云南省西双版纳傣族自治州景洪市曲靖一中景洪学校2024-2025学年高二下学期期中检测数学试卷（PDF版，含解析）

云南省西双版纳傣族自治州景洪市曲靖一中景洪学校
2024-2025 学年高二下学期期中检测数学试卷
一、单选题
1. 设集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2
2. 函数 y= x ㏑ x 的单调递减区间为
A．（ 1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）
3. 等差数列 中，若 ， 为方程 的两根，则 等
于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．40
4. 如图，在三棱锥 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 满足 ，
若 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
5. 已知直线 ： 与圆 ： 交于 ，两点，则
的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6. 一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱 ，底面 边 上的高为 .
当底面 水平放置时水面高度为 16（如图①）.当侧面 水平放置时（如
图②），水面高度为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知椭圆 的一条弦所在的直线方程是 弦的
中点坐标是 则椭圆的离心率是
A． B．
C． D．
8. 某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名
成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，
则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．32
二、多选题
9. 在 中，（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若 ，则 为钝角三角形
D．若 是锐角， ，则 为锐角三角形
10. 已知 ， 是 的共轭复数，则（ ）
A．若 ，则
B．若 为纯虚数，则
C．若 ，则
D．若 ，则集合 所构成区域的面积为
11. 已知函数 ，若关于 的方程 有四个
不同的根，它们从小到大依次记为 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．函数 有 6个零点
三、填空题
12. 如图为函数 的部分图
象，则 的值为_____
13. 在 的展开式中，各项系数之和为 ，则展开式中的常数项为
__________________.
14. 如图，一个圆环分成 ， ， ， 四个区域，用 3种颜色（全部用完）对这
四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为____________.
（用数字作答）
四、解答题
15. 随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源
汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花
费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入
（单位:亿元）进行了统计， 具体数据见下表:
年份代号 1 2 3 4 5
广告费投入 4.85.66. 27. 68. 8
并随机调查了 400 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见
下表:
认可不认可
50 岁以下 140 60
50 岁及以上 120 80
(1)求广告费投入 与年份代号 之间的线性经验回归方程；
(2)依据小概率值 的 独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能
源汽车的认可度有关联
附: ① 经验回归方程 中， ；
② ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.7063.8416.6357.87910.828
16. 如图 1在直角梯形 中， ， ， ， ，
E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将 沿 BE 折起到图 2中 的
位置，得到四棱锥 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)当平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 已知函数 （ ）．
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)求证： ．
18. 为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠
活动，顾客消费满 800 元（含 800 元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能
选择其中的一种）
方案 1：从装有 5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放
回地依次摸出 3个球．每摸出 1次红球，立减 150 元，若 3次都摸到红球，则额
外再减 200 元（即总共减 650 元）；
方案 2：从装有 5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放
回地依次摸出 3个球．中奖规则为：若摸出 3个红球，享受免单优惠；若摸出 2
个红球，则打 5折；其余情况无优惠．
(1)顾客 A 选择抽奖方案 2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
(2)顾客 B 恰好消费了 800 元，
①若他选择抽奖方案 1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到 0.01）；
②试从实付金额的期望值分析顾客 B 选择何种抽奖方案更合理．
19. 17 世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图 1所示.四
根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形 .带槽杆 长为 ，点 ， 间
的距离为 2，转动杆 一周的过程中始终有 .点 M 在线段 的延
长线上，且 .
(1)建立如图 2所示的平面直角坐标系，求出点 E 的轨迹Γ的方程；
(2)过点 的直线 与Γ交于 A、B 两点.记直线 MA、MB 的斜率为 、 ，证明：
为定值.
云南省西双版纳傣族自治州景洪市曲靖一中景洪学校 2024-2025 学年高二下
学期期中检测数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、数列、空间向量与立体几何、平面解析几何、
计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、复数
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 2
较易 7
适中 9
较难 1
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 交并补混合运算
2 0.94 利用导数求函数的单调区间（不含参）
3 0.85 利用等差数列的性质计算
4 0.85 空间向量加减运算的几何表示；空间向量数乘运算的几何表示
判断命题的充分不必要条件；由直线与圆的位置关系求参数；求点到直线的距离；
5 0.65
圆的弦长与中点弦
6 0.85 柱体体积的有关计算
7 0.65 求椭圆的离心率或离心率的取值范围
分组分配问题；分类加法计数原理；分步乘法计数原理及简单应用；元素（位置）
8 0.65
有限制的排列问题
二、多选题
9 0.85 正弦定理解三角形；正、余弦定理判定三角形形状
复数的基本概念；与复数模相关的轨迹（图形）问题；共轭复数的概念及计算；
10 0.65
复数的除法运算
函数图象的应用；根据函数零点的个数求参数范围；函数与方程的综合应用；求
11 0.4
函数零点或方程根的个数
三、填空题
12 0.85 由图象确定正（余）弦型函数解析式
13 0.85 求指定项的系数；二项展开式各项的系数和
14 0.85 涂色问题
四、解答题
15 0.65 求回归直线方程；独立性检验解决实际问题
16 0.65 证明线面垂直；面面角的向量求法
17 0.65 求已知函数的极值；利用导数研究不等式恒成立问题；利用导数证明不等式
18 0.65 计算古典概型问题的概率；计算条件概率；超几何分布的均值；二项分布的均值
根据 a、b、c 求椭圆标准方程；根据韦达定理求参数；根据直线与椭圆的位置
19 0.65
关系求参数或范围；椭圆中的定值问题
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 集合与常用逻辑用语 1,5
2 函数与导数 2,11,17
3 数列 3
4 空间向量与立体几何 4,6,16
5 平面解析几何 5,7,19
6 计数原理与概率统计 8,13,14,15,18
7 三角函数与解三角形 9,12
8 复数 10
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：