北京市第一六一中学2024-2025学年高二下学期期中阶段练习数学试题（PDF版，含部分解析）

北京市第一六一中学 2024-2025 学年高二下学期期
中阶段练习数学试题
一、单选题
1. 若数列 1，a，b，c，9是等比数列，则实数 b 的值为（ ）
A． B． C． D．3
2. 已知事件 A，B 相互独立， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3. 函数 的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
4. 已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C．12 D．21
6. 某校篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为 ；
如果他前一球投不进则后一球投进的概率为 ，若他第 1球投进的概率为 ，则
他第 2球投进的概率为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知数列 的前 n 项和 ，则 是 为等比数列的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8. 小明投篮 3次，每次投中的概率为 0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次
得 2分，没投中得 0分，总得分为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
9. 设随机变量 X 的分布列如下表所示，
1 2 3 4 5 6
①
②随机变量 的数学期望 可以等于 3.5
③若 ，则
④数列 的通项公式可以为
则上述说法中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10. 已知数列 的通项公式为 ，记数列 的前 项和为 ，若
对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11. 已知函数 ，若曲线 在点 处的切线的斜率为 2，
则数 的值是___________.
12. 已知函数 ，则 的定义域为______，不等式 的解集
为______.
13. 已知 ， ， 是公比不为 1的等比数列，将 ， ， 调整顺序后可构成
一个等差数列，则满足条件的一组 ， ， 的值依次为______.
14. 按国际标准，复印纸幅面规格分为 A系列和 B系列，其中 A系列以 A0，A1，...
来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0 规格纸张的幅宽和幅长的比例
关系为 ；②将 纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为
规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用 A0 规格纸张裁
剪其他规格纸张.共需 A4 规格纸张 40 张，A2 规格纸张 10 张，A1 规格纸张 5张.
为满足上述要求，至少提供 A0 规格纸张的张数为________.
15. 数列 满足： ，给出下述命题：
①若数列 满足： ，则 成立；
②存在常数 ，使得 成立；
③若 ，则 ；
④存在常数 ，使得 都成立．
上述命题正确的是____．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
16. 已知等比数列 为递增数列，其前 项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 是首项为 1，公差为 3的等差数列，求数列 的通项公式
及前 项和 .
17. 某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某
地区众多门店中随机抽取 8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业
额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：
门店 1 门店 2 门店 3 门店 4 门店 5 门店 6 门店 7 门店 8
线下
9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5
日营业额
线上
11.5 9 12 17 19 23 21.5 15
日营业额
若某门店一种销售模式下的日营业额不低于 15 万元，则称该门店在这种销售模
式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若
某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于 30
万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各
门店的营业额之间互不影响）
（1）从 8个样本门店中随机抽取 3个，求抽取的 3个门店的线下日营业额均达
标的概率；
（2）若从该地区众多门店中随机抽取 3个门店，记随机变量 X 表示抽到的日营
业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日
营业总额达标的概率，求 X 的分布列和数学期望；
（3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为 和 ，线下日营业
额和线上日营业额的样本方差分别记为 和 ．试判断 和 的大小，以及 和
的大小．（结论不要求证明）
18. 设函数 ，且 ， ，其中 .
(1)计算 ， 的值；
(2)设 ，求证：数列 为等比数列；
(3)求证： .
19. 某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少
年组中年组和老年组，随机调查了 200 名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数
据如下（单位：人）：
青少年组 中年组 老年组
愿意 不愿意 愿意 愿意 不愿意
第一款 40 20 80 20 20 20
第二款 30 30 60 40 30 10
第三款 50 10 80 20 10 30
假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率
(1)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取 1人，记 为这 3人中愿意购买第二
款新品的人数，求 的分布列和数学期望 ；
(2)用“ ”表示顾客愿意购买第 款新品，“ ”
表示顾客不愿意购买第 款新品.直接写出方差 ， ， 的大小关
系.
20. 已知椭圆 的下顶点 和右顶点 都在直线
上.
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)不经过点 的直线 交椭圆 于两点 ，过点 作 轴的垂线交
于点 ，点 关于点 的对称点为 .若 三点共线，求证：直线 经过定点.
21. 对于数列 ，定义 设 的前 n 项和为 ．
(1)设 ，写出 ， ， ， ；
(2)证明：“对任意 ，有 ”的充要条件是“对任意 ，有
”；
(3)已知首项为 0，项数为 的数列 满足：
①对任意 且 ，有 ；
② ．
求所有满足条件的数列 的个数．
北京市第一六一中学 2024-2025 学年高二下学期期中阶段练习数学试题
整体难度：适中
考试范围：数列、计数原理与概率统计、函数与导数、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、
平面解析几何
试卷题型
题型 数量
单选题 10
填空题 5
解答题 6
试卷难度
难度 题数
容易 2
较易 9
适中 7
较难 3
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.85 等比中项的应用
2 0.85 计算条件概率；独立事件的乘法公式
3 0.94 比较函数值的大小关系
4 0.85 导数的运算法则
5 0.85 利用定义求等差数列通项公式；判断或写出数列中的项
6 0.85 计算古典概型问题的概率；利用全概率公式求概率
7 0.85 充要条件的证明；由定义判定等比数列
8 0.65 二项分布的方差；方差的性质
9 0.65 利用随机变量分布列的性质解题；求等比数列前 n 项和；裂项相消法求和
数列不等式恒成立问题；利用定义求等差数列通项公式；根据等差数列前 n 项
10 0.65
和的最值求参数
二、填空题
11 0.94 已知切线（斜率）求参数
12 0.85 具体函数的定义域；导数的运算法则
13 0.65 等差中项的应用；写出等比数列的通项公式；等比数列通项公式的基本量计算
14 0.4 等比数列的简单应用；求等比数列前 n 项和；数列-其他模型
15 0.4 由递推数列研究数列的有关性质
三、解答题
16 0.85 等比数列通项公式的基本量计算；分组（并项）法求和；求等比数列前 n 项和
17 0.85 求离散型随机变量的均值
由递推关系证明等比数列；根据数列递推公式写出数列的项；写出等比数列的通
18 0.65
项公式；作差法比较代数式的大小
写出简单离散型随机变量分布列；离散型随机变量的方差与标准差；求离散型随
19 0.65
机变量的均值
根据 a、b、c 求椭圆标准方程；椭圆中的直线过定点问题；求椭圆的离心率或
20 0.65
离心率的取值范围
21 0.4 数列新定义
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 数列 1,5,7,9,10,13,14,15,16,18,21
2 计数原理与概率统计 2,6,8,9,17,19
3 函数与导数 3,4,11,12
4 集合与常用逻辑用语 7
5 等式与不等式 18
6 平面解析几何 20
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：
第 20 题：
第 21 题：