1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
[学习目标] 1．理解充分条件、必要条件的概念．(数学抽象) 2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(数学抽象) 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
探究1 命题的概念与结构
问题1 你能判断这些语句的真假吗？
(1)x>2；
(2)若A B，则A∩B＝A；
(3)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
(4)两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [新知生成]
(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断____的______叫做命题．判断为__的语句是真命题，判断为__的语句是假命题．
(2)“若p，则q”形式的命题中，_称为命题的条件，_称为命题的结论．
[典例讲评] 1．将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式，并指出命题中的条件p和结论q．
(1)有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；
(2)对顶角相等；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 只要分清命题的条件和结论便可以很容易得出命题“若p，则q”．
[学以致用] 1．判断下列命题的真假．
(1)若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形；
(2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数；
(3)等腰三角形的底角相等；
(4)矩形的对角线相等．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 充分条件与必要条件
问题2 考察下列各组中p与q之间的关系：
(1)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0；
(2)p：a>2，q：a>4；
(3)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [新知生成]
充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p__q p q
条件关系 p是q的____条件 q是p的____条件 p不是q的____条件 q不是p的____条件
定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个________； 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个________
[典例讲评] 【链接教材P18例1、P19例2】
2．(源自苏教版教材)下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？
(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；
(3)p：同位角相等，q：两条直线平行；
(4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
充分、必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立．
(2)利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A B，则甲是乙的必要条件．
[学以致用] 2．(1)(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有( )
A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数
B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根
C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
D．若ab＝0，则a＝0
(2)使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x<2
探究3 充分条件与必要条件的应用
[典例讲评] 3．(1)已知不等式m－1＜x＜m＋1成立的充分条件是－＜x＜，则实数m的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
(2)已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[学以致用] 3．(1)设p：－1≤x＜2，q：x＜a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥2 B．a≤－1或a≥2
C．a≤－1 D．－1≤a＜2
(2)已知集合P＝{x|－2
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．若p是q的充分条件，则q是p的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
2．(多选)(教材P18例1改编)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有( )
A．若x＜1，则x＜2
B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C．若|x|≠1，则x≠1
D．若ab＞0，则a＞0，b＞0
3．用符号“ ”“ ”填空：
(1)x－3＝0________(x－2)(x－3)＝0；
(2)两个三角形相似________两个三角形全等；
(3)a，b都是奇数________a＋b是奇数．
4．若“x<－1”是“x≤a”的必要条件，则a的取值范围是________．
1．知识链：
2．方法链：等价转化．
3．警示牌：(1)逻辑关系不清导致充分条件、必要条件判断错误．
(2)求参数范围时能否取到端点值．
1.4.1 充分条件与必要条件
[探究建构] 探究1
问题1 提示：(1)无法判断 (2)真 (3)真 (4)假
新知生成 (1)真假 陈述句 真 假 (2)p q
典例讲评 1．解：(1)若一个等腰三角形有一个内角是60°，则这个三角形是正三角形．
条件：一个等腰三角形有一个内角是60°．
结论：这个三角形是正三角形．
(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等．
条件：两个角是对顶角．
结论：这两个角相等．
(3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分．
条件：一个四边形是平行四边形．
结论：这个四边形的对角线互相平分．
(4)如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．
条件：一个四边形的对角线互相平分．
结论：这个四边形是平行四边形．
学以致用 1．解：(1)因为三角形的内角和为180°，所以一个三角形中有两个角互余，即这两个角的和为90°，那么第三个角为90°，所以这个三角形是直角三角形，该命题为真命题．
(2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数，该命题为真命题．
(3)根据等腰三角形的性质知等腰三角形的底角相等，该命题为真命题；
(4)根据矩形的性质知矩形的对角线相等，该命题为真命题．
探究2
问题2 提示：(1)中p能推出q，但q推不出p．
(2)中p不能推出q，但q能推出p．
(3)中p能推出q，但q推不出p．
新知生成 充分 必要 充分 必要 充分条件 必要条件
典例讲评 2．解：(1)因为p q，所以p是q的充分条件．
(2)因为p q，所以p不是q的充分条件．
(3)因为p q，所以p是q的充分条件．
(4)因为p q，所以p是q的充分条件．
学以致用 2．(1)BCD (2)A [(1)对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以都是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a0，即a1，显然能推出a<2，符合题意；对于C，因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，所以符合题意．故选BCD．
(2)∵x>4 x>3，∴x>4是x>3成立的一个充分条件．]
探究3
典例讲评 3．(1)B [由题意得 {x|m－1所以，
所以实数m的取值范围是．
故选B．]
(2)解：p：3aq：－2x3，即集合B＝{x|－2x3}．
因为p q，所以A B，
所以a<0，
所以实数a的取值范围是．
学以致用 3．(1)A [由q是p的必要条件，得{x|－1x<2} {x|x(2)解：由题意得，P是Q的子集，
则m0．
所以实数m的取值范围是．
[应用迁移]
1．B [因为p是q的充分条件，所以p q，
所以q是p的必要条件．故选B．]
2．ABC [由x<1，可以推出x<2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab>0，不一定能推出a>0，b>0，比如a＝b＝－1，所以选项D不符合题意．故选ABC．]
3．(1) (2) (3) [(1)因为方程(x－2)(x－3)＝0的根为x＝2或x＝3，
所以x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，
但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，故填“ ”．
(2)两个三角形全等 两个三角形相似，但两个三角形相似 两个三角形全等，故填“ ”．
(3)a，b都是奇数 a＋b是奇数，且a＋b是奇数 a，b都是奇数，故填“ ”．]
4．a<－1 [若“x<－1”是“xa”的必要条件，
则{x|xa} {x|x<－1}，则a<－1，
即实数a的取值范围是a<－1．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第一章
集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
[学习目标] 1．理解充分条件、必要条件的概念．(数学抽象) 2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(数学抽象) 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．什么是命题？“若p，则q”形式的命题中，p和q存在怎样的关系？
问题2．什么是充分条件？什么是必要条件？
问题3．充分条件与判定定理，必要条件与性质定理存在什么关系？
探究建构 关键能力达成
探究1 命题的概念与结构
问题1 你能判断这些语句的真假吗？
(1)x>2；
(2)若A B，则A∩B＝A；
(3)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
(4)两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等．
提示：(1)无法判断 (2)真 (3)真 (4)假
[新知生成]
(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断____的______叫做命题．判断为__的语句是真命题，判断为__的语句是假命题．
(2)“若p，则q”形式的命题中，__称为命题的条件，__称为命题的结论．
真假
陈述句
真
假
p
q
[典例讲评] 1．将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式，并指出命题中的条件p和结论q．
(1)有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；
(2)对顶角相等；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
[解] (1)若一个等腰三角形有一个内角是60°，则这个三角形是正三角形．
条件：一个等腰三角形有一个内角是60°．
结论：这个三角形是正三角形．
(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等．
条件：两个角是对顶角．
结论：这两个角相等．
(3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分．
条件：一个四边形是平行四边形．
结论：这个四边形的对角线互相平分．
(4)如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．
条件：一个四边形的对角线互相平分．
结论：这个四边形是平行四边形．
反思领悟 只要分清命题的条件和结论便可以很容易得出命题“若p，则q”．
[学以致用] 1．判断下列命题的真假．
(1)若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形；
(2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数；
(3)等腰三角形的底角相等；
(4)矩形的对角线相等．
[解] (1)因为三角形的内角和为180°，所以一个三角形中有两个角互余，即这两个角的和为90°，那么第三个角为90°，所以这个三角形是直角三角形，该命题为真命题．
(2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数，该命题为真命题．
(3)根据等腰三角形的性质知等腰三角形的底角相等，该命题为真命题；
(4)根据矩形的性质知矩形的对角线相等，该命题为真命题．
【教师·备选题】 将下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)绝对值相等的数也相等；
(2)矩形的对角线相等；
(3)角平分线上的点到角两边的距离相等；
(4)两角分别相等的两个三角形相似．
[解] (1)条件：两个数的绝对值相等，结论：它们相等．“若p，则q”的形式：
若两个数的绝对值相等，则它们也相等．
(2)条件：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论：这两条线段相等．“若p，则q”的形式：
若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等．
(3)条件：平面上的点在一个角的角平分线上，结论：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式：
若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等．
(4)条件：两个三角形的两个角分别相等，结论：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式：
若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似．
探究2 充分条件与必要条件
问题2 考察下列各组中p与q之间的关系：
(1)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0；
(2)p：a>2，q：a>4；
(3)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等．
提示：(1)中p能推出q，但q推不出p．
(2)中p不能推出q，但q能推出p．
(3)中p能推出q，但q推不出p．
[新知生成]
充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p__q p q
条件关系 p是q的____条件 q是p的____条件 p不是q的____条件
q不是p的____条件
充分
必要
充分
必要
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个________； 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个________ 充分条件
必要条件
【教用·微提醒】 (1)前提p q，有方向，条件在前，结论在后．
(2)“p是q的充分条件”“q是p的必要条件”“q的一个充分条件是p”“p的一个必要条件是q”这四种表述形式等价．
[典例讲评] 【链接教材P18例1、P19例2】
2．(源自苏教版教材)下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？
(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；
(3)p：同位角相等，q：两条直线平行；
(4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．
[解] (1)因为p q，所以p是q的充分条件．
(2)因为p q，所以p不是q的充分条件．
(3)因为p q，所以p是q的充分条件．
(4)因为p q，所以p是q的充分条件．
【教材原题·P18例1、P19例2】
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)若x2＝1，则x＝1；
(5)若a＝b，则ac＝bc；
(6)若x，y为无理数，则xy为无理数．
[解] (1)这是一条平行四边形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
(2)这是一条相似三角形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
(3)这是一条菱形的性质定理，p q，所以p是q的充分条件．
(4)由于(－1)2＝1，但－1≠1，p q，所以p不是q的充分条件．
(5)由等式的性质知，p q，所以p是q的充分条件．
(6)为无理数，但×＝2为有理数，p q，所以p不是q的充分条件．
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
(4)若x＝1，则x2＝1；
(5)若ac＝bc，则a＝b；
(6)若xy为无理数，则x，y为无理数．
[解] (1)这是平行四边形的一条性质定理，p q，所以，q是p的必要条件．
(2)这是三角形相似的一条性质定理，p q，所以，
q是p的必要条件．
(3)如图1.4-1，四边形ABCD的对角线互相垂直，但
它不是菱形，p q，所以，q不是p的必要条件．
(4)显然，p q，所以，q是p的必要条件．
(5)由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，p q，所以，q不是p的必要条件．
(6)由于1×＝为无理数，但1，不全是无理数，p q，所以，q不是p的必要条件．
反思领悟 充分、必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立．
(2)利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A B，则甲是乙的必要条件．
[学以致用] 2．(1)(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有( )
A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数
B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根
C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
D．若ab＝0，则a＝0
(2)使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x<2
√
√
√
√
(1)BCD (2)A [(1)对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以都是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0，即a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；对于C，因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，所以符合题意．故选BCD．
(2)∵x>4 x>3，∴x>4是x>3成立的一个充分条件．]
√
探究3 充分条件与必要条件的应用
[典例讲评] 3．(1)已知不等式m－1＜x＜m＋1成立的充分条件是－＜x＜，则实数m的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
(2)已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
(1)B [由题意得m－1＜x＜m＋1}，
所以
解得－，
所以实数m的取值范围是．
故选B．]
(2)[解] p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，
所以解得－≤a＜0，
所以实数a的取值范围是．
反思领悟 充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
√
[学以致用] 3．(1)设p：－1≤x＜2，q：x＜a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥2 B．a≤－1或a≥2
C．a≤－1 D．－1≤a＜2
(2)已知集合P＝{x|－2(1)A [由q是p的必要条件，得{x|－1≤x＜2} {x|x＜a}，所以a≥2．故选A．]
(2)[解] 由题意得，P是Q的子集，
则解得－≤m≤0．
所以实数m的取值范围是．
【教用·备选题】 (1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？
[解] (1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件，
则只要 {x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2．
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要
，这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件．
应用迁移 随堂评估自测
1．若p是q的充分条件，则q是p的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
√
B [因为p是q的充分条件，所以p q，
所以q是p的必要条件．故选B．]
√
2．(多选)(教材P18例1改编)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有( )
A．若x＜1，则x＜2
B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C．若|x|≠1，则x≠1
D．若ab＞0，则a＞0，b＞0
√
√
ABC [由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a＝b＝－1，所以选项D不符合题意．故选ABC．]
3．用符号“ ”“ ”填空：
(1)x－3＝0________(x－2)(x－3)＝0；
(2)两个三角形相似________两个三角形全等；
(3)a，b都是奇数________a＋b是奇数．
(1) (2) (3) [(1)因为方程(x－2)(x－3)＝0的根为x＝2或x＝3，
所以x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，
但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，故填“ ”．
(2)两个三角形全等 两个三角形相似，但两个三角形相似 两个三角形全等，故填“ ”．
(3)a，b都是奇数 a＋b是奇数，且a＋b是奇数 a，b都是奇数，故填“ ”．]
4．若“x<－1”是“x≤a”的必要条件，则a的取值范围是______．
a<－1 [若“x<－1”是“x≤a”的必要条件，
则{x|x≤a} {x|x<－1}，则a<－1，
即实数a的取值范围是a<－1．]
a<－1
1．知识链：
2．方法链：等价转化．
3．警示牌：(1)逻辑关系不清导致充分条件、必要条件判断错误．
(2)求参数范围时能否取到端点值．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若“p q”是真命题，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
[提示] p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？
[提示] 不同．若p是q的充分条件，则p q；若p的充分条件是q，则q p．
3．充分条件、必要条件的主要判断方法有哪些？
[提示] 定义法和集合法．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(六) 充分条件与必要条件
√
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分又是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
题号
2
1
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√
2．下列“若p，则q”形式的命题中，满足p是q的充分条件的是( )
A．若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB
B．若x是无理数，则x2也是无理数
C．若x＝y，则＝
D．若四边形的四条边相等，则四边形是正方形
题号
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A [线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，故A满足题意；若x＝，则x2＝2，故B不满足题意；对于C中，若x＝y，当x＝y＜0，则＝不成立，故C不满足题意；四条边相等的四边形未必是正方形，故D不满足题意．]
题号
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√
3．已知集合A＝{x|1＜x≤3}，集合B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}，且x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的取值范围为( )
A．m≤1
B．m≤1或m＞2
C．1＜m＜2
D．1＜m≤2
题号
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D [因为集合A＝{x|1＜x≤3}，集合B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}，解得1＜m≤2．故选D．]
√
题号
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4．(多选)如果命题“p q”是真命题，那么下列说法一定正确的是
( )
A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件
C．q是p的必要条件 D．q是p的充分条件
√
AC [根据必要条件和充分条件的定义，p q为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，所以AC正确．]
√
题号
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√
5．(多选)－＜5x－3＜12的一个必要条件是( )
A．－＜x＜4 B．－＜x＜2
C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
AD [由－＜5x－3＜12，解得－＜x＜3，当x满足－＜x＜3时，必满足－＜x＜4和－1＜x＜6，而不一定满足－＜x＜2和－3＜x＜．故选AD．]
题号
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二、填空题
6．设集合A＝{1，2}．
(1)请写出一个集合B＝________________________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件；
(2)请写出一个集合B＝_____________________________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件．
{1，2，3}(答案不唯一)
{1}({1}，{2}任选一个作答即可)
题号
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7．下列说法正确的是________．(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2①③ [②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②错误；①③正确．]
①③
题号
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8．已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x{a|a>2} [B的充分条件是A，即A是B的充分条件，得A B，即A B，得a>2．]
{a|a>2}
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三、解答题
9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？
(1)若x>2，则x>1；
(2)若x－1＝，则x＝1；
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等．
[解] (1)若x>2，则x>1成立，反之不成立，即p是q的充分条件．
(2)由x－1＝，得x＝1或x＝2，故p是q的必要条件．
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
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10．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
√
A [因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 丙，如图．综上，有丙 甲，但甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A．]
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11．已知p：－4＜x－a＜4，q：2＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－1≤a≤6}
B．{a|a≤－1}
C．{a|a≥6}
D．{a|a≤－1或a≥6}
√
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A [因为p是q的必要条件，即q p，则有{x|2＜x＜3} {x|－4＜x－a＜4}＝{x解得－1≤a≤6，即a的取值范围为{a|－1≤a≤6}．故选A．]
√
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√
12．(多选)下列式子：
①x<1；②0其中，可以是－1A．① B．②
C．③ D．④
BCD [∵－1√
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13．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为_______________；一个必要条件可以为__________________．
a>3(答案不唯一) a>－1(答案不唯一) [因为一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根，设两个根为x1，x2，
所以解得a≥2．
故一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个充分条件可以为a>3；
一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>－1．]
a>3(答案不唯一)
a>－1(答案不唯一)
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14．已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，
所以Q P，
所以即所以－1≤a≤5．
即a的取值范围为{a|－1≤a≤5}．
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15．已知条件p：x<1－a或x>1＋a和条件q：x<或x>1，求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a．
[解] 依题意a>0，由条件p：x<1－a或x>1＋a，
可设M＝{x|x<1－a，或x>1＋a}，
由条件q：x<或x>1，
可设N＝．
要使p是q的充分条件但不是必要条件，
则M N，应有或
解得a≥．
令a＝1，则M＝{x|x<0，或x>2} N＝，
即p q，反之不成立．所以a＝1．
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谢 谢！课时分层作业(六) 充分条件与必要条件
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分又是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
2．下列“若p，则q”形式的命题中，满足p是q的充分条件的是( )
A．若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB
B．若x是无理数，则x2也是无理数
C．若x＝y，则＝
D．若四边形的四条边相等，则四边形是正方形
3．已知集合A＝{x|1＜x≤3}，集合B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}，且x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的取值范围为( )
A．m≤1 B．m≤1或m＞2
C．1＜m＜2 D．1＜m≤2
4．(多选)如果命题“p q”是真命题，那么下列说法一定正确的是( )
A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件
C．q是p的必要条件 D．q是p的充分条件
5．(多选)－＜5x－3＜12的一个必要条件是( )
A．－＜x＜4 B．－＜x＜2
C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
二、填空题
6．设集合A＝{1，2}．
(1)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件；
(2)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件．
7．下列说法正确的是________．(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－28．已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x三、解答题
9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？
(1)若x>2，则x>1；
(2)若x－1＝，则x＝1；
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等．
10．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
11．已知p：－4＜x－a＜4，q：2＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－1≤a≤6}
B．{a|a≤－1}
C．{a|a≥6}
D．{a|a≤－1或a≥6}
12．(多选)下列式子：
①x<1；②0其中，可以是－1A．① B．②
C．③ D．④
13．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为________；一个必要条件可以为________．
14．已知P＝{x|a－415．已知条件p：x<1－a或x>1＋a和条件q：x<或x>1，求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a．
课时分层作业(六)
1．A
2．A [线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，故A满足题意；若x＝，则x2＝2，故B不满足题意；对于C中，若x＝y，当x＝y<0，则不成立，故C不满足题意；四条边相等的四边形未必是正方形，故D不满足题意．]
3．D [因为集合A＝{x|14．AC [根据必要条件和充分条件的定义，p q为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，所以AC正确．]
5．AD [由－<5x－3<12，解得－6．(1){1，2，3}(答案不唯一) (2){1}({1}，{2}任选一个作答即可)
7．①③ [②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②错误；①③正确．]
8．{a|a>2} [B的充分条件是A，即A是B的充分条件，得A B，即A B，得a>2．]
9．解：(1)若x>2，则x>1成立，反之不成立，即p是q的充分条件．
(2)由x－1＝，得x＝1或x＝2，故p是q的必要条件．
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
10．A [
因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙丙，如图．综上，有丙 甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A．]
11．A [因为p是q的必要条件，即q p，则有{x|212．BCD [∵－113．a>3(答案不唯一) a>－1(答案不唯一) [因为一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根，设两个根为x1，x2，
所以解得a≥2．
故一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个充分条件可以为a>3；
一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>－1．]
14．解：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，
所以Q P，
所以所以－1≤a≤5．
即a的取值范围为{a|－1≤a≤5}．
15．解：依题意a>0，由条件p：x<1－a或x>1＋a，
可设M＝{x|x<1－a，或x>1＋a}，
由条件q：x<或x>1，
可设N＝x<，或x>1}．
要使p是q的充分条件但不是必要条件，
则M?N，应有或
解得a≥．
令a＝1，则M＝{x|x<0，或x>2}?N＝x<，或x>1}，
即p q，反之不成立．所以a＝1．
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