第3课时 利用导数研究函数的零点问题
题型(一) 判断、证明或讨论函数零点个数问题
[例1] 已知函数f(x)=cos x-x2.
(1)设g(x)=f'(x),求g(x)在区间上的最值;
(2)讨论f(x)的零点个数.
听课记录:
|思|维|建|模|
判断函数零点个数问题的思路
(1)求出函数的定义域.
(2)求导数f'(x)及函数f'(x)的零点.
(3)用f'(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各个区间上的正负,并得出f(x)的单调性与极值.
(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势.
(5)画出f(x)的大致图象(不必在步骤中呈现).
[针对训练]
1.给定函数f(x)=(x+1)ex.
(1)判断函数f(x)的单调性,并求出f(x)的极值;
(2)画出函数f(x)的大致图象;
(3)求出方程f(x)=a的解的个数.
题型(二) 根据函数零点情况求解参数问题
[例2] 已知函数f(x)=x3-3x+a(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若函数f(x)有三个零点,求a的取值范围.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用导数研究函数的零点或方程的根的方法是借助导数研究函数的单调性、极值(最值),通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象的走势,从而判断零点个数或通过零点个数求参数的范围.
[针对训练]
2.已知函数f(x)=xex.
(1)求f(x)的极值;
(2)求方程f(x)=a(a∈R)有两个不同的根,求a的取值范围.
第3课时 利用导数研究函数的零点问题
[题型(一)]
[例1] 解：(1)因为g(x)＝f′(x)＝－2x－sin x，g′(x)＝－2－cos x<0，所以g(x)在区间内单调递减，所以当x＝时，g(x)取得最大值g＝－－；
当x＝π时，g(x)取得最小值g(π)＝－2π.
(2)先讨论f(x)在[0，＋∞)上的零点个数，
由(1)可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，f′(x)
因为f(0)＝1>0，f＝－2<0，
所以f(x)在[0，＋∞)上有唯一零点，又因为f(－x)＝cos(－x)－(－x)2＝cos x－x2＝f(x)，所以f(x)是偶函数，所以f(x)在R上有两个零点．
[针对训练]
1．解：(1)由f(x)＝(x＋1)ex，定义域为R.
f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，
令f′(x)>0，即x>－2，令f′(x)＝0，
即x＝－2，令f′(x)<0，即x<－2，
所以函数的单调递增区间为(－2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，x＝－2为极小值点，所以函数的极小值为f(－2)＝－，无极大值．
(2)函数f(x)的大致图象，如图所示．
(3)方程解的个数等价于y＝f(x)与y＝a的图象的交点个数．由图可知当a<－时，方程f(x)＝a(a∈R)的解为0个；
当a＝－或a≥0时，方程f(x)＝a(a∈R)的解为1个；当－方程f(x)＝a(a∈R)的解为2个．
[题型(二)]
[例2] 解：(1)函数f(x)＝x3－3x＋a(a∈R)的导数f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1＜x＜1时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
(2)由(1)得，当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝a＋2；当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝a－2.
由三次函数性质知当x→－∞时，f(x)→－∞；
当x→＋∞时，f(x)→＋∞.
所以若f(x)有三个零点，
则解得－2所以a的取值范围为(－2,2)．
[针对训练]
2．解：(1)∵f(x)＝xex，
∴f(x)的定义域为R，f′(x)＝(1＋x)ex，
令f′(x)＝0，解得x＝－1.
则当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增．∴当x＝－1时，f(x)有极小值－，没有极大值．
(2)∵x→－∞时，f(x)→0，x→＋∞时，f(x)→＋∞，则f(x)的图象如图所示．由图象可知，当a∈时，方程f(x)＝a(a∈R)有两个不同的根．
故a的取值范围为.
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利用导数研究函数的零点问题
第3课时
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 判断、证明或讨论函数
零点个数问题
题型(二) 根据函数零点情况求解参数问题
课时检测
题型(一) 判断、证明或讨论函数零点个数问题
01
[例1] 已知函数f(x)=cos x-x2.
(1)设g(x)=f'(x)，求g(x)在区间上的最值;
解:因为g(x)=f'(x)=-2x-sin x，g'(x)=-2-cos x<0，
所以g(x)在区间内单调递减，所以当x=时，g(x)取得最大值g=--;
当x=π时，g(x)取得最小值g(π)=-2π.
(2)讨论f(x)的零点个数.
解:先讨论f(x)在[0，+∞)上的零点个数，
由(1)可知f'(x)在(0，+∞)上单调递减，f'(x)0，f=-<0，
所以f(x)在[0，+∞)上有唯一零点，
又因为f(-x)=cos(-x)-(-x)2=cos x-x2=f(x)，
所以f(x)是偶函数，所以f(x)在R上有两个零点.
|思|维|建|模| 判断函数零点个数问题的思路
(1)求出函数的定义域.
(2)求导数f'(x)及函数f'(x)的零点.
(3)用f'(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值.
(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势.
(5)画出f(x)的大致图象(不必在步骤中呈现).
针对训练
1.给定函数f(x)=(x+1)ex.
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值;
解:由f(x)=(x+1)ex，定义域为R.f'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，
令f'(x)>0，即x>-2，令f'(x)=0，即x=-2，令f'(x)<0，即x<-2，
所以函数的单调递增区间为(-2，+∞)，单调递减区间为(-∞，-2)，x=-2为极小值点，所以函数的极小值为f(-2)=-，无极大值.
(2)画出函数f(x)的大致图象;
解:函数f(x)的大致图象，如图所示.
(3)求出方程f(x)=a的解的个数.
解:方程解的个数等价于y=f(x)与y=a的图象的交点个数.由图可知当a<-时，方程f(x)=a(a∈R)的解为0个;
当a=-或a≥0时，方程f(x)=a(a∈R)的解为1个;
当-题型(二) 根据函数零点情况求解参数问题
02
[例2] 已知函数f(x)=x3-3x+a(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
解:函数f(x)=x3-3x+a(a∈R)的导数f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，
当x<-1或x>1时，f'(x)>0;当-1所以f(x)的单调递减区间为(-1，1).
(2)若函数f(x)有三个零点，求a的取值范围.
解:由(1)得，当x=-1时，f(x)取得极大值f(-1)=a+2;当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=a-2.
由三次函数性质知当x→-∞时，f(x)→-∞;
当x→+∞时，f(x)→+∞.所以若f(x)有三个零点，
则解得-2|思|维|建|模|
利用导数研究函数的零点或方程的根的方法是借助导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象的走势，从而判断零点个数或通过零点个数求参数的范围.
针对训练
2.已知函数f(x)=xex.
(1)求f(x)的极值;
解:∵f(x)=xex，∴f(x)的定义域为R，f'(x)=(1+x)ex，
令f'(x)=0，解得x=-1.则当x<-1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x>-1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增.∴当x=-1时，f(x)有极小值-，没有极大值.
(2)求方程f(x)=a(a∈R)有两个不同的根，求a的取值范围.
解:∵x→-∞时，f(x)→0，x→+∞时，f(x)→+∞，
则f(x)的图象如图所示.
由图象可知，当a∈时，
方程f(x)=a(a∈R)有两个不同的根.
故a的取值范围为.
课时检测
03
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1.函数f(x)=2x3-6x+m有三个零点，则实数m的取值范围是 ( )
A.[-4，4] B.(-4，4)
C.(-∞，-4]∪[4，+∞) D.(-∞，-4)∪(4，+∞)
√
解析:由题意可得f'(x)=6x2-6，当x<-1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当-11时，f'(x)>0，f(x)单调递增，据此可得函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，结合题意可得解得-41
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2.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下:如果函数y=f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，则(a，b)内至少存在一个点x0∈(a，b)，使得f(b)- f(a)=f'(x0)(b-a)，其中x=x0称为函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的“中值点”.请问函数f(x)=5x3-3x在区间[-1，1]上的“中值点”的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
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解析:由拉格朗日中值定理，f(-1)=-2，f(1)=2，f'(x)=15x2-3，则f(1)-f(-1)=f'(x0)×2，所以f'(x0)=2 ，则15-3=2，x0=±，符合题意，共2个解，故选B.
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3.已知函数f(x)=ln x与g(x)=，则它们的图象交点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.不确定
√
解析:令h(x)=ln x-，则h'(x)=-，∴当00，当x>e时，h'(x)<0，∴当x=e时，h(x)取得最大值h(e)=0.∴h(x)=ln x-只有一个零点，即f(x)与g(x)的图象只有1个交点，故选B.
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4.若函数f(x)=ln x+-a在区间(1，e)上只有一个零点，则常数a的取值范围为( )
A.(-∞，1] B.(e，+∞)
C. D.
√
解析:令ln x+-a=0，则ln x+=a，因为函数f(x)=ln x+-a在区间(1，e)上只有一个零点，则函数g(x)=ln x+(x∈(1，e))与函数h(x)=a的图象只有一个交点，又当x∈(1，e)时，g'(x)=-=>0，g(x)=ln x+在(1，e)内单调递增，则g(x)∈，∴11
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5.(5分)若方程x-m=ex在区间[0，1]上有且只有一解，则实数m的取值范围是___________.
[1-e，-1]
解析:已知方程化为m=x-ex，设f(x)=x-ex，x∈[0，1]，f'(x)=1-ex≤0，f(x)在[0，1]内单调递减，f(0)=-1，f(1)=1-e，所以1-e≤m≤-1.
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6.(5分)(2024·全国甲卷)曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0，+∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为__________.
解析:令x3-3x=-(x-1)2+a，则a=x3-3x+(x-1)2，设h(x)=x3-3x+(x-1)2，则h'(x)=3x2-3+2(x-1)=(3x+5)(x-1).∵x>0，∴3x+5>0，当01时，h'(x)>0，∴h(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减.∵曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0，+∞)上有两个不同的交点，h(0)=1，h(1)=-2，∴a的取值范围为(-2，1).
(-2，1)
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7.(15分)已知函数f(x)=x2-x+1-aex.
(1)当a=-1，求f(x)的单调区间;(5分)
解:将a=-1代入可得f(x)=x2-x+1+ex，其定义域为R，则f'(x)=2x-1+ex.
y=2x-1和y=ex都是R上的增函数，
所以f'(x)=2x-1+ex在R上单调递增且f'(0)=0，
因此，当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减;当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增.综上所述，函数f(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞).
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(2)若f(x)有三个零点，求a的取值范围.(10分)
解:由f(x)=0得a=，令g(x)=，则g'(x)===，
当x∈(-∞，1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减;
当x∈(1，2)时，g'(x)>0，g(x)单调递增;
当x∈(2，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减;
由单调性可知，当x→-∞时，g(x)→+∞;
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当x→+∞时，g(x)→0;当x=1时，取得极小值，即g(1)=;当x=2时，取得极大值，即g(2)=.
所以y=g(x)和y=a的大致图象如图所示.
综上所述，若f(x)有三个零点，
则a的取值范围为.
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8.(15分)已知函数f(x)=x2-aln x.
(1)若f(x)在[，+∞)上有2个零点，求a的取值范围;(6分)
解:当x∈[，+∞)时，ln x>0，由f(x)=x2-aln x=0，得a=.设函数g(x)=(x≥)，则g'(x)=.当≤x<时，g'(x)<0;当x>时，g'(x)>0.所以g(x)在()内单调递减，在(，+∞)上单调递增，所以g(x)min=g()=2e.因为g()=，且f(x)在[，+∞)上有2个零点.所以a的取值范围为.
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(2)证明:x2-x>2ln x-.(9分)
解:证明:要证x2-x>2ln x-ex-2，只需证x2-2ln x>x-ex-2.
当a=2时，f(x)=x2-2ln x，则f'(x)=.
当01时，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，1)内单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以f(x)≥f(1)=1，当且仅当x=1时，等号成立.
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设函数h(x)=x-ex-2(x>0)，则h'(x)=1-ex-2.
当00;当x>2时，h'(x)<0.
所以h(x)在(0，2)内单调递增，在(2，+∞)上单调递减，
所以h(x)≤h(2)=1，当且仅当x=2时，等号成立.
故f(x)≥h(x)，因为1≠2，所以取不到等号，
所以f(x)>h(x)，即x2-2ln x >x-ex-2，
所以x2-x>2ln x-ex-2.
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9.(15分)已知函数f(x)=ex-4x.
(1)求函数在(0，f(0))处的切线方程;(2分)
解: f(0)=1，切点(0，1)，f'(x)=ex-4，f'(0)=-3，切线方程为y=-3x+1.
(2)求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值，并说明函数零点的个数;(6分)
解: f'(x)=ex-4，令f'(x)=0，则x=ln 4=2ln 2<2，当x>ln 4时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增;当x所以函数在[0，ln 4)内单调递减，在[ln 4，3]内单调递增，因为f(0)=1，f(ln 4)=eln 4-4ln 4=4(1-ln 4)<0，f(3)=e3-12>1，
所以函数的最大值为f(3)=e3-12，最小值为f(ln 4)=4(1-ln 4).
因为f(0)f(ln 4)<0，f(3)f(ln 4)<0，所以函数有2个零点.
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(3)求证:曲线y=f(x)在抛物线y=-x2-1的上方.(7分)
解:证明:由题意只要证ex-4x>-x2-1，即证ex-4x+x2+1>0，令F(x)= ex-4x+x2+1，则F'(x)= ex-4+2x，
令G(x)=F'(x)= ex-4+2x，则G'(x)= ex+2>0，则G(x)单调递增，G(0)=-3<0，G(1)=e-2>0，所以G(x)=0在(0，1)内有唯一解，设为x0，即=4-2x0，
当x< x0时，F'(x)<0，F(x)在(-∞，x0)上单调递减，当x> x0时，F'(x)>0，F(x)在(x0，+∞)上单调递增，
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故F(x)min=F(x0)=-4x0++1=-6x0+5，x0∈(0，1)，
根据二次函数的性质可知，对称轴为x=3，
所以二次函数在(0，1)内单调递减，
又当x0=1时，F(x0)=0，所以F(x)min=F(x0)>0，
故曲线y=f(x)在抛物线y=-x2-1的上方.
本课结束
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(选择题请在答题区内作答,填空、解答题请在题后作答)
1.函数f(x)=2x3-6x+m有三个零点,则实数m的取值范围是 ( )
A.[-4,4]
B.(-4,4)
C.(-∞,-4]∪[4,+∞)
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
2.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系,是微积分学重要的理论基础,其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心,其内容如下:如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则(a,b)内至少存在一个点x0∈(a,b),使得f(b)- f(a)=f'(x0)(b-a),其中x=x0称为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的“中值点”.请问函数f(x)=5x3-3x在区间[-1,1]上的“中值点”的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知函数f(x)=ln x与g(x)=,则它们的图象交点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.不确定
4.若函数f(x)=ln x+-a在区间(1,e)上只有一个零点,则常数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,1] B.(e,+∞)
C. D.
5.(5分)若方程x-m=ex在区间[0,1]上有且只有一解,则实数m的取值范围是 .
6.(5分)(2024·全国甲卷)曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有两个不同的交点,则a的取值范围为 .
7.(15分)已知函数f(x)=x2-x+1-aex.
(1)当a=-1,求f(x)的单调区间;(5分)
(2)若f(x)有三个零点,求a的取值范围.(10分)
8.(15分)已知函数f(x)=x2-aln x.
(1)若f(x)在[,+∞)上有2个零点,求a的取值范围;(6分)
(2)证明:x2-x>2ln x-.(9分)
9.(15分)已知函数f(x)=ex-4x.
(1)求函数在(0,f(0))处的切线方程;(2分)
(2)求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值,并说明函数零点的个数;(6分)
(3)求证:曲线y=f(x)在抛物线y=-x2-1的上方.(7分)
课时检测(五十四)
1．选B 由题意可得f′(x)＝6x2－6，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当－11时，f′(x)>0，f(x)单调递增，据此可得函数在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值，结合题意可得
解得－42．选B 由拉格朗日中值定理，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f′(x)＝15x2－3，则f(1)－f(－1)＝f′(x0)×2，所以f′(x0)＝2 ，则15x－3＝2，x0＝±，符合题意，共2个解，故选B.
3．选B 令h(x)＝ln x－，则h′(x)＝－，∴当00，当x>e时，h′(x)<0，∴当x＝e时，h(x)取得最大值h(e)＝0.∴h(x)＝ln x－只有一个零点，即f(x)与g(x)的图象只有1个交点，故选B.
4．选C 令ln x＋－a＝0，则ln x＋＝a，因为函数f(x)＝ln x＋－a在区间(1，e)上只有一个零点，则函数g(x)＝ln x＋(x∈(1，e))与函数h(x)＝a的图象只有一个交点，又当x∈(1，e)时，g′(x)＝－＝>0，g(x)＝ln x＋在(1，e)内单调递增，则g(x)∈，∴15．解析：已知方程化为m＝x－ex，设f(x)＝x－ex，x∈[0,1]，f′(x)＝1－ex≤0，f(x)在[0,1]内单调递减，f(0)＝－1，f(1)＝1－e，所以1－e≤m≤－1.
答案：[1－e，－1]
6．解析：令x3－3x＝－(x－1)2＋a，则a＝x3－3x＋(x－1)2，设h(x)＝x3－3x＋(x－1)2，则h′(x)＝3x2－3＋2(x－1)＝(3x＋5)(x－1)．∵x>0，∴3x＋5>0，当01时，h′(x)>0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．∵曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，h(0)＝1，h(1)＝－2，∴a的取值范围为(－2,1)．
答案：(－2,1)
7．解：(1)将a＝－1代入可得f(x)＝x2－x＋1＋ex，其定义域为R，则f′(x)＝2x－1＋ex.y＝2x－1和y＝ex都是R上的增函数，
所以f′(x)＝2x－1＋ex在R上单调递增且f′(0)＝0，
因此，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
综上所述，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
(2)由f(x)＝0得a＝，
令g(x)＝，
则g′(x)＝＝＝，
当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(1,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
由单调性可知，当x→－∞时，g(x)→＋∞；
当x→＋∞时，g(x)→0；当x＝1时，取得极小值，即g(1)＝；当x＝2时，取得极大值，即g(2)＝.
所以y＝g(x)和y＝a的大致图象如图所示．
综上所述，若f(x)有三个零点，则a的取值范围为.
8．解：(1)当x∈[，＋∞)时，ln x>0，
由f(x)＝x2－aln x＝0，得a＝.设函数g(x)＝(x≥)，则g′(x)＝.
当≤x<时，g′(x)<0；当x>时，g′(x)>0.所以g(x)在(，)内单调递减，在(，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g()＝2e.
因为g()＝，且f(x)在[，＋∞)上有2个零点．所以a的取值范围为.
(2)证明：要证x2－x>2ln x－ex－2，只需证x2－2ln x>x－ex－2.
当a＝2时，f(x)＝x2－2ln x，则f′(x)＝.
当01时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(1)＝1，当且仅当x＝1时，等号成立．
设函数h(x)＝x－ex－2(x>0)，则h′(x)＝1－ex－2.
当00；当x>2时，h′(x)<0.
所以h(x)在(0,2)内单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以h(x)≤h(2)＝1，当且仅当x＝2时，等号成立．
故f(x)≥h(x)，因为1≠2，所以取不到等号，所以f(x)>h(x)，即x2－2ln x >x－ex－2，
所以x2－x>2ln x－ex－2.
9．解：(1) f(0)＝1，切点(0,1)，f′(x)＝ex－4，f′(0)＝－3，切线方程为y＝－3x＋1.
(2)f′(x)＝ex－4，令f′(x)＝0，则x＝ln 4＝2ln 2<2，当x>ln 4时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x1，所以函数的最大值为f(3)＝e3－12，
最小值为f(ln 4)＝4(1－ln 4)．
因为f(0)f(ln 4)<0，f(3)f(ln 4)<0，所以函数有2个零点．
(3)证明：由题意只要证ex－4x>－x2－1，即证ex－4x＋x2＋1>0，令F(x)＝ ex－4x＋x2＋1，则F′(x)＝ ex－4＋2x，
令G(x)＝F′(x)＝ ex－4＋2x，则G′(x)＝ ex＋2>0，则G(x)单调递增，G(0)＝－3<0，G(1)＝e－2>0，所以G(x)＝0在(0,1)内有唯一解，设为x0，即ex0＝4－2x0，
当x< x0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，x0)上单调递减，当x> x0时，F′(x)>0，F(x)在(x0，＋∞)上单调递增，
故F(x)min＝F(x0)＝ex0－4x0＋x＋1＝x－6x0＋5，x0∈(0,1)，根据二次函数的性质可知，对称轴为x＝3，所以二次函数在(0,1)内单调递减，又当x0＝1时，F(x0)＝0，所以F(x)min＝F(x0)>0，故曲线y＝f(x)在抛物线y＝－x2－1的上方．
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