第5章 《直角三角形》评价卷
时间:120分钟 满分:150分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(本大题共12题,每题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=56°,则∠A的度数为( )
A.34° B.44° C.124° D.134°
2.下列说法不正确的是( )
A.有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等
B.有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D.有一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在边AC上点E处,若∠B=65°,则∠ADE的度数为( )
A.40° B.50° C.65° D.75°
4.如图所示,直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点C在直线a上,若∠1=
36°,则∠2等于( )
A.36° B.48° C.54° D.64°
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BP平分∠ABC,
BP=CP=2,则AB的长为( )
A.4 B.6 C.4 D.4
6.如图所示,已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,CE为△ABC的角平分线,EF∥AC,则EF的长度是( )
A. B. C. D.4
7.如图所示,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB的值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
8.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=4,点P在边AB上,PD⊥BC,DE⊥AC,垂足分别为D,E,设PA=x,若用含x的式子表示AE的长,正确的是( )
A.2-x B.3-x C.1+x D.2+x
9.如图所示,一座金字塔被发现时,顶部已经荡然无存,但底部未曾受损.已知该金字塔的下底面是一个边长为 120 m 的正方形,且每一个侧面与地面成60°角,则金字塔原来的高度为( )
A.120 m B.60 m C.60 m D.120 m
10.如图所示,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm,底面周长为10 cm,在容器内壁离容器底部3 cm 的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是( )
A.11 cm B.12 cm C.13 cm D. cm
11.如图所示,以直角三角形a,b,c为边,向外作半圆、等腰直角三角形和正方形,这三种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
12.如图所示,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ABC=45°,E是BD的中点,BD=8,则△AEC的面积为( )
A.8 B.16 C.8 D.16
二、填空题(本大题共4题,每题4分,共16分)
13.如果一个三角形的三边长分别为3,4,5,那么其面积为 .
14.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm,得到△A′B′C′,连接CC′,则四边形
AB′C′C的周长为 cm.
15.如图所示,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,点E是CD中点,若BC=5,
AD=10,BE=,则AB的长是 .
16.勾股定理最早出现在《周髀算经》:“勾广三,股修四,径隅五”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为
2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为
2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 (结果用含m的式子表示).
三、解答题(本大题共9题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图所示,在三角形ABC中,∠ACB=90°,过点C作CD∥AB,BD平分∠ABC,若∠A=50°,求∠D的度数.
18.(10分)若△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则
△ABC的形状是什么
19.(10分)(2024益阳期末)如图所示,点C,E,B,F在一条直线上,AB⊥CF于点B,DE⊥CF于点E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF.
20.(10分)如图所示,在△ABE和△ACF中,∠E=∠F=90°,AB=AC,
BE=CF.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)试判断线段BN与CM的数量关系,并加以证明.
21.(10分)(2024铜仁石阡校级月考)如图所示,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10 cm,BC=5 cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC的什么位置时△ABC才能和△APQ全等.
22.(12分)(2024衡阳珠晖区校级期末)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,AE为△ABC的角平分线,点F是BC边的中点,已知△AFC的面积为12,AD=3,∠DAE=10°,∠C=30°.
(1)求BC的长度;
(2)求∠B的度数.
23.(12分)如图所示,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连接AE.
(1)求证:∠AEC=∠C;
(2)求证:BD=2AC;
(3)若AE=6.5,AD=5,则△ABE的周长为 .
24.(12分)如图所示,在△ABC中,PE垂直平分BC,交BC于点E,AP平分△BAC的外角∠BAD,PG⊥AD,垂足为G,PH⊥AB,垂足为H.
(1)求证:∠PBH=∠PCG;
(2)如果∠BAC=90°,求证:点E在AP的垂直平分线上.
25.(12分)在△ABC中,∠ACB=90°,D为△ABC内一点,连接BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.
(1)如图(1)所示,延长BC到点F,使得CF=BC,连接AF,EF.若AF⊥EF,求证:BD⊥AF;
(2)连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图(2).若AB2=
AE2+BD2,求证:AB2=AH2+BH2.第5章 《直角三角形》评价卷
时间:120分钟 满分:150分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(本大题共12题,每题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=56°,则∠A的度数为(A)
A.34° B.44° C.124° D.134°
2.下列说法不正确的是(C)
A.有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等
B.有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D.有一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在边AC上点E处,若∠B=65°,则∠ADE的度数为(A)
A.40° B.50° C.65° D.75°
4.如图所示,直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点C在直线a上,若∠1=
36°,则∠2等于(C)
A.36° B.48° C.54° D.64°
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BP平分∠ABC,
BP=CP=2,则AB的长为(A)
A.4 B.6 C.4 D.4
6.如图所示,已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,CE为△ABC的角平分线,EF∥AC,则EF的长度是(B)
A. B. C. D.4
7.如图所示,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB的值为(C)
A.3 B.5 C.7 D.9
8.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=4,点P在边AB上,PD⊥BC,DE⊥AC,垂足分别为D,E,设PA=x,若用含x的式子表示AE的长,正确的是(B)
A.2-x B.3-x C.1+x D.2+x
9.如图所示,一座金字塔被发现时,顶部已经荡然无存,但底部未曾受损.已知该金字塔的下底面是一个边长为 120 m 的正方形,且每一个侧面与地面成60°角,则金字塔原来的高度为(B)
A.120 m B.60 m C.60 m D.120 m
10.如图所示,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm,底面周长为10 cm,在容器内壁离容器底部3 cm 的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是(C)
A.11 cm B.12 cm C.13 cm D. cm
11.如图所示,以直角三角形a,b,c为边,向外作半圆、等腰直角三角形和正方形,这三种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形有(A)
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
12.如图所示,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ABC=45°,E是BD的中点,BD=8,则△AEC的面积为(C)
A.8 B.16 C.8 D.16
二、填空题(本大题共4题,每题4分,共16分)
13.如果一个三角形的三边长分别为3,4,5,那么其面积为 6 .
14.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm,得到△A′B′C′,连接CC′,则四边形
AB′C′C的周长为 (8+2) cm.
15.如图所示,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,点E是CD中点,若BC=5,
AD=10,BE=,则AB的长是 12 .
16.勾股定理最早出现在《周髀算经》:“勾广三,股修四,径隅五”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为
2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为
2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 m2+1 (结果用含m的式子表示).
三、解答题(本大题共9题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图所示,在三角形ABC中,∠ACB=90°,过点C作CD∥AB,BD平分∠ABC,若∠A=50°,求∠D的度数.
解:因为∠ACB=90°,∠A=50°,所以∠ABC=90°-50°=40°.
因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC=20°.
因为CD∥AB,所以∠D=∠ABD=20°.
18.(10分)若△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则
△ABC的形状是什么
解:因为a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,
所以a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0.
即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.所以a=3,b=4,c=5.
因为32+42=52,即a2+b2=c2.
所以△ABC的形状是直角三角形.
19.(10分)(2024益阳期末)如图所示,点C,E,B,F在一条直线上,AB⊥CF于点B,DE⊥CF于点E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF.
证明:因为AB⊥CF,DE⊥CF,
所以∠ABC=∠DEF=90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
所以Rt△ABC≌Rt△DEF(斜边、直角边).
所以BC=EF.所以BC-BE=EF-BE.
即CE=BF.
20.(10分)如图所示,在△ABE和△ACF中,∠E=∠F=90°,AB=AC,
BE=CF.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)试判断线段BN与CM的数量关系,并加以证明.
(1)证明:在Rt△ABE和Rt△ACF中,
所以Rt△ABE≌Rt△ACF(斜边、直角边).
所以∠BAE=∠CAF,即∠1+∠3=∠2+∠3.
所以∠1=∠2.
(2)解:BN=CM.理由如下:
因为Rt△ABE≌Rt△ACF,所以AE=AF.
在△AEM和△AFN中,
所以△AEM≌△AFN(角边角).所以AM=AN.
因为CM=AC-AM,BN=AB-AN,所以BN=CM.
21.(10分)(2024铜仁石阡校级月考)如图所示,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10 cm,BC=5 cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC的什么位置时△ABC才能和△APQ全等.
解:根据三角形全等的判定方法斜边、直角边可知:
①当点P运动到AC的中点时,
因为∠C=∠QAP=90°,
在Rt△ABC与Rt△QPA中,
所以Rt△ABC≌Rt△QPA(斜边、直角边).
即AP=BC=5 cm.所以当点P运动到AC的中点时,△ABC才能和△APQ全等.
②当点P运动到与点C重合时,AP=AC,
在Rt△ABC与Rt△QPA中,
所以Rt△QAP≌Rt△BCA(斜边、直角边).
即AP=AC=10 cm.
所以当点P运动到与点C重合时,△ABC才能和△APQ全等.
综上所述,当点P运动到AC的中点时或当点P运动到与点C重合时,△ABC才能和△APQ全等.
22.(12分)(2024衡阳珠晖区校级期末)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,AE为△ABC的角平分线,点F是BC边的中点,已知△AFC的面积为12,AD=3,∠DAE=10°,∠C=30°.
(1)求BC的长度;
(2)求∠B的度数.
解:(1)因为AF是△ABC的中线,
所以BC=2BF=2CF,BF=CF.
所以△ABF和△ACF的面积相等.
因为△AFC的面积为12,所以△ABF的面积为12,
因为AD=3,所以·BF×3=12.
所以BF=8.所以BC=2BF=16.
(2)因为AD是△ABC的高,所以∠ADC=90°.
因为∠DAE=10°,所以∠AED=180°-90°-10°=80°.
因为∠C=30°,所以∠CAE=∠AED-∠C=50°.
因为AE是△ABC的角平分线,
所以∠BAC=2∠CAE=100°.
所以∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-100°-30°=50°.
23.(12分)如图所示,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连接AE.
(1)求证:∠AEC=∠C;
(2)求证:BD=2AC;
(3)若AE=6.5,AD=5,则△ABE的周长为 .
(1)证明:因为AD⊥AB,所以△ABD为直角三角形.
又因为点E是BD的中点,所以AE=BD.
又因为BE=BD,所以AE=BE.所以∠B=∠BAE.
又因为∠AEC=∠B+∠BAE,所以∠AEC=2∠B.
又因为∠C=2∠B,所以∠AEC=∠C.
(2)证明:由(1),知AE=AC.
又因为AE=BD,所以BD=AC.所以BD=2AC.
(3)25
24.(12分)如图所示,在△ABC中,PE垂直平分BC,交BC于点E,AP平分△BAC的外角∠BAD,PG⊥AD,垂足为G,PH⊥AB,垂足为H.
(1)求证:∠PBH=∠PCG;
(2)如果∠BAC=90°,求证:点E在AP的垂直平分线上.
证明:(1)因为AP平分△BAC的外角∠BAD,PG⊥AD,PH⊥AB,所以PH=PG.
因为PE垂直平分BC,所以PB=PC.
在Rt△PBH和Rt△PCG中,
所以Rt△PBH≌Rt△PCG(斜边、直角边).
所以∠PBH=∠PCG.
(2)如图所示,连接AE.
因为∠BAC=90°,
所以∠ABC+∠ACB=90°.
因为∠PBH=∠PCG,
所以∠PBH+∠ABC+∠PCB=∠PBC+∠PCB=90°.
所以∠BPC=90°.
因为PE垂直平分BC,所以△PBC是等腰直角三角形.
所以PE=BC.
又因为AE=BC.
所以PE=AE.所以点E在AP的垂直平分线上.
25.(12分)在△ABC中,∠ACB=90°,D为△ABC内一点,连接BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.
(1)如图(1)所示,延长BC到点F,使得CF=BC,连接AF,EF.若AF⊥EF,求证:BD⊥AF;
(2)连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图(2).若AB2=
AE2+BD2,求证:AB2=AH2+BH2.
证明:(1)在△BCD和△FCE中,
所以△BCD≌△FCE(边角边).所以∠DBC=∠EFC.所以BD∥EF.
因为AF⊥EF,所以BD⊥AF.
(2)由题意补全图形如图所示:
延长BC到F,使CF=BC,连接AF,EF,
因为AC⊥BF,BC=CF,所以AB=AF.
由(1)可知,BD∥EF,BD=EF,
因为AB2=AE2+BD2,
所以AF2=AE2+EF2.
所以∠AEF=90°.所以AE⊥EF.所以BD⊥AE.
所以∠AHB=90°.所以AB2=AH2+BH2.
