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人教新版 九上 数学
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人教版九年级数学 阶段性检测讲解课件
九上数学第21章学业质量评价01
范围：21章
（建议用时：120分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ C ）
A. x2－2 xy ＋ y2＝0 B. xy ＝2
C. x2－ x ＝2 D. x ＋ ＝0
2. 方程 x2＝3 x 的根为（ D ）
A. x1＝ x2＝3 B. x1＝ x2＝0
C. x1＝0， x2＝－3 D. x1＝0， x2＝3
3. 若 x1， x2是一元二次方程 x2－ x －6＝0的两个根，则 x1 x2的值是（ D ）
A. 1 B. 6 C. －1 D. －6
C
D
D
4. 关于 x 的一元二次方程 x2－4 x －5＝0的根的情况是（ A ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
5. 用配方法解方程 x2－2 x －5＝0时，原方程变形为（ B ）
A. （ x ＋1）2＝6 B. （ x －1）2＝6
C. （ x ＋2）2＝9 D. （ x －1）2＝9
6. 若关于 x 的一元二次方程（ x －1）2＋ k －3＝0的一个根是1，则 k 的值为（ A ）
A. 3 B. 2
C. －3 D. －2
A
B
A
7. 解方程2（7 x －2）2－3（7 x －2）＝0最适当的方法是（ D ）
A. 直接开平方法 B. 配方法
C. 公式法 D. 因式分解法
8. 等腰三角形的底和腰是方程 x2－7 x ＋12＝0的两个根，则这个三角形的周长是
（ C ）
A. 11 B. 10 C. 11或10 D. 不能确定
9. 若关于 x 的一元二次方程（ a －3） x2＋4 x －1＝0有实数根，则实数 a 的取值范围
为（ A ）
A. a ≥－1且 a ≠3 B. a ≤－1
C. a ＞－1且 a ≠3 D. a ＜－1
D
C
A
10. 如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正
方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面（图中阴影部分）面积
是32 cm2，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是 x cm，根据题意
可列方程为（ D ）
A. 10×6－4×6 x ＝32
B. 10×6－4 x2＝32
C. （10－ x ）（6－ x ）＝32
D. （10－2 x ）（6－2 x ）＝32
D
11. 定义一种新运算： a b ＝ a （ a － b ），例如，4 3＝4×（4－3）＝4.若 x 2＝
3，则 x 的值是（ D ）
A. 3 B. －1
C. 3或1 D. 3或－1
12. 已知α，β是方程 x2－2 x －2 024＝0的两个实数根，则α2－4α－2β－2的值是
（ B ）
A. 2 016 B. 2 018
C. 2 022 D. 2 024
D
B
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 将一元二次方程3 x （ x －2）＝－4化为一般形式是 .
14. 一元二次方程的两根分别是0，2，则这个一元二次方程可以是
.（写出一个即可）
15. 若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是 .
16. 已知关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根为 x1＝1， x2＝2，则方程 a （ x ＋2）2
＋ b （ x ＋2）＋ c ＝0的两根之和为 .
3 x2－6 x ＋4＝0
x2－2 x ＝0（答
案不唯一）
30或－30
－1
三、解答题（本大题共9题，共98分）
17. （10分）解下列方程：
（1） x2＋6 x ＝2；
解：配方，得 x2＋6 x ＋9＝11，即（ x ＋3）2＝11.
两边直接开平方，得 x ＋3＝± ，
即 x1＝－3＋ ， x2＝－3－ .
（2）3 x2－4 x －2＝0.
解： a ＝3， b ＝－4， c ＝－2，
Δ＝ b2－4 ac ＝（－4）2－4×3×（－2）＝40＞0，
∴ x ＝ ＝ ，
即 x1＝ ， x2＝ .
18. （10分）在学习了解一元二次方程后老师出示了这样一个题目：
解方程：（ x －2）2＝3（ x －2），小明同学的解答过程如下.
（ x －2）2＝3（ x －2），则 x －2＝3，
解得 x ＝5，∴方程的根为 x ＝5.
小明的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程.
解：小明的解法错误，原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以（ x －
2）.
正确解答过程如下：（ x －2）2－3（ x －2）＝0，
则（ x －2）（ x －5）＝0，
解得 x1＝2， x2＝5.
19. （10分）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ x ＋ m2－2 m ＝0有一个实数根为－1，
求 m 的值及方程的另一个实数根.
解：把 x ＝－1代入 x2＋ x ＋ m2－2 m ＝0，
得（－1）2＋（－1）＋ m2－2 m ＝0，
即 m （ m －2）＝0，
解得 m1＝0， m2＝2.
综上所述， m 的值是0或2.
原方程为 x2＋ x ＝0，
解得 x1＝－1， x2＝0，
则方程的另一个实数根是0.
20. （10分）某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格
出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件，求该款吉祥物4
月份到6月份销售量的月平均增长率.
解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 x .
根据题意，得256（1＋ x ）2＝400，
解得 x1＝0.25＝25％， x2＝－2.25（不合题意，舍去）.
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为0.25.
21. （10分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 A 区就会自动加上 a2，同时 B 区
就会自动减去3 a ，且均显示化简后的结果.如图，已知 A ， B 两区初始显示的分
别是25和－16，第一次按键后 A ， B 两区分别显示25＋ a2，－16－3 a .
（1）从初始状态开始，按2次后，分别求 A ， B 两区显示的结果；
解：25＋ a2＋ a2＝25＋2 a2，－16－3 a －3 a ＝－16
－6 a .
答： A 区显示的结果为（25＋2 a2）， B 区显示的结果为
（－16－6 a ）.
（2）从初始状态开始，按4次后，得 A ， B 两区代数式的和为1，求 a 的值.
解：依题意，得25＋4 a2＋（－16－12 a ）＝1，
化简，得 a2－3 a ＋2＝0，解得 a1＝2， a2＝1.
22. （12分）解方程（ x －1）2－5（ x －1）＋4＝0如下.
解：设 x －1＝ y ，
则原方程可化为 y2－5 y ＋4＝0，
解得 y1＝1， y2＝4.
当 y ＝1时，即 x －1＝1，解得 x ＝2；
当 y ＝4时，即 x －1＝4，解得 x ＝5，
∴原方程的根为 x1＝2， x2＝5.
上述解法称为“整体换元法”.
请运用“整体换元法”解方程：（2 x －5）2－2（2 x －5）－3＝0.
解：设2 x －5＝ y ，则原方程可化为 y2－2 y －3＝0，
∴（ y －3）（ y ＋1）＝0，解得 y1＝3， y2＝－1.
当 y ＝3时，即2 x －5＝3，解得 x ＝4；
当 y ＝－1时，即2 x －5＝－1，解得 x ＝2，
∴原方程的根为 x1＝4， x2＝2.
23. （12分）已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＝ k2（ k 为常数）.
（1）求证：无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
证明：方程化为一般形式为 x2－2 x － k2＝0.
由题意，得Δ＝（－2）2－4×（－ k2）＝4 k2＋4＞0，
∴无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）设 x1， x2为该方程的两个实数根，且满足 ＝12－ x1 x2，试求
出 k 的值.
解：由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝2， x1 x2＝－ k2.
∵ ＝12－ x1 x2，
∴（ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝12－ x1 x2，
∴ －3 x1 x2＝12，
∴4＋3 k2＝12，解得 k ＝± .
24. （12分）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元.为了扩大
销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经
过一段时间销售，发现每件商品每降低2元，平均每天可多售出4件该商品.
（1）若每件商品降价6元，则平均每天可售出 件该商品；
32
（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1 600元？
解：设每件商品降价 x 元，则每件盈利（50－ x ）元，平均每天可售出20
＋ ×4＝20＋2 x （件）.
由题意，得（50－ x ）（20＋2 x ）＝1 600，
解得 x1＝10， x2＝30.
当 x ＝10时，50－ x ＝50－10＝40＞25，符合题意；
当 x ＝30时，50－ x ＝50－30＝20＜25，不合题意，舍去.
答：当每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1 600元.
25. （12分）如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝10 cm， AD ＝8 cm.点 P 从点 A 出发沿
AB 以2 cm/s的速度向终点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 以1 cm/s的速度向
终点 C 运动，当一点到达终点后另一点也停止运动.
解：设 t s后，点 P ， D 的距离是点 P ， Q 的距离的2倍.
由题意，得 AP ＝2 t cm， BQ ＝ t cm，
∴ BP ＝ AB － AP ＝（10－2 t ）cm.
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ A ＝∠ B ＝90°，
∴ PD2＝ AP2＋ AD2， PQ2＝ BP2＋ BQ2.
（1）几秒后，点 P ， D 的距离是点 P ， Q 的距离的2倍？
∵ PD ＝2 PQ ，∴ PD2＝4 PQ2，
∴82＋（2 t ）2＝4[（10－2 t ）2＋ t2]，
整理，得 t2－10 t ＋21＝0，解得 t1＝3， t2＝7.
当 t ＝7时，10－2 t ＜0，不合题意，舍去，∴ t ＝3，
∴3 s后，点 P ， D 的距离是点 P ， Q 的距离的2倍.
（2）几秒后，△ DPQ 的面积是24 cm2？
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ BC ＝ AD ＝8 cm， CD ＝ AB ＝10 cm.
设 x s后，△ DPQ 的面积是24 cm2.
由题意，得 AP ＝2 x cm， BQ ＝ x cm，
∴ BP ＝ AB － AP ＝（10－2 x ）cm， CQ ＝ BC － BQ ＝
（8－ x ）cm.
∵ S△ DPQ ＝ S矩形 ABCD － S△ ADP － S△ BPQ － S△ CDQ ＝24 cm2，
∴8×10－ ×8×2 x － （10－2 x ）· x － （8－ x ）×10＝24，
整理，得 x2－8 x ＋16＝0，
解得 x1＝ x2＝4，
∴4 s后，△ DPQ 的面积是24 cm2.
Thanks!
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九上数学第21章学业质量评价01
范围：21章
（建议用时：120分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ C ）
2. 方程 x2＝3 x 的根为（ D ）
A. x1＝ x2＝3 B. x1＝ x2＝0
C. x1＝0， x2＝－3 D. x1＝0， x2＝3
3. 若 x1， x2是一元二次方程 x2－ x －6＝0的两个根，则 x1 x2的值是（ D ）
A. 1 B. 6 C. －1 D. －6
4. 关于 x 的一元二次方程 x2－4 x －5＝0的根的情况是（ A ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
5. 用配方法解方程 x2－2 x －5＝0时，原方程变形为（ B
A. （ x ＋1）2＝6 B. （ x －1）2＝6
C. （ x ＋2）2＝9 D. （ x －1）2＝9
6. 若关于 x 的一元二次方程（ x －1）2＋ k －3＝0的一个根是1，则 k 的值为（ A ）
A. 3 B. 2
C. －3 D. －2
7. 解方程2（7 x －2）2－3（7 x －2）＝0最适当的方法是（ D ）
A. 直接开平方法 B. 配方法
C. 公式法 D. 因式分解法
8. 等腰三角形的底和腰是方程 x2－7 x ＋12＝0的两个根，则这个三角形的周长是（ C ）
A. 11 B. 10 C. 11或10 D. 不能确定
9. 若关于 x 的一元二次方程（ a －3） x2＋4 x －1＝0有实数根，则实数 a 的取值范围为（ A ）
A. a ≥－1且 a ≠3 B. a ≤－1
C. a ＞－1且 a ≠3 D. a ＜－1
10. 如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是 x cm，根据题意可列方程为（ D ）
A. 10×6－4×6 x ＝32
B. 10×6－4 x2＝32
C. （10－ x ）（6－ x ）＝32
D. （10－2 x ）（6－2 x ）＝32
11. 定义一种新运算： a b ＝ a （ a － b ），例如，4 3＝4×（4－3）＝4.若 x 2＝3，则 x 的值是（ D ）
A. 3 B. －1
C. 3或1 D. 3或－1
12. 已知α，β是方程 x2－2 x －2 024＝0的两个实数根，则α2－4α－2β－2的值是（ B ）
A. 2 016 B. 2 018
C. 2 022 D. 2 024
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 将一元二次方程3 x （ x －2）＝－4化为一般形式是 .
3 x2－6 x ＋4＝0
14. 一元二次方程的两根分别是0，2，则这个一元二次方程可以是 .（写出一个即可）
x2－2 x ＝0（答案不唯一）
15. 若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是 .
30或－30
16. 已知关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根为 x1＝1， x2＝2，则方程 a （ x ＋2）2＋ b （ x ＋2）＋ c ＝0的两根之和为 .
－1
三、解答题（本大题共9题，共98分）
17. （10分）解下列方程：
（1） x2＋6 x ＝2；
解：配方，得 x2＋6 x ＋9＝11，即（ x ＋3）2＝11.
两边直接开平方，得 x ＋3＝± ，
即 x1＝－3＋ ， x2＝－3－ .
（2）3 x2－4 x －2＝0.
解： a ＝3， b ＝－4， c ＝－2，
Δ＝ b2－4 ac ＝（－4）2－4×3×（－2）＝40＞0，
∴ x ＝ ＝ ，
即 x1＝ ， x2＝ .
18. （10分）在学习了解一元二次方程后老师出示了这样一个题目：
解方程：（ x －2）2＝3（ x －2），小明同学的解答过程如下.
（ x －2）2＝3（ x －2），则 x －2＝3，
解得 x ＝5，∴方程的根为 x ＝5.
小明的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程.
解：小明的解法错误，原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以（ x －2）.
正确解答过程如下：（ x －2）2－3（ x －2）＝0，
则（ x －2）（ x －5）＝0，
解得 x1＝2， x2＝5.
19. （10分）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ x ＋ m2－2 m ＝0有一个实数根为－1，求 m 的值及方程的另一个实数根.
解：把 x ＝－1代入 x2＋ x ＋ m2－2 m ＝0，
得（－1）2＋（－1）＋ m2－2 m ＝0，
即 m （ m －2）＝0，
解得 m1＝0， m2＝2.
综上所述， m 的值是0或2.
原方程为 x2＋ x ＝0，
解得 x1＝－1， x2＝0，
则方程的另一个实数根是0.
20. （10分）某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件，求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率.
解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 x .
根据题意，得256（1＋ x ）2＝400，
解得 x1＝0.25＝25％， x2＝－2.25（不合题意，舍去）.
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为0.25.
21. （10分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 A 区就会自动加上 a2，同时 B 区就会自动减去3 a ，且均显示化简后的结果.如图，已知 A ， B 两区初始显示的分别是25和－16，第一次按键后 A ， B 两区分别显示25＋ a2，－16－3 a .
（1）从初始状态开始，按2次后，分别求 A ， B 两区显示的结果；
解：25＋ a2＋ a2＝25＋2 a2，－16－3 a －3 a ＝－16－6 a .
答： A 区显示的结果为（25＋2 a2）， B 区显示的结果为（－16－6 a ）.
（2）从初始状态开始，按4次后，得 A ， B 两区代数式的和为1，求 a 的值.
解：依题意，得25＋4 a2＋（－16－12 a ）＝1，
化简，得 a2－3 a ＋2＝0，解得 a1＝2， a2＝1.
22. （12分）解方程（ x －1）2－5（ x －1）＋4＝0如下.
解：设 x －1＝ y ，
则原方程可化为 y2－5 y ＋4＝0，
解得 y1＝1， y2＝4.
当 y ＝1时，即 x －1＝1，解得 x ＝2；
当 y ＝4时，即 x －1＝4，解得 x ＝5，
∴原方程的根为 x1＝2， x2＝5.
上述解法称为“整体换元法”.
请运用“整体换元法”解方程：（2 x －5）2－2（2 x －5）－3＝0.
解：设2 x －5＝ y ，则原方程可化为 y2－2 y －3＝0，
∴（ y －3）（ y ＋1）＝0，解得 y1＝3， y2＝－1.
当 y ＝3时，即2 x －5＝3，解得 x ＝4；
当 y ＝－1时，即2 x －5＝－1，解得 x ＝2，
∴原方程的根为 x1＝4， x2＝2.
23. （12分）已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＝ k2（ k 为常数）.
（1）求证：无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
证明：方程化为一般形式为 x2－2 x － k2＝0.
由题意，得Δ＝（－2）2－4×（－ k2）＝4 k2＋4＞0，
∴无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）设 x1， x2为该方程的两个实数根，且满足 ＝12－ x1 x2，试求出 k 的值.
解：由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝2， x1 x2＝－ k2.
∵ ＝12－ x1 x2，
∴（ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝12－ x1 x2，
∴ －3 x1 x2＝12，
∴4＋3 k2＝12，解得 k ＝± .
24. （12分）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现每件商品每降低2元，平均每天可多售出4件该商品.
（1）若每件商品降价6元，则平均每天可售出 件该商品；
32
（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1 600元？
解：设每件商品降价 x 元，则每件盈利（50－ x ）元，平均每天可售出20＋ ×4＝20＋2 x （件）.
由题意，得（50－ x ）（20＋2 x ）＝1 600，
解得 x1＝10， x2＝30.
当 x ＝10时，50－ x ＝50－10＝40＞25，符合题意；
当 x ＝30时，50－ x ＝50－30＝20＜25，不合题意，舍去.
答：当每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1 600元.
25. （12分）如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝10 cm， AD ＝8 cm.点 P 从点 A 出发沿 AB 以2 cm/s的速度向终点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 以1 cm/s的速度向终点 C 运动，当一点到达终点后另一点也停止运动.
（1）几秒后，点 P ， D 的距离是点 P ， Q 的距离的2倍？
解：设 t s后，点 P ， D 的距离是点 P ， Q 的距离的2倍.
由题意，得 AP ＝2 t cm， BQ ＝ t cm，
∴ BP ＝ AB － AP ＝（10－2 t ）cm.
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ A ＝∠ B ＝90°，
∴ PD2＝ AP2＋ AD2， PQ2＝ BP2＋ BQ2.
∵ PD ＝2 PQ ，∴ PD2＝4 PQ2，
∴82＋（2 t ）2＝4[（10－2 t ）2＋ t2]，
整理，得 t2－10 t ＋21＝0，解得 t1＝3， t2＝7.
当 t ＝7时，10－2 t ＜0，不合题意，舍去，∴ t ＝3，
∴3 s后，点 P ， D 的距离是点 P ， Q 的距离的2倍.
（2）几秒后，△ DPQ 的面积是24 cm2？
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ BC ＝ AD ＝8 cm， CD ＝ AB ＝10 cm.
设 x s后，△ DPQ 的面积是24 cm2.
由题意，得 AP ＝2 x cm， BQ ＝ x cm，
∴ BP ＝ AB － AP ＝（10－2 x ）cm， CQ ＝ BC － BQ ＝（8－ x ）cm.
∵ S△ DPQ ＝ S矩形 ABCD － S△ ADP － S△ BPQ － S△ CDQ ＝24 cm2，
∴8×10－ ×8×2 x － （10－2 x ）· x － （8－ x ）×10＝24，
整理，得 x2－8 x ＋16＝0，
解得 x1＝ x2＝4，
∴4 s后，△ DPQ 的面积是24 cm2.
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九上数学第21章学业质量评价01
范围：21章
（建议用时：120分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ C ）
2. 方程 x2＝3 x 的根为（ D ）
A. x1＝ x2＝3 B. x1＝ x2＝0
C. x1＝0， x2＝－3 D. x1＝0， x2＝3
3. 若 x1， x2是一元二次方程 x2－ x －6＝0的两个根，则 x1 x2的值是（ D ）
A. 1 B. 6 C. －1 D. －6
4. 关于 x 的一元二次方程 x2－4 x －5＝0的根的情况是（ A ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
5. 用配方法解方程 x2－2 x －5＝0时，原方程变形为（ B
A. （ x ＋1）2＝6 B. （ x －1）2＝6
C. （ x ＋2）2＝9 D. （ x －1）2＝9
6. 若关于 x 的一元二次方程（ x －1）2＋ k －3＝0的一个根是1，则 k 的值为（ A ）
A. 3 B. 2
C. －3 D. －2
7. 解方程2（7 x －2）2－3（7 x －2）＝0最适当的方法是（ D ）
A. 直接开平方法 B. 配方法
C. 公式法 D. 因式分解法
8. 等腰三角形的底和腰是方程 x2－7 x ＋12＝0的两个根，则这个三角形的周长是（ C ）
A. 11 B. 10 C. 11或10 D. 不能确定
9. 若关于 x 的一元二次方程（ a －3） x2＋4 x －1＝0有实数根，则实数 a 的取值范围为（ A ）
A. a ≥－1且 a ≠3 B. a ≤－1
C. a ＞－1且 a ≠3 D. a ＜－1
10. 如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是 x cm，根据题意可列方程为（ D ）
A. 10×6－4×6 x ＝32
B. 10×6－4 x2＝32
C. （10－ x ）（6－ x ）＝32
D. （10－2 x ）（6－2 x ）＝32
11. 定义一种新运算： a b ＝ a （ a － b ），例如，4 3＝4×（4－3）＝4.若 x 2＝3，则 x 的值是（ D ）
A. 3 B. －1
C. 3或1 D. 3或－1
12. 已知α，β是方程 x2－2 x －2 024＝0的两个实数根，则α2－4α－2β－2的值是（ B ）
A. 2 016 B. 2 018
C. 2 022 D. 2 024
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 将一元二次方程3 x （ x －2）＝－4化为一般形式是 .
3 x2－6 x ＋4＝0
14. 一元二次方程的两根分别是0，2，则这个一元二次方程可以是 .（写出一个即可）
x2－2 x ＝0（答案不唯一）
15. 若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是 .
30或－30
16. 已知关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根为 x1＝1， x2＝2，则方程 a （ x ＋2）2＋ b （ x ＋2）＋ c ＝0的两根之和为 .
－1
三、解答题（本大题共9题，共98分）
17. （10分）解下列方程：
（1） x2＋6 x ＝2；
解：配方，得 x2＋6 x ＋9＝11，即（ x ＋3）2＝11.
两边直接开平方，得 x ＋3＝± ，
即 x1＝－3＋ ， x2＝－3－ .
（2）3 x2－4 x －2＝0.
解： a ＝3， b ＝－4， c ＝－2，
Δ＝ b2－4 ac ＝（－4）2－4×3×（－2）＝40＞0，
∴ x ＝ ＝ ，
即 x1＝ ， x2＝ .
18. （10分）在学习了解一元二次方程后老师出示了这样一个题目：
解方程：（ x －2）2＝3（ x －2），小明同学的解答过程如下.
（ x －2）2＝3（ x －2），则 x －2＝3，
解得 x ＝5，∴方程的根为 x ＝5.
小明的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程.
解：小明的解法错误，原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以（ x －2）.
正确解答过程如下：（ x －2）2－3（ x －2）＝0，
则（ x －2）（ x －5）＝0，
解得 x1＝2， x2＝5.
19. （10分）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ x ＋ m2－2 m ＝0有一个实数根为－1，求 m 的值及方程的另一个实数根.
解：把 x ＝－1代入 x2＋ x ＋ m2－2 m ＝0，
得（－1）2＋（－1）＋ m2－2 m ＝0，
即 m （ m －2）＝0，
解得 m1＝0， m2＝2.
综上所述， m 的值是0或2.
原方程为 x2＋ x ＝0，
解得 x1＝－1， x2＝0，
则方程的另一个实数根是0.
20. （10分）某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件，求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率.
解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 x .
根据题意，得256（1＋ x ）2＝400，
解得 x1＝0.25＝25％， x2＝－2.25（不合题意，舍去）.
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为0.25.
21. （10分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 A 区就会自动加上 a2，同时 B 区就会自动减去3 a ，且均显示化简后的结果.如图，已知 A ， B 两区初始显示的分别是25和－16，第一次按键后 A ， B 两区分别显示25＋ a2，－16－3 a .
（1）从初始状态开始，按2次后，分别求 A ， B 两区显示的结果；
解：25＋ a2＋ a2＝25＋2 a2，－16－3 a －3 a ＝－16－6 a .
答： A 区显示的结果为（25＋2 a2）， B 区显示的结果为（－16－6 a ）.
（2）从初始状态开始，按4次后，得 A ， B 两区代数式的和为1，求 a 的值.
解：依题意，得25＋4 a2＋（－16－12 a ）＝1，
化简，得 a2－3 a ＋2＝0，解得 a1＝2， a2＝1.
22. （12分）解方程（ x －1）2－5（ x －1）＋4＝0如下.
解：设 x －1＝ y ，
则原方程可化为 y2－5 y ＋4＝0，
解得 y1＝1， y2＝4.
当 y ＝1时，即 x －1＝1，解得 x ＝2；
当 y ＝4时，即 x －1＝4，解得 x ＝5，
∴原方程的根为 x1＝2， x2＝5.
上述解法称为“整体换元法”.
请运用“整体换元法”解方程：（2 x －5）2－2（2 x －5）－3＝0.
解：设2 x －5＝ y ，则原方程可化为 y2－2 y －3＝0，
∴（ y －3）（ y ＋1）＝0，解得 y1＝3， y2＝－1.
当 y ＝3时，即2 x －5＝3，解得 x ＝4；
当 y ＝－1时，即2 x －5＝－1，解得 x ＝2，
∴原方程的根为 x1＝4， x2＝2.
23. （12分）已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＝ k2（ k 为常数）.
（1）求证：无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
证明：方程化为一般形式为 x2－2 x － k2＝0.
由题意，得Δ＝（－2）2－4×（－ k2）＝4 k2＋4＞0，
∴无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）设 x1， x2为该方程的两个实数根，且满足 ＝12－ x1 x2，试求出 k 的值.
解：由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝2， x1 x2＝－ k2.
∵ ＝12－ x1 x2，
∴（ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝12－ x1 x2，
∴ －3 x1 x2＝12，
∴4＋3 k2＝12，解得 k ＝± .
24. （12分）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现每件商品每降低2元，平均每天可多售出4件该商品.
（1）若每件商品降价6元，则平均每天可售出 件该商品；
32
（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1 600元？
解：设每件商品降价 x 元，则每件盈利（50－ x ）元，平均每天可售出20＋ ×4＝20＋2 x （件）.
由题意，得（50－ x ）（20＋2 x ）＝1 600，
解得 x1＝10， x2＝30.
当 x ＝10时，50－ x ＝50－10＝40＞25，符合题意；
当 x ＝30时，50－ x ＝50－30＝20＜25，不合题意，舍去.
答：当每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1 600元.
25. （12分）如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝10 cm， AD ＝8 cm.点 P 从点 A 出发沿 AB 以2 cm/s的速度向终点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 以1 cm/s的速度向终点 C 运动，当一点到达终点后另一点也停止运动.
（1）几秒后，点 P ， D 的距离是点 P ， Q 的距离的2倍？
解：设 t s后，点 P ， D 的距离是点 P ， Q 的距离的2倍.
由题意，得 AP ＝2 t cm， BQ ＝ t cm，
∴ BP ＝ AB － AP ＝（10－2 t ）cm.
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ A ＝∠ B ＝90°，
∴ PD2＝ AP2＋ AD2， PQ2＝ BP2＋ BQ2.
∵ PD ＝2 PQ ，∴ PD2＝4 PQ2，
∴82＋（2 t ）2＝4[（10－2 t ）2＋ t2]，
整理，得 t2－10 t ＋21＝0，解得 t1＝3， t2＝7.
当 t ＝7时，10－2 t ＜0，不合题意，舍去，∴ t ＝3，
∴3 s后，点 P ， D 的距离是点 P ， Q 的距离的2倍.
（2）几秒后，△ DPQ 的面积是24 cm2？
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ BC ＝ AD ＝8 cm， CD ＝ AB ＝10 cm.
设 x s后，△ DPQ 的面积是24 cm2.
由题意，得 AP ＝2 x cm， BQ ＝ x cm，
∴ BP ＝ AB － AP ＝（10－2 x ）cm， CQ ＝ BC － BQ ＝（8－ x ）cm.
∵ S△ DPQ ＝ S矩形 ABCD － S△ ADP － S△ BPQ － S△ CDQ ＝24 cm2，
∴8×10－ ×8×2 x － （10－2 x ）· x － （8－ x ）×10＝24，
整理，得 x2－8 x ＋16＝0，
解得 x1＝ x2＝4，
∴4 s后，△ DPQ 的面积是24 cm2.
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