黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二下学期期中数学试题（PDF版，含解析）

黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校 2024-2025 学年高
二下学期期中数学试题
一、单选题
1. 设点 为抛物线 上一点，F为焦点，若 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．
2. 等比数列 中， 则 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
3. 函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取得最大值
B． 在区间 上单调递减
C． 在 处取得极大值
D． 在区间 上有 2个极大值点
4. 已知函数 ，则 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．3
5. 在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6. 若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距离为
（ ）
A． B． C．2 D．8
7. 定义在 上的函数 的导函数为 ，满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知双曲线 （ ）的左右焦点分别是 ， ，点 在第一
象限且在 的渐近线上， 是以 为斜边的等腰直角三角形，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．2
二、多选题
9. （多选）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10. 已知等差数列 的首项为 29，公差为 ，其前 项和为 ，则下列命题正
确的是（ ）
A．若 ，则 最大
B．若 最大，则
C．若 ，则
D．若 ，则
11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 交椭圆于 两点，
则（ ）
A． 的周长为 8
B．若直线 经过点 ，则 的最小值是 1
C．若线段 中点坐标为 ，则直线 的方程为
D．若点 M是椭圆 上的任意一点，点 N是圆 上的任意一点，
则 的最大值为
三、填空题
12. 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为
_____
13. 已知数列 的前 项和为 （ ），满足 （ ）， ，
则 ______.
14. 已知函数 ，若方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围
为____
四、解答题
3 2
15. 已知函数 f（x）＝x＋ax＋bx＋c在 x＝－ 与 x＝1时都取得极值
（1）求 a、b的值与函数 f（x）的单调区间
（2）若对 ，不等式 恒成立，求 c的取值范围.
16. 如图，在正三棱柱 中， 是 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)已知 ，求异面直线 与 所成角的大小．
17. 如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆 E的方程；
（2）若经过点 ，且斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 P，Q（均异
于点 A），证明：直线 AP与 AQ的斜率之和为定值．
18. 记数列 的前 项和为 ，已知
(1)求 的通项公式.
(2)若数列 满足 ，其前 n项和为 .
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
19. 设函数 的定义域为 ，其导函数为 ，区间 是 的一个非空子
集．若对区间 内的任意实数 ，存在实数 ，使得 ，且使得
成立，则称函数 为区间 上的“ 函数”．
(1)判断函数 是否为 上的“ 函数”，并说明理由；
(2)若函数 是 上的“ 函数”．
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）证明： ， ．
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校 2024-2025 学年高二下学期期中数学试题
整体难度：适中
考试范围：平面解析几何、数列、函数与导数、空间向量与立体几何
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 3
较易 7
适中 8
较难 1
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.65 根据抛物线方程求焦点或准线；抛物线的焦半径公式；抛物线定义的理解
2 0.85 等比数列通项公式的基本量计算；求等比数列前 n 项和
函数与导函数图象之间的关系；函数（导函数）图象与极值的关系；函数极值点
3 0.85
的辨析
4 0.94 简单复合函数的导数；求某点处的导数值
5 0.85 累加法求数列通项；构造法求数列通项
6 0.65 已知切线（斜率）求参数；导数的运算法则；求点到直线的距离
7 0.85 用导数判断或证明已知函数的单调性；根据函数的单调性解不等式
8 0.85 求双曲线的离心率或离心率的取值范围
二、多选题
9 0.94 基本初等函数的导数公式；导数的运算法则
等差数列片段和的性质及应用；求等差数列前 n 项和的最值；等差数列通项公
10 0.65
式的基本量计算
用两点间的距离公式求函数最值；由弦中点求弦方程或斜率；椭圆中焦点三角形
11 0.65
的周长问题；椭圆中的通径问题
三、填空题
12 0.94 由函数在区间上的单调性求参数
13 0.85 等差数列通项公式的基本量计算；利用 an 与 sn 关系求通项或项
根据函数零点的个数求参数范围；由导数求函数的最值（不含参）；函数图象的
14 0.65
应用；用导数判断或证明已知函数的单调性
四、解答题
利用导数研究不等式恒成立问题；根据极值点求参数；利用导数求函数的单调区
15 0.65
间（不含参）
16 0.85 证明面面垂直；异面直线夹角的向量求法
17 0.65 根据 a、b、c 求椭圆标准方程；椭圆中的定值问题
18 0.65 错位相减法求和；数列不等式恒成立问题；求等比数列前 n 项和；利用 an 与 sn
关系求通项或项
19 0.4 利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；导数新定义
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 平面解析几何 1,6,8,11,17
2 数列 2,5,10,13,18
3 函数与导数 3,4,6,7,9,12,14,15,19
4 空间向量与立体几何 16
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：