5.3.3 最大值与最小值
第1课时 最大值与最小值 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
2.体会导数与单调性、最大(小)值的关系.
1.函数f(x)在区间[a,b]上的最值
(1)取得最值的条件:在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线.
(2)结论:函数y=f(x)必有最大值和最小值,函数的最值在 或 取得.
2.求f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求f(x)在区间(a,b)上的 .
(2)将(1)中求得的 与 比较,得到f(x)在区间[a,b]上的 与 .
|微|点|助|解|
1.对函数最大(小)值的认识
(1)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念.
2.函数最值与极值的区别与联系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最大值和最小值是一个整体性概念.
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个.
(3)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)闭区间上的连续函数一定有最值. ( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值. ( )
(3)极值只能在区间内取得,最值则可以在区间端点处取得. ( )
(4)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值也一定是极小值. ( )
2.函数f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上 ( )
A.无最值 B.有极值
C.有最大值 D.有最小值
3.函数y=在[0,2]上的最大值为 .
题型(一) 函数最值的辨析
[例1] (多选)下列结论不正确的是 ( )
A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是x=a和x=b时取得
D.若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)正确理解极值与最值的关系是解题关键.
(2)一般情况下,唯一的极值应该也是最值,在(a,b)内,若f(x0)为极小值,则其为最小值;若f(x0)为极大值,则其为最大值.
[针对训练]
1.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是 ( )
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函数f(x)在x=c处取得最大值,在x=e处取得最小值
C.函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
题型(二) 求函数的最值
[例2] 已知函数f(x)=x3-3x,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[-,3]时,求f(x)的最大值与最小值.
听课记录:
|思|维|建|模|
求解函数在固定区间上的最值的注意点
(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性,确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值.
[针对训练]
2.求下列函数的最值:
(1) f(x)=;
(2)f(x)=x2-x-ln x,x∈[1,3].
题型(三) 由函数最值求参数的值或范围
[例3] (1)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则a= ( )
A.-2 B.-4
C.2 D.4
(2)函数f(x)=x3-x2在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-3,2) B.[-3,2)
C.[-1,2) D.(-1,2)
听课记录:
|思|维|建|模|
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
[针对训练]
3.已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围.
第1课时 最大值与最小值
?课前预知教材
1．(1)连续不断 (2)极值点 区间端点
2．(1)极值 (2)极值 f(a)，f(b) 最大值 最小值
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．选A f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
3．解析：令y＝f(x)，∵y′＝＝，令y′＝0，得x＝1∈[0,2]．∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝，∴f(x)max＝f(1)＝.
答案：
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选ABC 选项A，若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值不一定是[a，b]上的最大值，f(x)可能在端点处取得最大值，判断错误；选项B，若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值不一定是[a，b]上的最小值，f(x)可能在端点处取得最小值，判断错误；选项C，若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定不是x＝a和x＝b时取得，判断错误；选项D，若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值，判断正确．故选ABC.
[针对训练]
1．选C 由题图可知，当x≤c时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在(－∞，c]上单调递增，又a0；当ce时，f′(x)>0.所以函数f(x)在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确；由题图可知，当d≤x≤e时，f′(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]内单调递减，从而f(d)>f(e)，故D不正确．
[题型(二)]
[例2] 解：(1)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)．
(2)由(1)知x∈[－，3]时，f(x)的极大值为f(－1)＝2，f(x)的极小值为f(1)＝－2，
又f(－)＝0，f(3)＝18.
所以f(x)的最大值为18，f(x)的最小值为－2.
[针对训练]
2．解：(1)因为函数f(x)＝的定义域为R，
f′(x)＝＝，
当f′(x)＝0时，x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.
x (－∞，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? ?
所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝.
(2)因为f′(x)＝2x－1－＝＝，又因为x∈[1,3]，
所以f′(x)≥0在[1,3]上恒成立．
所以f(x)在[1,3]内单调递增，
所以当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝0；
当x＝3时，f(x)max＝f(3)＝6－ln 3.
[题型(三)]
[例3] (1)选A 当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，所以f(1)＝＝－2，
即b＝－2，f(x)＝aln x－，定义域为(0，＋∞)，
又因为f(x)在x＝1处取得最大值，所以f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f′(x)＝，则f′(1)＝＝0，所以a＝－2.
(2)
选C 由f′(x)＝x2－2x＝0得x1＝0，x2＝2，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．f(x)在区间(a，a＋5)内存在最小值，故最小值为f(2)，又f(－1)＝f(2)，故有解得－1≤a<2.故实数a的取值范围是[－1,2)．
[针对训练]
3．解：∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9，
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时h′(x)及h(x)的变化情况如下表.
x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ? 28 ? －4 ?
当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.而h(2)＝31 / 4(共48张PPT)
5.3.3
最大值与最小值
最大值与最小值
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
2.体会导数与单调性、最大(小)值的关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.函数f(x)在区间[a，b]上的最值
(1)取得最值的条件:在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条_________的曲线.
(2)结论:函数y=f(x)必有最大值和最小值，函数的最值在_________或__________取得.
2.求f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求f(x)在区间(a，b)上的_______.
(2)将(1)中求得的_____与_________比较，得到f(x)在区间[a，b]上的_________与_______.
连续不断
极值点
区间端点
极值
极值
f(a)，f(b)
最大值
最小值
|微|点|助|解|
1.对函数最大(小)值的认识
(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念.
2.函数最值与极值的区别与联系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念.
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个.
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值;极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)闭区间上的连续函数一定有最值.( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值.( )
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得.( )
(4)函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也一定是极小值.( )
√
√
√
×
2.函数f(x)=2x-cos x在(-∞，+∞)上 ( )
A.无最值 B.有极值
C.有最大值 D.有最小值
√
解析:f'(x)=2+sin x>0恒成立，所以f(x)在(-∞，+∞)上单调递增，无极值，也无最值.
3.函数y=在[0，2]上的最大值为______.
解析:令y=f(x)，∵y'==，令y'=0，得x=1∈[0，2].
∴f(1)=，f(0)=0，f(2)=，∴f(x)max=f(1)=.
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 函数最值的辨析
[例1] [多选]下列结论不正确的是 ( )
A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x=a和x=b时取得
D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
√
√
√
解析:选项A，若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值不一定是[a，b]上的最大值，f(x)可能在端点处取得最大值，判断错误;选项B，若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值不一定是[a，b]上的最小值，f(x)可能在端点处取得最小值，判断错误;选项C，若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定不是x=a和x=b时取得，判断错误;选项D，若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值，判断正确.故选ABC.
|思|维|建|模|
(1)正确理解极值与最值的关系是解题关键.
(2)一般情况下，唯一的极值应该也是最值，在(a，b)内，若f(x0)为极小值，则其为最小值;若f(x0)为极大值，则其为最大值.
针对训练
1.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f'(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 ( )
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函数f(x)在x=c处取得最大值，在x=e处取得最小值
C.函数f(x)在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
√
解析:由题图可知，当x≤c时，f'(x)≥0，所以函数f(x)在(-∞，c]上单调递增，又a0;当ce时，f'(x)>0.所以函数f(x)在x=c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x=e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确;由题图可知，当d≤x≤e时，f'(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]内单调递减，从而f(d)>f(e)，故D不正确.
题型(二) 求函数的最值
[例2] 已知函数f(x)=x3-3x，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间;
解: f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，
当x<-1或x>1时，f'(x)>0，当-1所以f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)和(1，+∞)，
单调递减区间为(-1，1).
(2)当x∈[-，3]时，求f(x)的最大值与最小值.
解:由(1)知x∈[-，3]时，f(x)的极大值为f(-1)=2，
f(x)的极小值为f(1)=-2，
又f(-)=0，f(3)=18.
所以f(x)的最大值为18，f(x)的最小值为-2.
|思|维|建|模|
求解函数在固定区间上的最值的注意点
(1)对函数进行准确求导，并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性，确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.
针对训练
2.求下列函数的最值:
(1) f(x)=;
解:因为函数f(x)=的定义域为R，f'(x)==，
当f'(x)=0时，x=2.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示.
x (-∞，2) 2 (2，+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ ↘
所以f(x)在(-∞，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，所以f(x)无最小值，且当x=2时，f(x)max=f(2)=.
(2)f(x)=x2-x-ln x，x∈[1，3].
解:因为f'(x)=2x-1-==，又因为x∈[1，3]，
所以f'(x)≥0在[1，3]上恒成立.
所以f(x)在[1，3]内单调递增，
所以当x=1时，f(x)min=f(1)=0;
当x=3时，f(x)max=f(3)=6-ln 3.
题型(三) 由函数最值求参数的值或范围
[例3] (1)当x=1时，函数f(x)=aln x+取得最大值-2，则a=( )
A.-2 B.-4 C.2 D.4
√
解析:当x=1时，函数f(x)=aln x+取得最大值-2，所以f(1)==-2，即b=-2，f(x)=aln x-，定义域为(0，+∞)，又因为f(x)在x=1处取得最大值，所以f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，+∞)上单调递减，f'(x)=，则f'(1)==0，所以a=-2.
(2)函数f(x)=x3-x2在区间(a，a+5)内存在最小值，则实数a的取值范围是( )
A.(-3，2) B.[-3，2)
C.[-1，2) D.(-1，2)
√
解析:由f'(x)=x2-2x=0得x1=0，x2=2，则当x∈(-∞，0)时，f'(x)>0，f(x)单调递增;当x∈(0，2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.f(x)在区间(a，a+5)内存在最小值，故最小值为f(2)，又f(-1)=f(2)，故有解得-1≤a<2.故实数a的取值范围是[-1，2).
|思|维|建|模|
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
针对训练
3.已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
解:∵h(x)=x3+3x2-9x+1，∴h'(x)=3x2+6x-9，令h'(x)=0，得x1=-3，x2=1，
当x变化时h'(x)及h(x)的变化情况如下表.
x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞)
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗
当x=-3时，取极大值28;当x=1时，取极小值-4.而h(2)=3课时检测
03
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2
1.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在区间(0，2)内的极大值为最大值，则m的取值范围是 ( )
A.(0，3) B.(-3，0)
C.(-∞，-3) D.(3，+∞)
√
解析:由题得f'(x)=-3x2+2mx，令f'(x)=0，得x=或x=0.因为f(x)在区间(0，2)上的极大值为最大值，所以0<<2.所以01
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2
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4
2.函数y=x-sin x，x∈的最大值是( )
A.π-1 B.-1
C.π D.π+1
√
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解析:因为y'=1-cos x，当x∈时，y'>0，则函数在区间内单调递增，所以y的最大值为ymax=π-sin π=π.
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2
3.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f'(x)A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
√
15
解析:令F(x)=f(x)-g(x)，∴F'(x)=f'(x)-g'(x)<0，即F'(x)<0，∴F(x)在[a，b]内单调递减，∴F(x)max=f(a)-g(a).
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4.已知函数f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4，则a= ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
√
15
解析:由题知f'(x)=2(x+1)-sin(x+1)，f″(x)=2-cos(x+1)>0，所以f'(x)单调递增，又f'(-1)=0，所以当x<-1时，f'(x)<0;当x>-1时，f'(x)>0.故x=-1为f(x)的最小值点，即f(-1)=1+a=4，解得a=3，故选A.
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5.已知f(x)=x3-3x2+2，若f(x)在(2a，a+3)上存在最小值，则a的取值范围是 ( )
A. B.
C.[-1，2) D.[-1，1)
√
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2
解析:由题意得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，易得x=0和x=2为f(x)的极值点，f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，(2，+∞)，单调递减区间为(0，2).又f(0)=2，f(2)=-2，所以令x3-3x2+2=-2，则(x+1)(x-2)2=0，解得x=-1或x=2.若函数f(x)在(2a，a+3)上存在最小值，则解得-
≤a<1，故选A.
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6.已知a>0，函数f(x)=ax-ln x的最小值为(a-1)ln 2+1，则a= ( )
A.1或2 B.2
C.1或3 D.2或3
15
√
解析:由f(x)=ax-ln x(x>0)，得f'(x)=a-=(a>0，x>0)，当0时，f'(x)>0，所以f(x)在内单调递减，在上单调递增，故f(x)min=f=1+ln a=(a-1)ln 2+1，得ln a=(a-1)ln 2，解得a=1或a=2.故选A.
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7.设直线x=t与函数f(x)=x2，g(x)=ln x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小值时t的值为 ( )
A.1 B. C. D.
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√
解析:因为f(x)的图象始终在g(x)的上方，所以MN=f(x)-g(x)=x2-ln x.设h(x)=x2-ln x，则h'(x)=2x-=(x>0).令h'(x)==0，得x=，所以h(x)在内单调递减，在上单调递增，所以当x=时，MN取最小值，此时t=.
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8.[多选]若存在m，使得f(x)≥m对任意x∈D恒成立，则函数f(x)在D上有下界，其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M，使得f(x)≤M对任意x∈D恒成立，则函数f(x)在D上有上界，其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说法正确的是( )
A.1是函数f(x)=x+(x>0)的一个下界
B.函数f(x)=xln x有下界，无上界
C.函数f(x)=有上界，无下界
D.函数f(x)=有界
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√
√
√
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解析:对于A，当x>0时，x+≥2(当且仅当x=1时取等号)，∴f(x)>1恒成立，∴1是f(x)的一个下界，故A正确;对于B，∵f'(x)=ln x+1(x>0)，∴当x∈时，f'(x)<0，当x∈时，f'(x)>0，∴f(x)在内单调递减，在上单调递增，∴f(x)≥f=-，∴f(x)有下界，又当x越来越大时，f(x)趋向于+∞，∴f(x)无上界，综上所述，f(x)=xln x有下界，无上界，故B正确;对于C，∵x2>0，ex>0，∴>0，∴f(x)有下界，故C错误;对于D，∵sin x∈[-1，1]，∴≤
≤，又≥-1，≤1，∴-1<<1，∴f(x)既有上界又有下界，故D正确.
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9.(5分)已知函数f(x)=x3-ax2+b，若f(x)在区间[0，1]内单调递增且最大值为0，写出一组符合要求的a，b，则a=______________________，b=________________________.
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0(答案不唯一)
- (答案不唯一)
解析:f'(x)=x2-ax，令f'(x)=0，解得x=0或a，若f(x)在区间[0，1]内单调递增，则a≤0，最大值为f(1)=-a+b=0，则b=a-，不妨取a=0，则b=-.
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10.(5分)函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2，2]上有最大值3，那么m=_____.
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3
解析:由函数f(x)=2x3-6x2+m，可得f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)，当x∈[-2，0)时，f'(x)>0，f(x)单调递增;当x∈(0，2]时，f'(x)<0，f(x)单调递减.所以当x=0时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(0)=m，因为函数f(x)在区间[-2，2]上的最大值为3，所以m=3.
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11.(5分)已知函数f(x)=ln x-x+k在[1，e]上的最大值为2，则f(k)=_____.
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ln 3
解析:因为f(x)=ln x-x+k，所以f'(x)=-1=，又x∈[1，e]，所以f'(x)≤0在x∈[1，e]上恒成立，即f(x)在区间[1，e]内单调递减，所以f(1)=ln 1-1+k=2，解得k=3，故f(x)=ln x-x+3，所以f(k)=f(3)=ln 3.
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12.(5分)若函数f(x)=xex在区间(-∞，a]上既存在最大值，也存在最小值，则实数a的取值范围是____________.
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[0，+∞)
解析:因为函数f(x)=xex，则f'(x)=ex+xex=(1+x)ex，当x>-1时，f'(x)>0，函数f(x)=xex单调递增;当x<-1时，f'(x)<0，函数f(x)=xex单调递减.所以函数f(x)=xex在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，又因为函数f(x)=xex在区间(-∞，a]上既存在最大值，也存在最小值，结合图象可知a≥0.
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13.(10分)已知函数f(x)=2x+1-4ln x.
(1)证明:f(x)≥-2x+5;(5分)
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解:证明:要证f(x)≥-2x+5，
即证2x+1-4ln x≥-2x+5，即证x-1-ln x≥0，
令g(x)= x-1-ln x，则g'(x)=(x>0)，
当x∈(0，1)时，g'(x)<0;当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0，
所以g(x)在(0，1)内单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(1)=0，从而f(x)≥-2x+5.
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(2)求f(x)在[1，3]上的最大值与最小值.(5分)
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解:因为f(x)=2x+1-4ln x，x∈[1，3]，所以f'(x)=2-=，x∈[1，3]，
令f'(x)>0，则2所以f(x)在[1，2)内单调递减，在(2，3]内单调递增，
所以f(x)min=f(2)=5-4ln 2，
又f(1)=3，f(3)=7-4ln 3，f(1)-f(3)=4(ln 3-1)>0，所以f(x)max=3，
所以f(x)在[1，3]上的最大值与最小值分别为3与5-4ln 2.
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14.(10分)已知函数f(x)=ax+ln x.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;(5分)
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解:由题意得f'(x)=a+，x>0，当a≥0时，f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增;当a<0时，若00，函数f(x)单调递增，若x>-，则f'(x)<0，函数f(x)单调递减.综上，当a≥0时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增;当a<0时，函数f(x)在内单调递增，在上单调递减.
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(2)当a=-1时，函数g(x)=f(x)+excos x-ln x-m在上的最大值为0，求实数m的值.(5分)
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解:由题意g(x)=-x+excos x-m，x∈，g'(x)=-1+ex(cos x-sin x)，令h(x)=g'(x)=-1+ex(cos x-sin x)，h'(x)=-2exsin x.当x∈时，h'(x)=-2exsin x≤0，h(x)单调递减，则h(x)≤h(0)=0，则g'(x)≤0，则g(x)在内单调递减，故g(x)在上的最大值为g(0)=1-m=0，所以m=1.
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15.(15分)已知函数f(x)=x3-x2-2x+1.
(1)求函数f(x)的单调区间;(4分)
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解:由f(x)=x3-x2-2x+1，x∈R，得f'(x)= x2-x-2，
令f'(x)= x2-x-2>0，得x<-1或x>2，
令f'(x)= x2-x-2<0，得-1故f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)，(2，+∞)，
单调递减区间为(-1，2).
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(2)求函数f(x)的极值;(4分)
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解:由(1)可知f(x)的极大值为f(-1)=，极小值为f(2)=-.
(3)若函数f(x)在[a，+∞)上的最小值是-，求实数a的取值范围.(7分)
解:函数f(x)在[a，+∞)上的最小值是-，故f(a)≥f(2)=-，
由f(x)=f(2)=-可知x=2是x3-x2-2x+1=-的一个解，故(x-2)2(2x+5)=0，解得x=-或x=2，由于f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)，(2，+∞)，单调递减区间为(-1，2)，故要使得函数f(x)在[a，+∞)上的最小值是-，只需-≤a≤2，即实数a的取值范围为.课时检测(五十) 最大值与最小值
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在区间(0,2)内的极大值为最大值,则m的取值范围是 ( )
A.(0,3) B.(-3,0)
C.(-∞,-3) D.(3,+∞)
2.函数y=x-sin x,x∈的最大值是 ( )
A.π-1 B.-1
C.π D.π+1
3.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f'(x)A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
4.已知函数f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,则a= ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
5.已知f(x)=x3-3x2+2,若f(x)在(2a,a+3)上存在最小值,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C.[-1,2) D.[-1,1)
6.已知a>0,函数f(x)=ax-ln x的最小值为(a-1)ln 2+1,则a= ( )
A.1或2 B.2
C.1或3 D.2或3
7.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当MN达到最小值时t的值为 ( )
A.1 B.
C. D.
8.[多选]若存在m,使得f(x)≥m对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有下界,其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有上界,其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界,则下列说法正确的是 ( )
A.1是函数f(x)=x+(x>0)的一个下界
B.函数f(x)=xln x有下界,无上界
C.函数f(x)=有上界,无下界
D.函数f(x)=有界
9.(5分)已知函数f(x)=x3-ax2+b,若f(x)在区间[0,1]内单调递增且最大值为0,写出一组符合要求的a,b,则a= ,b= .
10.(5分)函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么m= .
11.(5分)已知函数f(x)=ln x-x+k在[1,e]上的最大值为2,则f(k)= .
12.(5分)若函数f(x)=xex在区间(-∞,a]上既存在最大值,也存在最小值,则实数a的取值范围是 .
13.(10分)已知函数f(x)=2x+1-4ln x.
(1)证明:f(x)≥-2x+5;(5分)
(2)求f(x)在[1,3]上的最大值与最小值.(5分)
14.(10分)已知函数f(x)=ax+ln x.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;(5分)
(2)当a=-1时,函数g(x)=f(x)+excos x-ln x-m在上的最大值为0,求实数m的值.(5分)
15.(15分)已知函数f(x)=x3-x2-2x+1.
(1)求函数f(x)的单调区间;(4分)
(2)求函数f(x)的极值;(4分)
(3)若函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,求实数a的取值范围.(7分)
课时检测(五十)
1．选A 由题得f′(x)＝－3x2＋2mx，令f′(x)＝0，得x＝或x＝0.因为f(x)在区间(0,2)上的极大值为最大值，所以0<<2.所以02．选C 因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间内单调递增，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
3．选A 令F(x)＝f(x)－g(x)，∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，即F′(x)<0，∴F(x)在[a，b]内单调递减，∴F(x)max＝f(a)－g(a)．
4．选A 由题知f′(x)＝2(x＋1)－sin(x＋1)，f″(x)＝2－cos(x＋1)>0，所以f′(x)单调递增，又f′(－1)＝0，所以当x<－1时，f′(x)<0；当x>－1时，f′(x)>0.故x＝－1为f(x)的最小值点，即f(－1)＝1＋a＝4，解得a＝3，故选A.
5．选A 由题意得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，易得x＝0和x＝2为f(x)的极值点，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．又f(0)＝2，f(2)＝－2，所以令x3－3x2＋2＝－2，则(x＋1)(x－2)2＝0，解得x＝－1或x＝2.若函数f(x)在(2a，a＋3)上存在最小值，则解得－≤a＜1，故选A.
6．选A 由f(x)＝ax－ln x(x>0)，得f′(x)＝a－＝(a>0，x>0)，当0时，f′(x)>0，所以f(x)在内单调递减，在上单调递增，故f(x)min＝f＝1＋ln a＝(a－1)ln 2＋1，得ln a＝(a－1)ln 2，解得a＝1或a＝2.故选A.
7．选D 因为f(x)的图象始终在g(x)的上方，所以MN＝f(x)－g(x)＝x2－ln x．设h(x)＝x2－ln x，则h′(x)＝2x－＝(x>0)．令h′(x)＝＝0，得x＝，所以h(x)在内单调递减，在上单调递增，所以当x＝时，MN取最小值，此时t＝.
8．选ABD 对于A，当x>0时，x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，∴f(x)>1恒成立，∴1是f(x)的一个下界，故A正确；对于B，∵f′(x)＝ln x＋1(x>0)，∴当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，∴f(x)在内单调递减，在上单调递增，∴f(x)≥f＝－，∴f(x)有下界，又当x越来越大时，f(x)趋向于＋∞，
∴f(x)无上界，综上所述，f(x)＝xln x有下界，无上界，故B正确；对于C，∵x2>0，ex>0，∴>0，∴f(x)有下界，故C错误；对于D，∵sin x∈[－1,1]，∴≤≤，又≥－1，≤1，∴－1<<1，∴f(x)既有上界又有下界，故D正确．
9．解析：f′(x)＝x2－ax，令f′(x)＝0，解得x＝0或a，若f(x)在区间[0,1]内单调递增，则a≤0，最大值为f(1)＝－a＋b＝0，则b＝a－，不妨取a＝0，则b＝－.
答案：0(答案不唯一) －(答案不唯一)
10．解析：由函数f(x)＝2x3－6x2＋m，可得f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，当x∈[－2,0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0,2]时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以当x＝0时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(0)＝m，因为函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值为3，所以m＝3.
答案：3
11．解析：因为f(x)＝ln x－x＋k，所以f′(x)＝－1＝，又x∈[1，e]，所以f′(x)≤0在x∈[1，e]上恒成立，即f(x)在区间[1，e]内单调递减，所以f(1)＝ln 1－1＋k＝2，解得k＝3，故f(x)＝ln x－x＋3，所以f(k)＝f(3)＝ln 3.
答案：ln 3
12．解析：因为函数f(x)＝xex，则f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x>－1时，f′(x)>0，函数f(x)＝xex单调递增；当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)＝xex单调递减．所以函数f(x)＝xex在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，又因为函数f(x)＝xex在区间(－∞，a]上既存在最大值，也存在最小值，结合图象可知a≥0.
答案：[0，＋∞)
13．解：(1)证明：要证f(x)≥－2x＋5，
即证2x＋1－4ln x≥－2x＋5，即证x－1－ln x≥0，令g(x)＝ x－1－ln x，则g′(x)＝(x>0)，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，从而f(x)≥－2x＋5.
(2)因为f(x)＝2x＋1－4ln x，x∈[1,3]，
所以f′(x)＝2－＝，x∈[1,3]，
令f′(x)>0，则2又f(1)＝3，f(3)＝7－4ln 3，f(1)－f(3)＝4(ln 3－1)>0，所以f(x)max＝3，
所以f(x)在[1,3]上的最大值与最小值分别为3与5－4ln 2.
14．解：(1)由题意得f′(x)＝a＋，x>0，
当a≥0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，若00，函数f(x)单调递增，若x>－，则f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
综上，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，函数f(x)在内单调递增，在上单调递减．
(2)由题意g(x)＝－x＋excos x－m，x∈，
g′(x)＝－1＋ex(cos x－sin x)，
令h(x)＝g′(x)＝－1＋ex(cos x－sin x)，
h′(x)＝－2exsin x.
当x∈时，h′(x)＝－2exsin x≤0，h(x)单调递减，则h(x)≤h(0)＝0，则g′(x)≤0，
则g(x)在内单调递减，
故g(x)在上的最大值为g(0)＝1－m＝0，所以m＝1.
15．解：(1)由f(x)＝x3－x2－2x＋1，x∈R，得f′(x)＝ x2－x－2，令f′(x)＝ x2－x－2>0，得x<－1或x>2，
令f′(x)＝ x2－x－2<0，得－1故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－1,2)．
(2)由(1)可知f(x)的极大值为f(－1)＝，极小值为f(2)＝－.
(3)函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值是－，
故f(a)≥f(2)＝－，由f(x)＝f(2)＝－可知x＝2是x3－x2－2x＋1＝－的一个解，故(x－2)2(2x＋5)＝0，解得x＝－或x＝2，
由于f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－1,2)，
故要使得函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值是－，只需－≤a≤2，即实数a的取值范围为.
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