(共28张PPT)
阶段质量评价
第5章 导数及其应用
(时间:120分钟 满分:150分)
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一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.曲线y=ex在点(0，1)处的切线的斜率为( )
A.0 B.1
C.e D.-1
√
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解析:因为y'=ex，所以y'|x=0=e0=1，根据导数的几何意义可知，曲线y=ex在点(0，1)处的切线的斜率为1.故选B.
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2.函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为 ( )
A.(-∞，1) B.(0，1)
C.(0，2) D.(2，+∞)
√
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解析:f(x)=x-2ln(2x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1-2··2=1-=，由f'(x)<0，可得x∈(0，2)，故f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为(0，2).故选C.
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3.某质点沿直线运动，位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=t2+3，则当t=5 s时该质点的瞬时速度为 ( )
A.10 m/s B.11 m/s
C.13 m/s D.28 m/s
√
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解析:因为s(t)=t2+3，所以s'(t)=2t，所以s'(5)=2×5=10，即当t=5 s时该质点的瞬时速度为10 m/s.故选A.
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4.若x=3为函数f(x)=x2-ax-3ln x的极值点，则函数f(x)的最小值为( )
A.- B.-
C.--3ln 3 D.3-3ln 3
√
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解析:f'(x)=x-a-，因为x=3是函数f(x)的极值点，所以f'(3)=3-a-1=0，则a=2，所以f'(x)=x-2-=，当x∈(0，3)时，f'(x)<0，当x∈(3，+∞)时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(0，3)内单调递减，在(3，+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(3)=--3ln 3.故选C.
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5.设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时的底面边长为 ( )
A. B.
C. D.2
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解析:设底面边长为x(x>0)，则三棱柱的表面积S=x2+V，∴S'=(x3-4V)，当0
时，S'>0，故当x=时，该三棱柱的表面积最小.
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6.已知函数f(x)=ln x，g(x)=x+1，若f(x1)=g(x2)，则x1-x2的最小值为( )
A.2-2ln 2 B.-2ln 2-2
C.4-2ln 2 D.-2ln 2-4
√
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解析:设f(x1)=g(x2)=t，则x1=et，x2=2t-2，所以x1-x2=et-2t+2，令h(t)=et-2t+2，则h'(t)=et-2，令h'(t)<0 t0 t>ln 2，函数h(t)单调递增，所以h(t)min=h(ln 2)=eln 2-2ln 2
+2=4-2ln 2，即x1-x2的最小值为4-2ln 2.故选C.
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7.过原点可以作曲线y=f(x)=x2-|x|+1的两条切线，则这两条切线方程为 ( )
A.y=x和y=-x B.y=-3x和y=3x
C.y=x和y=-3x D.y=-x和y=3x
√
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解析:由x∈R，f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1=f(x)，得f(x)为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称.当x>0时，f(x)=x2-x+1，则f'(x)=2x-1，设切点为P(x0，-x0+1)(x0>0)，故2x0-1=，解得x0=1或x0=-1(舍去)，所以切线斜率为1，从而切线方程为y=x.由对称性知另一条切线方程为y=-x.故选A.
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8.已知定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f'(x)，若2f(x)+f'(x)>0，且f(1)=e，则不等式e2xf(x)-e3>0的解集为 ( )
A.(1，+∞) B.(e，+∞)
C.(-∞，1) D.(-∞，e)
√
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解析:构造函数g(x)=e2xf(x)，该函数的定义域为R，则g'(x)=2e2xf(x)
+e2xf'(x)=e2x[2f(x)+f'(x)]>0，所以函数g(x)在R上为增函数，且g(1)
=e2f(1)=e3，由e2xf(x)-e3>0可得e2xf(x)>e3，即g(x)>g(1)，解得x>1.所以不等式e2xf(x)-e3>0的解集为(1，+∞).故选A.
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二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列求导运算正确的是( )
A.[log2(2x)]'= B.'=
C.(3x)'=3xln 3 D.[xsin(2x)]'=sin(2x)+2xcos(2x)
√
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解析:对于A，[log2(2x)]'==，故A不正确;对于B，'=
=，故B不正确;对于C，(3x)'=3xln 3，故C正确;对于D，[xsin(2x)]'=sin(2x)+x[sin(2x)]'=sin(2x)+x·2cos(2x)=sin(2x)+2xcos(2x)，故D正确.故选CD.
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10.已知定义域为[-3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则 ( )
A.f(x)在(-2，2)内单调递减
B.f(x)有极小值f(2)
C.f(x)有2个极值点
D.f(x)在x=-3处取得最大值
√
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解析:由f'(x)的图象可知x∈(-2，2)和x∈(4，5)时，f'(x)<0，则f(x)单调递减，故A正确;又x∈(-3，-2)和x∈(2，4)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以当x=2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确;由f'(x)的图象结合单调性可知x=-2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C错误;当x∈(-3，-2)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(-3)16
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11.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f'(x)满足f(x)>f'(x)，则 ( )
A.f(1)ef(0)
C.ef(ln 2)<2f(1) D.ef(ln 2)>2f(1)
√
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解析:构造函数g(x)=，其中x∈R，则g'(x)=<0，所以函数g(x)为R上的减函数，则g(1)g(1)，即>，所以ef(ln 2)>
2f(1)，C错误，D正确.故选AD.
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12.(5分)已知f'(x)是函数f(x)的导函数，且f'(x0)=3，则
=_____.
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-9
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上)
解析:由题意，得=-3=-3f'(x0)
=-9.
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13.(5分)已知函数f(x)=(x-3)ex+x2-2x+1在区间(2m-2，3+m)内不具有单调性，则m的取值范围是_________.
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(-1，2)
解析:由题意知f'(x)=(x-3)ex+ex+x-2=(ex+1)(x-2)，因为f(x)在区间(2m-2，3+m)内不具有单调性，即y=f'(x)在区间(2m-2，3+m)上有零点，又ex+1
>0，即y=x-2的零点x=2在区间(2m-2，3+m)内，所以解得-11
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14.(5分)“当a∈N时，函数f(x)=4ln x-ax在区间[1，2]内单调递增”为真命题的a的一个取值是______________.(写出符合题意的一个值即可)
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0(答案不唯一)
解析:因为函数f(x)=4ln x-ax在区间[1，2]内单调递增，所以f'(x)=-a≥0在区间[1，2]上恒成立，即a≤在区间[1，2]上恒成立.因为x∈[1，2]，所以∈[2，4]，为使a≤在区间[1，2]上恒成立，则有a≤2.因为a∈N，所以a=0或a=1或a=2.
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四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=2x3-ax2+12x+b在x=2处取得极小值5.
(1)求实数a，b的值;(5分)
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解: f'(x)=6x2-2ax+12，因为f(x)在x=2处取极小值5，所以f'(2)=24-4a+12=0，得a=9，此时f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)，所以f(x)在(1，2)内单调递减，在(2，+∞)上单调递增，所以f(x)在x=2时取得极小值，符合题意，所以a=9，f(x)=2x3-9x2+12x+b.又f(2)=4+b=5，所以b=1.
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(2)当x∈[0，3]时，求函数f(x)的最小值.(8分)
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解:f(x)=2x3-9x2+12x+1，所以f'(x)=6(x-1)(x-2)，列表.
x 0 (0，1) 1 (1，2) 2 (2，3) 3
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 1 ↗ 极大 值6 ↘ 极小 值5 ↗ 10
由于1<5，故x∈[0，3]时，f(x)min=f(0)=1.
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16.(15分)已知函数f(x)=x3-3x2+3.
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值;(5分)
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解:由f(x)=x3-3x2+3，则f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，
当x<0或x>2时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当0所以f(x)在(-∞，0)和(2，+∞)上单调递增，在(0，2)内单调递减，极大值为3，极小值为-1.
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(2)若函数g(x)=f(x)-ax2+3x在区间(0，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围.(10分)
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解:由题意得，g(x)=f(x)-ax2+3x=x3-(3+a)x2+3x+3，
所以g'(x)=3x2-2(3+a)x+3≥0对x∈(0，+∞)恒成立，则2a≤3x+-6对x∈(0，+∞)恒成立，因为3x+-6≥2-6=0，
当且仅当3x=，即x=1时等号成立，
所以2a≤0，即a≤0，所以实数a的取值范围为(-∞，0].
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17.(15分)已知函数f(x)=(x-a)ln x.
(1)讨论f'(x)的单调性;(5分)
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解:由题意可知x∈(0，+∞)，f'(x)=ln x-+1，令g(x)=ln x-+1，则g'(x)=+=，当a≥0时，g'(x)>0恒成立，g(x)单调递增，当a<0时，由g'(x)>0，解得x>-a，由g'(x)<0，解得0所以g(x)在(-a，+∞)上单调递增，在(0，-a)内单调递减.
综上所述，当a≥0时，f'(x)单调递增，当a<0时，f'(x)在(-a，+∞)上单调递增，在(0，-a)内单调递减.
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(2)若不等式xf'(x)≥2(x-a)在[1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.(10分)
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解:由(1)可知不等式xf'(x)≥2(x-a)即xln x-a+x≥2(x-a)在[1，+∞)上恒成立，
即a≥x-xln x在[1，+∞)上恒成立，只需在[1，+∞)上a≥(x-xln x)max即可，令h(x)=x-xln x(x≥1)，则h'(x)=1-(ln x+1)=-ln x，
当x>1时，h'(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x)max=h(1)=1，所以a≥1.
故实数a的取值范围是[1，+∞).
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18.(17分)已知函数f(x)=ex+2f'(0)x-cos x.
(1)求f(x)的解析式;(4分)
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解: f'(x)=ex+2f'(0)+sin x.
令x=0可得f'(0)=e0+2f'(0)+sin 0=1+2f'(0)，解得f'(0)=-1.
所以f(x)=ex-2x-cos x.
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(2)讨论f(x)在R上的零点个数.(13分)
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解:由(1)中f(x)=ex-2x-cos x可得f'(x)=ex+sin x-2，
当x≤0时，有ex≤1，sin x≤1，所以f'(x)=ex+sin x-2<0恒成立，
所以f(x)在(-∞，0]上单调递减，f(x)≥f(0)=0，
即可得0是f(x)的一个零点.
当x>0时，设g(x)=ex+sin x-2，则g'(x)=ex+cos x>1+cos x≥0恒成立，即f'(x)在(0，+∞)上单调递增.又f'(0)=-1<0，f'(1)=e+sin 1-2>0，根据函数零点存在定理，可知 x1∈(0，1)，使得f'(x1)=0.
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当0x1时，f'(x)>0，所以f(x)在(x1，+∞)上单调递增.又f(0)=0，所以f(x1)<0.
因为f(2)=e2-4-cos 2>e2-4>0，根据函数零点存在定理可知 x2∈(x1，2)，使得f(x2)=0.
综上所述，f(x)在R上的零点个数为2.
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19.(17分)已知函数f(x)=ln x-ax.
(1)讨论f(x)的单调性;(5分)
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解:函数f(x)=ln x-ax的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-a=，
当a≤0时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，当a>0时，令f'(x)>0，则0，所以函数f(x)在内单调递增，在上单调递减，
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增;当a>0时，函数f(x)在内单调递增，在上单调递减.
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(2)求证:当a>0时，f(x)+4<.(12分)
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解:证明:由(1)可得当a>0时，f(x)max=f=-ln a-1，要证f(x)+4<，只需要证明f(x)max+4<即可，即证-ln a+3-<0，即证ln a+-3>0.令g(a)=ln a+-3(a>0)，则g'(a)=-=，当04时，g'(a)>0，所以函数g(a)在(0，4)内单调递减，在(4，+∞)上单调递增，所以g(a)min=g(4)=ln 4+2-3=ln 4-1>0，所以ln a+-3>0，所以当a>0时，f(x)+4<.阶段质量评价(五) 导数及其应用(时间:120分钟 满分:150分)
(选择、填空题请在后面的答题区内作答,解答题请在题后作答)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率为 ( )
A.0 B.1
C.e D.-1
2.函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.(0,2) D.(2,+∞)
3.某质点沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=t2+3,则当t=5 s时该质点的瞬时速度为 ( )
A.10 m/s B.11 m/s
C.13 m/s D.28 m/s
4.若x=3为函数f(x)=x2-ax-3ln x的极值点,则函数f(x)的最小值为 ( )
A.- B.-
C.--3ln 3 D.3-3ln 3
5.设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时的底面边长为 ( )
A. B.
C. D.2
6.已知函数f(x)=ln x,g(x)=x+1,若f(x1)=g(x2),则x1-x2的最小值为 ( )
A.2-2ln 2 B.-2ln 2-2
C.4-2ln 2 D.-2ln 2-4
7.过原点可以作曲线y=f(x)=x2-|x|+1的两条切线,则这两条切线方程为 ( )
A.y=x和y=-x B.y=-3x和y=3x
C.y=x和y=-3x D.y=-x和y=3x
8.已知定义在R上的可导函数f(x),其导函数为f'(x),若2f(x)+f'(x)>0,且f(1)=e,则不等式e2xf(x)-e3>0的解集为 ( )
A.(1,+∞) B.(e,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,e)
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列求导运算正确的是 ( )
A.[log2(2x)]'=
B.'=
C.(3x)'=3xln 3
D.[xsin(2x)]'=sin(2x)+2xcos(2x)
10.已知定义域为[-3,5]的函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)的图象如图所示,则 ( )
A.f(x)在(-2,2)内单调递减
B.f(x)有极小值f(2)
C.f(x)有2个极值点
D.f(x)在x=-3处取得最大值
11.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),则 ( )
A.f(1)ef(0)
C.ef(ln 2)<2f(1) D.ef(ln 2)>2f(1)
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.(5分)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且f'(x0)=3,则= .
13.(5分)已知函数f(x)=(x-3)ex+x2-2x+1在区间(2m-2,3+m)内不具有单调性,则m的取值范围是 .
14.(5分)“当a∈N时,函数f(x)=4ln x-ax在区间[1,2]内单调递增”为真命题的a的一个取值是 .(写出符合题意的一个值即可)
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=2x3-ax2+12x+b在x=2处取得极小值5.
(1)求实数a,b的值;(5分)
(2)当x∈[0,3]时,求函数f(x)的最小值.(8分)
16.(15分)已知函数f(x)=x3-3x2+3.
(1)判断函数f(x)的单调性,并求出f(x)的极值;(5分)
(2)若函数g(x)=f(x)-ax2+3x在区间(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.(10分)
17.(15分)已知函数f(x)=(x-a)ln x.
(1)讨论f'(x)的单调性;(5分)
(2)若不等式xf'(x)≥2(x-a)在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.(10分)
18.(17分)已知函数f(x)=ex+2f'(0)x-cos x.
(1)求f(x)的解析式;(4分)
(2)讨论f(x)在R上的零点个数.(13分)
19.(17分)已知函数f(x)=ln x-ax.
(1)讨论f(x)的单调性;(5分)
(2)求证:当a>0时,f(x)+4<.(12分)
阶段质量评价(五)
1．选B 因为y′＝ex，所以y′|x＝0＝e0＝1，根据导数的几何意义可知，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.故选B.
2．选C f(x)＝x－2ln(2x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－2··2＝1－＝，由f′(x)<0，可得x∈(0,2)，故f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为(0,2)．故选C.
3．选A 因为s(t)＝t2＋3，所以s′(t)＝2t，所以s′(5)＝2×5＝10，即当t＝5 s时该质点的瞬时速度为10 m/s.故选A.
4．选C f′(x)＝x－a－，因为x＝3是函数f(x)的极值点，所以f′(3)＝3－a－1＝0，则a＝2，所以f′(x)＝x－2－＝，当x∈(0,3)时，f′(x)<0，当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0,3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(3)＝－－3ln 3.故选C.
5．选C 设底面边长为x(x>0)，则三棱柱的表面积S＝x2＋V，∴S′＝(x3－4V)，当0时，S′>0，故当x＝时，该三棱柱的表面积最小．
6．选C 设f(x1)＝g(x2)＝t，则x1＝et，x2＝2t－2，所以x1－x2＝et－2t＋2，令h(t)＝et－2t＋2，则h′(t)＝et－2，令h′(t)<0 t0 t>ln 2，函数h(t)单调递增，所以h(t)min＝h(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，即x1－x2的最小值为4－2ln 2.故选C.
7．选A 由x∈R，f(－x)＝(－x)2－|－x|＋1＝x2－|x|＋1＝f(x)，得f(x)为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称．当x>0时，f(x)＝x2－x＋1，则f′(x)＝2x－1，设切点为P(x0，x－x0＋1)(x0>0)，故2x0－1＝，解得x0＝1或x0＝－1(舍去)，所以切线斜率为1，从而切线方程为y＝x.由对称性知另一条切线方程为y＝－x.故选A.
8．选A 构造函数g(x)＝e2xf(x)，该函数的定义域为R，则g′(x)＝2e2xf(x)＋e2xf′(x)＝e2x[2f(x)＋f′(x)]>0，所以函数g(x)在R上为增函数，且g(1)＝e2f(1)＝e3，由e2xf(x)－e3>0可得e2xf(x)>e3，即g(x)>g(1)，解得x>1.所以不等式e2xf(x)－e3>0的解集为(1，＋∞)．故选A.
9．选CD 对于A，[log2(2x)]′＝＝，故A不正确；对于B，′＝＝，故B不正确；对于C，(3x)′＝3xln 3，故C正确；对于D，[xsin(2x)]′＝sin(2x)＋x[sin(2x)]′＝sin(2x)＋x·2cos(2x)＝sin(2x)＋2xcos(2x)，故D正确．故选CD.
10．选AB 由f′(x)的图象可知x∈(－2,2)和x∈(4,5)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，故A正确；又x∈(－3，－2)和x∈(2,4)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以当x＝2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确；由f′(x)的图象结合单调性可知x＝－2,2,4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C错误；当x∈(－3，－2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(－3)11．选AD 构造函数g(x)＝，其中x∈R，则g′(x)＝<0，所以函数g(x)为R上的减函数，则g(1)g(1)，即>，所以ef(ln 2)>2f(1)，C错误，D正确．故选AD.
12．解析：由题意，得 ＝－3 ＝－3f′(x0)＝－9.
答案：－9
13．解析：由题意知f′(x)＝(x－3)ex＋ex＋x－2＝(ex＋1)(x－2)，因为f(x)在区间(2m－2,3＋m)内不具有单调性，即y＝f′(x)在区间(2m－2,3＋m)上有零点，又ex＋1>0，即y＝x－2的零点x＝2在区间(2m－2,3＋m)内，所以解得－1答案：(－1,2)
14．解析：因为函数f(x)＝4ln x－ax在区间[1,2]内单调递增，所以f′(x)＝－a≥0在区间[1,2]上恒成立，即a≤在区间[1,2]上恒成立．因为x∈[1,2]，所以∈[2,4]，为使a≤在区间[1,2]上恒成立，则有a≤2.因为a∈N，所以a＝0或a＝1或a＝2.
答案：0(答案不唯一)
15．解：(1)f′(x)＝6x2－2ax＋12，
因为f(x)在x＝2处取极小值5，所以f′(2)＝24－4a＋12＝0，得a＝9，此时f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，
所以f(x)在(1,2)内单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝2时取得极小值，符合题意，所以a＝9，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋b.又f(2)＝4＋b＝5，所以b＝1.
(2)f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1，所以f′(x)＝6(x－1)(x－2)，列表.
x 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 1 ? 极大 值6 ? 极小 值5 ? 10
由于1<5，故x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝1.
16．解：(1)由f(x)＝x3－3x2＋3，则f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
当x<0或x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当0(2)由题意得，g(x)＝f(x)－ax2＋3x＝x3－(3＋a)x2＋3x＋3，
所以g′(x)＝3x2－2(3＋a)x＋3≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，则2a≤3x＋－6对x∈(0，＋∞)恒成立，因为3x＋－6≥2－6＝0，当且仅当3x＝，即x＝1时等号成立，所以2a≤0，即a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]．
17．解：(1)由题意可知x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－＋1，令g(x)＝ln x－＋1，则g′(x)＝＋＝，当a≥0时，g′(x)>0恒成立，g(x)单调递增，当a<0时，由g′(x)>0，解得x>－a，由g′(x)<0，解得0所以g(x)在(－a，＋∞)上单调递增，在(0，－a)内单调递减．
综上所述，当a≥0时，f′(x)单调递增，当a<0时，f′(x)在(－a，＋∞)上单调递增，在(0，－a)内单调递减．
(2)由(1)可知不等式xf′(x)≥2(x－a)即xln x－a＋x≥2(x－a)在[1，＋∞)上恒成立，即a≥x－xln x在[1，＋∞)上恒成立，只需在[1，＋∞)上a≥(x－xln x)max即可，令h(x)＝x－xln x(x≥1)，则h′(x)＝1－(ln x＋1)＝－ln x，
当x>1时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)max＝h(1)＝1，所以a≥1.
故实数a的取值范围是[1，＋∞)．
18．解：(1)f′(x)＝ex＋2f′(0)＋sin x.
令x＝0可得f′(0)＝e0＋2f′(0)＋sin 0＝1＋2f′(0)，解得f′(0)＝－1.
所以f(x)＝ex－2x－cos x.
(2)由(1)中f(x)＝ex－2x－cos x可得f′(x)＝ex＋sin x－2，
当x≤0时，有ex≤1，sin x≤1，所以f′(x)＝ex＋sin x－2<0恒成立，
所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，f(x)≥f(0)＝0，即可得0是f(x)的一个零点．
当x>0时，设g(x)＝ex＋sin x－2，则g′(x)＝ex＋cos x>1＋cos x≥0恒成立，即f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(0)＝－1<0，f′(1)＝e＋sin 1－2>0，根据函数零点存在定理，可知 x1∈(0,1)，使得f′(x1)＝0.
当0x1时，f′(x)>0，所以f(x)在(x1，＋∞)上单调递增．又f(0)＝0，所以f(x1)<0.
因为f(2)＝e2－4－cos 2>e2－4>0，根据函数零点存在定理可知 x2∈(x1,2)，使得f(x2)＝0.
综上所述，f(x)在R上的零点个数为2.
19．解：(1)函数f(x)＝ln x－ax的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝，
当a≤0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，令f′(x)>0，则0，所以函数f(x)在内单调递增，在上单调递减，
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在内单调递增，在上单调递减．
(2)证明：由(1)可得当a>0时，f(x)max＝f＝－ln a－1，要证f(x)＋4<，只需要证明f(x)max＋4<即可，即证－ln a＋3－<0，即证ln a＋－3>0.令g(a)＝ln a＋－3(a>0)，则g′(a)＝－＝，当04时，g′(a)>0，
所以函数g(a)在(0,4)内单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，所以g(a)min＝g(4)＝ln 4＋2－3＝ln 4－1>0，所以ln a＋－3>0，所以当a>0时，f(x)＋4<.
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