上海市洋泾中学 2024-2025 学年高一下学期期中考
试数学试卷
一、填空题
1. 化简向量运算: ______.
2. 在 中,若 ,则这个三角形一定为______三角形.
3. 已知圆心角为 的扇形面积等于 ,则该扇形的半径为________.
4. 已知 ,则 ______.
5. 已知 ,则 在 方向上的投影为__________
6. 已知向量 , ,则 的最大值为_______.
7. 已知奇函数 的一个周期为 2,当 时, ,则
___________.
8. 已知平面向量 , , , .若 与 的
夹角为锐角,则 的取值范围是________.
9. 设函数 ,若 对任意的实数 x 都成立,
则 的最小取值等于______.
10. 已知正六边形 的边长为 4,圆 的圆心为正六边形的中心,半径为
2,若点 在正六边形的边上运动, 为圆 的直径,则 的取值范围是
________.
二、单选题
11. 下列函数中,最小正周期为 的奇函数是( )
A. B.
C. D.
12. 在 中, 为 的中点,若 , ,则 为( )
A. B. C. D.
13. 下列命题中正确的是( )
A.若 且 ,则
B.若 且 ,则
C.若 且 ,则
D.若 且 ,则
14. 在平面直角坐标 中,已知任意角 以坐标原点为顶点, 轴的非负半轴为
始边,若终边经过点 ,且 ,定义 ,称“
正余弦函数”,对于“正余弦函数 ”,有同学得到以下性质,
①该函数的值域为 ;②该函数的图象关于原点对称;
③该函数的图象关于直线 对称;④该函数为周期函数,且最小正周期为 .
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
三、解答题
15. 已知 , .
(1)求 的值;
(2)若角 的顶点与坐标原点重合,始边与 轴的正半轴重合,且终边经过点
,求 的值.
16. 已知向量 , 满足 , , .
(1)求 与 的夹角的余弦值;
(2)求 .
17. 如图,某城市有一矩形街心广场 ,如图.其中 百米, 百米.
现将在其内部挖掘一个三角形水池 种植荷花,其中点 在 边上,点 在
边上,要求 .
(1)若 百米,判断 是否符合要求,并说明理由;
(2)设 ,写出 面积的 关于 的表达式,并求 的最小值.
18. 已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期;
(2)若函数 ,求函数 的单调递减区间;
(3)若函数 在区间 上有两个不等实根,求实数 的取值范
围.
19. 定义非零向量 的“相伴函数”为 ,
向量 称为函数 的“相伴向量”(其中
为坐标原点).
(1)设 ,写出函数 的相伴向量 ;
(2)已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ,记向量 的
相伴函数为 ,若 且 ,求 的取值范围;
(3)已知 , , 为(2)中的函数, ,请
问在 的图像上是否存在一点 ,使得 ?若存在,求出点 坐标;
若不存在,说明理由.
上海市洋泾中学 2024-2025 学年高一下学期期中考试数学试卷
整体难度:适中
考试范围:平面向量、三角函数与解三角形、函数与导数
试卷题型
题型 数量
填空题 10
单选题 4
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 3
较易 9
适中 7
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、填空题
1 0.94 向量加法的法则
2 0.94 正、余弦定理判定三角形形状
3 0.85 扇形面积的有关计算
4 0.85 正、余弦齐次式的计算
5 0.85 平面向量数量积的几何意义
求含 sinx(型)函数的值域和最值;辅助角公式;平面向量线性运算的坐标表示;
6 0.65
坐标计算向量的模
7 0.85 函数奇偶性的应用;由函数的周期性求函数值;特殊角的三角函数值
8 0.65 数量积的坐标表示;向量夹角的计算
9 0.85 由正弦(型)函数的值域(最值)求参数;三角函数图象的综合应用
10 0.65 数量积的运算律
二、单选题
求正弦(型)函数的奇偶性;求正弦(型)函数的最小正周期;求余弦(型)函
11 0.94
数的奇偶性;求余弦(型)函数的最小正周期
12 0.85 用基底表示向量
13 0.65 比较指数幂的大小;求含 sinx(型)函数的值域和最值;求 cosx(型)函数的值域
求含 sinx(型)函数的值域和最值;求正弦(型)函数的最小正周期;求正弦(型)
14 0.85
函数的对称轴及对称中心;辅助角公式
三、解答题
15 0.85 由终边或终边上的点求三角函数值;二倍角的余弦公式
16 0.85 已知数量积求模;向量夹角的计算;用定义求向量的数量积;数量积的运算律
用和、差角的余弦公式化简、求值;二倍角的正弦公式;几何图形中的计算;求
17 0.65
三角形面积的最值或范围
根据函数零点的个数求参数范围;求 sinx 型三角函数的单调性;求正弦(型)
18 0.65
函数的最小正周期;三角恒等变换的化简问题
正弦定理边角互化的应用;向量新定义;求 cosx(型)函数的值域;向量垂直的坐
19 0.65
标表示
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 平面向量 1,5,6,8,10,12,16,19
2 三角函数与解三角形 2,3,4,6,7,9,11,13,14,15,17,18,19
3 函数与导数 7,13,18
试题答案解析
第 1题:
第 2题:
第 3题:
第 4题:
第 5题:
第 6题:
第 7题:
第 8题:
第 9题:
第 10 题:
第 11 题:
第 12 题:
第 13 题:
第 14 题:
第 15 题:
第 16 题:
第 17 题:
第 18 题:
第 19 题: