1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义
[学习目标] 1．通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的“属于”关系．(数学抽象) 2．能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题．(数学运算) 3．掌握常用数集的表示符号并会应用．(数学抽象)
探究1 元素与集合的基本概念
问题1 阅读下面的例子，思考并回答提出的问题：
①1～10之间的所有奇数；
②某校今年入学的高一学生；
③所有的平行四边形；
④到定点O的距离等于2的所有点．
(1)以上例子中，我们研究的对象分别是什么？
(2)上述实例①③④有什么共同的特点？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
1．元素：一般地，我们把________统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素组成的____叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
探究2 集合中元素的特征
问题2 英文单词book的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？
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____________________________________________________________________
____________________________________________________________________问题3 分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有什么关系？集合中的元素有没有先后顺序？
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____________________________________________________________________ [新知生成]
1．集合中元素的特征：______，______，______．
2．集合相等：只要构成两个集合的元素是______，我们就称这两个集合是相等的．
[典例讲评] 1．(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是( )
A．中国古代四大发明
B．地球上的小河流
C．方程x2－1＝0的实数根
D．自然数
(2)集合M中含有两个元素3和－1，集合N中含有两个元素－1和m2－2m，若集合M与N相等，则m＝________．
[尝试解答] _________________________________________________________
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____________________________________________________________________
[母题探究] 若将本例(2)改为“若集合N中含有两个元素－1和m2－2m”，求m的取值范围．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性．
(2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性．
[学以致用] 【链接教材P5练习T1】
1．下列元素的全体可以组成集合的是( )
A．人口密度大的国家
B．所有美丽的城市
C．太阳系内的所有行星
D．优秀的高中生
探究3 元素与集合的关系
问题4 若集合A是由小于10的质数构成的集合，则2和4与集合A是什么关系？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [新知生成]
1．元素和集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素 ____ a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素 ____ a不属于集合A
2．常用数集及其记法
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N ___或___ Z _ R
[典例讲评] 【链接教材P5练习T2】
2．(1)用符号“∈”或“ ”填空：
________N；________N*；________Z；－________Q；3．________Q；________R．
(2)已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为________．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
判断元素与集合关系的2种方法
直接法 判断该元素在已知集合中是否出现即可
推理法 判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可
[学以致用] 2．(1)(多选)下列结论中，正确的是( )
A．若a∈N，则 N
B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q
D．若a∈R，则∈R
(2)若集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，则实数a的取值范围是__________．
1．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中的元素个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
2．(多选)下列关系中，正确的有( )
A．∈R B． Q
C．|－3|∈N D．∈Q
3．设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则实数x＝________，y＝________．
4．给出下列说法：
①某校高一年级的数学教师组成一个集合；
②由－1，0，1，，3，－3组成的集合中有8个元素；
③由a，b，c组成的集合与由c，b，a组成的集合是不相同的．
其中不正确的是________(填序号)．
1．知识链：
2．方法链：直接法、推理法．
3．警示牌：(1)自然数集中容易遗忘0这个元素．
(2)集合中忽略互异性的判断．
第1课时 集合的含义
[探究建构] 探究1
问题1 提示：(1)①1，3，5，7，9；②某校今年入学的每一位高一学生；③平行四边形；④以O为圆心，以2为半径的圆．
(2)实例①③④中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体．
新知生成 1．研究对象
2．总体
探究2
问题2 提示：能．因为集合中的元素是确定的(确定性)；三个元素．因为集合中的元素是互不相同的(互异性)．
问题3 提示：两个集合相等．集合中的元素没有先后顺序(无序性)．
新知生成1．确定性 互异性 无序性
2．一样的
典例讲评 1．(1)ACD (2)－1或3 [(1)A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；B中，地球上的小河流不满足集合元素的确定性，因此不能构成集合；C中，方程x2－1＝0的实数根为－1和1，能构成集合；D中，自然数具有确定性，能构成集合．
(2)由题意得m2－2m＝3，所以m＝－1或3．]
母题探究 解：由元素是互不相同的，得m2－2m≠－1，即m≠1．
学以致用 1．C [由题意，选项ABD中的元素都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合．故选C．]
探究3
问题4 提示：2是集合A中的元素，4不是集合A中的元素．
新知生成 1．a∈A a A
2．N* N+ Q
典例讲评 2．(1)∈ ∈ ∈ ∈ ∈ (2)a>－4 [(1)2是自然数；|－10|＝10是正整数；0.2不是整数，不属于整数集；－是有理数；3．是无限循环小数，是有理数；是无理数，属于实数集．
(2)因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4．]
学以致用 2．(1)BC (2)a2 [(1)A不正确，如a＝1∈N，1∈N；D不正确，如a＝－1∈R，无意义；B，C都正确．
(2)∵集合A是不等式x－a>0的解集，
且2 A，∴2－a0，即a2．]
[应用迁移]
1．B [由题意可知，集合A中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个．故选B．]
2．AC [是实数，2是有理数，|－3|＝3是非负整数，|－是无理数．因此AC正确，BD错误．故选AC．]
3．1 0 [由题意得
又当x＝y＝0时，不满足集合元素的互异性，所以x＝1，y＝0．]
4．②③ [①根据集合元素的特征可判断某校高一年级的数学教师具有确定性，能组成一个集合，故①正确；
②，3，由集合中元素的互异性知，这个集合中有6个元素，故②不正确；
③两个集合中的元素相同，只是排列顺序不同，由集合中元素的无序性知，它们表示同一个集合，故③不正确．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义
[学习目标] 1．通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的“属于”关系．(数学抽象) 2．能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题．(数学运算) 3．掌握常用数集的表示符号并会应用．(数学抽象)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．你能举例说出初中阶段我们在代数方面学习过的集合吗？
问题2．怎样的对象全体可以构成一个集合？
问题3．集合中的元素具有哪些特征？
问题4．元素和集合之间有哪两种关系？
问题5．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？
探究建构 关键能力达成
探究1 元素与集合的基本概念
问题1 阅读下面的例子，思考并回答提出的问题：
①1～10之间的所有奇数；
②某校今年入学的高一学生；
③所有的平行四边形；
④到定点O的距离等于2的所有点．
(1)以上例子中，我们研究的对象分别是什么？
(2)上述实例①③④有什么共同的特点？
提示：(1)①1，3，5，7，9；②某校今年入学的每一位高一学生；③平行四边形；④以O为圆心，以2为半径的圆．
(2)实例①③④中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体．
[新知生成]
1．元素：一般地，我们把________统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素组成的____叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
研究对象
总体
【教用·微提醒】 组成集合的对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等．
探究2 集合中元素的特征
问题2 英文单词book的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？
提示：能．因为集合中的元素是确定的(确定性)；三个元素．因为集合中的元素是互不相同的(互异性)．
问题3 分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有什么关系？集合中的元素有没有先后顺序？
提示：两个集合相等．集合中的元素没有先后顺序(无序性)．
[新知生成]
1．集合中元素的特征：______，______，______．
2．集合相等：只要构成两个集合的元素是______，我们就称这两个集合是相等的．
确定性
互异性
无序性
一样的
【教用·微提醒】 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关．
[典例讲评] 1．(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是( )
A．中国古代四大发明
B．地球上的小河流
C．方程x2－1＝0的实数根
D．自然数
(2)集合M中含有两个元素3和－1，集合N中含有两个元素－1和m2－2m，若集合M与N相等，则m＝________．
√
√
√
－1或3
(1)ACD (2)－1或3 [(1)A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；B中，地球上的小河流不满足集合元素的确定性，因此不能构成集合；C中，方程x2－1＝0的实数根为－1和1，能构成集合；D中，自然数具有确定性，能构成集合．
(2)由题意得m2－2m＝3，所以m＝－1或3．]
[母题探究] 若将本例(2)改为“若集合N中含有两个元素－1和m2－2m”，求m的取值范围．
[解] 由元素是互不相同的，得m2－2m≠－1，即m≠1．
反思领悟 (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性．
(2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性．
[学以致用] 【链接教材P5练习T1】
1．下列元素的全体可以组成集合的是( )
A．人口密度大的国家
B．所有美丽的城市
C．太阳系内的所有行星
D．优秀的高中生
√
C [由题意，选项ABD中的元素都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合．故选C．]
【教材原题·P5练习T1】
1．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)A，B是平面α内的定点，在平面α内与A，B等距离的点；
(2)高中学生中的游泳能手．
[解] (1)与定点A，B等距离的所有点可以组成集合，因为这些点是确定的．
(2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．
探究3 元素与集合的关系
问题4 若集合A是由小于10的质数构成的集合，则2和4与集合A是什么关系？
提示：2是集合A中的元素，4不是集合A中的元素．
[新知生成]
1．元素和集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素 ______ a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素 ______ a不属于集合A
a∈A
a A
2．常用数集及其记法
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N ___或___ Z ___ R
【教用·微提醒】 0是自然数，0∈N．
N*
N+
Q
[典例讲评] 【链接教材P5练习T2】
2．(1)用符号“∈”或“ ”填空：
________N；________N*；________Z；－________Q；3.________Q；________R．
(2)已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为________．
∈
∈
∈
∈
∈
a>－4
(1)∈ ∈ ∈ ∈ ∈ (2)a>－4 [(1)＝2是自然数；|－10|＝10是正整数；＝0.2不是整数，不属于整数集；－是有理数；3.是无限循环小数，是有理数；是无理数，属于实数集．
(2)因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4．]
【教材原题·P5练习T2】
2．用符号“∈”或“ ”填空：
0________N；－3________N；0.5________Z；
________Z；________Q；π________R．
∈ ∈ ∈ [0是自然数，则0∈N；－3不是自然数，则－3 N；0.5，不是整数，则0.5 Z， Z；是有理数，则∈Q；π是无理数，则π∈R．]
∈
∈
∈
反思领悟 判断元素与集合关系的2种方法
直接法 判断该元素在已知集合中是否出现即可
推理法 判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可
[学以致用] 2．(1)(多选)下列结论中，正确的是( )
A．若a∈N，则 N
B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q
D．若a∈R，则∈R
(2)若集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，则实数a的取值范围是__________．
√
√
a≥2
(1)BC (2)a≥2 [(1)A不正确，如a＝1∈N，＝1∈N；D不正确，如a＝－1∈R，无意义；B，C都正确．
(2)∵集合A是不等式x－a>0的解集，且2 A，∴2－a≤0，即a≥2．]
【教用·备选题】 定义：满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
[解] (1)数集N，Z不是“闭集”，
例如，3∈N，2∈N，而＝1.5 N；
3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5 Z，故N，Z不是闭集．
(2)数集Q，R是“闭集”．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，故Q是闭集．
同理R也是闭集．
应用迁移 随堂评估自测
1．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中的元素个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
√
B [由题意可知，集合A中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个．故选B．]
√
2．(多选)下列关系中，正确的有( )
A．∈R B． Q
C．|－3|∈N D．∈Q
√
AC [是实数，＝2是有理数，|－3|＝3是非负整数，＝是无理数．因此AC正确，BD错误．故选AC．]
3．设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则实数x＝________，y＝________．
1 0 [由题意得或解得或
又当x＝y＝0时，不满足集合元素的互异性，所以x＝1，y＝0．]
1
0
4．给出下列说法：
①某校高一年级的数学教师组成一个集合；
②由－1，0，1，，3，－3组成的集合中有8个元素；
③由a，b，c组成的集合与由c，b，a组成的集合是不相同的．
其中不正确的是________(填序号)．
②③
②③ [①根据集合元素的特征可判断某校高一年级的数学教师具有确定性，能组成一个集合，故①正确；
②＝3，由集合中元素的互异性知，这个集合中有6个元素，故②不正确；
③两个集合中的元素相同，只是排列顺序不同，由集合中元素的无序性知，它们表示同一个集合，故③不正确．]
1．知识链：
2．方法链：直接法、推理法．
3．警示牌：(1)自然数集中容易遗忘0这个元素．
(2)集合中忽略互异性的判断．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．集合中的元素有哪些特性，判断一组对象能否构成集合的关键是什么？
[提示] 集合中的元素有确定性、互异性和无序性，其中确定性是判断一组对象能否构成集合的关键．
2．元素与集合间存在哪些关系？
[提示] 元素与集合间只有“属于”和“不属于”两种关系．
3．学习了哪些常用数集？
[提示] 自然数集(或非负整数集)(N)、正整数集(N*或N＋)、整数集(Z)、有理数集(Q)和实数集(R)．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(一) 集合的含义
√
一、选择题
1．(多选)下列各组对象能构成集合的有( )
A．接近于1的所有正整数
B．小于0的实数
C．(2 025，1)与(1，2 025)
D．未来世界的高科技产品
√
BC [A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 025，1)与
(1，2 025)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．已知集合M由小于5的数构成，则有( )
A．3∈M B．－3 M
C．0 M D．7∈M
A [∵3<5，∴3是集合M中的元素，故3∈M．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．“deepseek”中的字母可构成一个集合，该集合中的元素个数是
( )
A．5 B．6
C．7 D．8
A [因为deepseek中字母有d，e，p，s，k，有5个元素．故选A．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
D [根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形．故选D．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
5．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，则a2 025＋b2 025的值为( )
A．0 B．－1
C．2 D．4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B [由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得或
解得或(不满足集合元素的互异性，舍去)．
所以a2 025＋b2 025＝(－1)2 025＋0＝－1．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b______A，ab________A．(填“∈”或“ ”)
∈ [∵a是偶数，b是奇数，
∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b A，ab∈A．]
∈
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有根组成的集合中共有________个元素．
2 [由x2－1＝0，得x＝±1，由x＋1＝0，得x＝－1，
所以两个方程的根组成的集合共有2个元素．]
2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．若集合A中含有两个元素x，x2－2x，则元素x应满足的条件为_____________．
x≠0且x≠3 [由集合中元素的互异性可得x2－2x≠x，解得x≠0且x≠3．]
x≠0且x≠3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．已知集合A含有两个元素a－3，2a－1，a∈R．
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解] (1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．
若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1．
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1．
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．
综上，实数a的值为1．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2
C．－1 D．2
√
C [由题意知，a2≠4且2－a≠4且a2≠2－a，
解得a≠±2且a≠1，结合选项知C正确．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11．由实数x，－x，，－所组成的集合，最多含元素
( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
√
A [在x，－x，，－中，＝＝－x．
又|x|要么等于x，要么等于－x，故集合中最多含2个元素．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2
6 3，4，5 [因为x∈N，26
3，4，5
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．已知x∈N，且∈Z，若x的所有取值构成集合M，则集合M中的元素为___________．
0，1，2，5 [因为x∈N，且∈Z，
则x＋1＝1，2，3，6，即x＝0，1，2，5，
所以集合M中的元素是0，1，2，5．]
0，1，2，5
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
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14．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，求的可能取值所组成的集合中所有元素的和．
[解] 当a，b同正时，＝1＋1＝2．
当a，b同负时，＝－1－1＝－2．
当a，b异号时，＝0．
∴的可能取值所组成的集合中元素共有3个，且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0．
题号
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15．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A中不可能只有一个元素．
[证明] (1)由题意知，若a∈A，则∈A．
又因为2∈A，所以＝－1∈A．
因为－1∈A，所以∈A．
因为∈A，所以＝2∈A．
所以A中另外两个元素为－1，．
题号
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(2)若A中只有一个元素，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数根．
所以a≠，
即集合A中不可能只有一个元素．
[点评] 理解集合A中元素的特性：a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)，应用其反复代入求解即可．
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谢 谢！课时分层作业(一) 集合的含义
一、选择题
1．(多选)下列各组对象能构成集合的有( )
A．接近于1的所有正整数
B．小于0的实数
C．(2 025，1)与(1，2 025)
D．未来世界的高科技产品
2．已知集合M由小于5的数构成，则有( )
A．3∈M B．－3 M
C．0 M D．7∈M
3．“deepseek”中的字母可构成一个集合，该集合中的元素个数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
4．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，则a2 025＋b2 025的值为( )
A．0 B．－1
C．2 D．4
二、填空题
6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b______A，ab________A．(填“∈”或“ ”)
7．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有根组成的集合中共有________个元素．
8．若集合A中含有两个元素x，x2－2x，则元素x应满足的条件为________．
三、解答题
9．已知集合A含有两个元素a－3，2a－1，a∈R．
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
10．由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2
C．－1 D．2
11．由实数x，－x，，－所组成的集合，最多含元素( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
12．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且213．已知x∈N，且∈Z，若x的所有取值构成集合M，则集合M中的元素为________．
14．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，求的可能取值所组成的集合中所有元素的和．
15．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A中不可能只有一个元素．
课时分层作业(一)
1．BC [A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 025，1)与(1，2 025)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合．]
2．A [∵3<5，∴3是集合M中的元素，故3∈M．故选A．]
3．A [因为deepseek中字母有d，e，p，s，k，有5个元素．故选A．]
4．D [根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形．故选D．]
5．B [由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得
解得(不满足集合元素的互异性，舍去)．
所以a2 025＋b2 025＝(－1)2 025＋0＝－1．]
6． ∈ [∵a是偶数，b是奇数，
∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b A，ab∈A．]
7．2 [由x2－1＝0，得x＝±1，由x＋1＝0，得x＝－1，
所以两个方程的根组成的集合共有2个元素．]
8．x≠0且x≠3 [由集合中元素的互异性可得x2－2x≠x，解得x≠0且x≠3．]
9．解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．
若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1．
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1．
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．
综上，实数a的值为1．
10．C [由题意知，a2≠4且2－a≠4且a2≠2－a，
解得a≠±2且a≠1，结合选项知C正确．故选C．]
11．A [在x，－x，|x|，，－中，＝|x|，－＝－x．
又|x|要么等于x，要么等于－x，故集合中最多含2个元素．]
12．6 3，4，5 [因为x∈N，213．0，1，2，5 [因为x∈N，且∈Z，
则x＋1＝1，2，3，6，即x＝0，1，2，5，
所以集合M中的元素是0，1，2，5．]
14．解：当a，b同正时，＝1＋1＝2．
当a，b同负时，＝－1－1＝－2．
当a，b异号时，＝0．
∴的可能取值所组成的集合中元素共有3个，且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0．
15．证明：(1)由题意知，若a∈A，则∈A．
又因为2∈A，所以＝－1∈A．
因为－1∈A，所以∈A．
因为∈A，所以＝2∈A．
所以A中另外两个元素为－1，．
(2)若A中只有一个元素，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数根．
所以a≠，
即集合A中不可能只有一个元素．
[点评] 理解集合A中元素的特性：a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)，应用其反复代入求解即可．
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