＝，
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0，令f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0，得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)在(－∞，2)和(2,3)内单调递减．
(3)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝3x2－＝3，令f′(x)>0，得x<－1或x>1，所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0，得－1所以函数f(x)在(－1,0)和(0,1)内单调递减．
[针对训练]
1．选A ∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
2．证明：∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－e－x＝e－x(e2x－1)，当x∈(0，＋∞)时，由指数函数的性质知e－x>0，e2x>1，∴f′(x)>0，因此函数f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上单调递增．
[题型(二)]
[例2] 解：(1)y′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)·(x－4)，由y′>0，得x<2或x>4；
由y′<0，得2(2)f′(x)＝－，若f′(x)＝0，则x＝，列表如下：
x (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － －
f(x) ? －e ? ?
∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，(1，＋∞)．
[针对训练]
3．解：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝′＝1－，令f′(x)>0，则(x＋)(x－)>0，∴x> 或x<－.∴函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0，∴－∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0, )．
综上所述，函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，0)和(0，)．
4．解：由函数f(x)＝2ln x＋x＋，可得其定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋1－＝＝，x>0，令f′(x)＝0，可得x＝1，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)在(0,1)内单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．综上，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
[题型(三)]
[例3] 解：由题可知定义域为R，f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．
由f′(x)＞0 得x＜－2或x＞3，
∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．
由f′(x)＜0得－2＜x＜3，
∴函数f(x)的单调递减区间是(－2,3)．
由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示．
[针对训练]
5．选D 由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当00，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象如图D.
6．选C ∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1,4)内单调递增，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.
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5.3.1
单调性
导数与函数的单调性
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.能利用导数研究函数的单调性.
2.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.导数与函数单调性的关系
对于函数y=f(x)，
(1)如果在某区间上f'(x)>0，那么f(x)在该区间上单调_____;
(2)如果在某区间上f'(x)<0，那么f(x)在该区间上单调_____.
递增
递减
|微|点|助|解|
(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0，其余的点恒有f'(x)>0，则f(x)单调递增(单调递减的情形完全类似).也就是说，在某区间内f'(x)>0是f(x)在此区间内单调递增的充分条件，而不是必要条件.
(2)利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题
①定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
②注意“临界点”和“间断点”:在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点.
③单调区间的表示:如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开.
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y=f(x)，在区间(a，b)内:
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 越____ 比较“_______”(向上或向下)
越小 越____ 比较“_______”(向上或向下)
快
慢
陡峭
平缓
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0，那么f(x)在此区间内不增不减或为常数函数.( )
(2)如果函数f(x)是定义在R上的增函数，那么一定有f'(x)>0.( )
(3)在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分不必要条件.( )
√
×
√
2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( )
A.(-∞，2) B.(0，3)
C.(1，4) D.(2，+∞)
√
解析:∵f(x)=(x-3)ex，∴f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex，由f'(x)>0得x>2，故选D.
3.函数y=f(x)的图象如图所示，则 ( )
A.f'(3)>0
B.f'(3)<0
C.f'(3)=0
D.f'(3)的正负不确定
√
解析:由题图可知，函数f(x)在(1，5)内单调递减，则在(1，5)内有f'(x)<0，故f'(3)<0.
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 利用导数的正负判断函数的单调性
[例1] 判断下列函数的单调性.
(1)f(x)=x2-ln x;
解:函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2x-=，
因为x>0，所以x+1>0，令f'(x)>0，解得x>，所以函数f(x)在上单调递增;令f'(x)<0，解得0所以函数f(x)在内单调递减.
(2)f(x)=;
解:函数f(x)的定义域为(-∞，2)∪(2，+∞)，f'(x)==，
因为x∈(-∞，2)∪(2，+∞)，所以ex>0，(x-2)2>0，令f'(x)>0，得x>3，所以函数f(x)在(3，+∞)上单调递增;
令f'(x)<0，得x<3，又x∈(-∞，2)∪(2，+∞)，
所以函数f(x)在(-∞，2)和(2，3)内单调递减.
(3)f(x)=x3+.
解:函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
f'(x)=3x2-=3，令f'(x)>0，得x<-1或x>1，
所以函数f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递增;令f'(x)<0，得-1 |思|维|建|模|
利用导数判断或证明函数单调性的思路
针对训练
1.函数f(x)=2x-sin x在(-∞，+∞)上是 ( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.不确定
√
解析:∵f(x)=2x-sin x，∴f'(x)=2-cos x>0在(-∞，+∞)上恒成立，∴f(x)在(-∞，+∞)上是增函数.
2.求证:f(x)=ex+在(0，+∞)上单调递增.
证明:∵f(x)=ex+，∴f'(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1)，当x∈(0，+∞)时，由指数函数的性质知e-x>0，e2x>1，∴f'(x)>0，因此函数f(x)=ex+在(0，+∞)上单调递增.
题型(二) 利用导数求函数的单调区间
[例2] 确定下列函数的单调区间.
(1)y=x3-9x2+24x;
解: y'=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4)，
由y'>0，得x<2或x>4;由y'<0，得2∴函数的单调递增区间为(-∞，2)，(4，+∞)，
单调递减区间为(2，4).
(2)f(x)=(x>0且x≠1).
解:f'(x)=-，若f'(x)=0，则x=，列表如下:
x (1，+∞)
f'(x) + 0 - -
f(x) ↗ -e ↘ ↘
∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，(1，+∞).
|思|维|建|模|
求函数y=f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间.
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
针对训练
3.求函数f(x)=x+(b>0)的单调区间.
解:函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，f'(x)='=1-，令f'(x)>0，则(x+)(x-)>0，∴x> 或x<-.∴函数的单调递增区间为(-∞，-)和(，+∞).令f'(x)<0，则(x+)(x-)<0，∴-，且x≠0.∴函数的单调递减区间为(-，0)和(0，).综上所述，函数的单调递增区间为(-∞，-)和(，+∞)，单调递减区间为(-，0)和(0，).
4.若函数f(x)=2ln x+x+，求 f(x)的单调区间.
解:由函数f(x)=2ln x+x+，可得其定义域为(0，+∞)，且f'(x)=+1-==，x>0，令f'(x)=0，可得x=1，
当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)在(0，1)内单调递减;当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增.综上，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞).
解:由题可知定义域为R，f'(x)=6x2-6x-36=6(x2-x-6)=6(x-3)(x+2).
由f'(x)>0 得x<-2或x>3，
∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-2)和(3，+∞).
由f'(x)<0得-2由已知得f(-2)=60，f(3)=-65，f(0)=16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示.
题型(三) 导数与函数图象的关系
[例3] 画出函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的大致图象.
|思|维|建|模|
(1)由导函数图象画原函数图象的依据:根据f'(x)>0，则f(x)单调递增，f'(x)<0，则f(x)单调递减.
(2)由原函数图象画导函数图象的依据:若f(x)单调递增，则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减，则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数，则f'(x)=0.
针对训练
5.已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的 ( )
解析:由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f'(x)<0，函数f(x)单调递减;当00，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象如图D.
√
6.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f'(x)的图象可能为 ( )
解析:∵f(x)在(-∞，1)，(4，+∞)上单调递减，在(1，4)内单调递增，∴当x<1或x>4时，f'(x)<0;当10.
√
课时检测
03
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3
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2
1.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图，函数y=f(x)的一个单调递减区间是 ( )
A.(x1，x3) B.(x2，x4)
C.(x4，x6) D.(x5，x6)
√
解析:由题图可知，当x∈(x1，x2)，(x4，x6)时，f'(x)>0，当x∈(x2，x4)时，f'(x)<0，∴函数f(x)在(x2，x4)内单调递减，在(x1，x2)，(x4，x6)内单调递增，∴函数y=f(x)的一个单调递减区间是(x2，x4).
1
5
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2
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4
2.函数f(x)=x-ln x的单调递增区间为 ( )
A.(0，1) B.(0，e)
C.(1，+∞) D.
√
15
解析:f(x)=x-ln x的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1-=，由f'(x)>0得x>1，所以f(x)的单调递增区间为(1，+∞).故选C.
1
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2
3.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是 ( )
15
解析:由y=f'(x)的图象知，y=f(x)在(-1，1)内单调递增，且在区间(-1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢，故选B.
√
1
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4.命题甲:对任意x∈(a，b)，有f'(x)>0;命题乙:f(x)在(a，b)内是单调递增的.则甲是乙的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
15
解析:f(x)=x3在(-1，1)内是单调递增的，但f'(x)=3x2≥0(-11
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5.[多选]下列函数在定义域上为增函数的是 ( )
A.f(x)=xln x B.f(x)=ln x+x
C.f(x)=x-cos x D.f(x)=x2ex
√
15
√
1
5
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3
4
2
解析:对于A，函数f(x)=xln x，可得f'(x)=ln x+1(x>0)，当x>时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当00)，当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，故B符合;对于C，f(x)=x-cos x，则f'(x)=1+sin x
≥0，且f'(x)不恒为0，故f(x)单调递增，故C符合;对于D，函数f(x)=x2ex，可得f'(x)=ex(2x+x2)，当x>0或x<-2时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当-215
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6.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y=f(x)的图象大致是 ( )
15
√
1
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8
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11
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3
4
2
解析:由函数y=xf'(x)的图象可知，当x<-1时，xf'(x)<0，f'(x)>0，此时f(x)单调递增;当-10，f'(x)<0，此时f(x)单调递减;当01时，xf'(x)>0，f'(x)>0，此时f(x)单调递增.
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2
7.[多选]若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是 ( )
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2+2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
15
解析:设g(x)=exf(x)，对于A，g(x)=ex·2-x=在定义域R上是增函数，故A正确;对于B，g(x)=(x2+2)ex，g'(x)=(x2+2x+2)ex=[(x+1)2+1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确;对于C，g(x)=ex·3-x=在定义域R上是减函数，故C不正确;对于D，g(x)=excos x，则g'(x)=excos，g'(x)>0在定义域R上不恒成立，故D不正确.
√
√
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8.[多选]设函数f(x)=，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的定义域是(0，+∞)
B.当x∈(0，1)时，f(x)的图象位于x轴下方
C.f(x)存在单调递增区间
D.f(x)有两个单调区间
15
√
√
1
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解析:由得x>0且x≠1，所以函数f(x)=的定义域为(0，1)∪(1，+∞)，所以A不正确.当x∈(0，1)时，ln x<0，ex>0，所以f(x)<0，所以当x∈(0，1)时，f(x)的图象位于x轴下方，所以B正确.f'(x)=，令g(x)=ln x-，则g'(x)=+>0，所以函数g(x)单调递增，g(1)=-1<0，g(e)=1->0，故存在x0∈(1，e)，使得g(x0)=0，则方程f'(x)=0只有一个根x0，当x∈(0，1)和x∈(1，x0)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(x0，+∞)时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)有三个单调区间，所以C正确，D不正确.故选BC.
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9.(5分)函数f(x)=2x+2sin x的单调递增区间是_____________.
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(-∞，+∞)
解析:∵f'(x)=2+2cos x，cos x∈[-1，1]，∴f'(x)≥0在R上恒成立，且不恒为0，∴函数的单调递增区间为(-∞，+∞).
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10.(5分)已知m是实数，函数f(x)=x2(x-m)，若f'(-1)=-1，则函数f(x)的单调递减区间是_______________.
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解析:f'(x)=2x(x-m)+x2，因为f'(-1)=-1，所以-2(-1-m)+1=-1，解得m=-2.令f'(x)=2x(x+2)+x2<0，解得-1
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11.(5分)已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1，f'(x)为其导函数，且导函数y=f'(x)的图象如图所示，则f(x)<1的解集是__________.
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(-2，4)
解析:由f(x)的导函数f'(x)的图象，知f(x)在(-∞，0]上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，当x≤0时，由f(x)<1=f(-2)，得-20时，由f(x)<1=f(4)，得01
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12.(5分)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上有f'(x)>0，若f(-1)=0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是___________________.
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(-∞，-1)∪(0，1)
解析:因为在(0，+∞)上f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(-1)=f(1)=0，且f(x)在(-∞，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(-∞，-1)∪(0，1).
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13.(10分)已知函数f(x)=x3-ax2，a∈R，且f'(-1)=5.
(1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;(5分)
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解:由题设f'(x)=3x2-2ax，则f'(-1)=3+2a=5 a=1，
所以f(x)=x3-x2且f'(x)=3x2-2x，则f(1)=0，f'(1)=1，
所以在点(1，f(1))处的切线方程为y=x-1，即x-y-1=0.
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(2)求函数f(x)的单调区间.(5分)
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解:由(1)知f'(x)=x(3x-2)，
当f'(x)>0时，x<0或x>，当f'(x)<0时，0所以f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，，
单调递减区间为.
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14.(10分)已知函数f(x)=的图象在点M(-1，f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式;(5分)
15
解:因为f(x)的图象在点M(-1，f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
所以f'(-1)=-，且-1+2f(-1)+5=0，即f(-1)=-2，即=-2 ①，
又f'(x)=，所以=- ②.
由①②得a=2，b=3.(因为b+1≠0，所以b=-1舍去)
所以所求函数的解析式是f(x)=.
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(2)求函数f(x)的单调区间.(5分)
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解:由(1)知，f'(x)=.令-2x2+12x+6=0，
解得x1=3-2，x2=3+2，则当x<3-2或x>3+2时，f'(x)<0;
当3-20.故f(x)=的单调递增区间是(3-2，3+2)，单调递减区间是(-∞，3-2)和(3+2，+∞).
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15.(10分)已知函数f(x)=(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值;(4分)
15
解:由f(x)=，可得f'(x)=.
∵曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
∴f'(1)=0，即=0，解得k=1.
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(2)求函数f(x)的单调区间.(6分)
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解:由(1)知，f'(x)=(x>0)，设h(x)=-ln x-1(x>0)，
则h'(x)=--<0.可知h(x)在(0，+∞)上单调递减，由h(1)=0知，
当0h(1)=0，故f'(x)>0;
当x>1时，h(x)综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，+∞).课时检测(四十七) 导数与函数的单调性
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图,函数y=f(x)的一个单调递减区间是 ( )
A.(x1,x3) B.(x2,x4)
C.(x4,x6) D.(x5,x6)
2.函数f(x)=x-ln x的单调递增区间为 ( )
A.(0,1) B.(0,e)
C.(1,+∞) D.
3.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象可能是 ( )
4.命题甲:对任意x∈(a,b),有f'(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.[多选]下列函数在定义域上为增函数的是 ( )
A.f(x)=xln x B.f(x)=ln x+x
C.f(x)=x-cos x D.f(x)=x2ex
6.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中y=f(x)的图象大致是 ( )
7.[多选]若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是 ( )
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2+2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
8.[多选]设函数f(x)=,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的定义域是(0,+∞)
B.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方
C.f(x)存在单调递增区间
D.f(x)有两个单调区间
9.(5分)函数f(x)=2x+2sin x的单调递增区间是 .
10.(5分)已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f'(-1)=-1,则函数f(x)的单调递减区间是 .
11.(5分)已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 .
12.(5分)已知函数f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上有f'(x)>0,若f(-1)=0,则关于x的不等式xf(x)<0的解集是 .
13.(10分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R,且f'(-1)=5.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(5分)
(2)求函数f(x)的单调区间.(5分)
14.(10分)已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式;(5分)
(2)求函数f(x)的单调区间.(5分)
15.(10分)已知函数f(x)=(k为常数,e为自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值;(4分)
(2)求函数f(x)的单调区间.(6分)
课时检测(四十七)
1．选B 由题图可知，当x∈(x1，x2)，(x4，x6)时，f′(x)＞0，当x∈(x2，x4)时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(x2，x4)内单调递减，在(x1，x2)，(x4，x6)内单调递增，∴函数y＝f(x)的一个单调递减区间是(x2，x4)．
2．选C f(x)＝x－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，由f′(x)＞0得x>1，所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．故选C.
3．选B 由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在(－1,1)内单调递增，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢，故选B.
4．选A f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－15．选BC 对于A，函数f(x)＝xln x，可得f′(x)＝ln x＋1(x>0)，当x>时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当00)，当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故B符合；对于C，f(x)＝x－cos x，则f′(x)＝1＋sin x≥0，且f′(x)不恒为0，故f(x)单调递增，故C符合；对于D，函数f(x)＝x2ex，可得f′(x)＝ex(2x＋x2)，当x>0或x<－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当－26．选C 由函数y＝xf′(x)的图象可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增．
7．选AB 设g(x)＝exf(x)，对于A，g(x)＝ex·2－x＝x在定义域R上是增函数，故A正确；对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；对于C，g(x)＝ex·3－x＝x在定义域R上是减函数，故C不正确；对于D，g(x)＝excos x，则g′(x)＝excos，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，故D不正确．
8．选BC 由得x>0且x≠1，所以函数f(x)＝的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，所以A不正确．当x∈(0,1)时，ln x<0，ex>0，所以f(x)<0，所以当x∈(0,1)时，f(x)的图象位于x轴下方，所以B正确．f′(x)＝，令g(x)＝ln x－，则g′(x)＝＋>0，所以函数g(x)单调递增，g(1)＝－1<0，g(e)＝1－>0，
故存在x0∈(1，e)，使得g(x0)＝0，则方程f′(x)＝0只有一个根x0，当x∈(0,1)和x∈(1，x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)有三个单调区间，所以C正确，D不正确．故选BC.
9．解析：∵f′(x)＝2＋2cos x，cos x∈[－1,1]，∴f′(x)≥0在R上恒成立，且不恒为0，∴函数的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
答案：(－∞，＋∞)
10．解析：f′(x)＝2x(x－m)＋x2，因为f′(－1)＝－1，所以－2(－1－m)＋1＝－1，解得m＝－2.令f′(x)＝2x(x＋2)＋x2<0，解得－答案：
11．解析：由f(x)的导函数f′(x)的图象，知f(x)在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，当x≤0时，由f(x)＜1＝f(－2)，得－2＜x≤0；当x＞0时，由f(x)＜1＝f(4)，得0＜x＜4.综上所述，f(x)＜1的解集为(－2,4)．
答案：(－2,4)
12．解析：因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
答案：(－∞，－1)∪(0,1)
13．解：(1)由题设f′(x)＝3x2－2ax，
则f′(－1)＝3＋2a＝5 a＝1，
所以f(x)＝x3－x2且f′(x)＝3x2－2x，
则f(1)＝0，f′(1)＝1，所以在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
(2)由(1)知f′(x)＝x(3x－2)，
当f′(x)＞0时，x<0或x>，
当f′(x)<0时，0所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，，单调递减区间为.
14．解：(1)因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，即＝－2 ①，
又f′(x)＝，
所以＝－ ②.
由①②得a＝2，b＝3.(因为b＋1≠0，
所以b＝－1舍去)
所以所求函数的解析式是f(x)＝.
(2)由(1)知，f′(x)＝.
令－2x2＋12x＋6＝0，
解得x1＝3－2，x2＝3＋2，则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0；
当3－20.故f(x)＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)，单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．
15．解：(1)由f(x)＝，可得f′(x)＝.∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，∴f′(1)＝0，即＝0，解得k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝(x>0)，
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，
则h′(x)＝－－<0.
可知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，由h(1)＝0知，当0h(1)＝0，故f′(x)>0；当x>1时，h(x)1 / 3
