浙江省杭州市拱墅区第三共同体联考2025年中考二模数学试卷
一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分．
1．（2025·拱墅模拟）手机信号的强弱通常采用值来表示，值越大表示信号越好（单位：），则下列表示手机信号强弱的值中，信号最好的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·拱墅模拟）如图，是由3个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·拱墅模拟）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·拱墅模拟）下列式子运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·拱墅模拟）为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能+”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的比赛，其中六位参赛选手成绩的众数，其中五位参赛选手成绩分别为：，，，，，则这组数据的中位数（ ）
A．88 B．90 C．91 D．92
6．（2025·拱墅模拟）如图，在直角坐标系中，的顶点分别为，，以点为位似中心，在第三象限内作位似图形，与的位似比为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·拱墅模拟）2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·拱墅模拟）已知一个二次函数图象经过，，，，其中，则，，中最值情况是（ ）．
A．最大，最小 B．最小，最大
C．最小，最大 D．最小，最大
9．（2025·拱墅模拟）如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·拱墅模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、填空题：本题有6小题，每小题3分，共18分．
11．（2025·拱墅模拟）因式分解： ．
12．（2025·拱墅模拟）从“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为 ．
13．（2025·拱墅模拟）已知点在反比例函数的图像上．当时，的取值范围是 ．
14．（2025·拱墅模拟）如图，为的直径，弦于点，，，那么该圆的半径为 .
15．（2025·拱墅模拟）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，，若，，，则的长为 ．
16．（2025·拱墅模拟）如图，在矩形中，，，点为中点，是线段上一动点，连接，把沿直线折叠得，连接并延长交直线于点，当最小时， ．
三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·拱墅模拟）计算：
18．（2025·拱墅模拟）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
19．（2025·拱墅模拟）某校为了解学生的体育锻炼情况，围绕“你最喜欢的一项体育活动”进行随机抽样调查，从而得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的两个统计图．
请结合统计图，解答下列问题：
（1）该校对 名学生进行了抽样调查：在扇形统计图中，“羽毛球”所对应的圆心角的度数为 度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有2400名学生，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少人．
20．（2025·拱墅模拟）如图，已知四边形的对角线，交于点O，O是的中点，E，F是上的点，且，．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形ABCD是矩形．
21．（2025·拱墅模拟）小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．
（1）在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）．
（2）如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，）
22．（2025·拱墅模拟）小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S（米）与小刚离家时间t（分钟）之间的对应关系，根据图象回答下列问题：
（1）小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟；
（2）小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？
（3）体育场的球赛是下午，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由．
23．（2025·拱墅模拟）已知二次函数（为常数且）
（1）当函数图象经过点时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标；
（2）求证：当时，函数图象与轴必有两个不同的交点；
（3）若函数图象经过，两点，其中，且当时，总有，求的取值范围．
24．（2025·拱墅模拟）如图，是以为直径的圆，点C在上，切于点C，于点D，连接．
（1）求证：．
（2）若，．
①求的长度．
②如图，点P在半径上，连接并延长交于点Q，且，连接，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴信号最好的是．
故答案为：A
【分析】
根据信号越好，表示的值越大，需要从四个选项中找到最大的一个数值，即为所求。.利用有理数的大小比较法则，即可求解．
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图的概念可知主视图为：
故答案为：C．
【分析】依照主视图的定义进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：=．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．当原数绝对值大于10时，n等于原数整数位数减去1.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B．
【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方运算法则逐项进行判断即可．
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按由小到大的顺序排列为：，，，，，
∴这组数据的中位数是：90，
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义即可即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵第三象限内△OCD与△OAB以点O为位似中心，位似比为1：3，且点B（6，2），∴点D的横坐标为6×（）=-2，纵坐标为2×（）=，
∴点D的坐标为（-2，）
故答案为：D.
【分析】根据关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点B的横、纵坐标都乘以即可得到点D的坐标．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可列方程为：，
故答案为：B．
【分析】设每次降价的百分率为，根据“ 两次降价的百分率相同”“ 单价由2400元降为1944元 ”列出方程即可得．
8．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数图象经过，，且，
∴二次函数图象的对称轴为，
∵ 二次函数图象经过，，且，
又∵-3＜-1＜1，
∴二次函数图象在对称轴的左侧随的增大反而减小，
由二次函数图象的对称性可知，在对称轴的右侧随的增大反而增大，
∵关于对称轴的对称点分别为，
∴，
∴最大，最小，
故选答案为： A．
【分析】利用推导出函数的对称轴，根据二次函数图象增减性求出最大值与最小值．
9．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设图2中AB=x，则CD=AB=x，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
本题考查了全等三角形的性质，以及勾股定理的应用，设出参数，用参数表示出线段或者面积，利用勾股定理列方程，是解决本题的关键．
如图2，由题意可设AB=x，则CD=AB=x，根据三角形面积计算公式：代入数据可得：，由此可得：，结合，，代入数据可得：，化简得：m=2x，根据勾股定理：在Rt△ABC中，，代入数据列出关于x与m、n的方程，解得：，等量代换化简可得：，由此可得出答案．
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，如图所示，
则∠AGC=∠CFD=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BDF=∠BAG=45°，
∴DF=BF，AG=BG，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠CAD-∠BAG=∠CDA-∠ABC，
即∠CAG=∠DCF，
在△CAG和△DCF中，
∴△CAG≌△DCF（AAS），
∴CG=DF，
∵CA=EA，AG⊥CE，
∴CG=CE=2，
∴DF=BF=CG=2，
Rt△BDF中，BD=，故A正确．
故答案为：A．
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，易证△CAG≌△DCF（AAS）可得CG=DF，再根据等腰直角三角形的性质可得CG=2，最后根据勾股定理进行计算即可得到BD的长．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=x(x-2025)，
故答案为：x(x-2025).
【分析】提取公因式x进行因式分解即可.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：“”共有7个字母，其中有2个“G”，
∴抽中字母的概率为；
故答案为：．
【分析】根据概率公式直接用字母G的个数除以字母的总数计算即可．
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：点在反比例函数的图像上，∴将点A（2，-4）代入反比例函数得-4=，解得：k=-8＜0
反比例函数图象在第二、四象限，且在象限内值随着值的增大而增大，
当时，；当时，；
当时，的取值范围是，
故答案为：．
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数的表达式中的k值，从而得到反比例函数图象在第二、四象限，则在第四象限中，值随着值的增大而增大，进而得到答案．
14．【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如下图，连接，设该圆的半径为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得
∴该圆的半径为，
故答案为：13．
【分析】本题主要对垂径定理、勾股定理等知识进行考查．首先连接并设该圆的半径为，根据垂径定理，可得，在中，根据勾股定理有，带入未知数x有，解得．
15．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点E是的中点，
∴，
∵点D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．
【分析】先根据直角三角形斜边中线性质可得，然后利用三角形中位线的性质解题即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，连接CF，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，点F是AB的中点，∴∠ABC=90°，BF=AB=2，∴CF==，
由折叠可知，PF=BF=2，
∵CP+PF≥CF，
∴CP+2≥，
∴CP≥-2，
∴当点P落在CF上时，CP取得最小值，CP的最小值为-2，
当点P落在CF上，如图：
则∠GPC=∠BPF，
∵CD∥AB，
∴∠FBG=∠PGC，
∵∠BPF=∠PBF，
∴∠GPC=∠PGC，
∴CG=CP=-2，
故答案为：．
【分析】连接CF，由四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，点F是AB的中点，得∠ABC=90°，BF=AB=2，则CF=，由折叠可知，PF=BF=2，由CP+PF≥CF，得CP≥-2，可知当点P落在CF上时，CP取得最小值，CP的最小值为-2，再由平行线的性质和对顶角相等得∠GPC=∠PGC，进而得出CG=CP，即可求得答案.
17．【答案】解：原式=1-2×2+3
=0.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．
18．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出原不等式组的解集，最后将不等式组的解集在数轴上表示来即可．
19．【答案】（1）40，18；
（2）解：喜欢篮球的占，
所以喜欢篮球的学生共有：（名．
补全的条形图：
（3）样本中有5名喜欢跳绳，占抽样的，
所以该校喜欢跳绳的学生有（名．
答：全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为300名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）因为抽样中喜欢足球的学生有12名，占，
所以共抽样调查的学生数为：（名．
喜欢羽毛球的2名，占抽样的：．
其对应的圆心角为：．
故答案为：40，18．
【分析】（1）根据：喜欢某项的百分比，先计算抽样人数，再计算喜欢羽毛球的人数占的百分比，最后计算出圆心角的度数；
（2）先计算出喜欢篮球的学生数，再补全条形统计图；
（3）先计算喜欢跳绳所占的百分比，再求出喜欢跳绳的人数．
20．【答案】（1）证明：∵O是BD的中点，
∴OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
∴OE=OF，
∵AF∥CE，
∴∠AFO=∠CEO，
在△OEC和△OFA中，
，
∴△OEC≌△OFA（AAS），
（2）证明：由（1）可知，△OEC≌△OFA，OB=OD，
∴OC=OA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；线段的中点；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由中点的定义可知OB=OD，进而可得OE=OF，由AF∥CE可得∠AFO=∠CEO，加上一组对顶角进而可利用判定．
（2）由（1）可知，△OEC≌△OFA，OB=OD，可根据对角线互相平分证得四边形ABCD是平行四边形，再由OA=OB，进一步求得AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证.
（1）证明：∵，
∴，，
∵O为的中点，即，，
∴，即，
在和中，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，即，
∴四边形为矩形．
21．【答案】（1）解：∵直径，
．
∵A，B，O在同一水平面上，A到桌面的高为，
，
．
（2）解：过点D作交于点M（如图），
∵
∵
，
∵，
镜面上的点到桌面的最短距离
．
【知识点】圆的相关概念；解直角三角形的其他实际应用；求正弦值
【解析】【分析】（1）根据圆的性质，经过圆心的直径最大，圆心外端的圆上点最远点，圆心内端的圆上点最近点，确定这两个点的位置，然后根据线段的和差DH=OH-OD计算即可求解；
（2）过点D作交于点M，根据锐角三角函数sin∠ODM=可求得OM的值，然后根据线段的和差MH=OH-OM计算即可求解．
22．【答案】（1）1200，6
（2）解：据图所知， 小聪追上了小刚是在小刚出发8分钟后途中停下的时间段，
小刚此时走的路程为500米，
小聪的速度为1200÷（14-8）=200米/分，
500÷200=2.5（分钟）
8+2.5=10.5（分钟）
答：小刚出发10.5分钟后，小聪追上了小刚.
（3）解：小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，不会会迟到，
理由：小刚开始时的速度为500÷8=62.5（米/分），
小刚到体育场剩余路程按原来走路的速度所用的时间为（1200-500）÷62.5=11.2（分）
所以小刚按原来走路的速度到体育场所需的总时间为13+11.2=24.2（分），
∵24.2＜25，
∴不会迟到.
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）观察图象可知，小刚家到体育场的路程是1200米，小聪到体育场的时间比小刚道体育场的时间少20-14=6分钟，
故答案为：1200，6；
【分析】（1）观察图像可知小刚家到体育场的路程是1200米，小刚到体育场用时20分钟，小聪在第14分钟到体育场，相减即可得出答案；
（2）先根据图象信息求出小聪的速度，再求出小聪追上小刚所需时间，最后加上8分钟即可得出答案；
（3）先求出小刚原来步行速度，再求出但原来速度走完剩下路程所需时间，进而得出小刚到达体育场所需时间，比较即可得出结论．
（1）解：由图可知：
小刚家到体育场的路程是1200米，
（分钟），
即小聪比小刚早到体育场6分钟，
故答案为：1200，6；
（2）解：小聪的速度：，
，
，
答：小刚出发分钟后，小聪追上了小刚；
（3）解：小刚原来步行速度：，
，
∴小刚到达体育场所用时间：
，
即小刚出门25分钟后球赛开始，
∵，
∴不会迟到．
23．【答案】（1）解：将代入函数表达式得：
解得：
∴
∴二次函数顶点坐标为
（2）证明：∵
当时，
∴当时，函数图象与轴必有两个不同的交点．
（3）解：将，两点坐标代入函数表达式得：
，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
即：，
又∵，
∴，
∴，
解得：．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点（0，-6）代入函数表达式，可求出a的值，将a代入二次函数表达式即可求得函数表式，将表达式变形为顶点坐标式即可求出该函数的顶点坐标；
（2）要证明函数图象与x轴有两个不同的交点，证明b2-4ac＞0即可解决问题；
（3）用含a的代数式表示出y1和y2，再利用作差法即可解决问题．
24．【答案】（1）证明：连接．
∵切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：①连接．
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
②连接，在上取一点G，使得，连接并延长交于H，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，是以为直径的圆，
∴
∴，
∵，
∴，
∴Q点与O点重合，
∵，过圆心O，
∴且平分CB，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，由切线性质得，结合证，得，再利用推出，从而证得．．
（2）①连接，利用两角相等证明与相似，再根据相似三角形对应边成比例求出长度．
②在上取点构造相似三角形，推出，根据边的比例关系确定与重合，再由及过圆心证垂直平分，得．
（1）证明：连接．
∵切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：①连接．
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
②法一：连接，延长交于H，作交于M，交AB于N，
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴
设，则，
∵，，是以为直径的圆，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，过圆心O，
∴且平分CB，
∴．
法二：连接，在上取一点G，使得，连接并延长交于H，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，是以为直径的圆，
∴
∴，
∵，
∴，
∴Q点与O点重合，
∵，过圆心O，
∴且平分CB，
∴．
1 / 1浙江省杭州市拱墅区第三共同体联考2025年中考二模数学试卷
一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分．
1．（2025·拱墅模拟）手机信号的强弱通常采用值来表示，值越大表示信号越好（单位：），则下列表示手机信号强弱的值中，信号最好的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴信号最好的是．
故答案为：A
【分析】
根据信号越好，表示的值越大，需要从四个选项中找到最大的一个数值，即为所求。.利用有理数的大小比较法则，即可求解．
2．（2025·拱墅模拟）如图，是由3个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图的概念可知主视图为：
故答案为：C．
【分析】依照主视图的定义进行判断即可.
3．（2025·拱墅模拟）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：=．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．当原数绝对值大于10时，n等于原数整数位数减去1.
4．（2025·拱墅模拟）下列式子运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B．
【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方运算法则逐项进行判断即可．
5．（2025·拱墅模拟）为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能+”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的比赛，其中六位参赛选手成绩的众数，其中五位参赛选手成绩分别为：，，，，，则这组数据的中位数（ ）
A．88 B．90 C．91 D．92
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按由小到大的顺序排列为：，，，，，
∴这组数据的中位数是：90，
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义即可即可得出答案.
6．（2025·拱墅模拟）如图，在直角坐标系中，的顶点分别为，，以点为位似中心，在第三象限内作位似图形，与的位似比为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵第三象限内△OCD与△OAB以点O为位似中心，位似比为1：3，且点B（6，2），∴点D的横坐标为6×（）=-2，纵坐标为2×（）=，
∴点D的坐标为（-2，）
故答案为：D.
【分析】根据关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点B的横、纵坐标都乘以即可得到点D的坐标．
7．（2025·拱墅模拟）2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可列方程为：，
故答案为：B．
【分析】设每次降价的百分率为，根据“ 两次降价的百分率相同”“ 单价由2400元降为1944元 ”列出方程即可得．
8．（2025·拱墅模拟）已知一个二次函数图象经过，，，，其中，则，，中最值情况是（ ）．
A．最大，最小 B．最小，最大
C．最小，最大 D．最小，最大
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数图象经过，，且，
∴二次函数图象的对称轴为，
∵ 二次函数图象经过，，且，
又∵-3＜-1＜1，
∴二次函数图象在对称轴的左侧随的增大反而减小，
由二次函数图象的对称性可知，在对称轴的右侧随的增大反而增大，
∵关于对称轴的对称点分别为，
∴，
∴最大，最小，
故选答案为： A．
【分析】利用推导出函数的对称轴，根据二次函数图象增减性求出最大值与最小值．
9．（2025·拱墅模拟）如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设图2中AB=x，则CD=AB=x，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
本题考查了全等三角形的性质，以及勾股定理的应用，设出参数，用参数表示出线段或者面积，利用勾股定理列方程，是解决本题的关键．
如图2，由题意可设AB=x，则CD=AB=x，根据三角形面积计算公式：代入数据可得：，由此可得：，结合，，代入数据可得：，化简得：m=2x，根据勾股定理：在Rt△ABC中，，代入数据列出关于x与m、n的方程，解得：，等量代换化简可得：，由此可得出答案．
10．（2025·拱墅模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，如图所示，
则∠AGC=∠CFD=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BDF=∠BAG=45°，
∴DF=BF，AG=BG，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠CAD-∠BAG=∠CDA-∠ABC，
即∠CAG=∠DCF，
在△CAG和△DCF中，
∴△CAG≌△DCF（AAS），
∴CG=DF，
∵CA=EA，AG⊥CE，
∴CG=CE=2，
∴DF=BF=CG=2，
Rt△BDF中，BD=，故A正确．
故答案为：A．
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，易证△CAG≌△DCF（AAS）可得CG=DF，再根据等腰直角三角形的性质可得CG=2，最后根据勾股定理进行计算即可得到BD的长．
二、填空题：本题有6小题，每小题3分，共18分．
11．（2025·拱墅模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=x(x-2025)，
故答案为：x(x-2025).
【分析】提取公因式x进行因式分解即可.
12．（2025·拱墅模拟）从“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：“”共有7个字母，其中有2个“G”，
∴抽中字母的概率为；
故答案为：．
【分析】根据概率公式直接用字母G的个数除以字母的总数计算即可．
13．（2025·拱墅模拟）已知点在反比例函数的图像上．当时，的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：点在反比例函数的图像上，∴将点A（2，-4）代入反比例函数得-4=，解得：k=-8＜0
反比例函数图象在第二、四象限，且在象限内值随着值的增大而增大，
当时，；当时，；
当时，的取值范围是，
故答案为：．
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数的表达式中的k值，从而得到反比例函数图象在第二、四象限，则在第四象限中，值随着值的增大而增大，进而得到答案．
14．（2025·拱墅模拟）如图，为的直径，弦于点，，，那么该圆的半径为 .
【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如下图，连接，设该圆的半径为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得
∴该圆的半径为，
故答案为：13．
【分析】本题主要对垂径定理、勾股定理等知识进行考查．首先连接并设该圆的半径为，根据垂径定理，可得，在中，根据勾股定理有，带入未知数x有，解得．
15．（2025·拱墅模拟）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，，若，，，则的长为 ．
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点E是的中点，
∴，
∵点D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．
【分析】先根据直角三角形斜边中线性质可得，然后利用三角形中位线的性质解题即可．
16．（2025·拱墅模拟）如图，在矩形中，，，点为中点，是线段上一动点，连接，把沿直线折叠得，连接并延长交直线于点，当最小时， ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，连接CF，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，点F是AB的中点，∴∠ABC=90°，BF=AB=2，∴CF==，
由折叠可知，PF=BF=2，
∵CP+PF≥CF，
∴CP+2≥，
∴CP≥-2，
∴当点P落在CF上时，CP取得最小值，CP的最小值为-2，
当点P落在CF上，如图：
则∠GPC=∠BPF，
∵CD∥AB，
∴∠FBG=∠PGC，
∵∠BPF=∠PBF，
∴∠GPC=∠PGC，
∴CG=CP=-2，
故答案为：．
【分析】连接CF，由四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，点F是AB的中点，得∠ABC=90°，BF=AB=2，则CF=，由折叠可知，PF=BF=2，由CP+PF≥CF，得CP≥-2，可知当点P落在CF上时，CP取得最小值，CP的最小值为-2，再由平行线的性质和对顶角相等得∠GPC=∠PGC，进而得出CG=CP，即可求得答案.
三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·拱墅模拟）计算：
【答案】解：原式=1-2×2+3
=0.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．
18．（2025·拱墅模拟）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出原不等式组的解集，最后将不等式组的解集在数轴上表示来即可．
19．（2025·拱墅模拟）某校为了解学生的体育锻炼情况，围绕“你最喜欢的一项体育活动”进行随机抽样调查，从而得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的两个统计图．
请结合统计图，解答下列问题：
（1）该校对 名学生进行了抽样调查：在扇形统计图中，“羽毛球”所对应的圆心角的度数为 度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有2400名学生，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少人．
【答案】（1）40，18；
（2）解：喜欢篮球的占，
所以喜欢篮球的学生共有：（名．
补全的条形图：
（3）样本中有5名喜欢跳绳，占抽样的，
所以该校喜欢跳绳的学生有（名．
答：全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为300名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）因为抽样中喜欢足球的学生有12名，占，
所以共抽样调查的学生数为：（名．
喜欢羽毛球的2名，占抽样的：．
其对应的圆心角为：．
故答案为：40，18．
【分析】（1）根据：喜欢某项的百分比，先计算抽样人数，再计算喜欢羽毛球的人数占的百分比，最后计算出圆心角的度数；
（2）先计算出喜欢篮球的学生数，再补全条形统计图；
（3）先计算喜欢跳绳所占的百分比，再求出喜欢跳绳的人数．
20．（2025·拱墅模拟）如图，已知四边形的对角线，交于点O，O是的中点，E，F是上的点，且，．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】（1）证明：∵O是BD的中点，
∴OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
∴OE=OF，
∵AF∥CE，
∴∠AFO=∠CEO，
在△OEC和△OFA中，
，
∴△OEC≌△OFA（AAS），
（2）证明：由（1）可知，△OEC≌△OFA，OB=OD，
∴OC=OA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；线段的中点；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由中点的定义可知OB=OD，进而可得OE=OF，由AF∥CE可得∠AFO=∠CEO，加上一组对顶角进而可利用判定．
（2）由（1）可知，△OEC≌△OFA，OB=OD，可根据对角线互相平分证得四边形ABCD是平行四边形，再由OA=OB，进一步求得AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证.
（1）证明：∵，
∴，，
∵O为的中点，即，，
∴，即，
在和中，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，即，
∴四边形为矩形．
21．（2025·拱墅模拟）小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．
（1）在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）．
（2）如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）解：∵直径，
．
∵A，B，O在同一水平面上，A到桌面的高为，
，
．
（2）解：过点D作交于点M（如图），
∵
∵
，
∵，
镜面上的点到桌面的最短距离
．
【知识点】圆的相关概念；解直角三角形的其他实际应用；求正弦值
【解析】【分析】（1）根据圆的性质，经过圆心的直径最大，圆心外端的圆上点最远点，圆心内端的圆上点最近点，确定这两个点的位置，然后根据线段的和差DH=OH-OD计算即可求解；
（2）过点D作交于点M，根据锐角三角函数sin∠ODM=可求得OM的值，然后根据线段的和差MH=OH-OM计算即可求解．
22．（2025·拱墅模拟）小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S（米）与小刚离家时间t（分钟）之间的对应关系，根据图象回答下列问题：
（1）小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟；
（2）小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？
（3）体育场的球赛是下午，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由．
【答案】（1）1200，6
（2）解：据图所知， 小聪追上了小刚是在小刚出发8分钟后途中停下的时间段，
小刚此时走的路程为500米，
小聪的速度为1200÷（14-8）=200米/分，
500÷200=2.5（分钟）
8+2.5=10.5（分钟）
答：小刚出发10.5分钟后，小聪追上了小刚.
（3）解：小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，不会会迟到，
理由：小刚开始时的速度为500÷8=62.5（米/分），
小刚到体育场剩余路程按原来走路的速度所用的时间为（1200-500）÷62.5=11.2（分）
所以小刚按原来走路的速度到体育场所需的总时间为13+11.2=24.2（分），
∵24.2＜25，
∴不会迟到.
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）观察图象可知，小刚家到体育场的路程是1200米，小聪到体育场的时间比小刚道体育场的时间少20-14=6分钟，
故答案为：1200，6；
【分析】（1）观察图像可知小刚家到体育场的路程是1200米，小刚到体育场用时20分钟，小聪在第14分钟到体育场，相减即可得出答案；
（2）先根据图象信息求出小聪的速度，再求出小聪追上小刚所需时间，最后加上8分钟即可得出答案；
（3）先求出小刚原来步行速度，再求出但原来速度走完剩下路程所需时间，进而得出小刚到达体育场所需时间，比较即可得出结论．
（1）解：由图可知：
小刚家到体育场的路程是1200米，
（分钟），
即小聪比小刚早到体育场6分钟，
故答案为：1200，6；
（2）解：小聪的速度：，
，
，
答：小刚出发分钟后，小聪追上了小刚；
（3）解：小刚原来步行速度：，
，
∴小刚到达体育场所用时间：
，
即小刚出门25分钟后球赛开始，
∵，
∴不会迟到．
23．（2025·拱墅模拟）已知二次函数（为常数且）
（1）当函数图象经过点时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标；
（2）求证：当时，函数图象与轴必有两个不同的交点；
（3）若函数图象经过，两点，其中，且当时，总有，求的取值范围．
【答案】（1）解：将代入函数表达式得：
解得：
∴
∴二次函数顶点坐标为
（2）证明：∵
当时，
∴当时，函数图象与轴必有两个不同的交点．
（3）解：将，两点坐标代入函数表达式得：
，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
即：，
又∵，
∴，
∴，
解得：．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点（0，-6）代入函数表达式，可求出a的值，将a代入二次函数表达式即可求得函数表式，将表达式变形为顶点坐标式即可求出该函数的顶点坐标；
（2）要证明函数图象与x轴有两个不同的交点，证明b2-4ac＞0即可解决问题；
（3）用含a的代数式表示出y1和y2，再利用作差法即可解决问题．
24．（2025·拱墅模拟）如图，是以为直径的圆，点C在上，切于点C，于点D，连接．
（1）求证：．
（2）若，．
①求的长度．
②如图，点P在半径上，连接并延长交于点Q，且，连接，求证：．
【答案】（1）证明：连接．
∵切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：①连接．
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
②连接，在上取一点G，使得，连接并延长交于H，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，是以为直径的圆，
∴
∴，
∵，
∴，
∴Q点与O点重合，
∵，过圆心O，
∴且平分CB，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，由切线性质得，结合证，得，再利用推出，从而证得．．
（2）①连接，利用两角相等证明与相似，再根据相似三角形对应边成比例求出长度．
②在上取点构造相似三角形，推出，根据边的比例关系确定与重合，再由及过圆心证垂直平分，得．
（1）证明：连接．
∵切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：①连接．
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
②法一：连接，延长交于H，作交于M，交AB于N，
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴
设，则，
∵，，是以为直径的圆，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，过圆心O，
∴且平分CB，
∴．
法二：连接，在上取一点G，使得，连接并延长交于H，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，是以为直径的圆，
∴
∴，
∵，
∴，
∴Q点与O点重合，
∵，过圆心O，
∴且平分CB，
∴．
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