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资源详情
高中数学
苏教版(2019)
选择性必修第一册
第5章 导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 第2课时 导数与函数单调性的简单综合(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册
文档属性
名称
5.3.1 第2课时 导数与函数单调性的简单综合(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册
格式
zip
文件大小
2.5MB
资源类型
教案
版本资源
苏教版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-07-29 20:59:42
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文档简介
第2课时 导数与函数单调性的简单综合
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.能求简单的含参的函数的单调区间.
2.能根据函数的单调性求参数的取值范围,比较大小解不等式等.
题型(一) 讨论含参函数的单调性
[例1] 已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x,讨论f(x)的单调性.
听课记录:
[变式拓展]
已知函数f(x)=x2-2x+aln x(a>0),求函数f(x)的单调递增区间.
|思|维|建|模|
在讨论含有参数的函数单调性时,若f'(x)中的参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,分类的标准:
(1)按导函数是否有零点分大类;
(2)在大类中再按导数零点的大小分小类;
(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.
[针对训练]
1.已知函数f(x)=ax-(a+2)ln x--ln a(a>0),讨论函数f(x)的单调性.
题型(二) 根据函数的单调性求参数
[例2] 已知函数f(x)=x3-ax-1.若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.
听课记录:
[变式拓展]
1.函数f(x)不变,若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,试求a的取值范围.
2.函数f(x)不变,若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.
|思|维|建|模|
1.已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max;
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
[针对训练]
2.若函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,求实数a的取值范围.
题型(三) 根据函数的单调性比较大小或解不等式
[例3] 已知函数f(x)=+ln x,则有 ( )
A.f(e)
C.f(e)
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)在比较两数(式)的大小关系时,首先要判断所给函数的单调性,再根据函数的单调性比较大小.
(2)在解一些不等式时,先判断函数的单调性,再利用单调性脱去f,即可得到变量的大小关系.
[针对训练]
3.若f(x)=,e
A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)
1
4.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是 .
第2课时 导数与函数单调性的简单综合
[题型(一)]
[例1] 解:由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax+(2a+1)=.当a≥0时,2ax+1>0,x+1>0,∴f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,令f′(x)=0,解得x=-,∴当x∈时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.∴f(x)在内单调递增,在上单调递减.综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在内单调递增,在上单调递减.
[变式拓展]
解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-2+=,x>0,
令h(x)=2x2-2x+a,注意到Δ=4(1-2a).
当a≥时,Δ≤0,f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当0
0,令f′(x)=0,
得x1=>0,x2=>0,
令f′(x)>0,解得x∈∪,
所以f(x)的单调递增区间为,.
综上,当a≥时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当0
[针对训练]
1.解:由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)==,x>0,令f′(x)=0,解得x1=1,x2=.
当<1,即a>2时,若x∈∪(1,+∞),则f′(x)>0;若x∈,
则f′(x)<0.∴f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减.
当=1,即a=2时,f′(x)=≥0且f′(x)不恒等于0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当>1,即0
0;若x∈,则f′(x)<0.∴f(x)在(0,1),上单调递增,在内单调递减.
综上所述,当a>2时,f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减;当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0
[题型(二)]
[例2] 解:f′(x)=3x2-a.
因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0,即实数a的取值范围为(-∞,0].
[变式拓展]
1.解:由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)内恒成立,得a≥3x2在(-1,1)内恒成立.因为-1
当a=3时,若x∈(-1,1),则f′(x)=3x2-3<0,f(x)单调递减.
故当a的取值范围为[3,+∞)时,f(x)在(-1,1)内单调递减.
2.解:由本例可知,f(x)的单调递减区间为,所以=1,即a=3.
[针对训练]
2.解:函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,则f′(x)=4x+-a≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≤4x+(x>0)恒成立.
令g(x)=4x+(x>0),则a≤g(x)min.
g(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时取等号,故a≤4;
当a=4时,f′(x)=4x+-4==≥0恒成立,满足题意,所以a≤4.
故实数a的取值范围是(-∞,4].
[题型(三)]
[例3] 选D f′(x)=+,所以x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,又2
[针对训练]
3.选A 因为f′(x)==,当x∈(e,+∞)时,1-ln x<0,所以f′(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减.故f(a)>f(b).
4.解析:因为f(x)=x-sin x,所以f(-x)=-x+sin x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,函数的导数f′(x)=1-cos x≥0,则函数f(x)单调递增,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为(-∞,3).
答案:(-∞,3)
1 / 2(共40张PPT)
导数与函数单调性的简单综合
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.能求简单的含参的函数的单调区间.
2.能根据函数的单调性求参数的取值范围,比较大小解不等式等.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 讨论含参函数的单调性
题型(二) 根据函数的单调性求参数
题型(三) 根据函数的单调性比较大小或解不等式
4
课时检测
题型(一) 讨论含参函数的单调性
01
[例1] 已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x,讨论f(x)的单调性.
解:由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+(2a+1)=.
当a≥0时,2ax+1>0,x+1>0,∴f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,令f'(x)=0,解得x=-,
∴当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.
∴f(x)在内单调递增,在上单调递减.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在内单调递增,在上单调递减.
变式拓展
已知函数f(x)=x2-2x+aln x(a>0),求函数f(x)的单调递增区间.
解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2+=,x>0,
令h(x)=2x2-2x+a,注意到Δ=4(1-2a).
当a≥时,Δ≤0,f'(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当0
0,令f'(x)=0,得x1=>0,x2=>0,
令f'(x)>0,解得x∈∪,
所以f(x)的单调递增区间为.
综上,当a≥时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当0
|思|维|建|模|
在讨论含有参数的函数单调性时,若f'(x)中的参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,分类的标准:
(1)按导函数是否有零点分大类;
(2)在大类中再按导数零点的大小分小类;
(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.
针对训练
1.已知函数f(x)=ax-(a+2)ln x--ln a(a>0),讨论函数f(x)的单调性.
解:由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)==,x>0,令f'(x)=0,解得x1=1,x2=.当<1,即a>2时,
若x∈∪(1,+∞),则f'(x)>0;若x∈,则f'(x)<0.
∴f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减.
当=1,即a=2时,f'(x)=≥0且f'(x)不恒等于0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.当>1,即0
0;若x∈,则f'(x)<0.∴f(x)在(0,1),上单调递增,在内单调递减.综上所述,当a>2时,f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减;当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0
题型(二) 根据函数的单调性求参数
02
[例2] 已知函数f(x)=x3-ax-1.若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.
解:f'(x)=3x2-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0,即实数a的取值范围为(-∞,0].
变式拓展
1.函数f(x)不变,若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,试求a的取值范围.
解:由f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)内恒成立,得a≥3x2在(-1,1)内恒成立.因为-1
当a=3时,若x∈(-1,1),则f'(x)=3x2-3<0,f(x)单调递减.
故当a的取值范围为[3,+∞)时,f(x)在(-1,1)内单调递减.
2.函数f(x)不变,若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.
解:由本例可知,f(x)的单调递减区间为,
所以=1,即a=3.
|思|维|建|模|
1.已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max;(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
针对训练
2.若函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,求实数a的取值范围.
解:函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,则f'(x)=4x+-a≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≤4x+(x>0)恒成立.令g(x)=4x+(x>0),则a≤g(x)min.
g(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时取等号,故a≤4;
当a=4时,f'(x)=4x+-4==≥0恒成立,满足题意,所以a≤4.故实数a的取值范围是(-∞,4].
题型(三) 根据函数的单调性比较大小或解不等式
03
[例3] 已知函数f(x)=+ln x,则有( )
A.f(e)
B.f(3)
C.f(e)
D.f(2)
√
解析:f'(x)=+,所以x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,又2
|思|维|建|模|
(1)在比较两数(式)的大小关系时,首先要判断所给函数的单调性,再根据函数的单调性比较大小.
(2)在解一些不等式时,先判断函数的单调性,再利用单调性脱去f,即可得到变量的大小关系.
针对训练
3.若f(x)=,e
A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)
1
√
解析:因为f'(x)==,当x∈(e,+∞)时,1-ln x<0,所以f'(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减.故f(a)>f(b).
4.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是________.
(-∞,3)
解析:因为f(x)=x-sin x,所以f(-x)=-x+sin x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,函数的导数f'(x)=1-cos x≥0,则函数f(x)单调递增,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为(-∞,3).
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1.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则a的取值范围为 ( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1)
C.(-∞,2) D.
√
解析:f'(x)=3ax2-1≤0恒成立,∴a≤0.
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2.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为,则a的值为( )
A.(-∞,-3) B.-3
C.3 D.(-∞,3)
√
解析:由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x+a=<0的解集为,所以不等式2x2+ax+1<0的解集为,所以+1=-,解得a=-3.
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3.已知函数f(x)=ax+cos x在内单调递增,则a的取值范围是( )
A.[-1,+∞) B.[1,+∞)
C. D.
√
解析:f'(x)=a-sin x≥0在上恒成立,即a≥sin x,所以a≥1,则a的取值范围是[1,+∞).故选B.
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4.[多选]若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是 ( )
A.-3 B.-1
C.0 D.2
√
√
解析:依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故解得a>-3且a≠0.故选BD.
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5.若f(x)=xsin x+cos x,a=f(-3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系为( )
A.a
C.b
√
解析:因为f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x),可知函数f(x)为偶函数,所以a=f(-3)=f(3).又因为f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,且x∈,则x>0,cos x<0,即f'(x)=xcos x<0,所以f(x)在区间内单调递减,且<<2<3<π,所以f(-3)=f(3)
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6.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]内单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(1,2] B.[4,+∞)
C.(-∞,2] D.(0,3]
√
解析:由f(x)=x2-9ln x,则函数f(x)的定义域是(0,+∞),又函数f(x)在区间[a-1,a+1]内单调递减,则f'(x)=x-≤0,得0
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7.已知函数的定义域为R,f(1)=5,对任意x∈R,f'(x)<2,则f(x)>3+2x的解集为( )
A.(-1,1) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,1)
√
解析:设g(x)=f(x)-2x-3,则g'(x)= f'(x)-2.∵对任意x∈R,f'(x)<2,∴对任意x∈R,g'(x)<0,∴g(x)在R上单调递减.∵f(1)=5,∴g(1)=f(1)-2-3=0,由g(x)> g(1)=0,得x<1,∴f(x)>3+2x的解集为(-∞,1).故选D.
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8.(5分)若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内单调递增,则实数b的取值范围是___________.
(-∞,2]
解析:由题意得y'=2x-2b≥0在(2,8)内恒成立,即b≤x在(2,8)内恒成立,所以b≤2.
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9.(5分)若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则实数k的取值范围是___________.
[2,4)
解析:由题意f'(x)=x-(x>0)单调递增,且f'(2)=2-=0,所以若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则0≤k-2<2
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10.(5分)已知函数f(x)=x3-x的值域为,则f(x)的定义域可以是____________________.(写出一个符合条件的即可)
[-1,1](答案不唯一)
解析:f'(x)=x2-1,令f'(x)=0可得x=-1或x=1,所以当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1
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11.(5分)已知函数f(x)=ex-+sin x,其中e是自然对数的底数,若f(2a)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是_________.
[-2,0]
解析:易知f(-x)=e-x-+sin(-x)=-ex+-sin x=-f(x),且x∈R,即f(x)为奇函数.又f'(x)=ex++cos x≥2+cos x=2+cos x>0,当且仅当x=0时取等号,故f(x)为增函数.由于f(2a)+f(a2)≤0 f(2a)≤-f(a2)=f(-a2) ,所以2a≤-a2 a∈[-2,0].
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12.(5分)已知函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则实数a的取值范围是____________.
解析:根据题意,函数f(x)=-x2+x+6,其导数f'(x)=-2x+1,令f'(x)=0,可得x=,当x<时,f'(x)>0;当x>时,f'(x)<0.则在区间上,f(x)单调递增;在区间上,f(x)单调递减,若函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则a<
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解:由已知,f(x)=x2+x+aln x(a∈R)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x+1+=,当a≥0时,f'(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,
f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
当a<0时,令f'(x)=0,则2x2+x+a=0,Δ=1-8a>0,
解得x1=<0(舍去),x2=>0,
∴当x∈时,2x2+x+a<0,∴f'(x)<0,
∴f(x)在区间内单调递减;
13.(10分)已知f(x)=x2+x+aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性.
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当x∈时,2x2+x+a>0,
∴f'(x)>0,∴f(x)在区间上单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
当a<0时,f(x)在区间内单调递减,
在区间上单调递增.
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14.(10分)已知函数f(x)=x-aln x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;(5分)
解: f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-=,当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,满足题意;
当a>0时,令f'(x)=≥0,解得x<0(舍去)或x≥a,要使f(x)在[1,+∞)上单调递增,则a≤1,所以0
综上,a的取值范围为(-∞,1].
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(2)求f(x)的单调区间.(5分)
解:由(1)可知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,f(x)在(a,+∞)上单调递增,
令f'(x)=<0,解得0
综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).
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15.(15分)已知函数f(x)=xln x.
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(5分)
解: f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1.
曲线f(x)在x=1处的切线的斜率为k= f'(1)=1.
把x=1代入f(x)=xln x中得f(1)=0,即切点坐标为(1,0).
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1.
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(2)讨论函数f(x)在区间(0,t](t>0)内的单调性.(10分)
解:令f'(x)=ln x+1=0,得x=.
当0
当t>时,在区间内,f'(x)<0,f(x)单调递减;
在区间内,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上,当0
当t>时,在区间内,f(x)单调递减,在区间内,f(x)单调递增.
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9课时检测(四十八) 导数与函数单调性的简单综合
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则a的取值范围为 ( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1)
C.(-∞,2) D.
2.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为,则a的值为 ( )
A.(-∞,-3) B.-3
C.3 D.(-∞,3)
3.已知函数f(x)=ax+cos x在内单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,+∞) B.[1,+∞)
C. D.
4.[多选]若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是 ( )
A.-3 B.-1
C.0 D.2
5.若f(x)=xsin x+cos x,a=f(-3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a
C.b
6.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]内单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,2] B.[4,+∞)
C.(-∞,2] D.(0,3]
7.已知函数的定义域为R,f(1)=5,对任意x∈R,f'(x)<2,则f(x)>3+2x的解集为 ( )
A.(-1,1) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,1)
8.(5分)若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内单调递增,则实数b的取值范围是 .
9.(5分)若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则实数k的取值范围是 .
10.(5分)已知函数f(x)=x3-x的值域为,则f(x)的定义域可以是 .(写出一个符合条件的即可)
11.(5分)已知函数f(x)=ex-+sin x,其中e是自然对数的底数,若f(2a)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是 .
12.(5分)已知函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则实数a的取值范围是 .
13.(10分)已知f(x)=x2+x+aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性.
14.(10分)已知函数f(x)=x-aln x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;(5分)
(2)求f(x)的单调区间.(5分)
15.(15分)已知函数f(x)=xln x.
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(5分)
(2)讨论函数f(x)在区间(0,t](t>0)内的单调性.(10分)
课时检测(四十八)
1.选A f′(x)=3ax2-1≤0恒成立,∴a≤0.
2.选B 由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2x+a=<0的解集为,所以不等式2x2+ax+1<0的解集为,
所以+1=-,解得a=-3.
3.选B f′(x)=a-sin x≥0在上恒成立,即a≥sin x,所以a≥1,则a的取值范围是[1,+∞).故选B.
4.选BD 依题意知,f′(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故解得a>-3且a≠0.故选BD.
5.选B 因为f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x),可知函数f(x)为偶函数,所以a=f(-3)=f(3).又因为f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,且x∈,则x>0,cos x<0,即f′(x)=xcos x<0,所以f(x)在区间内单调递减,且<<2<3<π,所以f(-3)=f(3)
6.选A 由f(x)=x2-9ln x,则函数f(x)的定义域是(0,+∞),又函数f(x)在区间[a-1,a+1]内单调递减,则f′(x)=x-≤0,得0
7.选D 设g(x)=f(x)-2x-3,则g′(x)= f′(x)-2.∵对任意x∈R,f′(x)<2,∴对任意x∈R,g′(x)<0,∴g(x)在R上单调递减.∵f(1)=5,∴g(1)=f(1)-2-3=0,由g(x)> g(1)=0,得x<1,∴f(x)>3+2x的解集为(-∞,1).故选D.
8.解析:由题意得y′=2x-2b≥0在(2,8)内恒成立,即b≤x在(2,8)内恒成立,所以b≤2.
答案:(-∞,2]
9.解析:由题意f′(x)=x-(x>0)单调递增,且f′(2)=2-=0,所以若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则0≤k-2<2
答案:[2,4)
10.解析:f′(x)=x2-1,令f′(x)=0可得x=-1或x=1,所以当x<-1或x>1时,f′(x)>0,当-1
答案:[-1,1](答案不唯一)
11.解析:易知f(-x)=e-x-+sin(-x)=-ex+-sin x=-f(x),且x∈R,即f(x)为奇函数.又f′(x)=ex++cos x≥2+cos x=2+cos x>0,当且仅当x=0时取等号,故f(x)为增函数.由于f(2a)+f(a2)≤0 f(2a)≤-f(a2)=f(-a2) ,所以2a≤-a2 a∈[-2,0].
答案:[-2,0]
12.解析:根据题意,函数f(x)=-x2+x+6,其导数f′(x)=-2x+1,令f′(x)=0,可得x=,当x<时,f′(x)>0;当x>时,f′(x)<0.则在区间上,f(x)单调递增;在区间上,f(x)单调递减,若函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则a<
答案:
13.解:由已知,f(x)=x2+x+aln x(a∈R)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x+1+=,
当a≥0时,f′(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
当a<0时,令f′(x)=0,则2x2+x+a=0,Δ=1-8a>0,解得x1=<0(舍去),x2=>0,∴当x∈时,2x2+x+a<0,
∴f′(x)<0,∴f(x)在区间内单调递减;
当x∈时,2x2+x+a>0,∴f′(x)>0,∴f(x)在区间上单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在区间内单调递减,在区间上单调递增.
14.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-=,当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,满足题意;
当a>0时,令f′(x)=≥0,解得x<0(舍去)或x≥a,要使f(x)在[1,+∞)上单调递增,则a≤1,所以0
综上,a的取值范围为(-∞,1].
(2)由(1)可知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,f(x)在(a,+∞)上单调递增,令f′(x)=<0,解得0
综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).
15.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1.曲线f(x)在x=1处的切线的斜率为k= f′(1)=1.
把x=1代入f(x)=xln x中得f(1)=0,
即切点坐标为(1,0).
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1.
(2)令f′(x)=ln x+1=0,得x=.
当0
当t>时,在区间内,f′(x)<0,f(x)单调递减;在区间内,f′(x)>0,f(x)单调递增.
综上,当0
当t>时,在区间内,f(x)单调递减,在区间内,f(x)单调递增.
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同课章节目录
第1章 直线与方程
1.1 直线的斜率与倾斜角
1.2 直线的方程
1.3 两条直线的平行与垂直
1.4 两条直线的交点
1.5 平面上的距离
第2章 圆与方程
2.1 圆的方程
2.2 直线与圆的位置关系
2.3 圆与圆的位置关系
第3章 圆锥曲线与方程
3.1 椭圆
3.2 双曲线
3.3 抛物线
第4章 数列
4.1 数列
4.2 等差数列
4.3 等比数列
4.4 数学归纳法*
第5章 导数及其应用
5.1 导数的概念
5.2 导数的运算
5.3 导数在研究函数中的应用
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