1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词
[学习目标] 1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(数学抽象) 2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(数学抽象) 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(逻辑推理)
探究1 全称量词与全称量词命题
问题1 观察下列语句，回答下列问题：
①x≤2；②任意给定实数x，x≤2；
③2x是偶数；④对于每一个x∈Z，2x都是偶数．
(1)上述语句都是命题吗？
(2)语句①与②有什么区别？
(3)②④有什么共同特点？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [新知生成]
全称量词 所有的、任意一个
符号表示 __
全称量词命题 含有________的命题
形式 “对M中____一个x，p(x)成立”可用符号简记为______________
[典例讲评] 【链接教材P27例1】
1．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词：
(1)每一个多边形的外角和都是360°；
(2)所有的合数都是偶数；
(3)对任意的有理数x，x2也是有理数；
(4) x∈R，x都有平方根；
(5) x∈R，有－x2≤0．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的、任意一个、一切、每一个、任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别．
[学以致用] 【链接教材P35复习参考题1T10】
1．判断下列全称量词命题的真假：
(1)菱形的四条边相等；
(2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(3)两个无理数的和必是无理数．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 探究2 存在量词与存在量词命题
问题2 观察下列语句，回答下列问题：
①3x－1＝0；②存在实数x，使3x－1＝0；
③有意义；④至少有一个实数x，使有意义．
(1)上述语句都是命题吗？
(2)语句①与②有什么区别？
(3)②④有什么共同特点？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ [新知生成]
存在量词 存在一个、至少有一个
符号表示 __
存在量词 命题 含有________的命题
形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为______________
[典例讲评] 【链接教材P28例2】
2．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：
(1)实数都能写成小数；
(2)在实数集内，有些一元二次方程无根；
(3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直；
(4)存在一个自然数n，使代数式n2－2n＋2的值是负数．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别．
[学以致用] 2．判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假：
(1)有些整数既能被5整除，又能被7整除；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)方程3x－2y＝10有整数解；
(4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 探究3 依据含量词命题的真假求参数的取值范围
[典例讲评] 3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ ．
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 依据含量词命题的真假求参数的取值范围
把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围．
[学以致用] 3．命题p：存在x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．下列命题是“ x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是( )
A．有一个x∈R，使得x2＞3
B．对有些x∈R，使得x2＞3
C．任选一个x∈R，使得x2＞3
D．至少有一个x∈R，使得x2＞3
2．下列命题中是存在量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．任意一个负数都比零小
C．每一个正方形都是矩形
D．一定存在没有最大值的二次函数
3．(多选)(教材P31习题1.5T1改编)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A． x∈R，x2＋2x＋1≥0
B． x∈N，2x＋1为奇数
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
4．若命题“ x∈{x|1
1．知识链：
2．方法链：定义法、转化法．
3．警示牌：依据含量词命题的真假求参数的取值范围时，常因等价转化错误导致解题切入点错误．
1.5.1 全称量词与存在量词
[探究建构] 探究1
问题1 提示：(1)语句①③不是命题；语句②④是命题．
(2)②加了对x范围的限定条件“任意给定实数x”，加了量词、范围．
(3)②④都有对变量x的限定条件，量词分别是“任意、每一个”均表示所有．
新知生成 全称量词 任意 x∈M，p(x)
典例讲评 1．解：(1)命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题．
(2)命题中含有全称量词“所有的”，是全称量词命题．
(3)命题中含有全称量词“任意的”，是全称量词命题．
(4)命题中含有全称量词“ ”，是全称量词命题．
(5)命题中含有全称量词“ ”，是全称量词命题．
学以致用 1．解：(1)真命题．(2)真命题．(3)，－均为无理数，但＋(－)＝0为有理数，假命题．
探究2
问题2 提示：(1)语句①③不是命题；语句②④是命题．
(2)②加了对x范围的限定条件“存在实数x”，即添加了量词和范围．
(3)②④都有对变量x的限定条件，量词分别是“存在、至少有一个”都表示存在．
新知生成 存在量词 x∈M，p(x)
典例讲评 2．解：(1)不是．
(2)是；存在量词是“有些”．
(3)是；存在量词是“存在”．
(4)是；存在量词是“存在一个”．
学以致用 2．解：(1)存在量词命题，真命题，如35．
(2)存在量词命题，真命题，如梯形．
(3)存在量词命题，可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．真命题，如x＝4，y＝1．
(4)存在量词命题，假命题，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，因此方程无实根．
探究3
典例讲评 3．解：(1)由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，B≠ ，所以解得2m3．
所以m的取值范围是{m|2m3}．
(2)q为真命题，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，所以m2，则m＋13．
所以解得2m4．
所以m的取值范围是{m|2m4}．
学以致用 3．解：当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；
当a≠0时，若方程ax2＋2x－1＝0有实根，则Δ＝4＋4a0，解得a－1，且a≠0．
综上可得a－1．
即实数a的取值范围是．
[应用迁移]
1．C
2．D [D选项是存在量词命题．]
3．AC [对于A， x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)20恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题；
对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题；
对于C，该命题是全称量词命题，且是真命题；
对于D，该命题不是全称量词命题．故选AC．]
4．{a|a2} [由题意得a2．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新” 打通应考之“脉”
第一章
集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词
[学习目标] 1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(数学抽象) 2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(数学抽象) 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？
问题2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1 全称量词与全称量词命题
问题1 观察下列语句，回答下列问题：
①x≤2；②任意给定实数x，x≤2；
③2x是偶数；④对于每一个x∈Z，2x都是偶数．
(1)上述语句都是命题吗？
(2)语句①与②有什么区别？
(3)②④有什么共同特点？
提示：(1)语句①③不是命题；语句②④是命题．
(2)②加了对x范围的限定条件“任意给定实数x”，加了量词、范围．
(3)②④都有对变量x的限定条件，量词分别是“任意、每一个”均表示所有．
[新知生成]
全称量词 所有的、任意一个
符号表示 __
全称量词命题 含有________的命题
形式 “对M中_______一个x，p(x)成立”可用符号简记为
_____________
全称量词
任意
x∈M，p(x)
【教用·微提醒】 (1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
[典例讲评] 【链接教材P27例1】
1．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词：
(1)每一个多边形的外角和都是360°；
(2)所有的合数都是偶数；
(3)对任意的有理数x，x2也是有理数；
(4) x∈R，x都有平方根；
(5) x∈R，有－x2≤0．
[解] (1)命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题．
(2)命题中含有全称量词“所有的”，是全称量词命题．
(3)命题中含有全称量词“任意的”，是全称量词命题．
(4)命题中含有全称量词“ ”，是全称量词命题．
(5)命题中含有全称量词“ ”，是全称量词命题．
【教材原题·P27例1】
例1 判断下列全称量词命题的真假：
(1)所有的素数都是奇数；
(2) x∈R，|x|＋1≥1；
(3)对任意一个无理数x，x2也是无理数．
[分析] 要判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．
[解] (1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题．
(2) x∈R，总有|x|≥0，因而|x|＋1≥1．所以，全称量词命题“ x∈R，|x|＋1≥1”是真命题．
(3)是无理数，但()2＝2是有理数．所以，全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．
反思领悟 判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的、任意一个、一切、每一个、任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别．
[学以致用] 【链接教材P35复习参考题1T10】
1．判断下列全称量词命题的真假：
(1)菱形的四条边相等；
(2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(3)两个无理数的和必是无理数．
[解] (1)真命题．(2)真命题．(3)，－均为无理数，但＋(－)＝0为有理数，假命题．
【教材原题·P35复习参考题1T10】把下列定理表示的命题写成含有量词的命题：
(1)勾股定理；
(2)三角形内角和定理．
[解] (1)任意一个直角三角形，它的斜边的平方都等于两直角边的平方和．
(2)所有三角形的内角和都是180°．
探究2 存在量词与存在量词命题
问题2 观察下列语句，回答下列问题：
①3x－1＝0；②存在实数x，使3x－1＝0；
③有意义；④至少有一个实数x，使有意义．
(1)上述语句都是命题吗？
(2)语句①与②有什么区别？
(3)②④有什么共同特点？
提示：(1)语句①③不是命题；语句②④是命题．
(2)②加了对x范围的限定条件“存在实数x”，即添加了量词和范围．
(3)②④都有对变量x的限定条件，量词分别是“存在、至少有一个”都表示存在．
[新知生成]
存在量词 存在一个、至少有一个
符号表示 __
存在量词命题 含有________的命题
形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为____________
存在量词
x∈M，p(x)
【教用·微提醒】 存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．
[典例讲评] 【链接教材P28例2】
2．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：
(1)实数都能写成小数；
(2)在实数集内，有些一元二次方程无根；
(3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直；
(4)存在一个自然数n，使代数式n2－2n＋2的值是负数．
[解] (1)不是．
(2)是；存在量词是“有些”．
(3)是；存在量词是“存在”．
(4)是；存在量词是“存在一个”．
【教材原题·P28例2】
例2 判断下列存在量词命题的真假：
(1)有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0；
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
(3)有些平行四边形是菱形．
[分析] 要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题．
[解] (1)由于Δ＝22－4×3＝－8<0，因此一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实根．
所以，存在量词命题“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”是假命题．
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线．所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题．
(3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．
反思领悟 判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别．
[学以致用] 2．判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假：
(1)有些整数既能被5整除，又能被7整除；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)方程3x－2y＝10有整数解；
(4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0．
[解] (1)存在量词命题，真命题，如35．
(2)存在量词命题，真命题，如梯形．
(3)存在量词命题，可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．真命题，如x＝4，y＝1．
(4)存在量词命题，假命题，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，因此方程无实根．
探究3 依据含量词命题的真假求参数的取值范围
[典例讲评] 3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ ．
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
[解] (1)由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，B≠ ，所以解得2≤m≤3．
所以m的取值范围是{m|2≤m≤3}．
(2)q为真命题，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，所以m≥2，则m＋1≥3．
所以解得2≤m≤4．
所以m的取值范围是{m|2≤m≤4}．
反思领悟 依据含量词命题的真假求参数的取值范围
把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围．
[学以致用] 3．命题p：存在x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
[解] 当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；
当a≠0时，若方程ax2＋2x－1＝0有实根，则Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0．
综上可得a≥－1．
即实数a的取值范围是．
【教用·备选题】 若命题“对任意实数x，2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围．
[解] 由题意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立，
即不等式mx2－2x＋m<0恒成立．
(1)当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不符合题意．
(2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，
则解得m<－1．
综上可知，实数m的取值范围是{m|m<－1}．
应用迁移 随堂评估自测
1．下列命题是“ x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是( )
A．有一个x∈R，使得x2＞3
B．对有些x∈R，使得x2＞3
C．任选一个x∈R，使得x2＞3
D．至少有一个x∈R，使得x2＞3
√
√
2．下列命题中是存在量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．任意一个负数都比零小
C．每一个正方形都是矩形
D．一定存在没有最大值的二次函数
D [D选项是存在量词命题．]
√
3．(多选)(教材P31习题1.5T1改编)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A． x∈R，x2＋2x＋1≥0
B． x∈N，2x＋1为奇数
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
√
AC [对于A， x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题；
对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题；
对于C，该命题是全称量词命题，且是真命题；
对于D，该命题不是全称量词命题．故选AC．]
4．若命题“ x∈{x|1{a|a≥2} [由题意得a≥2．]
{a|a≥2}
1．知识链：
2．方法链：定义法、转化法．
3．警示牌：依据含量词命题的真假求参数的取值范围时，常因等价转化错误导致解题切入点错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．常见的全称量词有哪些？用符号怎么表示？
[提示] 全称量词有：“所有的”“任意一个”等，并用符号“ ”表示．
2．常见的存在量词有哪些？用符号怎么表示？
[提示] 存在量词有：“存在一个”“至少有一个”等，用符号“ ”表示．
3．全称量词命题如何用符号表述？存在量词命题呢？
[提示] 全称量词命题用符号简记为“ x∈M，p(x)”；存在量词命题用符号简记为“ x∈M，p(x)”．
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(八) 全称量词与存在量词
√
一、选择题
1．命题“矩形都有外接圆”是( )
A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题
C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题
A [命题“矩形都有外接圆”，即所有的矩形都有外接圆，为全称量词命题，且为真命题．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．关于命题“ x∈N，x2＋2x＝0”，下列判断正确的是( )
A．该命题是全称量词命题，且是真命题
B．该命题是存在量词命题，且是真命题
C．该命题是全称量词命题，且是假命题
D．该命题是存在量词命题，且是假命题
B [该命题是存在量词命题，当x＝0时，x2＋2x＝0，所以该命题为真命题．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．若命题p： x∈R，x2＋2x－m－1＝0是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．{m|m＞－2} B．{m|m≥－2}
C．{m|m＜－2} D．{m|m≤－2}
B [因为命题p： x∈R，x2＋2x－m－1＝0是真命题，所以方程x2＋2x－m－1＝0有实根，所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，解得m≥－2．故选B．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．下列四个命题中，是真命题的是( )
A． x∈R，x2＋3＜0
B． x∈N，x2＞1
C． x∈Z，使x3＜1
D． x∈Q，x2＝3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
C [对于A，显然 x∈R，x2＋3＞0，故A错误；
对于B，当x＝1时，x2＝1，故B错误；
对于C，当x＝0时，x3＝0＜1，故C正确；
对于D，由x2＝3 x＝± Q，故D错误．故选C．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
5．(多选)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞2}，则( )
A． x∈A，x∈B B． x∈B，x A
C． x∈A，x B D． x∈B，x∈A
AD [依题意集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞2}，所以B是A的真子集，所以 x∈A，x∈B； x∈B，x∈A，即AD选项正确，BC选项错误．故选AD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．命题“有些一元一次不等式的解集是空集”是______________．
(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)
存在量词命题 [原命题即“存在一元一次不等式，其解集是空集”，所以是“存在量词命题”．]
存在量词命题
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．已知命题p：“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是________．
5 [当x≥3时，2x≥6 2x－1≥5，
因为“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5．所以实数m的最大值是5．]
5
题号
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8．命题p： x，y∈R，x2＋y2≤1是_________________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是___命题(填“真”或“假”)．
存在量词命题 真 [命题p是存在量词命题，当x＝0，y＝0时，0≤1成立，故p是真命题．]
存在量词命题
真
题号
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三、解答题
9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：
(1)末位是零的整数，可以被2整除；
(2) x∈R，有|x＋1|＞1；
(3)有的集合中不含有任何元素；
(4)存在对角线不互相垂直的菱形；
(5) x∈R，满足3x2＋2＞0；
(6)有些整数只有两个正因数．
题号
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[解] (1)是全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被2整除，所以“末位是零的整数，可以被2整除”是真命题．
(2)是全称量词命题，当x＝0时，不满足|x＋1|＞1，所以“ x∈R，有|x＋1|＞1”为假命题．
(3)是存在量词命题，由于空集中不含有任何元素．
因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．
题号
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(4)是存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形，
因此“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．
(5)是存在量词命题，当x＝0时，3x2＋2＞0，因此“ x∈R，3x2＋2＞0”是真命题．
(6)是存在量词命题，由于存在整数3只有正因数1和3，所以“有些整数只有两个正因数”为真命题．
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10．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是( )
A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．梯形两条对角线相等
C．有小于1的自然数
D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)
√
D [选项A是全称量词命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)．故选D．]
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11．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．0∈N
B．“六边形的内角和为720°”是全称量词命题
C．∈Q
D．“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是存在量词命题
√
√
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AB [0∈N， Q，故A正确，C错误；
“六边形的内角和为720°”是全称量词命题，故B正确；
“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是全称量词命题，D错误．故选AB．]
√
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√
12．(多选)命题p：存在实数x∈M，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3．若命题p为真命题，则实数x的取值集合M可以为( )
A．{3，4，5} B．{x|x>2}
C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6}
√
ACD [因为中位数为3，所以x≥3即可．故选ACD．]
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13．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为____________________．
(答案不唯一) [存在两个不相等的正数a，b，如a＝时，使得a－b＝ab是真命题．]
(答案不唯一)
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14．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|m－1≤x≤2m＋3}，若 x1∈A， x2∈B，使得x1＝x2，求整数m的取值集合．
[解] 因为 x1∈A， x2∈B，使得x1＝x2，所以A B．
所以m－1≤1，2m＋3≥3，且2m＋3≥m－1，解得0≤m≤2．
又因为m∈Z，所以整数m的取值集合为{0，1，2}．
题号
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15．【链接教材P35复习参考题1T12】观察下列等式：
1＝1
1＋2＝3
1＋2＋3＝6
1＋2＋3＋4＝10
1＋2＋3＋4＋5＝15
…
13＝1
13＋23＝9
13＋23＋33＝36
13＋23＋33＋43＝100
13＋23＋33＋43＋53＝225
…
写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：_________________
_______________________________________．
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对于任意的正整数n，
必有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2
对于任意的正整数n，必有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2 [第二列等式右边分别是1×1，3×3，6×6，10×10，15×15，…，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2．]
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【教材原题·P35复习参考题1T12】根据下述事实，分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：
(1)1＝12，
1＋3＝22，
1＋3＋5＝32，
1＋3＋5＋7＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝52，
……
(2)如图，在△ABC中，AD，BE与CF分别为BC，AC与AB边上的高，则AD，BE与CF所在的直线交于一点O．
[解] (1) n∈N*，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2．
(2)任意三角形的三条高线交于一点．
谢 谢！课时分层作业(八) 全称量词与存在量词
一、选择题
1．命题“矩形都有外接圆”是( )
A．全称量词命题、真命题
B．全称量词命题、假命题
C．存在量词命题、真命题
D．存在量词命题、假命题
2．关于命题“ x∈N，x2＋2x＝0”，下列判断正确的是( )
A．该命题是全称量词命题，且是真命题
B．该命题是存在量词命题，且是真命题
C．该命题是全称量词命题，且是假命题
D．该命题是存在量词命题，且是假命题
3．若命题p： x∈R，x2＋2x－m－1＝0是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．{m|m＞－2} B．{m|m≥－2}
C．{m|m＜－2} D．{m|m≤－2}
4．下列四个命题中，是真命题的是( )
A． x∈R，x2＋3＜0
B． x∈N，x2＞1
C． x∈Z，使x3＜1
D． x∈Q，x2＝3
5．(多选)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞2}，则( )
A． x∈A，x∈B B． x∈B，x A
C． x∈A，x B D． x∈B，x∈A
二、填空题
6．命题“有些一元一次不等式的解集是空集”是__________．(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)
7．已知命题p：“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是________．
8．命题p： x，y∈R，x2＋y2≤1是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．
三、解答题
9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：
(1)末位是零的整数，可以被2整除；
(2) x∈R，有|x＋1|＞1；
(3)有的集合中不含有任何元素；
(4)存在对角线不互相垂直的菱形；
(5) x∈R，满足3x2＋2＞0；
(6)有些整数只有两个正因数．
10．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是( )
A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．梯形两条对角线相等
C．有小于1的自然数
D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)
11．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．0∈N
B．“六边形的内角和为720°”是全称量词命题
C．∈Q
D．“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是存在量词命题
12．(多选)命题p：存在实数x∈M，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3．若命题p为真命题，则实数x的取值集合M可以为( )
A．{3，4，5} B．{x|x>2}
C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6}
13．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________．
14．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|m－1≤x≤2m＋3}，若 x1∈A， x2∈B，使得x1＝x2，求整数m的取值集合．
15．【链接教材P35复习参考题1T12】观察下列等式：
1＝1
1＋2＝3
1＋2＋3＝6
1＋2＋3＋4＝10
1＋2＋3＋4＋5＝15
…
13＝1
13＋23＝9
13＋23＋33＝36
13＋23＋33＋43＝100
13＋23＋33＋43＋53＝225
…
写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：________________________．
课时分层作业(八)
1．A [命题“矩形都有外接圆”，即所有的矩形都有外接圆，为全称量词命题，且为真命题．故选A．]
2．B [该命题是存在量词命题，当x＝0时，x2＋2x＝0，所以该命题为真命题．故选B．]
3．B [因为命题p： x∈R，x2＋2x－m－1＝0是真命题，所以方程x2＋2x－m－1＝0有实根，所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，解得m≥－2．故选B．]
4．C [对于A，显然 x∈R，x2＋3>0，故A错误；
对于B，当x＝1时，x2＝1，故B错误；
对于C，当x＝0时，x3＝0<1，故C正确；
对于D，由x2＝3 x＝± Q，故D错误．故选C．]
5．AD [依题意集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2}，所以B是A的真子集，所以 x∈A，x∈B； x∈B，x∈A，即AD选项正确，BC选项错误．故选AD．]
6．存在量词命题 [原命题即“存在一元一次不等式，其解集是空集”，所以是“存在量词命题”．]
7．5 [当x≥3时，2x≥6 2x－1≥5，
因为“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5．所以实数m的最大值是5．]
8．存在量词命题 真 [命题p是存在量词命题，当x＝0，y＝0时，0≤1成立，故p是真命题．]
9．解：(1)是全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被2整除，
所以“末位是零的整数，可以被2整除”是真命题．
(2)是全称量词命题，当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“ x∈R，有|x＋1|>1”为假命题．
(3)是存在量词命题，由于空集中不含有任何元素．
因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．
(4)是存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形，
因此“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．
(5)是存在量词命题，当x＝0时，3x2＋2>0，因此“ x∈R，3x2＋2>0”是真命题．
(6)是存在量词命题，由于存在整数3只有正因数1和3，所以“有些整数只有两个正因数”为真命题．
10．D [选项A是全称量词命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)．故选D．]
11．AB [0∈N， Q，故A正确，C错误；
“六边形的内角和为720°”是全称量词命题，故B正确；
“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是全称量词命题，D错误．故选AB．]
12．ACD [因为中位数为3，所以x≥3即可．故选ACD．]
13．(答案不唯一) [存在两个不相等的正数a，b，如a＝，b＝时，使得a－b＝ab是真命题．]
14．解：因为 x1∈A， x2∈B，使得x1＝x2，所以A B．
所以m－1≤1，2m＋3≥3，且2m＋3≥m－1，解得0≤m≤2．
又因为m∈Z，所以整数m的取值集合为{0，1，2}．
15．对于任意的正整数n，必有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2 [第二列等式右边分别是1×1，3×3，6×6，10×10，15×15，…，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2．]
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