5.3.1 第2课时 导数与函数单调性的简单综合(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册

文档属性

名称 5.3.1 第2课时 导数与函数单调性的简单综合(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)选择性必修第一册
格式 zip
文件大小 2.5MB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-29 20:59:42

文档简介

第2课时 导数与函数单调性的简单综合
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.能求简单的含参的函数的单调区间.
2.能根据函数的单调性求参数的取值范围,比较大小解不等式等.
题型(一) 讨论含参函数的单调性
[例1] 已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x,讨论f(x)的单调性.
听课记录:
  [变式拓展]
 已知函数f(x)=x2-2x+aln x(a>0),求函数f(x)的单调递增区间.
|思|维|建|模|
  在讨论含有参数的函数单调性时,若f'(x)中的参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,分类的标准:
(1)按导函数是否有零点分大类;
(2)在大类中再按导数零点的大小分小类;
(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.
  [针对训练]
1.已知函数f(x)=ax-(a+2)ln x--ln a(a>0),讨论函数f(x)的单调性.
题型(二) 根据函数的单调性求参数
[例2] 已知函数f(x)=x3-ax-1.若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.
听课记录:
  [变式拓展]
1.函数f(x)不变,若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,试求a的取值范围.
2.函数f(x)不变,若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.
|思|维|建|模|
1.已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max;
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
  [针对训练]
2.若函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,求实数a的取值范围.
题型(三) 根据函数的单调性比较大小或解不等式
[例3] 已知函数f(x)=+ln x,则有 (  )
A.f(e)C.f(e)听课记录:
|思|维|建|模|
(1)在比较两数(式)的大小关系时,首先要判断所给函数的单调性,再根据函数的单调性比较大小.
(2)在解一些不等式时,先判断函数的单调性,再利用单调性脱去f,即可得到变量的大小关系.
  [针对训练]
3.若f(x)=,eA.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)1
4.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是    .
第2课时 导数与函数单调性的简单综合
[题型(一)]
[例1] 解:由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax+(2a+1)=.当a≥0时,2ax+1>0,x+1>0,∴f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,令f′(x)=0,解得x=-,∴当x∈时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.∴f(x)在内单调递增,在上单调递减.综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在内单调递增,在上单调递减.
[变式拓展]
解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-2+=,x>0,
令h(x)=2x2-2x+a,注意到Δ=4(1-2a).
当a≥时,Δ≤0,f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当00,令f′(x)=0,
得x1=>0,x2=>0,
令f′(x)>0,解得x∈∪,
所以f(x)的单调递增区间为,.
综上,当a≥时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当0[针对训练]
1.解:由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)==,x>0,令f′(x)=0,解得x1=1,x2=.
当<1,即a>2时,若x∈∪(1,+∞),则f′(x)>0;若x∈,
则f′(x)<0.∴f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减.
当=1,即a=2时,f′(x)=≥0且f′(x)不恒等于0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当>1,即00;若x∈,则f′(x)<0.∴f(x)在(0,1),上单调递增,在内单调递减.
综上所述,当a>2时,f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减;当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0[题型(二)]
[例2] 解:f′(x)=3x2-a.
因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0,即实数a的取值范围为(-∞,0].
[变式拓展]
1.解:由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)内恒成立,得a≥3x2在(-1,1)内恒成立.因为-1当a=3时,若x∈(-1,1),则f′(x)=3x2-3<0,f(x)单调递减.
故当a的取值范围为[3,+∞)时,f(x)在(-1,1)内单调递减.
2.解:由本例可知,f(x)的单调递减区间为,所以=1,即a=3.
[针对训练]
2.解:函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,则f′(x)=4x+-a≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≤4x+(x>0)恒成立.
令g(x)=4x+(x>0),则a≤g(x)min.
g(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时取等号,故a≤4;
当a=4时,f′(x)=4x+-4==≥0恒成立,满足题意,所以a≤4.
故实数a的取值范围是(-∞,4].
[题型(三)]
[例3] 选D f′(x)=+,所以x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,又2[针对训练]
3.选A 因为f′(x)==,当x∈(e,+∞)时,1-ln x<0,所以f′(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减.故f(a)>f(b).
4.解析:因为f(x)=x-sin x,所以f(-x)=-x+sin x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,函数的导数f′(x)=1-cos x≥0,则函数f(x)单调递增,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为(-∞,3).
答案:(-∞,3)
1 / 2(共40张PPT)
导数与函数单调性的简单综合
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.能求简单的含参的函数的单调区间.
2.能根据函数的单调性求参数的取值范围,比较大小解不等式等.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 讨论含参函数的单调性
题型(二) 根据函数的单调性求参数
题型(三) 根据函数的单调性比较大小或解不等式
4
课时检测
题型(一) 讨论含参函数的单调性
01
[例1] 已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x,讨论f(x)的单调性.
解:由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+(2a+1)=.
当a≥0时,2ax+1>0,x+1>0,∴f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,令f'(x)=0,解得x=-,
∴当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.
∴f(x)在内单调递增,在上单调递减.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在内单调递增,在上单调递减.
变式拓展
已知函数f(x)=x2-2x+aln x(a>0),求函数f(x)的单调递增区间.
解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2+=,x>0,
令h(x)=2x2-2x+a,注意到Δ=4(1-2a).
当a≥时,Δ≤0,f'(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当00,令f'(x)=0,得x1=>0,x2=>0,
令f'(x)>0,解得x∈∪,
所以f(x)的单调递增区间为.
综上,当a≥时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当0|思|维|建|模|
  在讨论含有参数的函数单调性时,若f'(x)中的参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,分类的标准:
(1)按导函数是否有零点分大类;
(2)在大类中再按导数零点的大小分小类;
(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.
针对训练
1.已知函数f(x)=ax-(a+2)ln x--ln a(a>0),讨论函数f(x)的单调性.
解:由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)==,x>0,令f'(x)=0,解得x1=1,x2=.当<1,即a>2时,
若x∈∪(1,+∞),则f'(x)>0;若x∈,则f'(x)<0.
∴f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减.
当=1,即a=2时,f'(x)=≥0且f'(x)不恒等于0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.当>1,即00;若x∈,则f'(x)<0.∴f(x)在(0,1),上单调递增,在内单调递减.综上所述,当a>2时,f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减;当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0题型(二) 根据函数的单调性求参数
02
[例2] 已知函数f(x)=x3-ax-1.若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.
解:f'(x)=3x2-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0,即实数a的取值范围为(-∞,0].
变式拓展
1.函数f(x)不变,若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,试求a的取值范围.
解:由f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)内恒成立,得a≥3x2在(-1,1)内恒成立.因为-1当a=3时,若x∈(-1,1),则f'(x)=3x2-3<0,f(x)单调递减.
故当a的取值范围为[3,+∞)时,f(x)在(-1,1)内单调递减.
2.函数f(x)不变,若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.
解:由本例可知,f(x)的单调递减区间为,
所以=1,即a=3.
|思|维|建|模|
1.已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max;(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
针对训练
2.若函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,求实数a的取值范围.
解:函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,则f'(x)=4x+-a≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≤4x+(x>0)恒成立.令g(x)=4x+(x>0),则a≤g(x)min.
g(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时取等号,故a≤4;
当a=4时,f'(x)=4x+-4==≥0恒成立,满足题意,所以a≤4.故实数a的取值范围是(-∞,4].
题型(三) 根据函数的单调性比较大小或解不等式
03
[例3] 已知函数f(x)=+ln x,则有(  )
A.f(e)B.f(3)C.f(e)D.f(2)
解析:f'(x)=+,所以x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,又2|思|维|建|模|
(1)在比较两数(式)的大小关系时,首先要判断所给函数的单调性,再根据函数的单调性比较大小.
(2)在解一些不等式时,先判断函数的单调性,再利用单调性脱去f,即可得到变量的大小关系.
针对训练
3.若f(x)=,eA.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)1

解析:因为f'(x)==,当x∈(e,+∞)时,1-ln x<0,所以f'(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减.故f(a)>f(b).
4.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是________.
(-∞,3)
解析:因为f(x)=x-sin x,所以f(-x)=-x+sin x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,函数的导数f'(x)=1-cos x≥0,则函数f(x)单调递增,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为(-∞,3).
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1.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则a的取值范围为 (  )
A.(-∞,0] B.(-∞,1)
C.(-∞,2) D.

解析:f'(x)=3ax2-1≤0恒成立,∴a≤0.
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2.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为,则a的值为(  )
A.(-∞,-3) B.-3
C.3 D.(-∞,3)

解析:由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x+a=<0的解集为,所以不等式2x2+ax+1<0的解集为,所以+1=-,解得a=-3.
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3.已知函数f(x)=ax+cos x在内单调递增,则a的取值范围是(  )
A.[-1,+∞) B.[1,+∞)
C. D.

解析:f'(x)=a-sin x≥0在上恒成立,即a≥sin x,所以a≥1,则a的取值范围是[1,+∞).故选B.
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4.[多选]若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是 (  )
A.-3 B.-1
C.0 D.2


解析:依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故解得a>-3且a≠0.故选BD.
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5.若f(x)=xsin x+cos x,a=f(-3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系为(  )
A.aC.b
解析:因为f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x),可知函数f(x)为偶函数,所以a=f(-3)=f(3).又因为f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,且x∈,则x>0,cos x<0,即f'(x)=xcos x<0,所以f(x)在区间内单调递减,且<<2<3<π,所以f(-3)=f(3)8
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6.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]内单调递减,则实数a的取值范围是(  )
A.(1,2] B.[4,+∞)
C.(-∞,2] D.(0,3]

解析:由f(x)=x2-9ln x,则函数f(x)的定义域是(0,+∞),又函数f(x)在区间[a-1,a+1]内单调递减,则f'(x)=x-≤0,得08
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7.已知函数的定义域为R,f(1)=5,对任意x∈R,f'(x)<2,则f(x)>3+2x的解集为(  )
A.(-1,1) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,1)

解析:设g(x)=f(x)-2x-3,则g'(x)= f'(x)-2.∵对任意x∈R,f'(x)<2,∴对任意x∈R,g'(x)<0,∴g(x)在R上单调递减.∵f(1)=5,∴g(1)=f(1)-2-3=0,由g(x)> g(1)=0,得x<1,∴f(x)>3+2x的解集为(-∞,1).故选D.
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8.(5分)若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内单调递增,则实数b的取值范围是___________.
(-∞,2]
解析:由题意得y'=2x-2b≥0在(2,8)内恒成立,即b≤x在(2,8)内恒成立,所以b≤2.
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9.(5分)若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则实数k的取值范围是___________.
[2,4)
解析:由题意f'(x)=x-(x>0)单调递增,且f'(2)=2-=0,所以若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则0≤k-2<28
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10.(5分)已知函数f(x)=x3-x的值域为,则f(x)的定义域可以是____________________.(写出一个符合条件的即可)
[-1,1](答案不唯一)
解析:f'(x)=x2-1,令f'(x)=0可得x=-1或x=1,所以当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-18
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11.(5分)已知函数f(x)=ex-+sin x,其中e是自然对数的底数,若f(2a)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是_________.
[-2,0]
解析:易知f(-x)=e-x-+sin(-x)=-ex+-sin x=-f(x),且x∈R,即f(x)为奇函数.又f'(x)=ex++cos x≥2+cos x=2+cos x>0,当且仅当x=0时取等号,故f(x)为增函数.由于f(2a)+f(a2)≤0 f(2a)≤-f(a2)=f(-a2) ,所以2a≤-a2 a∈[-2,0].
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12.(5分)已知函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则实数a的取值范围是____________.
解析:根据题意,函数f(x)=-x2+x+6,其导数f'(x)=-2x+1,令f'(x)=0,可得x=,当x<时,f'(x)>0;当x>时,f'(x)<0.则在区间上,f(x)单调递增;在区间上,f(x)单调递减,若函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则a<8
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解:由已知,f(x)=x2+x+aln x(a∈R)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x+1+=,当a≥0时,f'(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,
f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
当a<0时,令f'(x)=0,则2x2+x+a=0,Δ=1-8a>0,
解得x1=<0(舍去),x2=>0,
∴当x∈时,2x2+x+a<0,∴f'(x)<0,
∴f(x)在区间内单调递减;
13.(10分)已知f(x)=x2+x+aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性.
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当x∈时,2x2+x+a>0,
∴f'(x)>0,∴f(x)在区间上单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
当a<0时,f(x)在区间内单调递减,
在区间上单调递增.
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14.(10分)已知函数f(x)=x-aln x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;(5分)
解: f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-=,当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,满足题意;
当a>0时,令f'(x)=≥0,解得x<0(舍去)或x≥a,要使f(x)在[1,+∞)上单调递增,则a≤1,所以0综上,a的取值范围为(-∞,1].
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(2)求f(x)的单调区间.(5分)
解:由(1)可知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,f(x)在(a,+∞)上单调递增,
令f'(x)=<0,解得0综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).
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15.(15分)已知函数f(x)=xln x.
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(5分)
解: f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1.
曲线f(x)在x=1处的切线的斜率为k= f'(1)=1.
把x=1代入f(x)=xln x中得f(1)=0,即切点坐标为(1,0).
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1.
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(2)讨论函数f(x)在区间(0,t](t>0)内的单调性.(10分)
解:令f'(x)=ln x+1=0,得x=.
当0当t>时,在区间内,f'(x)<0,f(x)单调递减;
在区间内,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上,当0当t>时,在区间内,f(x)单调递减,在区间内,f(x)单调递增.
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9课时检测(四十八) 导数与函数单调性的简单综合
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则a的取值范围为 (  )
A.(-∞,0] B.(-∞,1)
C.(-∞,2) D.
2.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为,则a的值为 (  )
A.(-∞,-3) B.-3
C.3 D.(-∞,3)
3.已知函数f(x)=ax+cos x在内单调递增,则a的取值范围是 (  )
A.[-1,+∞) B.[1,+∞)
C. D.
4.[多选]若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是 (  )
A.-3 B.-1
C.0 D.2
5.若f(x)=xsin x+cos x,a=f(-3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系为 (  )
A.aC.b6.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]内单调递减,则实数a的取值范围是 (  )
A.(1,2] B.[4,+∞)
C.(-∞,2] D.(0,3]
7.已知函数的定义域为R,f(1)=5,对任意x∈R,f'(x)<2,则f(x)>3+2x的解集为 (  )
A.(-1,1) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,1)
8.(5分)若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内单调递增,则实数b的取值范围是    .
9.(5分)若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则实数k的取值范围是    .
10.(5分)已知函数f(x)=x3-x的值域为,则f(x)的定义域可以是    .(写出一个符合条件的即可)
11.(5分)已知函数f(x)=ex-+sin x,其中e是自然对数的底数,若f(2a)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是    .
12.(5分)已知函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则实数a的取值范围是    .
13.(10分)已知f(x)=x2+x+aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性.
14.(10分)已知函数f(x)=x-aln x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;(5分)
(2)求f(x)的单调区间.(5分)
15.(15分)已知函数f(x)=xln x.
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(5分)
(2)讨论函数f(x)在区间(0,t](t>0)内的单调性.(10分)
课时检测(四十八)
1.选A f′(x)=3ax2-1≤0恒成立,∴a≤0.
2.选B 由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2x+a=<0的解集为,所以不等式2x2+ax+1<0的解集为,
所以+1=-,解得a=-3.
3.选B f′(x)=a-sin x≥0在上恒成立,即a≥sin x,所以a≥1,则a的取值范围是[1,+∞).故选B.
4.选BD 依题意知,f′(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故解得a>-3且a≠0.故选BD.
5.选B 因为f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x),可知函数f(x)为偶函数,所以a=f(-3)=f(3).又因为f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,且x∈,则x>0,cos x<0,即f′(x)=xcos x<0,所以f(x)在区间内单调递减,且<<2<3<π,所以f(-3)=f(3)6.选A 由f(x)=x2-9ln x,则函数f(x)的定义域是(0,+∞),又函数f(x)在区间[a-1,a+1]内单调递减,则f′(x)=x-≤0,得07.选D 设g(x)=f(x)-2x-3,则g′(x)= f′(x)-2.∵对任意x∈R,f′(x)<2,∴对任意x∈R,g′(x)<0,∴g(x)在R上单调递减.∵f(1)=5,∴g(1)=f(1)-2-3=0,由g(x)> g(1)=0,得x<1,∴f(x)>3+2x的解集为(-∞,1).故选D.
8.解析:由题意得y′=2x-2b≥0在(2,8)内恒成立,即b≤x在(2,8)内恒成立,所以b≤2.
答案:(-∞,2]
9.解析:由题意f′(x)=x-(x>0)单调递增,且f′(2)=2-=0,所以若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则0≤k-2<2答案:[2,4)
10.解析:f′(x)=x2-1,令f′(x)=0可得x=-1或x=1,所以当x<-1或x>1时,f′(x)>0,当-1答案:[-1,1](答案不唯一)
11.解析:易知f(-x)=e-x-+sin(-x)=-ex+-sin x=-f(x),且x∈R,即f(x)为奇函数.又f′(x)=ex++cos x≥2+cos x=2+cos x>0,当且仅当x=0时取等号,故f(x)为增函数.由于f(2a)+f(a2)≤0 f(2a)≤-f(a2)=f(-a2) ,所以2a≤-a2 a∈[-2,0].
答案:[-2,0]
12.解析:根据题意,函数f(x)=-x2+x+6,其导数f′(x)=-2x+1,令f′(x)=0,可得x=,当x<时,f′(x)>0;当x>时,f′(x)<0.则在区间上,f(x)单调递增;在区间上,f(x)单调递减,若函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则a<答案:
13.解:由已知,f(x)=x2+x+aln x(a∈R)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x+1+=,
当a≥0时,f′(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
当a<0时,令f′(x)=0,则2x2+x+a=0,Δ=1-8a>0,解得x1=<0(舍去),x2=>0,∴当x∈时,2x2+x+a<0,
∴f′(x)<0,∴f(x)在区间内单调递减;
当x∈时,2x2+x+a>0,∴f′(x)>0,∴f(x)在区间上单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在区间内单调递减,在区间上单调递增.
14.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-=,当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,满足题意;
当a>0时,令f′(x)=≥0,解得x<0(舍去)或x≥a,要使f(x)在[1,+∞)上单调递增,则a≤1,所以0综上,a的取值范围为(-∞,1].
(2)由(1)可知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,f(x)在(a,+∞)上单调递增,令f′(x)=<0,解得0综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).
15.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1.曲线f(x)在x=1处的切线的斜率为k= f′(1)=1.
把x=1代入f(x)=xln x中得f(1)=0,
即切点坐标为(1,0).
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1.
(2)令f′(x)=ln x+1=0,得x=.
当0当t>时,在区间内,f′(x)<0,f(x)单调递减;在区间内,f′(x)>0,f(x)单调递增.
综上,当0当t>时,在区间内,f(x)单调递减,在区间内,f(x)单调递增.
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