《第十三章三角形单元测试·巩固卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B A D B D A C
1．D
本题主要考查平移的性质，三角形内角和定理，结合图形得到角之间的关系是解题关键．
由平移的性质可得，，进而可得，最后三角形内角和定理可得的度数．
解：由平移的性质可得，，
，
故选：D．
2．A
本题考查的是平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
先根据三角形外角的性质求出的度数，再由平行线的性质求解即可．
解：，，
，
，
．
故选：A．
3．A
此题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．
设，，则，，在中，由三角形内角和定理得，再求出，，由角平分线定义得，，进而得，再由角平分线定义得，，继而得，在中，由三角形内角和定理即可求出的度数．
解：设，，
∵，分别平分，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，分别平分，，
∴，，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴；
故选：A．
4．B
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可求，利用邻补角的定义即可求的度数．
解：如图，
，，
，
，
，
故选：
5．A
本题考查了三角形的内角和及外角性质，三角形的高和角平分线，直角三角形两锐角互余，由三角形内角和定理可得，进而由三角形角平分线的定义得，由三角形外角性质得，又由三角形的高可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6．D
本题考查了构成三角形的条件；根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．需验证各选项中较小的两边之和是否大于最大边．
解：A.最大边为，较小两边之和为．
，
不满足三角形三边关系，不能组成三角形．
B.最大边为，较小两边之和为．
（两边之和等于第三边时无法构成三角形），
不能组成三角形．
C.最大边为，较小两边之和为．
，
不满足三角形三边关系，不能组成三角形．
D.最大边为，较小两边之和为．
，且其他两边之和均大于第三边（如，），
满足三角形三边关系，能组成三角形．
故选：D．
7．B
本题考查三角形的分类（按边分），平方式和绝对值的非负性等知识点，根据非负性求出三角形的边长是解题关键．由非负数的性质可知，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，从而求出各边的值，再根据三角形形状的判定条件得出结论．
解：由题意得，，
因为平方项和绝对值项均非负，且它们的和为0，
所以，，，
解得，，
因此，的三边长均为2，满足等边三角形的定义．
故选：B．
8．D
本题考查了三角板中的角度计算问题，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由三角形内角和定理求出，再由三角形内角和定理结合对顶角性质求出即可．
解：如图：∵
∴，
∴，
故选：D．
9．A
此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，熟记三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形两边之和要大于第三边进行解答即．
解：∵的周长为，其，
∴，
则四个选项中，只有A选项符合题意．
故选：A．
10．C
本题考查了三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，逐一验证各选项即可．
A．最大边为，检验，等于第三边，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形．
B．最大边为，检验，小于，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形．
C．最大边为，检验，满足两边之和大于第三边；
其他组合和均成立，因此可以构成三角形．
D．最大边为，检验，小于，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形．
综上，只有选项C符合条件．
故选：C．
11．
本题考查三角形中求角度，涉及平行线性质、折叠性质、外角性质等知识，熟练掌握三角形中求角度的方法是解决问题的关键．先由平行线得到，再由折叠性质得到，从而求出，再由三角形外角性质求解即可得到答案．
解：∵，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∵是的外角，
∴，
故答案为：．
12．
本题考查了三角形的外角性质．
由是的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和为，即可求出的度数．
解：是的外角，
．
在中，，
．
故答案为：．
13．2
本题主要考查了实数的运算，无理数的估算，三角形三边关系的应用，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得，再证明即可得到答案．
解：由三角形的三边关系可知，，即．
∵，
∴，
，且，
∴，
∴，
为整数，
的值为2，
故答案为：2．
14．/126度
本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．在中，，，再将两式相加求解即可．
解：连接，
由题意得：
∵在中，，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．60
本题考查了平行线的性质、垂直的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的等量关系，再结合垂直的定义和三角形内角和定理计算角度．
利用平行线的性质并结合垂直的定义与三角形内角和定理即可求出的度数．
由可得，，则，
∵，则，
由推得，，
∴，
故答案为：60．
16．或或
本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解，且当点E在线段上，或当点E在外时，过点C作，然后进行分类讨论且作图，运用数形结合思路，结合平行线的性质进行列式计算，即可作答．
解：E在线段上，过点C作，如下图：
，
，
，
，，
，，
∴，
；
，
，，
即
；
（2）点E在外时，过点C作，如下图：
，
，
，，
，，
，
即；
，
由图可知，，
此情况不成立；
综上，或或．
故答案为：或或．
17．-a+b+c
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．
解：由三角形三边关系可得：a-b-c＜0，b-c+a＞0，a+b-c＞0，
∴原式=-(a-b-c)-(b-c+a)+(a+b-c)
=-a+b+c-b+c-a+a+b-c
=-a+b+c．
本题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三角形三角形两边之和大于第三边．
18．（1）40°；（2）2b-2c
（1）过F作FH∥AB，则AB∥FH∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）先根据三角形三边关系判断出a+b-c与b-a-c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．
（1）过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，FH∥AB，
∴AB∥CD∥FH，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠EFG=∠3+∠4=∠1+∠2，
∵∠G=90°，∠E=30°，
∴∠EFG=90°-∠E=90°-30°=60°，
即∠1+∠2=60°，
∵∠1=20°，
∴∠2=60°-∠1=60°-20°=40°；
（2）∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b-a＜c，
∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，
∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-（-b+a+c）=a+b-c+b-a-c=2b-2c．
本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，用到的知识点是平行线的性质定理、三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a+b-c与b-a-c的符号．
19．
本题考查了直角三角形面积计算公式的应用，掌握直角三角形面积的等于两条直角边的乘积的一半是解答此题的关键．在直角三角形中，两条直角边、斜边、斜边上的高四个量中，已知其中的三个，求第四个时，一般根据面积法进行求解，即根据直角三角形面积的两种计算方法：两直角边乘积的一半等于斜边与斜边上的高的乘积的一半．
本题中已知两条直角边的长度，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，即可得到的面积；接下来结合直角三角形的面积也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算即可．
解： ，
是边上的高
∴
，，，
解得
20．(1)见解析
(2)见解析
本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求；
（2）根据等高模型解决问题即可．
（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：如图，点或（）即为所求，
．
21．(1)见解析
(2)用该草坪铺满这块空地共需花费1080元
此题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，解答本题的关键是作出辅助线，求出图形的总面积，难度一般．
（1）先根据勾股定理求出，然后利用勾股定理逆定理即可判断；
（2）根据求解面积，进而可求出需花费的钱数即可．
（1）证明：在中，，，，，
，
在中，，，，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
费用（元）
答：用该草坪铺满这块空地共需花费1080元．
22．(1)
(2)
本题考查的是勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
（1）正好是直角三角形，根据勾股定理即可解答；
（2）过点作于点，利用等积法求解即可．
（1）解：由图可知，三角形是直角三角形，
∵，，
；
（2）过点作于点，
，即，
即点到直线的距离是48米．
23．(1)见解析
(2)
本题考查了角平分线的定义、垂直的判定、平行线的判定与性质以及角度的计算．解题的关键是熟练运用相关几何性质，通过角之间的关系建立等式求解．
（1）根据角平分线性质表示出相关角，再利用平角为推导出为，从而判定．
（2）由等角对等边判定结合平行线性质和角平分线定义得到角之间的倍数关系，再根据已知角度关系列方程求出，最后结合 的度数求出．
（1）证明：∵分别平分和，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴．
24．（1）是直角三角形，见解析
（2）
（3）
本题考查直角三角形的判定，三角形内角和，三角形外角定理，角平分线的性质．
（1）由，得即可；
（2）根据三角形内角和，三角形外角定理，角平分线的性质做等量代换，引入参数，由解题；
（3）由，三角形外角定理，根据的两种不同表示方式求出，由解题．
解：（1）如图1，是直角三角形，
理由如下：
在中，∵，，
，
，
是直角三角形；
（2）如图2，令，，
，
平分，
，
在中，，
又，
，
，
在中，，
，
；
（3），
由（2）可知，
，
，，
，
，
，
，
，
．2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第十三章 三角形单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，将沿方向平移，得到．点，，的对应点分别为点，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知直线，，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在中，，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列长度的线段能组成三角形的是（）
A．，， B．，， C．，， D．，，
7．已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．三边都不相等的三角形
8．如图，将三角尺按图示摆放，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．若的周长为，则的长可能为（ ）
A． B． C． D．
10．下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向上折叠，点落在点处，当时， 度．
12．已知：如图，在中，，直线分别交、、的延长线于点、、，若，则
13．有三根长度分别为的木棒，已知为整数，若这三根木棒能围成三角形，则的值为 ．
14．如图，若，与互余，则的度数 ．
15．如图，直线，直线与、分别相交于点，交于点，若，则的度数为 度．
16．如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到，点的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移的过程中，和的度数之间存在二倍关系，则的度数为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知a，b，c为的三边长，化简．
18．（1）如图所示，直角三角板和直尺如图放置．若，试求出的度数．
（2）已知ABC的三边长a、b、c，化简．
19．如图，中，，，，，是边上的高
．求的长．
20．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
(1)画出的重心P．
(2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等．
21．如图，某住宅小区有一块空地（四边形），经测量，，，，．小区为美化环境，计划在这块空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元．
(1)求证：；
(2)用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
22．如图，隔湖有两点A，B，取与方向成直角的方向上的点C，测得，，．
(1)求A，B两点之间的距离；
(2)求点B到直线的距离．
23．如图，直线交于点O，分别平分和，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
24．已知：在中，，点，分别在射线，上，连接，．
【教材再现】如图1，点，分别在边，上，是直角三角形吗？为什么？
【变式应用】如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连接交于点，且，求的度数．
【拓展延伸】如图3，在【变式应用】中的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连接，且，若，求的度数．(共7张PPT)
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第十三章三角形单元测试·巩固卷试卷分析
一、试题难度
难度 题数
较易 12
适中 12
较难 0
整体难度：一般
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.65 根据平行线的性质求角的度数；三角形内角和定理的应用；利用平移的性质求解
2 0.65 根据平行线的性质求角的度数；三角形的外角的定义及性质
3 0.65 角平分线的有关计算；三角形内角和定理的应用
4 0.65 利用邻补角互补求角度；两直线平行内错角相等；三角形的外角的定义及性质
5 0.65 与三角形的高有关的计算问题；与角平分线有关的三角形内角和问题；直角三角形的两个锐角互余；三角形的外角的定义及性质
6 0.85 构成三角形的条件
7 0.85 绝对值非负性；三角形的分类
8 0.85 三角形内角和定理的应用；三角板中角度计算问题；对顶角相等
9 0.85 三角形三边关系的应用
10 0.85 构成三角形的条件
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 三角形折叠中的角度问题；三角形的外角的定义及性质；根据平行线的性质求角的度数
12 0.85 三角形的外角的定义及性质
13 0.85 无理数的大小估算；三角形三边关系的应用；实数的混合运算
14 0.85 三角形内角和定理的应用
15 0.85 根据平行线的性质求角的度数；直角三角形的两个锐角互余；垂线的定义理解
16 0.65 根据平行线判定与性质求角度；利用平移的性质求解；三角形的外角的定义及性质
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 三角形三边关系的应用；带有字母的绝对值化简问题
18 0.85 三角形三边关系的应用；整式的加减运算；根据平行线的性质求角的度数
19 0.65 与三角形的高有关的计算问题；斜边的中线等于斜边的一半
20 0.65 与三角形的高有关的计算问题；重心的概念
21 0.65 用勾股定理解三角形；勾股定理逆定理的实际应用；与三角形的高有关的计算问题
22 0.65 用勾股定理解三角形；与三角形的高有关的计算问题
23 0.65 垂线的定义理解；利用邻补角互补求角度；同位角相等两直线平行；三角形角平分线的定义
24 0.65 三角形内角和定理的应用；三角形的外角的定义及性质；角平分线的有关计算；锐角互余的三角形是直角三角形
