第4章 《三角形》评价卷
时间:120分钟 满分:150分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(本大题共12题,每题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.下列4组线段①5,5,10;②4,5,6;③4,4,4;④3,4,6能组成三角形的有(B)
A.4组 B.3组
C.2组 D.1组
2.(2024贵阳期末)小红想将一个等边三角形沿着图中的虚线剪下得到几个全等三角形,下列操作中沿虚线剪下得到的三角形是全等图形的是(C)
3.在△ABC内找一点P,使P到A,C两点的距离相等,并且P到AC的距离等于P到BC的距离.如图所示尺规作图正确的是(D)
4.(2024衡阳衡山期中)如图所示,AB=AC,添加下列一个条件后,仍无法确定△ABE≌△ACD的是(B)
A.∠B=∠C B.BE=CD
C.BD=CE D.∠ADC=∠AEB
5.如图所示,△ABC≌△A1B1C,若∠A=55°,∠A1B1C=40°,∠ACB1=65°,则∠α的度数是(C)
A.15° B.25° C.20° D.10°
6.下列命题的逆命题是假命题的是(D)
A.直角三角形的两个锐角互余
B.两直线平行,内错角相等
C.三条边对应相等的两个三角形是全等三角形
D.若x=y,则x2=y2
7.如图所示,AD是△ABC的边BC上的中线,AB=7,AC=5,则AD的值可以是(A)
A.5 B.6 C.7 D.8
8.如图所示,已知长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是其四条边的中点,为了稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在(D)
A.A,C两点处 B.B,E两点处
C.G,F两点处 D.E,G两点处
9.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为(C)
A.6 B.10 C.11 D.16
10.(2024衡阳月考)如图所示,在△ABC中,∠ABC=52°,点P 为△ABC内一点,过点P的直线MN分别交AB,BC于点M,N,若M在PA的垂直平分线上,N在PC的垂直平分线上,则∠APC的度数为(B)
A.115° B.116° C.117° D.118°
11.(2024邵阳新邵期中)如图(1),(2),(3)中,∠A=42°,∠1=∠2,
∠3=∠4,则∠O1+∠O2+∠O3等于(D)
A.84° B.111°
C.225° D.201°
12.如图所示,在格点中找一点C,使得△ABC是等腰三角形,且AB为其中一条腰,这样的点C个数为(B)
A.8 B.9
C.10 D.11
二、填空题(本大题共4题,每题4分,共16分)
13.已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,c为奇数,则 c= 7 .
14.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=54°,以点C为圆心,CA长为半径作弧交AB于点D,分别以点A和点D为圆心,大于AD长为半径作弧,两弧相交于点E,作直线CE,交AB于点F,则∠ACF的度数是 18° .
15.如图所示,AD是△ABC的中线,AB=8 cm,△ABD与△ACD周长差为
2 cm,则AC= 6 cm.
16.如图所示,在△ABC中,∠A=64°,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,……以此类推,则∠A4=
4° .
三、解答题(本大题共9题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知三角形的两边长为4和6,第三条边长x最小.
(1)求x的取值范围.
(2)当x为何值时,组成三角形周长最大 最大值是多少
解:(1)由三角形的构造条件,得2因为x为最小,
所以x的取值范围是2(2)当x=4时,组成三角形的周长最大,最大值是4+6+4=14.
18.(10分)命题:全等三角形的对应边上的高相等.
(1)写成“如果……,那么……”:
;
(2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程.
解:(1)如果两条线段是全等三角形对应边上的高,那么这两条线段
相等
(2)已知:如题图所示,
△ABC≌△A′B′C′,AD⊥BC,A′D′⊥B′C′.
求证:AD=A′D′.
证明:因为△ABC≌△A′B′C′,
所以AB=A′B′,∠B=∠B′.
因为AD⊥BC,A′D′⊥B′C′,
所以∠ADB=∠A′D′B′=90°.
在△ABD和△A′B′D′中,
所以△ABD≌△A′B′D′(角角边).
所以AD=A′D′.
19.(10分)请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:如图所示,∠O及其一边上的两点A,B.
求作:Rt△ABC,使∠C=90°,且点C在∠O内部,∠BAC=∠O.
解:如图所示,Rt△ABC为所作.
20.(10分)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,延长BC到点D,使得CD=CA,连接AD,若∠D=25°,求∠BAC的度数.
解:因为CD=CA,∠D=25°,
所以∠BCA=2∠D=50°.
因为AB=AC,
所以∠B=∠BCA=50°.
所以∠BAC=180°-∠B-∠BCA=80°.
21.(10分)如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠ABC=70°,△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延长线于点E.
(1)求∠BCE的度数;
(2)过点D作DF∥CE,交AB的延长线于点F,求∠F的度数.
解:(1)因为∠A=30°,∠ABC=70°,
所以∠BCD=∠A+∠ABC=100°.
因为CE是∠BCD的平分线,
所以∠BCE=∠BCD=50°.
(2)因为∠BCE=50°,∠ABC=70°,
所以∠BEC=∠ABC-∠BCE=20°.
因为DF∥CE,
所以∠F=∠BEC=20°.
22.(12分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于点F,交BC于点M.
(1)∠ADE的度数为 ;
(2)求证:△ADF是等边三角形.
(1)15°
(2)证明:因为CD的垂直平分线MF交AC于点F,交BC于点M,
所以DF=CF.
因为∠BAC=120°,AB=AC,
所以∠C=30°.
所以∠FDC=∠C=30°.
所以∠AFD=∠C+∠FDC=60°.
因为AD⊥BC,AB=AC,∠BAC=120°,
所以∠DAF=∠BAC=60°.
所以∠ADF=60°,
即∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°.
所以△ADF是等边三角形.
23.(12分)(2024铜仁石阡期中)如图所示,在△ABC中,AB边的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,AC边的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E,MD,NE的延长线交于点O,连接AD,AE,BO,CO.
(1)若BC=12,求△ADE的周长;
(2)若∠BAC=110°,求∠BOC的度数.
解:(1)因为DM是边AB的垂直平分线,EN是边AC的垂直平分线,
所以AD=BD,AE=CE.
因为BC=12,
所以△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=12.
(2)如图所示,连接AO,
因为OM,ON分别垂直平分AB,AC,
所以OB=OA,OC=OA.
所以∠BOM=∠AOM,
∠CON=∠AON.
因为OM⊥AB,ON⊥AC,
所以∠AMO=∠ANO=90°.
因为∠BAC=110°,
所以∠MON=360°-90°-90°-110°=70°.
所以∠BOC=∠BOM+∠AOM+∠AON+∠CON=2∠MON=2×70°=140°.
所以∠BOC的度数为140°.
24.(12分)[问题情境] 如图(1)所示,∠AOB=90°,OC平分∠AOB,把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上,并使三角尺的两条直角边分别与OA,OB相交于点E,F,PE与PF相等吗 请你给出证明.
[变式拓展] 如图(2)所示,已知∠AOB=120°,OC平分∠AOB,P是OC上一点,∠EPF=60°,PE边与OA边相交于点E,PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试回答问题:PE与PF还相等吗 为什么
解:[问题情境]
结论:PF=PE.证明如下:
如图①所示,过点P作PM⊥OB于点M,PN⊥OA于点N.
因为OC平分∠AOB,PM⊥OB,PN⊥OA,
所以∠NOP=∠MOP,∠PNO=∠PMO.
又因为OP=OP,
所以△NOP≌△MOP(角角边).
所以PM=PN.
因为∠PMO=∠PNO=∠MON=90°,
所以∠MPN=360°-3×90°=90°.
所以∠MPN=∠EPF=90°.
所以∠MPF=∠NPE.
所以△PMF≌△PNE(角边角).
所以PF=PE.
[变式拓展]
结论:PF=PE.理由如下:
如图②所示,过点P作PM⊥OB于点M,PN⊥OA于点N.
由(1)同理可得PM=PN.
因为∠PMO=∠PNO=90°,∠MON=120°,
所以∠MPN=360°-2×90°-120°=60°.
所以∠MPN=∠EPF=60°.
所以∠MPF=∠NPE.
所以△PMF≌△PNE(角边角).
所以PF=PE.
25.(12分)在△ABC中,AE平分∠BAC,∠B=40°,∠C=70°,F为射线AE上一点(不与点E重合),且FD⊥BC.
(1)若点F与点A重合,如图(1)所示,求∠EFD的度数.
(2)若点F(不与点A重合)在线段AE上,如图(2)所示,求∠EFD的
度数.
(3)若点F在△ABC外部,如图(3)所示,此时∠EFD的度数会变吗 是
多少
解:(1)因为∠B=40°,∠C=70°,
所以∠BAC=70°.
又因为AE平分∠BAC,
所以∠BAE=35°.
所以∠AED=∠B+∠BAE=75°.
又因为AD⊥BC,
所以∠ADE=90°.
所以在Rt△FED中,
∠EFD=90°-75°=15°.
(2)由(1),知∠BAE=35°,∠FDE=90°,
所以∠FED=∠B+∠BAE=75°.
所以在Rt△FED中,
∠EFD=90°-75°=15°.
(3)不会变.∠EFD为15°.
由(1),知∠AEC=75°,
所以∠DEF=75°.
所以在Rt△EDF中,
∠EFD=90°-75°=15°.
所以点F在△ABC外部时,
∠EFD的度数不会变,是15°.第4章 《三角形》评价卷
时间:120分钟 满分:150分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(本大题共12题,每题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.下列4组线段①5,5,10;②4,5,6;③4,4,4;④3,4,6能组成三角形的有( )
A.4组 B.3组
C.2组 D.1组
2.(2024贵阳期末)小红想将一个等边三角形沿着图中的虚线剪下得到几个全等三角形,下列操作中沿虚线剪下得到的三角形是全等图形的是( )
3.在△ABC内找一点P,使P到A,C两点的距离相等,并且P到AC的距离等于P到BC的距离.如图所示尺规作图正确的是( )
4.(2024衡阳衡山期中)如图所示,AB=AC,添加下列一个条件后,仍无法确定△ABE≌△ACD的是( )
A.∠B=∠C B.BE=CD
C.BD=CE D.∠ADC=∠AEB
5.如图所示,△ABC≌△A1B1C,若∠A=55°,∠A1B1C=40°,∠ACB1=65°,则∠α的度数是( )
A.15° B.25° C.20° D.10°
6.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A.直角三角形的两个锐角互余
B.两直线平行,内错角相等
C.三条边对应相等的两个三角形是全等三角形
D.若x=y,则x2=y2
7.如图所示,AD是△ABC的边BC上的中线,AB=7,AC=5,则AD的值可以是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
8.如图所示,已知长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是其四条边的中点,为了稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在( )
A.A,C两点处 B.B,E两点处
C.G,F两点处 D.E,G两点处
9.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为( )
A.6 B.10 C.11 D.16
10.(2024衡阳月考)如图所示,在△ABC中,∠ABC=52°,点P 为△ABC内一点,过点P的直线MN分别交AB,BC于点M,N,若M在PA的垂直平分线上,N在PC的垂直平分线上,则∠APC的度数为( )
A.115° B.116° C.117° D.118°
11.(2024邵阳新邵期中)如图(1),(2),(3)中,∠A=42°,∠1=∠2,
∠3=∠4,则∠O1+∠O2+∠O3等于( )
A.84° B.111°
C.225° D.201°
12.如图所示,在格点中找一点C,使得△ABC是等腰三角形,且AB为其中一条腰,这样的点C个数为( )
A.8 B.9
C.10 D.11
二、填空题(本大题共4题,每题4分,共16分)
13.已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,c为奇数,则 c= .
14.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=54°,以点C为圆心,CA长为半径作弧交AB于点D,分别以点A和点D为圆心,大于AD长为半径作弧,两弧相交于点E,作直线CE,交AB于点F,则∠ACF的度数是 .
15.如图所示,AD是△ABC的中线,AB=8 cm,△ABD与△ACD周长差为
2 cm,则AC= cm.
16.如图所示,在△ABC中,∠A=64°,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,……以此类推,则∠A4=
.
三、解答题(本大题共9题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知三角形的两边长为4和6,第三条边长x最小.
(1)求x的取值范围.
(2)当x为何值时,组成三角形周长最大 最大值是多少
18.(10分)命题:全等三角形的对应边上的高相等.
(1)写成“如果……,那么……”:
;
(2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程.
19.(10分)请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:如图所示,∠O及其一边上的两点A,B.
求作:Rt△ABC,使∠C=90°,且点C在∠O内部,∠BAC=∠O.
20.(10分)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,延长BC到点D,使得CD=CA,连接AD,若∠D=25°,求∠BAC的度数.
21.(10分)如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠ABC=70°,△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延长线于点E.
(1)求∠BCE的度数;
(2)过点D作DF∥CE,交AB的延长线于点F,求∠F的度数.
22.(12分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于点F,交BC于点M.
(1)∠ADE的度数为 ;
(2)求证:△ADF是等边三角形.
23.(12分)(2024铜仁石阡期中)如图所示,在△ABC中,AB边的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,AC边的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E,MD,NE的延长线交于点O,连接AD,AE,BO,CO.
(1)若BC=12,求△ADE的周长;
(2)若∠BAC=110°,求∠BOC的度数.
24.(12分)[问题情境] 如图(1)所示,∠AOB=90°,OC平分∠AOB,把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上,并使三角尺的两条直角边分别与OA,OB相交于点E,F,PE与PF相等吗 请你给出证明.
[变式拓展] 如图(2)所示,已知∠AOB=120°,OC平分∠AOB,P是OC上一点,∠EPF=60°,PE边与OA边相交于点E,PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试回答问题:PE与PF还相等吗 为什么
25.(12分)在△ABC中,AE平分∠BAC,∠B=40°,∠C=70°,F为射线AE上一点(不与点E重合),且FD⊥BC.
(1)若点F与点A重合,如图(1)所示,求∠EFD的度数.
(2)若点F(不与点A重合)在线段AE上,如图(2)所示,求∠EFD的
度数.
(3)若点F在△ABC外部,如图(3)所示,此时∠EFD的度数会变吗 是
多少
