河南省信阳市商城县丰集高级中学2024-2025学年高三下学期月考数学试题（PDF版，含部分解析）

河南省信阳市商城县丰集高级中学 2024-2025 学年
高三下学期月考数学试题
一、单选题
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 复数 （ ）
A． B．
C． D．
3. 在公差不为 0的等差数列 中，若 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4. 新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全国统考的语文、数学、外语，
“1”即在物理、历史 2门首选科目中选考 1门，“2”即在思想政治、地理、化
学、生物学 4门再选科目中选考 2门.选考方案有（ ）
A．6种 B．8种 C．12 种 D．15 种
5. 已知等边三角形 的边长是 ， 、 分别是 、 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
6. 若 ，则下列命题正确的是 （ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
7. 如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线 ，若母线 放置在水平地
面上时，水面恰好过 的中点，那么当底面圆 水平放置时，水面高为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知函数 ， ，当 时， ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9. 关于双曲线 ，下列说法正确的有（ ）
A．实轴长为 16 B．焦点坐标为 ，
D．渐近线方程为
C．离心率为
10. 关于 的函数 ，下列结论正确的有（ ）
A．函数 的最小正周期
B．若 ，则 是奇函数
C．若 ，则 是 图象的一条对称轴
D．若 ， ，则
11. 给定棱长为 1的正方体 ， 是正方形 内（包括边界）
一点，下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．若点 在线段 上，则异面直线 与 所成角为定值
C．若点 在线段 上，则 的最小值为
D．若 ，则点 轨迹的长度为
三、填空题
12. 已知 ，则 ______；
13. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了多次所花时间，假设坐公
交车用时 和骑自行车用时 都服从如图的正态分布.星期一李明出门有 可
用，他应该选择______交通工具；星期二李明出门有 可用，他应该选择
______交通工具；
14. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，过点 且倾斜角为 的
直线交 轴于点 ，交椭圆 于 ， 两点（ 点在 点左侧）， ，
则椭圆 的离心率为______.
四、解答题
15. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， .
(1)求 的面积；
(2)求 中 的角平分线的长.
16. 如图，在三棱锥 中， ，点 在
棱 PC 上.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 平面 ，Q 为垂足，当三棱锥 的体积最大时，求 PM 的
值.
17. 已知函数 .
(1)当 时，曲线 在点 处的切线与曲线
相切，求实数 的值；
(2)函数 恒成立，求实数 的取值范围.
18. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工
智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过
趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长
欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数
与孩子的喜爱程度 进行统计调查，得到如下数据表：
5 6 7 8 9
0.550.500.600.650.70
(1)请根据上表提供的数据，通过计算变量 的相关系数 ，回答是否可以认为
该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当 时， 与 相关性很
强）；
(2)机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人
执行命令的正确率为 ，出错率为 .当机器人正确执行命令时，使用者满
意的概率为 ；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为 .如果使用者
对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？
(3)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答
4个题，若小李答对题数不小于 3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均
为 ，答对后两道题的概率均为 .假设每次答题相互独立，且互不影响，当
时，求小李挑战成功的概率的最大值.
参考公式：相关系数 .
19. 已知上下顶点分别为 的椭圆 经过点 为直线
上的动点，且 不在椭圆 上， 与椭圆 的另一交点为 与椭圆 的
另一交点为 （ 均不与椭圆 上下顶点重合）.
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明：直线 过定点；
(3)设（2）问中定点为 ，过点 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，
记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，试问：是否存在常数 ，
使得 ， ， 总为等比数列？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
河南省信阳市商城县丰集高级中学 2024-2025 学年高三下学期月考数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、数列、计数原理与概率统计、平面向量、等式与不
等式、空间向量与立体几何、函数与导数、平面解析几何、三角函数与解三角形
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 2
较易 6
适中 8
较难 2
困难 1
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 并集的概念及运算
2 0.94 复数的除法运算
3 0.85 等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前 n 项和
4 0.85 分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题
5 0.65 数量积的运算律；用基底表示向量
6 0.85 由已知条件判断所给不等式是否正确；由不等式的性质比较数（式）大小
7 0.65 柱体体积的有关计算
已知切线（斜率）求参数；利用导数研究不等式恒成立问题；求在曲线上一点处
8 0.4
的切线方程（斜率）；用导数判断或证明已知函数的单调性
二、多选题
求双曲线的焦点坐标；已知方程求双曲线的渐近线；求双曲线的实轴、虚轴；求
9 0.85
双曲线的离心率或离心率的取值范围
判断或证明函数的对称性；给值求值型问题；求正弦（型）函数的奇偶性；三角
10 0.65
恒等变换的化简问题
11 0.15 异面直线夹角的向量求法；点到平面距离的向量求法；空间距离公式的应用
三、填空题
12 0.85 指数幂的运算；对数的运算；求分段函数解析式或求函数的值
13 0.65 正态曲线的性质；正态分布的实际应用
14 0.65 求椭圆的离心率或离心率的取值范围；根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
四、解答题
15 0.85 三角形面积公式及其应用
16 0.65 锥体体积的有关计算；证明面面垂直
17 0.65 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究不等式恒成立问题
18 0.65 相关系数的计算；计算条件概率；独立事件的实际应用；利用全概率公式求概率
椭圆中三角形（四边形）的面积；椭圆中的直线过定点问题；根据椭圆过的点求
19 0.4
标准方程
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 集合与常用逻辑用语 1
2 复数 2
3 数列 3
4 计数原理与概率统计 4,13,18
5 平面向量 5
6 等式与不等式 6
7 空间向量与立体几何 7,11,16
8 函数与导数 8,10,12,17
9 平面解析几何 9,14,19
10 三角函数与解三角形 10,15
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：