1.4.2 充要条件
[学习目标] 1．理解充要条件的意义．(数学抽象) 2．会判断一些简单的充要条件问题．(数学运算) 3．能进行充要条件的证明．(逻辑推理)
探究1 充分、必要、充要条件的判断
问题 判断下列命题的真假．
(1)若两条直线平行，则内错角相等；
(2)若内错角相等，则两直线平行；
(3)若两个三角形的两角和两角的夹边分别相等，则这两个三角形全等；
(4)若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和两角的夹边分别相等．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [新知生成]
1．逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“________”，称这个命题为原命题的逆命题．
2．充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有____，又有____，就记作____．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为____条件．
3．条件关系判定的常用结论：
条件p与结论q的关系 结论(p是q的)
p q，且q p 充分不必要条件
q p，且p q 必要不充分条件
p q，且q p 充要条件
p q，且q p 既不充分也不必要条件
[典例讲评] 【链接教材P21例3】
1．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择恰当的一种填空．
(1)a≥5是a为正数的________；
(2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的________；
(3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的________；
(4)若x∈R，则x2＝2是x＝2的________．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：利用p q与q p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也具有传递性．
[学以致用] 【链接教材P22习题1.4T2】
1．下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：(bc≠0)，q：b2＝ac；
(2)对于反比例函数y＝，x>0，p：k>0，q：y值随x值的增大而减小；
(3)p：函数的图象关于y轴对称，q：函数y＝x2．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 充要条件的证明
[典例讲评] 【链接教材P22例4】
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 证明充要条件的两个方法
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
(2)集合法：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
[学以致用] 【链接教材P23习题1.4T5】
2．求证：“a＝b”是“a2＋b2＝2ab”的充要条件．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 探究3 充要条件的应用
[典例讲评] 3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [母题探究] 本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
[学以致用] 3．已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．已知a，b为实数，则“a＝0”是“ab＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(多选)设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的有( )
A．A∪B＝B B．( UA)∩B＝
C．( UA) ( UB) D．A∪( UB)＝U
3．若“x
A．a≥3 B．a≤－1
C．－1≤a≤3 D．a≤3
4．用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空：
(1)“x∈N”是“x∈Q”的________；
(2)“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的________；
(3)“x>2”是“x>3”的________；
(4)“>0”是“xy>0”的________．
1．知识链：
2．方法链：等价转化．
3．警示牌：证明充要条件时，条件和结论辨别不清．
1.4.2 充要条件
[探究建构] 探究1
问题 提示：(1)真 (2)真 (3)真 (4)真
新知生成 1．若q，则p
2．p q q p p q 充要
典例讲评 1．(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充要条件 (4)既不充分也不必要条件 [(1)a5 a>0，a>0 a5．因此应填“充分不必要条件”．
(2)四边形是矩形 四边形的两对角线相等，反之不成立，比如等腰梯形．因此应填“必要不充分条件”．
(3)四边形的一组对边平行且相等 四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形．因此应填“充要条件”．
(4)x∈R时，x2＝2 x＝2，x＝2 x2＝2．因此应填“既不充分也不必要条件”．]
学以致用 1．解：(1)若(bc≠0)，则b2＝ac，充分性成立；
若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但分式无意义，必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件．
(2)对于反比例函数y，x>0，若k>0，则y随x的增大而减小，反之，若y随x的增大而减小，则k>0，所以p是q的充要条件．
(3)函数图象关于y轴对称，函数可以是y＝x2，也可以不是，充分性不成立，函数y＝x2的图象关于y轴对称，必要性成立，所以p是q的必要不充分条件．
探究2
典例讲评 2．证明：先证明充分性：
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．
∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．
∴x＝1是方程的一个根．
再证明必要性：
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
学以致用 2．证明：先证充分性：
因为a＝b，所以a2＋b2＝a2＋a2＝2a2，
又因为2ab＝2a2，所以a2＋b2＝2ab．
再证必要性：
因为a2＋b2＝2ab，所以a2＋b2－2ab＝0，
即(a－b)2＝0，所以a＝b．
综上可知，“a＝b”是“a2＋b2＝2ab”的充要条件．
探究3
典例讲评 3．解：p：－2x10，q：1－mx1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
即{x|1－mx1＋m} {x|－2x10}，
故有解得m3．
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0母题探究 解：p：－2x10，q：1－mx1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以A B．
所以
解不等式组得m>9或m9，所以m9，
即实数m的取值范围是{m|m9}．
学以致用 3．解：设A＝{x|x<－2，或x>3}，B＝，
因为p是q的必要不充分条件，所以B A，
所以－－2，即m8．
所以m的取值范围为{m|m8}．
[应用迁移]
1．A [a＝0可以推出ab＝0；但ab＝0，则a不一定为0．故选A．]
2．BCD [由Venn图可知，BCD都是充要条件．
故选BCD．
]
3．B [因为“x4．(1)充分条件 (2)充分条件 (3)必要条件 (4)充要条件 [(1)当x∈N时，一定有x∈Q成立，但反之不一定成立，如x∈Q，但 N，故填充分条件；
(2)当x＝2时，22－3×2＋2＝0，反之当x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，故填充分条件；
(3)当x>2时，x>3不一定成立，如x>2，但<3，反之x>3时，x>2一定成立，故填必要条件；
(4)当>0时，说明x，y同号，即xy>0成立，反之当xy>0时，>0一定成立，故填充要条件．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第一章
集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件
[学习目标] 1．理解充要条件的意义．(数学抽象) 2．会判断一些简单的充要条件问题．(数学运算) 3．能进行充要条件的证明．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．什么是充分不必要条件？
问题2．什么是必要不充分条件？
问题3．什么是充要条件？
探究建构 关键能力达成
探究1 充分、必要、充要条件的判断
问题 判断下列命题的真假．
(1)若两条直线平行，则内错角相等；
(2)若内错角相等，则两直线平行；
(3)若两个三角形的两角和两角的夹边分别相等，则这两个三角形全等；
(4)若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和两角的夹边分别相等．
提示：(1)真 (2)真 (3)真 (4)真
[新知生成]
1．逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“________”，称这个命题为原命题的逆命题．
2．充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有____，又有____，就记作____．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为____条件．
若q，则p
p q
q p
p q
充要
3．条件关系判定的常用结论：
条件p与结论q的关系 结论(p是q的)
p q，且q p 充分不必要条件
q p，且p q 必要不充分条件
p q，且q p 充要条件
p q，且q p 既不充分也不必要条件
【教用·微提醒】 “p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别：
(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
[典例讲评] 【链接教材P21例3】
1．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择恰当的一种填空．
(1)a≥5是a为正数的_______________；
(2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的________________；
(3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的_________；
(4)若x∈R，则x2＝2是x＝2的_____________________．
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充要条件 (4)既不充分也不必要条件 [(1)a≥5 a>0，a>0 a≥5．因此应填“充分不必要条件”．
(2)四边形是矩形 四边形的两对角线相等，反之不成立，比如等腰梯形．因此应填“必要不充分条件”．
(3)四边形的一组对边平行且相等 四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形．因此应填“充要条件”．
(4)x∈R时，x2＝2 x＝2，x＝2 x2＝2．因此应填“既不充分也不必要条件”．]
【教材原题·P21例3】
例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；
(4)p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0(a≠0)．
[解] (1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以q p，所以p不是q的充要条件．
(2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件．
(3)因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立，所以p q，所以p不是q的充要条件．
(4)因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件．
【教师·备选题】 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)．
(1)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数，q：a是正数．
[解] (1)法一：当x＝1时，(x－1)(x－2)＝0成立；
当(x－1)(x－2)＝0时，x＝1或x＝2．
∴p是q的充分不必要条件．
法二：A＝{x|x＝1}＝{1}，
B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}，
可知A B，
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，
∴p是q的充要条件．
(3)由q：(x＋2)2≠y2，
得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，
故p是q的必要不充分条件．
(4)0是自然数，但0不是正数，故p q；又是正数，但不是自然数，故q p．故p是q的既不充分也不必要条件．
反思领悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：利用p q与q p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也具有传递性．
[学以致用] 【链接教材P22习题1.4T2】
1．下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：(bc≠0)，q：b2＝ac；
(2)对于反比例函数y＝，x>0，p：k>0，q：y值随x值的增大而减小；
(3)p：函数的图象关于y轴对称，q：函数y＝x2．
[解] (1)若(bc≠0)，则b2＝ac，充分性成立；
若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但分式无意义，必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件．
(2)对于反比例函数y＝，x>0，若k>0，则y随x的增大而减小，反之，若y随x的增大而减小，则k>0，所以p是q的充要条件．
(3)函数图象关于y轴对称，函数可以是y＝x2，也可以不是，充分性不成立，函数y＝x2的图象关于y轴对称，必要性成立，所以p是q的必要不充分条件．
【教材原题·P22习题1.4T2】在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)：
(1)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形；
(2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0(a≠0)；
(3)p：a∈P∩Q，q：a∈P；
(4)p：a∈P∪Q，q：a∈P；
(5)p：x＞y，q：x2＞y2．
[解] (1)因为等边三角形是特殊的等腰三角形，故p是q的必要不充分条件．
(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，则判别式Δ＝b2－4ac≥0．
故p是q的充要条件．
(3)因为a∈P∩Q，故a∈P且a∈Q；当a∈P时，a∈Q不一定成立．
故p是q的充分不必要条件．
(4)因为a∈P∪Q，故a∈P或a∈Q，
所以a∈P不一定成立；
当a∈P时，a∈P∪Q一定成立．
故p是q的必要不充分条件．
(5)当x＝1，y＝－2时，满足x＞y，但x2＞y2不成立；
当x＝－2，y＝1时，满足x2＞y2，但x＞y不成立．
故p是q的既不充分也不必要条件．
探究2 充要条件的证明
[典例讲评] 【链接教材P22例4】
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
[证明] 先证明充分性：
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．
∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．
∴x＝1是方程的一个根．
再证明必要性：
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
【教材原题·P22例4】
例4 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(p q)和必要性(q p)即可．
[证明] 设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．
(1)充分性(p q)：如图1.4-2，作OP⊥l于点P，则OP＝d．
若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，
连接OQ．在Rt△OPQ中，OQ>OP＝r．所以，除点P外直
线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切．
(2)必要性(q p)：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l．因此，d＝OP＝r．
由(1)(2)可得，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
反思领悟 证明充要条件的两个方法
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
(2)集合法：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
[学以致用] 【链接教材P23习题1.4T5】
2．求证：“a＝b”是“a2＋b2＝2ab”的充要条件．
[证明] 先证充分性：
因为a＝b，所以a2＋b2＝a2＋a2＝2a2，
又因为2ab＝2a2，所以a2＋b2＝2ab．
再证必要性：
因为a2＋b2＝2ab，所以a2＋b2－2ab＝0，
即(a－b)2＝0，所以a＝b．
综上可知，“a＝b”是“a2＋b2＝2ab”的充要条件．
【教材原题·P23习题1.4T5】设a，b，c∈R．证明：a＝b＝c是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc的充要条件．
[证明] (1)充分性：如果a＝b＝c，
那么(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，∴a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc．
(2)必要性：如果a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，
那么a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，∴a＝b＝c．
由(1)(2)知，a＝b＝c是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc的充要条件．
【教用·备选题】 已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件．
[证明] 充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2．
∵ac<0，∴x1·x2＝<0，
∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程．
设两个根分别为x1，x2，
则x1x2＝<0，∴ac<0．
综上，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件．
探究3 充要条件的应用
[典例讲评] 3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m} {x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3．
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0[母题探究] 本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．
[解] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A B．
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
反思领悟 应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
[学以致用] 3．已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解] 设A＝{x|x<－2，或x>3}，B＝，
因为p是q的必要不充分条件，
所以B A，
所以－≤－2，即m≥8．
所以m的取值范围为{m|m≥8}．
应用迁移 随堂评估自测
1．已知a，b为实数，则“a＝0”是“ab＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
√
A [a＝0可以推出ab＝0；但ab＝0，则a不一定为0．故选A．]
√
2．(多选)设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的有( )
A．A∪B＝B B．( UA)∩B＝
C．( UA) ( UB) D．A∪( UB)＝U
√
√
BCD [由Venn图可知，BCD都是充要条件．
故选BCD．]
√
3．若“xA．a≥3 B．a≤－1
C．－1≤a≤3 D．a≤3
B [因为“x4．用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空：
(1)“x∈N”是“x∈Q”的________；
(2)“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的________；
(3)“x>2”是“x>3”的________；
(4)“>0”是“xy>0”的________．
充分条件
充分条件
必要条件
充要条件
(1)充分条件 (2)充分条件 (3)必要条件 (4)充要条件 [(1)当x∈N时，一定有x∈Q成立，但反之不一定成立，如x＝∈Q，但 N，故填充分条件；
(2)当x＝2时，22－3×2＋2＝0，反之当x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，故填充分条件；
(3)当x>2时，x>3不一定成立，如x＝>2，但<3，反之x>3时，x>2一定成立，故填必要条件；
(4)当>0时，说明x，y同号，即xy>0成立，反之当xy>0时，>0一定成立，故填充要条件．]
1．知识链：
2．方法链：等价转化．
3．警示牌：证明充要条件时，条件和结论辨别不清．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．命题“若p，则q”及其逆命题的真假与充分、必要条件间存在怎样的关系？
[提示]
条件p与结论q的关系 结论
p q，且q p p是q的充分不必要条件
q p，且p q p是q的必要不充分条件
p q，且q p，即p q p是q的充要条件
p q，且q p p是q的既不充分
也不必要条件
2．要证明一个命题的充要条件需要证明几个方面？
[提示] 需要证明充分性和必要性两个方面．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
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课时分层作业(七) 充要条件
√
一、选择题
1．若a∈R，则“a＝3”是“(a＋1)(a－3)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由(a＋1)(a－3)＝0，得a＝－1或a＝3，
所以“a＝3”是“a＝－1或a＝3”的充分不必要条件，
即“a＝3”是“(a＋1)(a－3)＝0”的充分不必要条件．
故选A．]
题号
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√
2．已知a＞0，b＞0，c＞0，则“a＋b＞c”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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B [若a，b，c是某三角形的三边长，则有a＋b ＞c，当a＝5，b＝1，c＝2时，得a＋b＞c，但a，b，c不能构成三角形的三边长，所以“a＋b＞c”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件．故选B．]
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√
3．“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风．”其中，“万事俱备，只欠东风”比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件．你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件．]
√
题号
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4．(多选)如图，直线a，b被直线c所截．下列条件中，是a∥b的充要条件的有( )
A．∠2＝∠4
B．∠1＋∠4＝180°
C．∠5＝∠4
D．∠1＝∠3
√
√
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ABC [若同位角相等，则两直线平行，若两直线平行，则同位角相等，A选项正确；
若同旁内角互补，则两直线平行，若两直线平行，则同旁内角互补，B选项正确；
若内错角相等，则两直线平行，若两直线平行，则内错角相等，C选项正确；
显然，∠1与∠3是对顶角，由∠1＝∠3不能得到两直线平行，D选项错误．故选ABC．]
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√
5．(多选)下列命题中为真命题的是( )
A．“x>4”是“x<5”的既不充分也不必要条件
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C．“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ＝b2－4ac≥0”
D．若A∩B＝A，则A B
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ACD [由于“x>4”与“x<5”互相不能推出，所以A正确；
正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以B错误；
由一元二次方程根的判别式可知，C正确；
由集合间的基本关系可知，D正确．故选ACD．]
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二、填空题
6．已知甲：p是q的充分条件；乙：p是q的充要条件，则甲是乙的___________条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)．
必要不充分 [当p是q的充分条件时，p可以推出q，但q不一定能推出p，因此不一定有p是q的充要条件．当p是q的充要条件时，p和q可以相互推出，因此p是q的充分条件．
故答案为：必要不充分．]
必要不充分
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7．已知p：－4≤x－1≤6，q：－a＋2≤x≤2＋a，若p是q的充要条件，则实数a＝________．
5 [因为p：－3≤x≤7，q：－a＋2≤x≤2＋a，p是q的充要条件，所以－a＋2＝－3，2＋a＝7，解得a＝5．]
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8．给出下列条件：
①p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0；
②p：x2－1＝0，q：x－1＝0；
③p：x>4且y>3，q：x＋y>7．
其中p是q的必要不充分条件的为________．(填序号)
②
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② [对于①，p：x＝1或x＝2；q：x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件；
对于②，p：x2－1＝0，解得x＝±1，
q：x－1＝0，解得x＝1，所以p是q的必要不充分条件；
对于③，由p：x>4且y>3可得q：x＋y>7成立，
但当x＋y>7时，可令x＝6，y＝2，不满足y>3．
所以p是q的充分不必要条件．]
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三、解答题
9．已知p：－2＜x－a＜4，q：x＞b，r：＜x＜2a，若r是p的充要条件，r是q的充分不必要条件，求实数a的值与b的取值范围．
[解] 因为p：－2＜x－a＜4，所以a－2＜x＜a＋4，
又因为r是p的充要条件，所以解得a＝4，故r：2＜x＜8，
又因为r是q的充分不必要条件，所以b≤2，
综上所述，a＝4，b的取值范围是{b|b≤2}．]
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10．方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a>1
√
C [一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是0，则其充分不必要条件的范围应是集合a<0}，故C正确．故选C．]
题号
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11．已知集合A＝{1，a2}，B＝{a，b2}，则“a＝0，b＝1”是“A＝B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
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A [充分性：当a＝0，b＝1时，A＝B，充分性成立；
必要性：当A＝B时，有或
由得(舍去)或(舍去)，
由且a2≠1得或即不一定有a＝0，b＝1，必要性不成立，
故“a＝0，b＝1”是“A＝B”的充分不必要条件．故选A．]
√
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12．下列选项中，p是q的充要条件的是( )
A．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0
B．p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|
C．p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实数根
D．p：x>2或x<－1，q：x<－1
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B [对于A，由p q知，p不是q的充要条件；对于B，由|x|＋|y|＝|x＋y|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy≥0，故p是q的充要条件；对于C，方程x2－x－m＝0有实数根，判别式Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，所以q p，所以p不是q的充要条件；对于D，因为p q，所以p不是q的充要条件．故选B．]
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13．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是___________．
m＝－2 [函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
m＝－2
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14．证明：“△ABC两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件．
[证明] 充分性：在△ABC中，设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2．
则S△ABC＝AB·h2，
因为h1＝h2，所以AC＝AB，
故△ABC为等腰三角形，充分性成立．
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必要性：若△ABC为等腰三角形，设AB＝AC，AC边上的高为h1，AB边上的高为h2，
则根据三角形面积公式
S△ABC＝AB·h2，
可得h1＝h2，必要性成立．
故“△ABC两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件．
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15．设集合A是一个点集，对A定义一个新运算 ，若集合A中的元素m与n满足m＝(a，b)，n＝(c，d)，则m n＝(a×(c＋d)，b＋d)．
(1)求(2，1) (3，2)；
(2)已知α∈A，若“α＝(x，y)”是“对于任意β，β α＝β都成立”的充要条件，求α．
[解] (1)(2，1) (3，2)＝(2×(3＋2)，1＋2)＝(10，3)．
(2)必要性：
若β α＝β，设β＝(p，q)，
则β α＝β，即(p(x＋y)，q＋y)＝(p，q)，
即则y＝0，
若p＝0，则x∈R，α＝(x，0)；
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若p≠0，则x＝1，y＝0，α＝(1，0)．
充分性：
若α＝(x，0)，则满足β α＝β的β只能是β＝(0，q)，不符合任意性；
若α＝(1，0)，此时β α＝β，即为(p(1＋0)，q＋0)＝(p，q)恒成立．
综上，α＝(1，0)．
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谢 谢！课时分层作业(七) 充要条件
一、选择题
1．若a∈R，则“a＝3”是“(a＋1)(a－3)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知a＞0，b＞0，c＞0，则“a＋b＞c”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风．”其中，“万事俱备，只欠东风”比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件．你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(多选)如图，直线a，b被直线c所截．下列条件中，是a∥b的充要条件的有( )
A．∠2＝∠4
B．∠1＋∠4＝180°
C．∠5＝∠4
D．∠1＝∠3
5．(多选)下列命题中为真命题的是( )
A．“x>4”是“x<5”的既不充分也不必要条件
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C．“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ＝b2－4ac≥0”
D．若A∩B＝A，则A B
二、填空题
6．已知甲：p是q的充分条件；乙：p是q的充要条件，则甲是乙的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)．
7．已知p：－4≤x－1≤6，q：－a＋2≤x≤2＋a，若p是q的充要条件，则实数a＝________．
8．给出下列条件：
①p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0；
②p：x2－1＝0，q：x－1＝0；
③p：x>4且y>3，q：x＋y>7．
其中p是q的必要不充分条件的为________．(填序号)
三、解答题
9．已知p：－2＜x－a＜4，q：x＞b，r：＜x＜2a，若r是p的充要条件，r是q的充分不必要条件，求实数a的值与b的取值范围．
10．方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a>1
11．已知集合A＝{1，a2}，B＝{a，b2}，则“a＝0，b＝1”是“A＝B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．下列选项中，p是q的充要条件的是( )
A．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0
B．p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|
C．p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实数根
D．p：x>2或x<－1，q：x<－1
13．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
14．证明：“△ABC两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件．
15．设集合A是一个点集，对A定义一个新运算 ，若集合A中的元素m与n满足m＝(a，b)，n＝(c，d)，则m n＝(a×(c＋d)，b＋d)．
(1)求(2，1) (3，2)；
(2)已知α∈A，若“α＝(x，y)”是“对于任意β，β α＝β都成立”的充要条件，求α．
课时分层作业(七)
1．A [由(a＋1)(a－3)＝0，得a＝－1或a＝3，
所以“a＝3”是“a＝－1或a＝3”的充分不必要条件，
即“a＝3”是“(a＋1)(a－3)＝0”的充分不必要条件．
故选A．]
2．B [若a，b，c是某三角形的三边长，则有a＋b >c，当a＝5，b＝1，c＝2时，得a＋b>c，但a，b，c不能构成三角形的三边长，所以“a＋b>c”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件．故选B．]
3．B [“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件．]
4．ABC [若同位角相等，则两直线平行，若两直线平行，则同位角相等，A选项正确；
若同旁内角互补，则两直线平行，若两直线平行，则同旁内角互补，B选项正确；
若内错角相等，则两直线平行，若两直线平行，则内错角相等，C选项正确；
显然，∠1与∠3是对顶角，由∠1＝∠3不能得到两直线平行，D选项错误．故选ABC．]
5．ACD [由于“x>4”与“x<5”互相不能推出，所以A正确；
正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以B错误；
由一元二次方程根的判别式可知，C正确；
由集合间的基本关系可知，D正确．故选ACD．]
6．必要不充分 [当p是q的充分条件时，p可以推出q，但q不一定能推出p，因此不一定有p是q的充要条件．当p是q的充要条件时，p和q可以相互推出，因此p是q的充分条件．
故答案为：必要不充分．]
7．5 [因为p：－3≤x≤7，q：－a＋2≤x≤2＋a，p是q的充要条件，所以－a＋2＝－3，2＋a＝7，解得a＝5．]
8．② [对于①，p：x＝1或x＝2；q：x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件；
对于②，p：x2－1＝0，解得x＝±1，
q：x－1＝0，解得x＝1，所以p是q的必要不充分条件；
对于③，由p：x>4且y>3可得q：x＋y>7成立，
但当x＋y>7时，可令x＝6，y＝2，不满足y>3．
所以p是q的充分不必要条件．]
9．解：因为p：－2又因为r是p的充要条件，所以解得a＝4，故r：2又因为r是q的充分不必要条件，所以b≤2，
综上所述，a＝4，b的取值范围是{b|b≤2}．]
10．C [一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是<0，即a<0，则其充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，又{a|a<－1} {a|a<0}，故C正确．故选C．]
11．A [充分性：当a＝0，b＝1时，A＝B，充分性成立；
必要性：当A＝B时，有
由(舍去)或(舍去)，
由即不一定有a＝0，b＝1，必要性不成立，
故“a＝0，b＝1”是“A＝B”的充分不必要条件．故选A．]
12．B [对于A，由pq知，p不是q的充要条件；对于B，由|x|＋|y|＝|x＋y|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy≥0，故p是q的充要条件；对于C，方程x2－x－m＝0有实数根，判别式Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，所以qp，所以p不是q的充要条件；对于D，因为pq，所以p不是q的充要条件．故选B．]
13．m＝－2 [函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
14．证明：充分性：在△ABC中，设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2．
则S△ABC＝AC·h1＝AB·h2，
因为h1＝h2，所以AC＝AB，
故△ABC为等腰三角形，充分性成立．
必要性：若△ABC为等腰三角形，设AB＝AC，AC边上的高为h1，AB边上的高为h2，
则根据三角形面积公式
S△ABC＝AC·h1＝AB·h2，
可得h1＝h2，必要性成立．
故“△ABC两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件．
15．解：(1)(2，1) (3，2)＝(2×(3＋2)，1＋2)＝(10，3)．
(2)必要性：
若β α＝β，设β＝(p，q)，
则β α＝β，即(p(x＋y)，q＋y)＝(p，q)，
即则y＝0，
若p＝0，则x∈R，α＝(x，0)；
若p≠0，则x＝1，y＝0，α＝(1，0)．
充分性：
若α＝(x，0)，则满足β α＝β的β只能是β＝(0，q)，不符合任意性；
若α＝(1，0)，此时β α＝β，即为(p(1＋0)，q＋0)＝(p，q)恒成立．
综上，α＝(1，0)．
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