陕西省西安市莲湖区2024-2025学年高一下学期期中数学试题(图片版,含部分答案)

陕西省西安市莲湖区 2024-2025 学年高一下学期期
中数学试题
一、单选题
1. 复数 的实部和虚部之和是（ ）
A． B． C．8 D．12
2. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
3. 在 中，角 的对边分别是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．13 D．37
4. 如图， 是一个平面图形的直观图，其中 是直角三角形，
，则原图形的面积是（ ）
A．4 B． C．8 D．
5. 已知 是关于 的方程 的一个根，则 （ ）
A． B． C．1 D．9
6. 已知向量 ，若向量 的夹角是锐角，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7. 已知圆柱 的轴截面是边长为 的正方形，且圆柱 上、下底面圆的
圆周都在球 的球面上，则球 的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8. 已知复数 ，且 ，若 是纯虚数，则 的最小值
是（ ）
A．9 B．4 C．1 D．
二、多选题
9. 下列结论正确的是（ ）
A．若 的内角 满足 ，则 一定是钝角三
角形
B．绕直角三角形一条边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥
C．若 是纯虚数，则
D．若向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是
10. 在三棱锥 中，E，F 分别在棱 AB，AC 上，且 ， ，
记三棱锥 ，三棱锥 ，四棱锥 的体积分别为 ， ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11. “赵爽弦图”是中国古代数学的经典成果，它是由四个全等的直角三角形与
一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用四个三角
形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中 分别是线段
上靠近 的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12. 已知某 棱锥有 个面， 条棱，若 ，则 __________.
13. 已知 是两个单位向量，且 ，则 的取值范围是
__________.
14. 碑林博物馆位于西安市三学街，是一座以收藏，研究和陈列历代碑石、墓志
及石刻造像为主的专题类艺术博物馆.如图，为了测量碑林博物馆的高度，选取
了与该博物馆最高点 在地面的投影 （即 与地面垂直）在同一水平面内的两
个测量基点 与 ，在点 处测得点 的仰角为 ，在点 处测得点 的仰角为 ，
且 米， ，则碑林博物馆的高度 __________米.
四、解答题
15. 已知向量 满足 ，且 .
(1)求向量 的夹角；
(2)求 的值.
16. 如图 1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正
四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直
观图如图 2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为 60 厘米，下底面
棱长为 40 厘米，侧棱长为 30 厘米，下部分正四棱柱的高为 250 厘米．
(1)求该灯柱的侧面积；
(2)求该灯柱的体积．
17. 在 中，角 的对边分别是 ，且 .
(1)求 .
(2)设 的面积为 ，且 .
①求 的值；
②求 的面积.
18. 如图，在正方形 中， 是线段 的中点， 在线段 上（不包含端点），
线段 ， 相交于点 .
(1)若 是线段 的中点，证明： .
(2)若 ，求 的值.
(3)若 ，求 的值.
19. 在 中，角 的对边分别是 ，且 .
(1)证明： 是等腰三角形.
(2)若 （异于 两点）在线段 上，且点 靠近点
，求 的取值范围.
陕西省西安市莲湖区 2024-2025 学年高一下学期期中数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、平面向量、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、等式与不等式
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 3
较易 8
适中 8
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 求复数的实部与虚部；复数代数形式的乘法运算
2 0.85 由向量共线（平行）求参数
3 0.94 余弦定理解三角形
4 0.85 斜二测画法中有关量的计算；由直观图还原几何图形
5 0.85 复数范围内方程的根
6 0.65 数量积的坐标表示；向量夹角的坐标表示；由向量共线（平行）求参数
7 0.85 球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；圆柱的结构特征辨析
8 0.85 复数的除法运算；基本不等式“1”的妙用求最值；已知复数的类型求参数
二、多选题
正弦定理边角互化的应用；圆锥的结构特征辨析；已知复数的类型求参数；求投
9 0.65
影向量
10 0.65 锥体体积的有关计算
11 0.65 向量的线性运算的几何应用；用基底表示向量
三、填空题
12 0.94 棱锥的结构特征和分类
13 0.85 向量的模；向量的线性运算的几何应用；向量减法法则的几何应用
14 0.65 余弦定理解三角形；高度测量问题
四、解答题
15 0.85 已知数量积求模；向量夹角的计算；数量积的运算律
柱体体积的有关计算；台体体积的有关计算；棱柱表面积的有关计算；棱台表面
16 0.85
积的有关计算
17 0.65 正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
用基底表示向量；利用平面向量基本定理求参数；数量积的运算律；垂直关系的
18 0.65
向量表示
19 0.65 三角恒等变换的化简问题；正弦定理解三角形；求正切（型）函数的值域及最值；
正弦定理边角互化的应用
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 复数 1,5,8,9
2 平面向量 2,6,9,11,13,15,18
3 三角函数与解三角形 3,9,14,17,19
4 空间向量与立体几何 4,7,9,10,12,16
5 等式与不等式 8
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：