第2课时 集合的表示
[学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.(数学抽象) 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(数学运算)
探究1 列举法
问题1 观察下面两个集合,思考并回答下列问题:
①A是由中国的“五岳”组成的集合;
②B是由“方程x2-3x+2=0 的所有实数根”组成的集合.
(1)集合A,B中的元素能一一列举出来吗?
(2)集合A与B除了用自然语言描述外,还可以用什么方式表示呢?如何表示?
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [新知生成]
把集合的所有元素________出来,并用________________括起来表示集合的方法叫做列举法.
[典例讲评] 【链接教材P3例1】
1.用列举法表示下列给定的集合:
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A;
(2)小于8的质数组成的集合B;
(3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C;
(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素.
(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.
(3)将所有元素用花括号括起来.
[学以致用] 1.用列举法表示下列集合:
(1)满足-2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A;
(2)方程(x-2)2(x-3)=0的根组成的集合M;
(3)方程组的解组成的集合B;
(4)15的正约数组成的集合N.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 探究2 描述法
问题2 能否用列举法表示由“不等式x-1>3的解”组成的集合,为什么?
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________问题3 偶数有什么特征,偶数集如何表示?
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [新知生成] 一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为________________,这种表示集合的方法称为描述法.
[典例讲评] 【链接教材P4例2】
2.用描述法表示下列集合:
(1)方程-2x2+x=0的解组成的集合;
(2)大于2小于7的整数;
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
用描述法表示集合的2个步骤
提醒:用描述法表示集合时,不能出现未被说明的字母.
[学以致用] 2.下列三个集合:
A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1}.
(1)它们是不是相同的集合?
(2)它们各自的含义分别是什么?
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 探究3 集合表示方法的综合应用
[典例讲评] 3.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},若A中只有一个元素,求a的值.
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键,如本例集合A中的元素就是所给方程的根,由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
[学以致用] 3.已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0,m∈R},若A中元素至少有一个,求m的取值范围.
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1.集合{x∈N*|x-3<2}用列举法可表示为( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
2.若P={(1,1),(1,2)},则集合P中元素的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.集合{1,,,2,,…}用描述法可表示为( )
A.{x|x≥1} B.{x|x≤}
C.{x|x=} D.{x|x=,n∈N*}
4.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,用列举法表示集合A为________.
1.知识链:
2.方法链:分类讨论.
3.警示牌:(1)列举法与描述法的乱用.
(2)涉及x2的系数不确定时,忽略讨论方程是一次方程还是二次方程.
第2课时 集合的表示
[探究建构] 探究1
问题1 提示:(1)能.集合A中的元素为:泰山、华山、衡山、恒山、嵩山;集合B中的元素为1,2.
(2)列举法.A={泰山,华山,衡山,恒山,嵩山},B={1,2}.
新知生成 一一列举 花括号“{ }”
典例讲评 1.解:(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以A={0,2,4,6,8,10}.
(2)小于8的质数有2,3,5,7,所以B={2,3,5,7}.
(3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1,,
所以C.
(4)由
所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点为(1,4),
所以D={(1,4)}.
学以致用 1.解:(1)因为-2x2,x∈Z,
所以x=-2,-1,0,1,2,
所以A={-2,-1,0,1,2}.
(2)由(x-2)2(x-3)=0得x=2或x=3,
所以M={2,3}.
(3)解方程组
所以B={(3,2)}.
(4)因为15的正约数有1,3,5,15,
所以N={1,3,5,15}.
探究2
问题2 提示:不能.不等式x-1>3的解是x>4,因为满足x>4的实数有无数个,且无规律可循,所以x-1>3的解集无法用列举法表示.
问题3 提示:偶数的特征:x=2k,k∈Z,偶数集可表示为{x∈Z|x=2k,k∈Z}.
新知生成 {x∈A|P(x)}
典例讲评 2.解:(1)方程-2x2+x=0的解组成的集合可表示为{x|-2x2+x=0}.
(2)用描述法表示为{x∈Z|2(3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标为正,即x<0,y>0,故第二象限内的点的集合为D={(x,y)|x<0,y>0}.
学以致用 2.解:(1)不是.
(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,
即A=R,可以认为集合A表示函数y=x2+1中自变量x的取值组成的集合;
集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y1,
所以B={y|y1},
可以认为集合B表示函数y=x2+1中因变量y的取值组成的集合;
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是满足y=x2+1的数对,
可以认为集合C是由坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合.
探究3
典例讲评 3.解:当a=0时,原方程变为2x+1=0,此时x=-,符合题意;
当a≠0时,原方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,
故当Δ=4-4a=0,即a=1时,原方程的根为x=-1,符合题意.
故当a=0或a=1时,原方程只有一个根,此时A中只有一个元素.
母题探究 解:A中至多有一个元素,即A中有一个元素或没有元素.
当A中只有一个元素时,由例题可知,a=0或a=1.
当A中没有元素时,Δ=4-4a<0,且a≠0,即a>1.
故当A中至多有一个元素时,a的取值范围为{a|a=0或a1}.
学以致用 3.解:①当m=0时,原方程为-2x+3=0,解得x,符合题意.
②当m≠0时,方程mx2-2x+3=0为一元二次方程,由Δ=4-12m0,得m,
即当m且m≠0时,方程mx2-2x+3=0至少有一个实数根,符合题意.
由①②知,m的取值范围为m.
[应用迁移]
1.B [由题意可得x<5,x∈N*,
∴x=1,2,3,4,即用列举法可表示为{1,2,3,4}.故选B.]
2.B [集合P中元素为(1,1),(1,2),共2个.故选B.]
3.D [{1,,2,,…}中的元素满足,所以{1,,2,,…}={x|x,n∈N*},故选D.]
4.{-1,4} [∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,
∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.]
1 / 1(共59张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第2课时 集合的表示
[学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.(数学抽象) 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.集合有哪两种表示方法?它们如何定义?
问题2.列举法的使用条件是什么?如何用符号表示?
问题3.描述法的使用条件是什么?如何用符号表示?
探究建构 关键能力达成
探究1 列举法
问题1 观察下面两个集合,思考并回答下列问题:
①A是由中国的“五岳”组成的集合;
②B是由“方程x2-3x+2=0 的所有实数根”组成的集合.
(1)集合A,B中的元素能一一列举出来吗?
(2)集合A与B除了用自然语言描述外,还可以用什么方式表示呢?如何表示?
提示:(1)能.集合A中的元素为:泰山、华山、衡山、恒山、嵩山;集合B中的元素为1,2.
(2)列举法.A={泰山,华山,衡山,恒山,嵩山},B={1,2}.
[新知生成]
把集合的所有元素_________出来,并用______________括起来表示集合的方法叫做列举法.
【教用·微提醒】 (1)列举法表示集合,元素与元素之间用“,”隔开.
(2)这里集合的“{ }”已包含所有的意思,比如{整数},即代表整数集Z,而不能用{全体整数},即不能出现“全体”“所有”等字眼.
一一列举
花括号“{ }”
[典例讲评] 【链接教材P3例1】
1.用列举法表示下列给定的集合:
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A;
(2)小于8的质数组成的集合B;
(3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C;
(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.
[解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以A={0,2,4,6,8,10}.
(2)小于8的质数有2,3,5,7,
所以B={2,3,5,7}.
(3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1,,
所以C=.
(4)由
得
所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点为(1,4),
所以D={(1,4)}.
【教材原题·P3例1】
例1 用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合.
[解] (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}.
反思领悟 用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素.
(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.
(3)将所有元素用花括号括起来.
[学以致用] 1.用列举法表示下列集合:
(1)满足-2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A;
(2)方程(x-2)2(x-3)=0的根组成的集合M;
(3)方程组的解组成的集合B;
(4)15的正约数组成的集合N.
[解] (1)因为-2≤x≤2,x∈Z,
所以x=-2,-1,0,1,2,
所以A={-2,-1,0,1,2}.
(2)由(x-2)2(x-3)=0得x=2或x=3,
所以M={2,3}.
(3)解方程组得
所以B={(3,2)}.
(4)因为15的正约数有1,3,5,15,
所以N={1,3,5,15}.
探究2 描述法
问题2 能否用列举法表示由“不等式x-1>3的解”组成的集合,为什么?
提示:不能.不等式x-1>3的解是x>4,因为满足x>4的实数有无数个,且无规律可循,所以x-1>3的解集无法用列举法表示.
问题3 偶数有什么特征,偶数集如何表示?
提示:偶数的特征:x=2k,k∈Z,偶数集可表示为{x∈Z|x=2k,k∈Z}.
[新知生成] 一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为____________,这种表示集合的方法称为描述法.
{x∈A|P(x)}
【教用·微提醒】 (1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.
(2)语言简明、准确,不能出现未被说明的字母,如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的.
(3)所有描述的内容都要写在花括号内,如“{x∈Z|x=2m},m∈N*”不符合要求,应将“m∈N*”写进“{ }”中,即{x∈Z|x=2m,m∈N*}.
(4)元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系来看,若x∈R是明确的,则x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
[典例讲评] 【链接教材P4例2】
2.用描述法表示下列集合:
(1)方程-2x2+x=0的解组成的集合;
(2)大于2小于7的整数;
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
[解] (1)方程-2x2+x=0的解组成的集合可表示为{x|-2x2+x=0}.
(2)用描述法表示为{x∈Z|2(3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标为正,即x<0,y>0,故第二象限内的点的集合为D={(x,y)|x<0,y>0}.
【教材原题·P4例2】
例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合:
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A;
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
[解] (1)设x∈A,则x是一个实数,且x2-2=0.
因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.
方程x2-2=0有两个实数根,-,因此,用列举法表示为A={,-}.
(2)设x∈B,则x是一个整数,即x∈Z,且10大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为
B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
反思领悟 用描述法表示集合的2个步骤
提醒:用描述法表示集合时,不能出现未被说明的字母.
[学以致用] 2.下列三个集合:
A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1}.
(1)它们是不是相同的集合?
(2)它们各自的含义分别是什么?
[解] (1)不是.
(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,
即A=R,可以认为集合A表示函数y=x2+1中自变量x的取值组成的集合;
集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,
所以B={y|y≥1},
可以认为集合B表示函数y=x2+1中因变量y的取值组成的集合;
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是满足y=x2+1的数对,
可以认为集合C是由坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合.
【教用·备选题】 中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归,问:三女几何日相会?”
请将此三女前三次相会经过的天数组成的集合分别用列举法表示,并将此三女相会经过的天数组成的集合用描述法表示.
[解] 因为三女相会经过的天数是5,4,3的公倍数,且它们的最小公倍数为60,
所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为{60,120,180}.
此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为.
探究3 集合表示方法的综合应用
[典例讲评] 3.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},若A中只有一个元素,求a的值.
[解] 当a=0时,原方程变为2x+1=0,此时x=-,符合题意;
当a≠0时,原方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,
故当Δ=4-4a=0,即a=1时,原方程的根为x=-1,符合题意.
故当a=0或a=1时,原方程只有一个根,此时A中只有一个元素.
[母题探究] 在本例条件下,若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
[解] A中至多有一个元素,即A中有一个元素或没有元素.
当A中只有一个元素时,由例题可知,a=0或a=1.
当A中没有元素时,Δ=4-4a<0,且a≠0,即a>1.
故当A中至多有一个元素时,a的取值范围为{a|a=0或a≥1}.
反思领悟 若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键,如本例集合A中的元素就是所给方程的根,由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
[学以致用] 3.已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0,m∈R},若A中元素至少有一个,求m的取值范围.
[解] ①当m=0时,原方程为-2x+3=0,解得x=,符合题意.
②当m≠0时,方程mx2-2x+3=0为一元二次方程,由Δ=4-12m≥0,得m≤,
即当m≤且m≠0时,方程mx2-2x+3=0至少有一个实数根,符合题意.
由①②知,m的取值范围为m≤.
应用迁移 随堂评估自测
1.集合{x∈N*|x-3<2}用列举法可表示为( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
√
B [由题意可得x<5,x∈N*,
∴x=1,2,3,4,即用列举法可表示为{1,2,3,4}.故选B.]
√
2.若P={(1,1),(1,2)},则集合P中元素的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
B [集合P中元素为(1,1),(1,2),共2个.
故选B.]
√
3.集合{1,,,2,,…}用描述法可表示为( )
A.{x|x≥1} B.{x|x≤}
C.{x|x=} D.{x|x=,n∈N*}
D [{1,,,2,,…}中的元素满足,所以{1,,,2,,…}={x|x=,n∈N*},故选D.]
4.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,用列举法表示集合A为________.
{-1,4} [∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,
∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.]
{-1,4}
1.知识链:
2.方法链:分类讨论.
3.警示牌:(1)列举法与描述法的乱用.
(2)涉及x2的系数不确定时,忽略讨论方程是一次方程还是二次方程.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.本节课学习的集合的表示方法有哪些?
[提示] 列举法和描述法.
2.集合{x|y=x+1,x∈R},{y|y=x+1,x∈R},{(x,y)|y=x+1}的含义有什么不同?
[提示] (1)前两个集合为数集,后一个集合为点集;
(2){x|y=x+1,x∈R}表示自变量x的取值组成的集合;{y|y=x+1,x∈R}表示因变量y的取值组成的集合;{(x,y)|y=x+1}表示函数y=x+1图象上的点(x,y)组成的集合.
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(二) 集合的表示
√
一、选择题
1.用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点的是( )
A.{x|y=3x+1} B.{y|y=3x+1}
C.{(x,y)|y=3x+1} D.{y=3x+1}
C [因为集合是点集,所以代表元素是(x,y),所以用描述法表示为{(x,y)|y=3x+1}.故选C.]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2.集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为( )
A.{x=-1,x=5}
B.{x|x=-1或x=5}
C.{x2-4x-5=0}
D.{-1,5}
D [根据题意,解x2-4x-5=0可得x=-1或5,用列举法表示为{-1,5}.]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3.能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为( )
A.{x|x=8k,k∈N}
B.{x|x=8k+8,k∈N}
C.{1,2,4}
D.{1,2,4,8}
B [能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集,因此排除C,D;利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合,由于选项A中的集合包含0,因此不符合正整数的要求,故排除A;选项B符合能被8整除的所有正整数组成的集合,因此B正确,故选B.]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4.下列集合表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={2,3},N={3,2}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={2,3},N={(2,3)}
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B [选项A中的集合M是由点(3,2)组成的点集,集合N是由点(2,3)组成的点集,故集合M与N不是同一个集合;选项C中的集合M是由一次函数y=1-x图象上的所有点组成的集合,集合N是由一次函数y=1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y=1}=R,故集合M与N不是同一个集合;选项D中的集合M是数集,而集合N是点集,故集合M与N不是同一个集合;对于选项B,由集合中元素的无序性,可知M,N表示同一个集合.]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
√
5.(多选)方程组的解集可表示为( )
A.
B.
C.(2,1)
D.{(2,1)}
ABD [由得故结合选项可知ABD均正确.]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6.若集合A={x|ax-4>0},且-3 A,2∈A,则a的取值范围为________.
{a|a>2} [因为-3 A,2∈A,所以
解得a>2,所以a的取值范围为{a|a>2}.]
{a|a>2}
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7.若集合{x|x2+ax=0}与集合{0,1}相等,则实数a的值为_____.
-1 [由题意,x2+ax=0的根为0,1,利用根与系数的关系得0+1=-a,所以a=-1.]
-1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8.已知集合A={2,4,6,8,10},集合B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则集合B中所含的元素个数为________.
10 [因为A={2,4,6,8,10},
B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},
可得满足集合B的元素为(2,4),(2,6),(2,8),(4,2),(4,6),(6,2),(6,4),(8,2),(2,2),(4,4),共10个.]
10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9.【链接教材P6习题1.1T4】
用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集;
(2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合;
(3)不等式x-2>6的解构成的集合;
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合;
(5)方程组的解集.
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解] (1){0,-1}.
(2){x|x=2n+1,且x<1 000,n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1,2,3,4,5,6}.
(5)解集用描述法表示为
解集用列举法表示为{(2,-1)}.
【教材原题·P6习题1.1T4】用适当的方法表示下列集合:
(1)二次函数y=x2-4的函数值组成的集合;
(2)反比例函数y=的自变量的取值组成的集合;
(3)不等式3x≥4-2x的解集.
[解] (1)二次函数y=x2-4的函数值为y,
∴二次函数y=x2-4的函数值y组成的集合为{y|y=x2-4,x∈R}={y|y≥-4}.
(2)反比例函数y=的自变量为x,
∴反比例函数y=x≠0}.
(3)由3x≥4-2x,得x≥,∴不等式3x≥4-2x的解集为.
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10.(2023·上海高考)已知集合P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P且x Q},则M=( )
A.{1} B.{2}
C.{1,2} D.{1,2,3}
√
A [∵P={1,2},Q={2,3},M={x|x∈P且x Q},
∴M={1}.故选A.]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}只有一个元素,则实数k的值为( )
A.0 B.1
C.0或1 D.2
√
C [集合A中只有一个元素,即方程kx2+4x+4=0只有一个根.当k=0时,方程为一元一次方程,只有一个根;当k≠0时,方程为一元二次方程,若只有一根,则Δ=16-16k=0,即k=1.所以实数k的值为0或1.]
[点评] 对于最高次项系数含参数的方程求解时应注意其系数是否为0.
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12.已知A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则由a的值构成的集合是( )
A.- B.
C.{-1} D.
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
D [∵-3∈A,A={a-2,2a2+5a,12},
∴或
解得a=-.
故由a的值构成的集合是.]
[易错提醒] 解答完此类问题后,务必验证集合中元素的互异性.
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集____________________.
不是 (答案不唯一) [由于2的倒数不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,则∈A,若集合中有三个元素,故必有a=,即a=±1,故可取的集合有等.]
不是
(答案不唯一)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14.设集合B=.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系;
(2)用列举法表示集合B.
[解] (1)当x=1时,=2∈N;
当x=2时, N,所以1∈B,2 B.
(2)因为∈N,x∈N,所以2+x只能取2,3,6,
所以x只能取0,1,4,所以B={0,1,4}.
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15.设集合S具有如下性质:①元素都是正整数;②若x∈S,则10-x∈S.
(1)请你写出符合条件,且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个;
(2)是否存在恰有6个元素的集合S?若存在,写出所有的集合S;若不存在,请说明理由.
[解] (1)若集合S中只有一个元素,则只需满足x=10-x,故x=5,则S={5};
若集合S中有两个元素,则S={1,9}符合条件;(答案不唯一)
若集合S中有三个元素,则S={1,5,9}符合条件.(答案不唯一)
(2)由于S中的元素是成对的,6个元素只要确定3个,另外的3个自然就确定了,
因为5+5=10,5=5,所以三个不同的元素应在1,2,3,4中选出(也可以在6,7,8,9中选出),
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
选法有1,2,3;1,2,4;1,3,4;2,3,4,四种,
所以一共有四个:S={1,2,3,7,8,9}或S={1,2,4,6,8,9}或S={1,3,4,6,7,9}或S={2,3,4,6,7,8}.
[点评] 求解此题的关键是理解两条性质,其中若x∈S,则10-x∈S是解题的切入点.
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢!课时分层作业(二) 集合的表示
一、选择题
1.用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点的是( )
A.{x|y=3x+1}
B.{y|y=3x+1}
C.{(x,y)|y=3x+1}
D.{y=3x+1}
2.集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为( )
A.{x=-1,x=5}
B.{x|x=-1或x=5}
C.{x2-4x-5=0}
D.{-1,5}
3.能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为( )
A.{x|x=8k,k∈N}
B.{x|x=8k+8,k∈N}
C.{1,2,4}
D.{1,2,4,8}
4.下列集合表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={2,3},N={3,2}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={2,3},N={(2,3)}
5.(多选)方程组的解集可表示为( )
A.
B.
C.(2,1)
D.{(2,1)}
二、填空题
6.若集合A={x|ax-4>0},且-3 A,2∈A,则a的取值范围为________.
7.若集合{x|x2+ax=0}与集合{0,1}相等,则实数a的值为________.
8.已知集合A={2,4,6,8,10},集合B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则集合B中所含的元素个数为________.
三、解答题
9.【链接教材P6习题1.1T4】
用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集;
(2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合;
(3)不等式x-2>6的解构成的集合;
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合;
(5)方程组的解集.
10.(2023·上海高考)已知集合P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P且x Q},则M=( )
A.{1} B.{2}
C.{1,2} D.{1,2,3}
11.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}只有一个元素,则实数k的值为( )
A.0 B.1
C.0或1 D.2
12.已知A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则由a的值构成的集合是( )
A.- B.
C.{-1} D.
13.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集________.
14.设集合B=.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系;
(2)用列举法表示集合B.
15.设集合S具有如下性质:①元素都是正整数;②若x∈S,则10-x∈S.
(1)请你写出符合条件,且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个;
(2)是否存在恰有6个元素的集合S?若存在,写出所有的集合S;若不存在,请说明理由.
课时分层作业(二)
1.C [因为集合是点集,所以代表元素是(x,y),所以用描述法表示为{(x,y)|y=3x+1}.故选C.]
2.D [根据题意,解x2-4x-5=0可得x=-1或5,用列举法表示为{-1,5}.]
3.B [能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集,因此排除C,D;利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合,由于选项A中的集合包含0,因此不符合正整数的要求,故排除A;选项B符合能被8整除的所有正整数组成的集合,因此B正确,故选B.]
4.B [选项A中的集合M是由点(3,2)组成的点集,集合N是由点(2,3)组成的点集,故集合M与N不是同一个集合;选项C中的集合M是由一次函数y=1-x图象上的所有点组成的集合,集合N是由一次函数y=1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y=1}=R,故集合M与N不是同一个集合;选项D中的集合M是数集,而集合N是点集,故集合M与N不是同一个集合;对于选项B,由集合中元素的无序性,可知M,N表示同一个集合.]
5.ABD [由故结合选项可知ABD均正确.]
6.{a|a>2} [因为-3 A,2∈A,所以
解得a>2,所以a的取值范围为{a|a>2}.]
7.-1 [由题意,x2+ax=0的根为0,1,利用根与系数的关系得0+1=-a,所以a=-1.]
8.10 [因为A={2,4,6,8,10},
B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},
可得满足集合B的元素为
(2,4),(2,6),(2,8),(4,2),(4,6),(6,2),(6,4),(8,2),(2,2),(4,4),共10个. ]
9.解:(1){0,-1}.
(2){x|x=2n+1,且x<1 000,n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1,2,3,4,5,6}.
(5)解集用描述法表示为
解集用列举法表示为{(2,-1)}.
10.A [∵P={1,2},Q={2,3},M={x|x∈P且x Q},
∴M={1}.故选A.]
11.C [集合A中只有一个元素,即方程kx2+4x+4=0只有一个根.当k=0时,方程为一元一次方程,只有一个根;当k≠0时,方程为一元二次方程,若只有一根,则Δ=16-16k=0,即k=1.所以实数k的值为0或1.]
[点评] 对于最高次项系数含参数的方程求解时应注意其系数是否为0.
12.D [∵-3∈A,A={a-2,2a2+5a,12},
∴
解得a=-.
故由a的值构成的集合是.]
[易错提醒] 解答完此类问题后,务必验证集合中元素的互异性.
13.不是 (答案不唯一) [由于2的倒数不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,则∈A,若集合中有三个元素,故必有a=,即a=±1,故可取的集合有,等.]
14.解:(1)当x=1时,=2∈N;
当x=2时, N,
所以1∈B,2 B.
(2)因为∈N,x∈N,
所以2+x只能取2,3,6,
所以x只能取0,1,4,所以B={0,1,4}.
15.解:(1)若集合S中只有一个元素,则只需满足x=10-x,故x=5,则S={5};
若集合S中有两个元素,则S={1,9}符合条件;(答案不唯一)
若集合S中有三个元素,则S={1,5,9}符合条件.(答案不唯一)
(2)由于S中的元素是成对的,6个元素只要确定3个,另外的3个自然就确定了,
因为5+5=10,5=5,所以三个不同的元素应在1,2,3,4中选出(也可以在6,7,8,9中选出),
选法有1,2,3;1,2,4;1,3,4;2,3,4,四种,
所以一共有四个:S={1,2,3,7,8,9}或S={1,2,4,6,8,9}或S={1,3,4,6,7,9}或S={2,3,4,6,7,8}.
[点评] 求解此题的关键是理解两条性质,其中若x∈S,则10-x∈S是解题的切入点.
1 / 1