第1章 《因式分解》评价卷
时间:120分钟 满分:150分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(本大题共12题,每题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.下列变形是因式分解的是( )
A.a(x+y)=ax+ay B.6xy2=2x·3y2
C.a2+4a+4=(a+2)2 D.x2-2x+2=(x-1)2+1
2.下列等式由左边至右边的变形中,属于因式分解的是( )
A.x2+3x-1=x(x+3)-1 B.(x+2)(x-2)=x2-4
C.a2-9=(a+3)(a-3) D.a2+4a+4=(a+4)2
3.(2024长沙望城区期末)多项式9a2x2-18a4x3各项的公因式是( )
A.9ax B.9a2x2 C.a2x2 D.9a4x3
4.下列因式分解结果正确的是( )
A.a2+4a=a2(a+4) B.a2-9=(a+9)(a-9)
C.a2-2a+1=(a-1)2 D.a2+2a+4=(a+2)2
5.(2024秦皇岛卢龙期末)下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A.4x2+y2 B.-4x2-y2
C.-4x2+y2 D.-4x+y2
6.将几个图形拼成一个新图形,再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,例如,由图(1)可得等式x2+(p+q)x+pq=
(x+p)(x+q).将若干张图(2)所示的卡片进行拼图,可以将二次三项式a2+3ab+2b2因式分解为( )
A.(a+b)(2a+b) B.(a+2b)(3a+b)
C.(a+b)(a+2b) D.(a+b)(a+3b)
7.如果一个数a=(2n+1)2-(2n-1)2,那么我们称这个数a为“奇差数”.下列数中为“奇差数”的是( )
A.56 B.82 C.94 D.126
8.若m为任意整数,(m+3)2-km2的值总能被3整除,则整数k不能取( )
A.-2 B.0 C.1 D.4
9.我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如由图(1)可以得到a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b).若已知a2+b2+c2=45,ab+bc+ac=38,根据图(2)所表示的数学等式,可得a+b+c的值为( )
A.12 B.11 C.10 D.9
10.(2024上海崇明区期中)如果关于x的二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式,那么a的取值范围是( )
A.0
C.a≥ D.a≤且a≠0
11.(2024浙江期中)已知M是个位数字不为零的两位数,将M的个位数字与十位数字互换后,得到另一个与之不同的两位数N,若M-N恰好是某个整数的平方,则这样的数M共有( )
A.3个 B.5个 C.8个 D.13个
12.(2024重庆期中)已知正整数a,b,c,d满足ad2-c2+b2-a2,下列几个说法:
①a=1,b=2,c=3,d=4是该四元方程的一组解;
②连续的四个正整数一定是该四元方程的解;
③若d≤6,则该四元方程有6组解.
其中错误说法的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题(本大题共4题,每题4分,共16分)
13.因式分解:x2+2x= .
14.(2024亳州蒙城期末)已知ab=2,a+b=3,则a3b+2a2b2+ab3= .
15.(2024潍坊月考)若将(2x)n-625分解成(4x2+25)(2x+5)(2x-5),则n的值是 .
16.(2024淄博)若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式分解因式,则m的值是 .
三、解答题(本大题共9题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(8分)(2024芜湖无为期末)因式分解:x3-4x.
18.(10分)(2024贵州期末)因式分解:
(1)6(x-3)+x(x-3);
(2)m2n-4mn+4n.
19.(10分)(2024漳州龙海区期中)把下列多项式因式分解:
(1)3x(a-b)+2y(b-a);
(2)ab2-2ab+a.
20.(10分)(2024衡阳蒸湘区校级期中)因式分解:
(1)3a4b-27a2b3;
(2)x2-12xy+36y2.
21.(12分)(2024延边期末)如图所示,长方形的长为a,宽为b,已知长比宽多1,且面积为12,求下列各式的值:
(1)a2b-ab2;
(2)3a3b-6a2b2+3ab3.
22.(12分)(2024开封通许期中)阅读下列解题的过程.
因式分解:x4+64
解:x4+64
=x4+16x2+64-16x2
=-16x2
=(x2+8+4x)(x2+8-4x).
请按照上述解题思路完成下列因式分解:
(1)a4+4;
(2)x4-43x2y2+81y4.
23.(12分)(2024南昌东湖区期末)下面有3张卡片,其上分别写有相应的代数式,并且满足:A·B=C(m,n为常数).
(1)求m,n的值;
(2)若x为正整数,说明:代数式B2-2C总能被5整除.
A=x-1 B=2x+m C=2x2+x+n
24.(12分)(2024陇南康县期末)阅读下列材料:
常用的因式分解方法有提公因式法、公式法等,但有的多项式只用上述方法无法分解,如x2-4y2+2x-4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为:
x2-4y2+2x-4y =(x2-4y2)+(2x-4y)…分组 =(x-2y)(x+2y)+2(x-2y)…组内分解因式 =(x-2y)(x+2y+2)…整体思想提公因式
这种因式分解的方法叫分组分解法,利用这种方法解决下列问题.
(1)因式分解:9x2-y2-9x+3y;
(2)已知三角形ABC的三边a,b,c满足a2-b2-ac+bc=0,判断三角形ABC的形状并说明理由.
25.(12分)(2024遵义期末)小梦同学在学习整式的乘法这一章后,对其进行深入探究:若一个正整数能表示成a2+b2(a,b是正整数)的形式,则称这个数为“梦想数”.例如:因为5=22+12,所以5是“梦想数”.
(1)小梦同学发现13是“梦想数”,则13=( )2+( )2;
(2)请你再写两个小于30的“梦想数”(5和13除外): ;
(3)已知M=x2+y2+kx+6y+13(x,y,k是整数),要使M为“梦想数”,求k的值.第1章 《因式分解》评价卷
时间:120分钟 满分:150分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(本大题共12题,每题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.下列变形是因式分解的是(C)
A.a(x+y)=ax+ay B.6xy2=2x·3y2
C.a2+4a+4=(a+2)2 D.x2-2x+2=(x-1)2+1
2.下列等式由左边至右边的变形中,属于因式分解的是(C)
A.x2+3x-1=x(x+3)-1 B.(x+2)(x-2)=x2-4
C.a2-9=(a+3)(a-3) D.a2+4a+4=(a+4)2
3.(2024长沙望城区期末)多项式9a2x2-18a4x3各项的公因式是(B)
A.9ax B.9a2x2 C.a2x2 D.9a4x3
4.下列因式分解结果正确的是(C)
A.a2+4a=a2(a+4) B.a2-9=(a+9)(a-9)
C.a2-2a+1=(a-1)2 D.a2+2a+4=(a+2)2
5.(2024秦皇岛卢龙期末)下列多项式能用平方差公式分解因式的是(C)
A.4x2+y2 B.-4x2-y2
C.-4x2+y2 D.-4x+y2
6.将几个图形拼成一个新图形,再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,例如,由图(1)可得等式x2+(p+q)x+pq=
(x+p)(x+q).将若干张图(2)所示的卡片进行拼图,可以将二次三项式a2+3ab+2b2因式分解为(C)
A.(a+b)(2a+b) B.(a+2b)(3a+b)
C.(a+b)(a+2b) D.(a+b)(a+3b)
7.如果一个数a=(2n+1)2-(2n-1)2,那么我们称这个数a为“奇差数”.下列数中为“奇差数”的是(A)
A.56 B.82 C.94 D.126
8.若m为任意整数,(m+3)2-km2的值总能被3整除,则整数k不能取(B)
A.-2 B.0 C.1 D.4
9.我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如由图(1)可以得到a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b).若已知a2+b2+c2=45,ab+bc+ac=38,根据图(2)所表示的数学等式,可得a+b+c的值为(B)
A.12 B.11 C.10 D.9
10.(2024上海崇明区期中)如果关于x的二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式,那么a的取值范围是(D)
A.0C.a≥ D.a≤且a≠0
11.(2024浙江期中)已知M是个位数字不为零的两位数,将M的个位数字与十位数字互换后,得到另一个与之不同的两位数N,若M-N恰好是某个整数的平方,则这样的数M共有(D)
A.3个 B.5个 C.8个 D.13个
12.(2024重庆期中)已知正整数a,b,c,d满足ad2-c2+b2-a2,下列几个说法:
①a=1,b=2,c=3,d=4是该四元方程的一组解;
②连续的四个正整数一定是该四元方程的解;
③若d≤6,则该四元方程有6组解.
其中错误说法的个数是(A)
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题(本大题共4题,每题4分,共16分)
13.因式分解:x2+2x= x(x+2) .
14.(2024亳州蒙城期末)已知ab=2,a+b=3,则a3b+2a2b2+ab3= 18 .
15.(2024潍坊月考)若将(2x)n-625分解成(4x2+25)(2x+5)(2x-5),则n的值是 4 .
16.(2024淄博)若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式分解因式,则m的值是 ±12 .
三、解答题(本大题共9题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(8分)(2024芜湖无为期末)因式分解:x3-4x.
解:x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2).
18.(10分)(2024贵州期末)因式分解:
(1)6(x-3)+x(x-3);
(2)m2n-4mn+4n.
解:(1)6(x-3)+x(x-3)=(x-3)(6+x).
(2)m2n-4mn+4n=n(m2-4m+4)=n(m-2)2.
19.(10分)(2024漳州龙海区期中)把下列多项式因式分解:
(1)3x(a-b)+2y(b-a);
(2)ab2-2ab+a.
解:(1)3x(a-b)+2y(b-a)=(3x-2y)(a-b).
(2)ab2-2ab+a=a(b2-2b+1)=a(b-1)2.
20.(10分)(2024衡阳蒸湘区校级期中)因式分解:
(1)3a4b-27a2b3;
(2)x2-12xy+36y2.
解:(1)3a4b-27a2b3=3a2b(a2-9b2)=3a2b[a2-(3b)2]=3a2b(a+3b)(a-3b).
(2)x2-12xy+36y2=x2-2·x·6y+(6y)2=(x-6y)2.
21.(12分)(2024延边期末)如图所示,长方形的长为a,宽为b,已知长比宽多1,且面积为12,求下列各式的值:
(1)a2b-ab2;
(2)3a3b-6a2b2+3ab3.
解:根据题意,得a-b=1,ab=12,
(1)a2b-ab2=ab(a-b)=12×1=12.
(2)3a3b-6a2b2+3ab3=3ab(a2-2ab+b2)
=3ab(a-b)2=3×12×12=36.
22.(12分)(2024开封通许期中)阅读下列解题的过程.
因式分解:x4+64
解:x4+64
=x4+16x2+64-16x2
=-16x2
=(x2+8+4x)(x2+8-4x).
请按照上述解题思路完成下列因式分解:
(1)a4+4;
(2)x4-43x2y2+81y4.
解:(1)a4+4
=a4+4a2+4-4a2
=-4a2
=(a2+2a+2)(a2-2a+2).
(2)x4-43x2y2+81y4
=x4-18x2y2+81y4-25x2y2
=-25x2y2
=(x2-9y2+5xy)(x2-9y2-5xy).
23.(12分)(2024南昌东湖区期末)下面有3张卡片,其上分别写有相应的代数式,并且满足:A·B=C(m,n为常数).
(1)求m,n的值;
(2)若x为正整数,说明:代数式B2-2C总能被5整除.
A=x-1 B=2x+m C=2x2+x+n
解:(1)A=x-1,B=2x+m,C=2x2+x+n,
因为A·B=C,
所以(x-1)(2x+m)=2x2+x+n,
2x2+mx-2x-m=2x2+x+n,
2x2+(m-2)x-m=2x2+x+n.
所以由①,得m=3.
把m=3代入②,得n=-3.
所以
(2)由m=3,n=-3,得B=2x+3,C=2x2+x-3.
所以B2-2C
=(2x+3)2-2(2x2+x-3)
=4x2+12x+9-4x2-2x+6
=10x+15
=5(2x+3).
因为x为正整数,
所以2x+3为整数.
所以代数式B2-2C总能被5整除.
24.(12分)(2024陇南康县期末)阅读下列材料:
常用的因式分解方法有提公因式法、公式法等,但有的多项式只用上述方法无法分解,如x2-4y2+2x-4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为:
x2-4y2+2x-4y =(x2-4y2)+(2x-4y)…分组 =(x-2y)(x+2y)+2(x-2y)…组内分解因式 =(x-2y)(x+2y+2)…整体思想提公因式
这种因式分解的方法叫分组分解法,利用这种方法解决下列问题.
(1)因式分解:9x2-y2-9x+3y;
(2)已知三角形ABC的三边a,b,c满足a2-b2-ac+bc=0,判断三角形ABC的形状并说明理由.
解:(1)9x2-y2-9x+3y
=(9x2-y2)+(-9x+3y)
=(3x+y)(3x-y)-3(3x-y)
=(3x-y)(3x+y-3).
(2)三角形ABC为等腰三角形.理由如下:
因为a2-b2-ac+bc=0,
所以(a+b)(a-b)-c(a-b)=0.
所以(a-b)(a+b-c)=0.
所以a-b=0或a+b-c=0.
因为三角形ABC三边a,b,c都大于0,
所以a+b-c>0.
所以a-b=0,即a=b.
所以三角形ABC为等腰三角形.
25.(12分)(2024遵义期末)小梦同学在学习整式的乘法这一章后,对其进行深入探究:若一个正整数能表示成a2+b2(a,b是正整数)的形式,则称这个数为“梦想数”.例如:因为5=22+12,所以5是“梦想数”.
(1)小梦同学发现13是“梦想数”,则13=( )2+( )2;
(2)请你再写两个小于30的“梦想数”(5和13除外): ;
(3)已知M=x2+y2+kx+6y+13(x,y,k是整数),要使M为“梦想数”,求k的值.
解:(1)2 3
(2)10,25
(3)M=x2+y2+kx+6y+13(x,y,k是整数),
M=x2+kx+4+(y+3)2,
所以k=4时,M=(x+2)2+(y+3)2,此时M是“梦想数”.
k=-4时,M=(x-2)2+(y+3)2,此时M是“梦想数”.
所以要使M为“梦想数”,k的值是±4.