5.3.2 极大值与极小值
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.体会导数与单调性、极值的关系.
1.极大值与极大值点
一般地,若存在δ>0,函数f(x)在(x1-δ,x1+δ)内有定义,且当x∈(x1-δ,x1+δ),x≠x1时,都有 ,则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值,x1称为函数y=f(x)的极大值点.
2.极小值与极小值点
一般地,若存在δ>0,函数f(x)在(x2-δ,x2+δ)内有定义,且当x∈(x2-δ,x2+δ),x≠x2时,都有 ,则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值,x2称为函数y=f(x)的极小值点.
3.极值与极值点
函数的极大值、极小值统称为函数的极值,极大值点、极小值点统称为极值点.
4.函数的极值与导数的关系
(1)极大值与导数之间的关系
x x1左侧 x1 x1右侧
f'(x) f'(x)=0
f(x) ↗ 极大值f(x1) ↘
(2)极小值与导数之间的关系
x x2左侧 x2 x2右侧
f'(x) f'(x)=0
f(x) ↘ 极小值f(x2) ↗
|微|点|助|解|
1.对于极值的认识
(1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的.
(2)若f(x)在某区间内有极值,则f(x)在该区间内一定不具有单调性,即在区间上单调的函数没有极值.
2.对于函数极值点的认识
(1)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.
(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.
(3)从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0.并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点. ( )
(2)函数的极小值一定小于它的极大值. ( )
(3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. ( )
(4)如果f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不具有单调性. ( )
2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13,则实数m等于 .
题型(一) 函数极值的辨析
[例1] (多选)已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则 ( )
A.函数f(x)有极大值f(2)
B.函数f(x)有极大值f(-2)
C.函数f(x)有极小值f(-2)
D.函数f(x)有极小值f(2)
听课记录:
|思|维|建|模|
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的.若由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值.
[针对训练]
1.设f(x)=x2+cos x,则函数f(x) ( )
A.有且仅有一个极小值
B.有且仅有一个极大值
C.有无数个极值
D.没有极值
2.[多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)在区间(1,3)内单调递减
B.f(1)
C.函数f(x)在x=1处取极大值
D.函数f(x)在区间(-2,5)内有两个极小值点
题型(二) 求函数的极值
[例2] 求下列函数的极值点和极值.
(1)f(x)=x3-x2-3x+3;
(2)f(x)=+3ln x.
听课记录:
|思|维|建|模|
求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)求函数的定义域;
(2)求函数的导数f'(x);
(3)令f'(x)=0,求出全部的根x0;
(4)列表:方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内;
(5)判断得结论:若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若左负右正,则在x0处取得极小值.
[针对训练]
3.已知函数f(x)=在x=1处取得极值,则f(x)的极小值为 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
4.(1)求f(x)=x2e-x的极值;
(2)求函数f(x)=的极值.
题型(三) 由函数极值求参数的值或范围
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是 ( )
A.(-1,2)
B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
(2)[多选]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则下列说法正确的是 ( )
A.a+b=0
B.a+b=-7
C.f(x)一定有两个极值点
D.f(x)一定存在单调递减区间
听课记录:
|思|维|建|模|
已知函数的极值情况求参数时应注意两点
(1)待定系数法:根据极值点处导数值为0和极值两个条件列出方程组,用待定系数法求解.
(2)验证:因为导数值为0不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证.
[针对训练]
5.若函数f(x)=x3-ax2+ax在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,0) B.
C. D.
6.已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1处取得极大值为4,极小值为0,试确定a,b,c的值.
5.3.2 极大值与极小值
?课前预知教材
1．f(x)f(x2) 4.(1)f′(x)>0 f′(x)<0 (2)f′(x)<0 f′(x)>0
[基础落实训练]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√ 2.A
3．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选BD 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
[针对训练]
1．选A f′(x)＝x－sin x，f″(x)＝1－cos x≥0，∴f′(x)单调递增且f′(0)＝0，
∴当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x>0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故f(x)有唯一的极小值点．故选A.
2．选BD 由导函数y＝f′(x)的图象，可知函数f(x)在(1,2)内单调递增，在(2,3)内单调递减，故f(1)[题型(二)]
[例2] 解：(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (－∞， －1) －1 (－1， 3) 3 (3， ＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
因此当x＝－1时，f(x)有极大值，并且极大值为f(－1)＝；当x＝3时，f(x)有极小值，并且极小值为f(3)＝－6.
(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? 极小值 ?
因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且极小值为f(1)＝3；无极大值．
[针对训练]
3．选C 求导得f′(x)＝，由已知得f′(1)＝0，所以a＝－1，则f(x)＝，f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以f(x)的极小值为f(0)＝1.
4．解：(1)f′(x)＝2xe－x－x2e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? 0 ? ?
所以f(x)的极小值是f(0)＝0，极大值是f(2)＝.
(2)函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (－∞， －1) －1 (－1， 1) (1， 2) 2 (2， ＋∞)
f′(x) ＋ 0 － ＋ 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? ? 非极值 ?
故当x＝－1时，f(x)有极大值，极大值为－.
[题型(三)]
[例3] (1)选B 函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，函数f(x)有极大值和极小值，所以其导函数f′(x)＝0有两个不同的解，Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，所以a<－3或a>6.
(2)选BCD 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2定义域为R，求导得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意，即解得或当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值不符合题意，当时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，当x<－或x>1时，f′(x)>0，当－[针对训练]
5．选C 由f(x)＝x3－ax2＋ax，得f′(x)＝x2－2ax＋a，因为f(x)在(0,1)内有极大值，在(1,2)内有极小值，所以解得16．解：f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)，
由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)，当a>0时，如表所示.
x (－∞， －1) －1 (－1， 0) 0 (0,1) 1 (1， ＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大 值 ? 非极 值 ? 极小 值 ?
当a>0时，由表可得，f(x)极大值为f(－1)＝4，即－a＋b＋c＝4 ①，
f(x)极小值为f(1)＝0，即a－b＋c＝0 ②，又5a＝3b ③，解①②③得a＝3，b＝5，c＝2.
当a<0时，同理可得f(x)极大值为f(1)＝4，即a－b＋c＝4，f(x)极小值为f(－1)＝0，即－a＋b＋c＝0，又5a＝3b，同理解得a＝－3，b＝－5，c＝2.所以a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.
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5.3.2
极大值与极小值
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
课时目标
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.体会导数与单调性、极值的关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.极大值与极大值点
一般地，若存在δ>0，函数f(x)在(x1-δ，x1+δ)内有定义，且当x∈(x1-δ，x1+δ)，x≠x1时，都有_________，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值，x1称为函数y=f(x)的极大值点.
2.极小值与极小值点
一般地，若存在δ>0，函数f(x)在(x2-δ，x2+δ)内有定义，且当x∈(x2-δ，x2+δ)，x≠x2时，都有_________，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值，x2称为函数y=f(x)的极小值点.
3.极值与极值点
函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为极值点.
f(x)f(x)>f(x2)
4.函数的极值与导数的关系
(1)极大值与导数之间的关系
x x1左侧 x1 x1右侧
f'(x) ______ f'(x)=0 ______
f(x) ↗ 极大值f(x1) ↘
f'(x)>0
f'(x)<0
(2)极小值与导数之间的关系
x x2左侧 x2 x2右侧
f'(x) ______ f'(x)=0 ______
f(x) ↘ 极小值f(x2) ↗
f'(x)<0
f'(x)>0
|微|点|助|解|
1.对于极值的认识
(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的.
(2)若f(x)在某区间内有极值，则f(x)在该区间内一定不具有单调性，即在区间上单调的函数没有极值.
2.对于函数极值点的认识
(1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.
(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.
(3)从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0.并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点.( )
(2)函数的极小值一定小于它的极大值.( )
(3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值.( )
(4)如果f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不具有单调性.( )
×
×
×
√
2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
√
3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13，则实数m等于______.
-19
解析:y'=-3x2+12x，由y'=0，得x=0或x=4，容易得出当x=4时函数取得极大值，所以-43+6×42+m=13，解得m=-19.
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 函数极值的辨析
[例1] [多选]已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示，则 ( )
A.函数f(x)有极大值f(2)
B.函数f(x)有极大值f(-2)
C.函数f(x)有极小值f(-2)
D.函数f(x)有极小值f(2)
√
√
解析:由题图可知，当x<-2时，f'(x)>0;当-22时，f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值.
|思|维|建|模|
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的.若由正值变为负值，则在该点处取得极大值;若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.
针对训练
1.设f(x)=x2+cos x，则函数f(x)( )
A.有且仅有一个极小值 B.有且仅有一个极大值
C.有无数个极值 D.没有极值
√
解析:f'(x)=x-sin x，f″(x)=1-cos x≥0，∴f'(x)单调递增且f'(0)=0，∴当x<0时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，当x>0时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，故f(x)有唯一的极小值点.故选A.
2.[多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)在区间(1，3)内单调递减
B.f(1)C.函数f(x)在x=1处取极大值
D.函数f(x)在区间(-2，5)内有两个极小值点
√
√
解析:由导函数y=f'(x)的图象，可知函数f(x)在(1，2)内单调递增，在(2，3)内单调递减，故f(1)题型(二) 求函数的极值
[例2] 求下列函数的极值点和极值.
(1)f(x)=x3-x2-3x+3;
解: f(x)=x3-x2-3x+3的定义域为R，f'(x)=x2-2x-3.
令f'(x)=0，得x1=3，x2=-1.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (-∞，-1) -1 (-1，3) 3 (3，+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因此当x=-1时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-1)=;当x=3时，f(x)有极小值，并且极小值为f(3)=-6.
(2)f(x)=+3ln x.
解:函数f(x)=+3ln x的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-+=，令f'(x)=0得x=1.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (0，1) 1 (1，+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
因此当x=1时，f(x)有极小值，并且极小值为f(1)=3;无极大值.
|思|维|建|模| 求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)求函数的定义域;
(2)求函数的导数f'(x);
(3)令f'(x)=0，求出全部的根x0;
(4)列表:方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f'(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内;
(5)判断得结论:若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值;若左负右正，则在x0处取得极小值.
针对训练
3.已知函数f(x)=在x=1处取得极值，则f(x)的极小值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
√
解析:求导得f'(x)=，由已知得f'(1)=0，所以a=-1，则f(x)=，f'(x)=.令f'(x)=0，得x=0或x=1.当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减;当x∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)的极小值为f(0)=1.
4.(1)求f(x)=x2e-x的极值;
解:f'(x)=2xe-x-x2e-x，令f'(x)=0，得x=0或x=2，
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 0 ↗ ↘
所以f(x)的极小值是f(0)=0，极大值是f(2)=.
(2)求函数f(x)=的极值.
解:函数f(x)=的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，f'(x)=.
令f'(x)=0，得x1=-1，x2=2.所以当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (-∞，-1) -1 (-1，1) (1，2) 2 (2，+∞)
f'(x) + 0 - + 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ ↗ 非极值 ↗
故当x=-1时，f(x)有极大值，极大值为-.
题型(三) 由函数极值求参数的值或范围
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是 ( )
A.(-1，2) B.(-∞，-3)∪(6，+∞)
C.(-3，6) D.(-∞，-1)∪(2，+∞)
√
解析:函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1，所以f'(x)=3x2+2ax+a+6，函数f(x)有极大值和极小值，所以其导函数f'(x)=0有两个不同的解，Δ=4a2-4×3(a+6)>0，所以a<-3或a>6.
(2)[多选]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则下列说法正确的是 ( )
A.a+b=0
B.a+b=-7
C.f(x)一定有两个极值点
D.f(x)一定存在单调递减区间
√
√
√
解析:函数f(x)=x3+ax2+bx+a2定义域为R，求导得f'(x)=3x2+2ax+b，依题意，即解得或当时，f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值不符合题意，当时，f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)，当x<-或x>1时，f'(x)>0，当
-f(x)一定存在单调递减区间，D正确.
|思|维|建|模|
已知函数的极值情况求参数时应注意两点
(1)待定系数法:根据极值点处导数值为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解.
(2)验证:因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证.
针对训练
5.若函数f(x)=x3-ax2+ax在(0，1)内有极大值，在(1，2)内有极小值，则实数a的取值范围为( )
A.(-∞，0) B.
C. D.
√
解析:由f(x)=x3-ax2+ax，得f'(x)=x2-2ax+a，因为f(x)在(0，1)内有极大值，在(1，2)内有极小值，所以解得16.已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1处取得极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值.
解:f'(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b)，由题意，f'(x)=0应有根x=±1，故5a=3b，于是f'(x)=5ax2(x2-1)，当a>0时，如表所示.
x (-∞，-1) -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，+∞)
f'(x) + 0 - 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 非极值 ↘ 极小值 ↗
当a>0时，由表可得，f(x)极大值为f(-1)=4，即-a+b+c=4 ①，
f(x)极小值为f(1)=0，即a-b+c=0 ②，又5a=3b ③，解①②③得a=3，b=5，c=2.
当a<0时，同理可得f(x)极大值为f(1)=4，即a-b+c=4，f(x)极小值为f(-1)=0，即-a+b+c=0，又5a=3b，同理解得a=-3，b=-5，c=2.所以a=3，b=5，c=2或a=-3，b=-5，c=2.
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2
1.若函数y=f(x)可导，则“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的 ( )
A.必要且不充分条件
B.充分且不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
解析:f'(x)=0，但f'(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时f(x)在零点处无极值，但f(x)有极值则f'(x)在极值处一定等于0.所以“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的必要且不充分条件.故选A.
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2.定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列结论错误的是( )
A.函数f(x)在区间(0，4)内单调递增
B.函数f(x)在区间内单调递减
C.函数f(x)在x=0处取得极小值
D.函数f(x)在x=3处取得极小值
√
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解析:根据导函数图象可知，在区间内，f'(x)<0，f(x)单调递减，在(0，4)内，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x=0处取得极小值，没有极大值，故A、B、C正确，D错误，故选D.
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3.已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于 ( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
√
15
解析:∵a，b，c，d成等比数列，∴ad=bc，又(b，c)为函数y=3x-x3的极大值点，∴c=3b-b3，且3-3b2=0，∴或∴ad=2.
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4.已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a)，若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是 ( )
A.(-∞，-1) B.(0，+∞)
C.(0，1) D.(-1，0)
√
15
解析:若a<-1，∵f'(x)=a(x+1)(x-a)，∴f(x)在(-∞，a)上单调递减，在(a，-1)内单调递增，∴f(x)在x=a处取得极小值，与题意不符;若-10，则f(x)在(-1，a)内单调递减，在(a，+∞)上单调递增，与题意矛盾，故选D.
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5.若函数y=ex-2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.(0，1)
√
15
解析:由y=ex-2mx，得y'=ex-2m.∵函数y=ex-2mx有小于零的极值点，∴ex-2m=0有小于零的实根，即m=ex有小于零的实根，∵x<0，∴01
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6.[多选]设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是 ( )
A. x∈R，f(x)≥f(x0)
B.-x0是f(-x)的极大值点
C.-x0是-f(x)的极小值点
D.-x0是-f(-x)的极小值点
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解析:函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的，故A不正确;f(-x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象，故-x0应是f(-x)的极大值点，故B正确;-f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象，故x0应是-f(x)的极小值点，跟-x0没有关系，故C不正确;-f(-x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴作对称，再关于x轴作对称得到的图象，故D正确.故选BD.
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7.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则( )
A.x=3是f(x)的极小值点
B.当0C.当1D.当-1f(x)
15
√
√
√
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解析:因为函数f(x)的定义域为R，而f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3)，易知当x∈(1，3)时，f'(x)<0，当x∈(-∞，1)∪(3，+∞)时，f'(x)
>0，函数f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，故x=3是函数f(x)的极小值点，故A正确;当0x2，故B错误;当1f(2x-1)>f(3)，即-40，所以f(2-x)>f(x)，故D正确.故选ACD.
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8.若直线y=m与y=3x-x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为( )
A.[-2，2] B.(-2，2)
C.(-∞，-2)∪(2，+∞) D.(-∞，-2]∪[2，+∞)
15
√
解析:∵y=3x-x3，∴y'=3-3x2，令y'=0，得x=±1.∵当x∈(-∞，-1)时，y'<0;当x∈(-1，1)时，y'>0;当x∈(1，+∞)时，y'<0.∴当x=1时，y取极大值2，当x=-1时，y取极小值-2.∵直线y=m与y=3x2-x3的图象有三个不同交点，∴-21
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9.(5分)已知函数f(x)=ax3+bx2+c，其导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数的极小值是____.
15
c
解析:依题意f'(x)=3ax2+2bx.由题图可知，当x<0时，f'(x)<0，当00，故x=0时函数f(x)有极小值，极小值为f(0)=c.
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10.(5分)设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点，则常数a=______.
15
-
解析:因为f'(x)=+2bx+1，由题意得
解得
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11.(5分)函数f(x)=ax3-6x的一个极值点为1，则f(x)的极大值是_____.
15
4
解析:f(x)=ax3-6x定义域为R，f'(x)=3ax2-6，由题意得，f'(1)=3a-6=0，解得a=2，故f'(x)=6x2-6.令f'(x)=0，解得x=±1，令f'(x)>0，得x>1或x<-1，f(x)=2x3-6x单调递增，令f'(x)<0，得-11
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12.(5分)已知f(x)=x3-x2+2x+1，x1，x2是f(x)的两个极值点，且015
解析:∵f'(x)=x2-ax+2，∴x1，x2是f'(x)=0的两个根，由01
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13.(10分)求下列函数的极值:
(1)f(x)=ex-x;(5分)
15
解:函数定义域为R，f'(x)=ex-1.令f'(x)=0，解得x=0.
当x<0时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减;
当x>0时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增.
所以当x=0时，函数f(x)取得极小值，
且极小值为f(0)=1，函数f(x)无极大值.
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(2)f(x)=x-ln(x+1).(5分)
15
解:函数f(x)的定义域为(-1，+∞)，f'(x)=1-=.令f'(x)=0，得x=0.
当-1当x>0时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增.
所以当x=0时，函数f(x)取得极小值，
且极小值为f(0)=0，函数f(x)无极大值.
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14.(10分)设函数f(x)=ex(ax2+bx-3)，且满足f()=0，f'(0)=-3.
(1)求实数a+b的值;(4分)
15
解: f(x)=ex(ax2+bx-3)，则f'(x)=ex[ax2+(b+2a)x+b-3]，
即解得
故实数a+b的值为1.
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(2)求函数f(x)的极值.(6分)
15
解:由(1)得f(x)=ex(x2-3)，函数定义域为R，f'(x)=ex(x2+2x-3)，
由f'(x)>0，解得x<-3或x>1;
由f'(x)<0，解得-3则f(x)在(-∞，-3)和(1，+∞)上单调递增，在(-3，1)内单调递减.
当x=-3时，f(x)有极大值f(-3)=;当x=1时，f(x)有极小值f(1)=-2e.
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15.(15分)已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a<2，x∈R).
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间;(6分)
15
解:f(x)=(x2+x+1)ex，f'(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex.
当f'(x)>0时，解得x<-2或x>-1;
当f'(x)<0时，解得-2∴f(x)的单调递增区间为(-∞，-2)，(-1，+∞)，
单调递减区间为(-2，-1).
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(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3 若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.(9分)
15
解:令f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0，
解得x=-a或x=-2.∵a<2，∴-a>-2，列表如下.
x (-∞，-2) -2 (-2，-a) -a (-a，∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可知f(x)极大值=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3，
解得a=4-3e2<2.∴存在实数a<2，使f(x)的极大值为3，此时a=4-3e2.课时检测(四十九) 极大值与极小值
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.若函数y=f(x)可导,则“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的 ( )
A.必要且不充分条件
B.充分且不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论错误的是 ( )
A.函数f(x)在区间(0,4)内单调递增
B.函数f(x)在区间内单调递减
C.函数f(x)在x=0处取得极小值
D.函数f(x)在x=3处取得极小值
3.已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于 ( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
4.已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.(0,+∞)
C.(0,1) D.(-1,0)
5.若函数y=ex-2mx有小于零的极值点,则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.(0,1)
6.[多选]设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 ( )
A. x∈R,f(x)≥f(x0)
B.-x0是f(-x)的极大值点
C.-x0是-f(x)的极小值点
D.-x0是-f(-x)的极小值点
7.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 ( )
A.x=3是f(x)的极小值点
B.当0C.当1D.当-1f(x)
8.若直线y=m与y=3x-x3的图象有三个不同的交点,则实数m的取值范围为 ( )
A.[-2,2]
B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
9.(5分)已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数的极小值是 .
10.(5分)设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a= .
11.(5分)函数f(x)=ax3-6x的一个极值点为1,则f(x)的极大值是 .
12.(5分)已知f(x)=x3-x2+2x+1,x1,x2是f(x)的两个极值点,且013.(10分)求下列函数的极值:
(1)f(x)=ex-x;(5分)
(2)f(x)=x-ln(x+1).(5分)
14.(10分)设函数f(x)=ex(ax2+bx-3),且满足f()=0,f'(0)=-3.
(1)求实数a+b的值;(4分)
(2)求函数f(x)的极值.(6分)
15.(15分)已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a<2,x∈R).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(6分)
(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3 若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.(9分)
课时检测(四十九)
1．选A f′(x)＝0，但f′(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时f(x)在零点处无极值，但f(x)有极值则f′(x)在极值处一定等于0.所以“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的必要且不充分条件．故选A.
2．选D 根据导函数图象可知，在区间内，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(0,4)内，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值，故A、B、C正确，D错误，故选D.
3．选A ∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，∴c＝3b－b3，且3－3b2＝0，∴或
∴ad＝2.
4．选D 若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)内单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－10，则f(x)在(－1，a)内单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，故选D.
5．选B 由y＝ex－2mx，得y′＝ex－2m.
∵函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，
∴ex－2m＝0有小于零的实根，即m＝ex有小于零的实根，∵x＜0，∴0＜ex＜，∴0＜m＜.
6．选BD 函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的，故A不正确；f(－x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象，故－x0应是f(－x)的极大值点，故B正确；－f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象，故x0应是－f(x)的极小值点，跟－x0没有关系，故C不正确；－f(－x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴作对称，再关于x轴作对称得到的图象，故D正确．故选BD.
7．选ACD 因为函数f(x)的定义域为R，而f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，易知当x∈(1,3)时，f′(x)＜0，当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是函数f(x)的极小值点，故A正确；
当0＜x＜1时，f(x)单调递增，而x＞x2，故B错误；
当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，且函数f(x)在(1,3)上单调递减，所以f(1)＞f(2x－1)＞f(3)，即－4＜f(2x－1)＜0，故C正确；
当－1＜x＜0时，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2·(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝2(x－1)2(1－x)＞0，所以f(2－x)＞f(x)，故D正确．故选ACD.
8．选B ∵y＝3x－x3，∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.∵当x∈(－∞，－1)时，y′＜0；当x∈(－1,1)时，y′＞0；当x∈(1，＋∞)时，y′＜0.∴当x＝1时，y取极大值2，当x＝－1时，y取极小值－2.∵直线y＝m与y＝3x2－x3的图象有三个不同交点，∴－2＜m＜2.
9．解析：依题意f′(x)＝3ax2＋2bx.由题图可知，当x<0时，f′(x)<0，当00，故x＝0时函数f(x)有极小值，极小值为f(0)＝c.
答案：c
10．解析：因为f′(x)＝＋2bx＋1，
由题意得解得
答案：－
11．解析：f(x)＝ax3－6x定义域为R，f′(x)＝3ax2－6，由题意得，f′(1)＝3a－6＝0，解得a＝2，故f′(x)＝6x2－6.令f′(x)＝0，解得x＝±1，令f′(x)>0，得x>1或x<－1，f(x)＝2x3－6x单调递增，令f′(x)<0，得－1答案：4
12．解析：∵f′(x)＝x2－ax＋2，∴x1，x2是f′(x)＝0的两个根，由0答案：
13．解：(1)函数定义域为R，f′(x)＝ex－1.
令f′(x)＝0，解得x＝0.
当x＜0时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x＞0时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝1，函数f(x)无极大值．
(2)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝1－＝.
令f′(x)＝0，得x＝0.
当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x＞0时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0，函数f(x)无极大值．
14．解：(1)f(x)＝ex(ax2＋bx－3)，则
f′(x)＝ex[ax2＋(b＋2a)x＋b－3]，
即解得
故实数a＋b的值为1.
(2)由(1)得f(x)＝ex(x2－3)，函数定义域为R，f′(x)＝ex(x2＋2x－3)，
由f′(x)＞0，解得x＜－3或x＞1；
由f′(x)＜0，解得－3＜x＜1.
则f(x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，在(－3,1)内单调递减．
当x＝－3时，f(x)有极大值f(－3)＝；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2e.
15．解：(1)f(x)＝(x2＋x＋1)ex，f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex.
当f′(x)>0时，解得x<－2或x>－1；
当f′(x)<0时，解得－2∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)，
单调递减区间为(－2，－1)．
(2)令f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝[x2＋(2＋a)x＋2a]ex＝(x＋a)(x＋2)ex＝0，解得x＝－a或x＝－2.
∵a＜2，∴－a＞－2，列表如下.
x (－∞， －2) －2 (－2， －a) －a (－a， ＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
由表可知f(x)极大值＝f(－2)
＝(4－2a＋a)e－2＝3，
解得a＝4－3e2＜2.∴存在实数a＜2，使f(x)的极大值为3，此时a＝4－3e2.
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