2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第十三章 三角形单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，以为高的三角形共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
4．如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（ ）
A．20米 B．15米 C．10米 D．5米
5．一个三角形三个内角度数之比是，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
6．已知中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
7．如图，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的中线，E，F分别在上和延长线上，且，连接，，下列结论不正确的是（ ）
A． B．和面积相等
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．已知、、是三角形的三边长，化简： ．
12．如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ．
13．如图，在正方形中，点E，点F分别是 ，上的点，且，，垂足为P，则的最小值为 ．
14．如图，在中，，将平移个单位长度得到，是的中点，则的最大值为 ．
15．已知在，，D是边中点，E在边上，且，于点F，，，则 ．
16．如图是由两个直角三角板摆放得到的图形，图中的度数为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．若a，b，c为的三边长，化简：.
18．计算：
(1)一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其它两边的长．
(2)一个多边形的内角和是外角和的倍，求它的边数．
19．如图，，平分，．若，求的度数是多少．
20．已知：如图，
(1)是边上的高，请用三角板画出；
(2)试利用尺规作图，作出的角平分线，与相交于点F；
(3)在（1）和（2）的条件下，与交于点若，，求的度数．
21．如图是三座城市的平面图，市在市北偏西方向（）处，市在市北偏东方向（），市在市南偏东方向（）处．
(1)求的度数．
(2)甲、乙两辆车分别从市和市同时开往市，其中乙车速度为，甲车速度至少为多少，才能不比乙车晚到达市？
22．如图，在中，AE平分，AD是BC边上的高．
(1)在图中将图形补充完整；
(2)当，时，求的度数．
23．如图，在三角形中，点E，F分别在边上，连接，，延长至点B，过点D作射线，．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
24．（1）如图的图形我们把它称为“字形”，请说理证明．
（2）如图，、分别平分、，和为任意角时，其他条件不变，试写出与、之间数量关系．
（3）在图中，若设，，试问与、之间的数量关系为______用、的代数式表示．
（4）在图中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论．《第十三章三角形单元测试基础卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D A B A B A C
1．A
本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案.
解：在中，，根据三角形面积公式高，
．
，，
．
，
．
．
解得．
点到直线的距离是．
故选：A．
2．C
此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
3．C
此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．由于于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数．
解：∵于D，
而图中有一边在直线上，且以A为顶点的三角形有6个，分别为
∴以为高的三角形有6个．
故选：C．
4．D
本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案．
解：设A，B间的距离为x，
根据三角形的三边关系，得：
，
，
故A，B间的距离不可能是5米．
故选：D．
5．A
本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
根据三角形三个内角的度数之比，结合三角形的内角和定理，分别求解三个内角的大小，再作出判断即可．
解：三角形三个内角度数之比是，
∴三角形的三个内角依次为：，，，
∴该三角形一定是锐角三角形．
故选：A．
6．B
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，正确求出的度数是解题的关键．
只需要利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
解：∵在中，，
∴，
∴一定是直角三角形．
故选：B．
7．A
本题考查等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选A．
8．B
本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质，首先根据三角形内角和定理，可以求出，根据直角三角形两锐角互余可以求出，根据邻补角定义可以求出．
解：在中，，
又，
，
，
，
，
．
故选：B．
9．A
本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
10．C
本题主要考查三角形中线、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和角平分线的定义，根据题意得，利用即可证明；利用的边和的边上的高相同，和面积相等；由于不一定是的角平分线，则和不一定相等；由于，则有．
解：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，选项A正确，不符合题意；
∵，
的边和的边上的高相同，
∴和面积相等，选项B正确，不符合题意；
∵是的中线，
∴不一定是的角平分线，
∴和不一定相等，选项C不正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，选项D正确，不符合题意，
故选：C．
11．
本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简．
解：∵ 、、是三角形的三边长
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
∴ ，即；，即
∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数
∴ ，
则
故答案为： ．
12．
本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得．
解：在和中，
，
，
，
故答案为：．
13．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等知识，取的中点M，连接，，利用直角三角形斜边中线可得，最后根据求出的最小值．
解：取的中点M，连接，，
∵是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
14．
本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，连接，根据平移的性质和两点之间线段最短即可得到结论，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
如图，连接，
∵将平移个单位长度得到，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，即，
∴的最大值为，
故答案为：．
15．
由，，可求，由勾股定理得，，则，如图，作交于，延长交的延长线于，则，，同理，由，可得，进而可求，，由勾股定理得，，证明，则，设，，则，，，由勾股定理得，，即，整理得，可求，则，同理，，则，，由，可求，则，由勾股定理求即可．
解：∵，，
∴，即，
解得，，
由勾股定理得，，
∴，
如图，作交于，延长交的延长线于，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
设，，则，，，
由勾股定理得，，即，
∴，即，
解得，，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：．
本题考查了正切，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正切，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理是解题的关键．
16．/15度
本题考查三角板中的角度计算，三角形外角的性质，如图可得，然后将角的度数代入计算即可．解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
解：∵如图是由两个直角三角板摆放得到的图形，
∴，
∴，
即图中的度数为．
故答案为：．
17．
解：∵a，b，c为的三边长，∴，，
∴原式
.
18．(1)其它两边的长为，或，，
(2)它的边数是
（1）根据等腰三角形的性质，三角形的周长，分类讨论三角形的边长，即可；
（2）设多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和外角和定理，列出方程，即可．
（1）当等腰三角形的腰长为时，
∵三角形的周长为，
∴另外两边分别为：，，
∴当边长为：，，，能组成三角形；
当等腰三角形的底边为时，
∵三角形的周长为，
∴腰长为：，
∴当边长为：，，，能组成三角形；
综上所述，其他两边的长为：，或，．
（2）设多边形的边数为，
∵多边形的外角和为，内角和公式为：，
当多边形的内角和是外角和的倍时，，
∴，
∴它的边数是．
本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，三角形三边的关系，多边形的内角和和外角和定理．
19．
本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的两锐角特点．熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得．
解：，
．
平分，
．
又∵，
∴．
．
20．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)
本题考查了三角形的高的画法、角平分线的尺规作图以及三角形内角和定理与外角性质的综合运用，解题的关键是熟练掌握基本作图方法，并能结合角度关系进行计算．
（1）用三角板的直角边与重合，另一直角边过点C画垂线，垂足为D，即为所求高；
（2）以A为圆心，适当长为半径画弧交于两点；分别以这两点为圆心，大于两点距离一半为半径画弧，两弧交于一点；过A与该交点画射线交于F，即为角平分线；
（3）设角度未知数，利用三角形内角和定理求出；由角平分线定义得；结合高的性质知；根据外角性质求出．
（1）解：如图所示，为所画的高；
（2）如上图，为所求作的角平分线；
（3）设，则
根据题意，得
，，
，
平分，
，
是边AB上的高，
，
21．(1)
(2)甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市
本题考查了方向角，平行线的性质，角的和差，三角形内角和定理以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题关键．
（1）根据，得到，所以，在中，根据三角形内角和定理求解即可．
（2）设甲车速度为，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解．
（1）解：处在处北偏西方向，处在处北偏东方向，处在处南偏东方向，
，，，
，
，
，
在中，．
（2）设甲车速度为，根据题意得，
解得：，
答：甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市．
22．(1)见解析
(2)
（1）根据高的定义补充图形；
（2）根据角平分线性质求出，最后结合直角三角形的性质求出．
（1）（1）解：如图所示：
（2）解：∵在中，平分，
，
是边上的高，
，
，
．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质，主要围绕三角形中的角平分线和高展开，通过三角形内角和定理以及角之间的关系来求解角度，熟练运用三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质来建立角之间的关系是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由可得，再结合可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论；
（2）结合（1）得，根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质即可解答．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的外角，
∴．
24．（1）见解析；（2） ；（3） ．（4）
本题考查了三角形内角和定理，“字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）设，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（3）如图中，设，，则，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（4）如图中，延长交于，设利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题．
解：（1）如图中，
，，，
；
（2）如图中，
设，
则有，
，
；
；
（3）如图中，设，，则，设，，
则有，
，
，
故答案为：．
（4）如图中，延长交于，设．
则有，
，
，
．(共7张PPT)
人教版2024八年级上册
第十三章三角形单元测试·基础卷试卷分析
一、试题难度
难度 题数
较易 10
适中 13
较难 1
整体难度：容易
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.85 点到直线的距离；与三角形的高有关的计算问题
2 0.85 三角形的分类
3 0.85 三角形的个数问题；画三角形的高
4 0.85 确定第三边的取值范围；三角形三边关系的应用
5 0.85 三角形内角和定理的应用；三角形的分类
6 0.85 三角形内角和定理的应用；三角形的分类
7 0.65 三角形的外角的定义及性质；等边对等角；三角形内角和定理的应用
8 0.65 三角形内角和定理的应用；直角三角形的两个锐角互余
9 0.65 根据平行线的性质求角的度数；三角形的外角的定义及性质
10 0.65 内错角相等两直线平行；全等的性质和SAS综合（SAS）；根据三角形中线求长度；三角形角平分线的定义
三、知识点分布
二、填空题
11 0.65 带有字母的绝对值化简问题；三角形三边关系的应用；整式的加减运算
12 0.65 三角形的外角的定义及性质；全等的性质和SSS综合（SSS）
13 0.65 三角形三边关系的应用；用勾股定理解三角形；斜边的中线等于斜边的一半；根据正方形的性质求线段长
14 0.65 三角形三边关系的应用；利用平移的性质求解；两点之间线段最短
15 0.4 相似三角形的判定与性质综合；已知正切值求边长；三角形的外角的定义及性质；用勾股定理解三角形
16 0.85 三角板中角度计算问题；三角形的外角的定义及性质
三、知识点分布
17 0.85 利用二次根式的性质化简；三角形三边关系的应用
18 0.85 多边形内角和与外角和综合；等腰三角形的定义；三角形三边关系的应用
19 0.65 角平分线的有关计算；根据平行线的性质求角的度数；直角三角形的两个锐角互余
20 0.65 作角平分线(尺规作图)；作垂线(尺规作图)；角平分线的有关计算；三角形内角和定理的应用
21 0.85 用一元一次不等式解决实际问题；与方向角有关的计算题；三角形内角和定理的应用
22 0.65 与三角形的高有关的计算问题；直角三角形的两个锐角互余；角平分线的有关计算
23 0.65 根据平行线判定与性质证明；三角形的外角的定义及性质；角平分线的有关计算；根据平行线的性质求角的度数
24 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题；角平分线的有关计算；三角形内角和定理的应用
