集合中元素的个数与容斥原理
在计数时，要保证无一重复，无一遗漏，这种计数的方法称为容斥原理．
(1)两个集合的容斥原理
用card(A)表示有限集合A中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card(A)＝3．一般地，对于任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
如图所示：
(2)三个集合的容斥原理
一般地，对于任意三个有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B) －card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C )．
如图所示：
【典例】 (1)某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有70人听了数学讲座，62人听了历史讲座，58人听了化学讲座，记A＝{x|x是听了数学讲座的学生}，B＝{x|x是听了历史讲座的学生}，C＝{x|x是听了化学讲座的学生}．用card(M)来表示有限集合M中元素的个数，若card(A∩B)＝17，card(A∩C)＝13，card(B∩C)＝5，A∩B∩C＝ ，则( )
A．card(A∩B∩C)＝35
B．card(A∪B)＝115
C．card(B∪C)＝120
D．card(A∪B∪C)＝190
(2)学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个兴趣小组的人数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[尝试解答] _________________________________________________________
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1．某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一(1)班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书
作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人．没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有( )
A．4人 B．3人
C．2人 D．1人
2．某班参加数学、物理、化学竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7名，只参加数学、物理两科的有5名，只参加物理、化学两科的有3名，只参加数学、化学两科的有4名，若该班共有50名学生，则只参加数学竞赛的学生有________名；没有参加任何一科竞赛的学生有________名．
探究课1 集合中元素的个数与容斥原理
典例探究
典例 (1)B (2)D [(1)A选项，由已知A∩B∩C＝ ，则card(A∩B∩C)＝0，A选项错误；B选项，card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝70＋62－17＝115，B选项正确；C选项，card(B∪C)＝card(B)＋card(C)－card(B∩C)＝62＋58－5＝115，C选项错误；D选项，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝70＋62＋58－17－13－5＋0＝155，D选项错误．故选B．
(2)如图，设同时参加了3个兴趣小组的人数为x，则13－x＋11－x＋12－x＋2＋4＋4＋x＝30，解得x＝8，即同时参加了3个兴趣小组的人数为8．故选D．
]
对点训练
1．C [根据题意，画出Venn图，如图所示，设同时提交隶书作品和行书作品的有x人，则20＋12＋8－32＝2＋4＋x，解得x＝2，即同时提交隶书作品和行书作品的有2人．故选C．
]
2．8 5 [设A，B，C分别代表参加数学、物理、化学的学生，U表示该班全体学生，作出Venn图，
由题意可得，card(U)＝50，card(A)＝24，card(B)＝28，card(C)＝19，card(A∩B∩C)＝7，card(A∩B)＝5，card(B∩C)＝3，card(A∩C)＝4，
所以只参加数学竞赛的学生有：24－5－7－4＝8(名)，
只参加物理竞赛的学生有：28－5－7－3＝13(名)，
只参加化学竞赛的学生有：19－4－7－3＝5(名)，
没有参加任何一科竞赛的学生有：50－8－13－5－7－5－3－4＝5(名)．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
探究课1 集合中元素的个数与容斥原理
第一章
集合与常用逻辑用语
在计数时，要保证无一重复，无一遗漏，这种计数的方法称为容斥原理．
(1)两个集合的容斥原理
用card(A)表示有限集合A中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card(A)＝3．一般地，对于任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
如图所示：
(2)三个集合的容斥原理
一般地，对于任意三个有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B) －card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C )．
如图所示：
【典例】 (1)某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有70人听了数学讲座，62人听了历史讲座，58人听了化学讲座，记A＝{x|x是听了数学讲座的学生}，B＝{x|x是听了历史讲座的学生}，C＝{x|x是听了化学讲座的学生}．用card(M)来表示有限集合M中元素的个数，若card(A∩B)＝17，card(A∩C)＝13，card(B∩C)＝5，A∩B∩C＝ ，则( )
A．card(A∩B∩C)＝35
B．card(A∪B)＝115
C．card(B∪C)＝120
D．card(A∪B∪C)＝190
√
(2)学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个兴趣小组的人数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
√
(1)B (2)D [(1)A选项，由已知A∩B∩C＝ ，则card(A∩B∩C)＝0，A选项错误；B选项，card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝70＋62－17＝115，B选项正确；C选项，card(B∪C)＝card(B)＋card(C)－card(B∩C)＝62＋58－5＝115，C选项错误；D选项，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝70＋62＋58－17－13－5＋0＝155，D选项错误．故选B．
(2)如图，设同时参加了3个兴趣小组的人数为x，则13－x＋11－x＋12－x＋2＋4＋4＋x＝30，解得x＝8，即同时参加了3个兴趣小组的人数为8．故选D．]
√
1．某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一(1)班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人．没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有( )
A．4人 B．3人
C．2人 D．1人
C [根据题意，画出Venn图，如图所示，设同时提交隶书作品和行书作品的有x人，则20＋12＋8－32＝2＋4＋x，解得x＝2，即同时提交隶书作品和行书作品的有2人．故选C．]
2．某班参加数学、物理、化学竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7名，只参加数学、物理两科的有5名，只参加物理、化学两科的有3名，只参加数学、化学两科的有4名，若该班共有50名学生，则只参加数学竞赛的学生有________名；没有参加任何一科竞赛的学生有________名．
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8 5 [设A，B，C分别代表参加数学、物理、化学的学生，U表示该班全体学生，作出Venn图，由题意可得，card(U)＝50，card(A)＝24，card(B)＝28，card(C)＝19，card(A∩B∩C)＝7，card(A∩B)＝5，card(B∩C)＝3，card(A∩C)＝4，
所以只参加数学竞赛的学生有：24－5－7－4＝8(名)，
只参加物理竞赛的学生有：28－5－7－3＝13(名)，
只参加化学竞赛的学生有：19－4－7－3＝5(名)，
没有参加任何一科竞赛的学生有：50－8－13－5－7－5－3－4＝5(名)．]
谢 谢！
