《第十四章全等三角形单元测试·巩固卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C D B B A C D
1．A
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，由于，则，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：，
，
当添加时，不能判定，所以A选项符合题意；
当添加时，，所以B选项不符合题意；
当添加时，，所以C选项不符合题意；
当添加时，，所以D选项不符合题意；
故选：A．
2．A
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据得，进而依据“”判定和全等得，，，进而得选项B，，一定成立，对于选项A当时成立，由此即可得出答案．
解：，
，
即，
在和中，，
，
，，，
故选项B，，一定成立，不符合题意，
当时，，
因此选项A不一定成立．
故选：A．
3．B
本题主要考查命题真假的判断、对顶角、平行线性质、平行公理等知识点，掌握平行线的性质以及平行公理成为解题的关键．
根据对顶角、平行线性质、平行公理逐项分析判断即可．
解：A． 若两直线不平行，同旁内角大小不确定，故此命题为假命题，不符合题意；
B．根据对顶角定理，对顶角一定相等，故此命题为真命题，符合题意；
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．若该点在已知直线上，则无法作平行线．题干未限定为“直线外一点”，表述不严谨，故此命题为假命题，不符合题意；
D． 根据平行线性质定理，两直线平行时，内错角相等，而非互补，故此命题为假命题，不符合题意．
故选：B．
4．C
本题考查了三角形全等的判定与性质，正确分三种情况讨论是解题关键．分三种情况：①当和都是锐角时，②当和都是钝角时，③当和中，有一个是锐角、一个是钝角时；不妨设是锐角，是钝角；过点作于点，过点作于点，证出，，根据全等三角形的性质即可得．
解：①如图，当和都是锐角时，
过点作于点，过点作于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②如图，当和都是钝角时，
过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点，
同理可证：，
∴，
即；
③如图，当和中，有一个是锐角、一个是钝角时；
不妨设是锐角，是钝角，
过点作于点，过点作，交延长线于点，
同理可证：，
∴，
∵，
∴；
综上，或，
所以正确的是甲、丙答案合在一起才完整，
故选：C．
5．D
本题主要考查角平分线的性质定理，三角形中线的定义，掌握角平分线的性质定理，等高的三角形面积的计算方法是关键．
过点作于，于，则，，求出，由中点得到，根据即可求解．
解：如图，过点作于，于，
平分，
，
，
，
，
，
是的中线，，
，
∴，
故选：D．
6．B
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由全等三角形的判定方法：、、、、，逐一选项分析即可．
解：A、由能判定，本选项不符合题意；
B、和分别是、的对角，不能判定，本选项符合题意；
C、由能判定，本选项不符合题意；
D、由能判定，本选项不符合题意；
故选B．
7．B
根据垂直的定义和三角形的内角和即可判断①；根据是的高，得到，结合分别是的角平分线，平分，得到，从而确定，判断②错误；证明得，由此可对结论③进行判断；利用全等三角形判定推出，得到，再判定推出，判断④．
解：① 因为，，
所以．
又，
，结论①正确．
②解：∵是的高，
∴，
∴，
∵分别是的角平分线，平分，
∴，，
∴，
∴，故②错误；
③∵是的高，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故结论③正确；
④是的高，，
，
又，
，
又，
，
又，，
，
，
又，，
，
∴，
故④错误；
综上，正确结论是①③，共2个，
故选：B．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线和高、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，找出图形中的全等三角形并证明是解题的关键．
8．A
此题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
根据角平分线的性质定理，然后根据线段的和差得到求解即可．
∵平分，，，
∴．
∵，
∴，
故选A．
9．C
本题考查了全等三角形的性质．
根据全等三角形的性质得到，，可知，则，根据对顶角相等得到，进而得到，即可求出的度数．
解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
故选：C
10．D
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵，
∴，
∵平分交于，，
∴，故正确；
如图，过作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴点在角平分线上，
∴平分，故正确；
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，故正确；
由上得，，
∴，，
∴，
∴，故正确，
综上可知，正确，共个正确，
故选：．
11．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
由全等三角形的性质推出，即可求出的长．
解：，
，
．
故答案为：．
12．2
本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，构造辅助线是解题的关键．过点作于点．此时是点到直线的垂线段，根据“垂线段最短”， 的最小值等于的长度．
解：过点作于点．如图，
，
的平分线交于点，，
，
点为上一动点，
的最小值为的长，即的最小值是2，
故答案为：2．
13．1.5
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键．
过点A作于M，过点C作于N，证明即可求解．
解：如图，
过点A作于M，过点C作于N，
由题意得，，
则，
∴，，
同理可得：，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1.5．
14．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可．
如图，过点作于，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理：，
∵
设，，
∴，
∴．
故答案为：．
此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
15．
本题考查角平分线的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，关键是由角平分线的性质推出，判定， 推出．
由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到的面积，求出，判定，推出，求出，得到，即可求出的面积．
解：∵，
∴，
∵是的平分线，，
∴，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴的面积．
故答案为：．
16．
本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质．由三角形的内角和定理可得与的度数和，根据角平分线的判定和性质，结合三角形的内角和定理，计算即可．
解：∵在中，，
∴，
∵点在内部，且到三边的距离相等，
∴平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
17．见解析
本题考查了作一个角等于已知角的作法及三角形的内角和定理，理解作是解答关键．以点C为圆心，以任意长为半径画弧，交于点E，交于点F，以同样长为半径，以A点为圆心画弧，交于点M，交于点N，再以点F为圆心，以长为半径画弧交弧于点P，连接并延长交于点D即可求解．
解：如图，点D即为所求作：
由作图可知，
∴．
18．①或③，理由见解析．
根据全等三角形的判定与性质求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
解：，
，
选择：，
，
在和中，
，
∴，
，
；
选择：无法求解；
选择：
在和中，
，
∴，
，
；
故答案为：或．
19．(1)90
(2)四边形的面积，见解析
本题主要考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理的证明是解题的关键．
（1）根据三角形全等的性质得到，得到即可证明．
（2）根据三角形的面积和梯形的面积公式两种方式求出面积得出结论．
（1）解：；
证明：，
，
，
，
，
；
；
（2）解：方法一：证明：四边形的面积
，
四边形ACBE的面积
，
，
即.
方法二：
，
，
，
即．
20．合理，理由见解析，点A处时他与电线塔的距离为38米
本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，证明，得到即可．
解：合理，理由如下：
由题意，得：，
又∵，
∴，
∴，
∵米，
∴米，
即：在点A处时他与电线塔的距离为38米．
21．见解析
本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得．
解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即只要测出线段的长度就可知湖宽．
22．(1)见解析过程
(2)
本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线性质与判定、三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由可证，可得，即可求解；
（2）由全等三角形的性质可得，，即可求解．
（1）证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：，
，，
．
23．(1)见解析
(2)见解析
本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
（1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，
（2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分．
（1）解：是的中点，
，
在和中，
，
，
，
在中，
，
即，
中线的取值范围是：；
（2）证明：延长到点M，使，连接．
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即平分．
24．(1)；
(2)或；
(3)．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（1）由“”可证，可得，根据线段的和差求出，据此可求解；
（2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解；
（3）由 ，可求的值，由面积和差关系可求，可求的值．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
；
（2）解：若，
∴，
∵
，
，
∵，
∴，
∴；
若，
∴,
∴,
，
∵，
，
∴；
综上所述:，或 ；
（3）解：如图③, 连接，过点作于，过点作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第十四章 全等三角形单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图是南阳光武大桥及其侧面示意图，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，，，，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等 B．对顶角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，内错角互补
4．题目：“在和中，，已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
5．如图，在中，是它的一条角平分线，是它的一条中线，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，是边上的高线，是的角平分线，平分交BC于点E，交于点M，连接，交于点N，且．现有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在中，，AE平分交BC于点E，于点D，如果，，那么的长为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．5
9．如图，，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，平分交于，于，点在上，点在上，，平分，下列结论中正确的个数（ ）
；平分；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，点在上，，若，，则 ．
12．如图，在中，，的平分线交于点，，，点为上一动点，则的最小值为 ．
13．如图，秋千垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至处，点A距离地面高度，与的水平距离．推动秋千从至处，此时恰好，点C距离的水平距离，则点C距离地面的高度为 m．
14．如图，，平分，平分，若，则 ．
15．如图，在中，是的平分线，，垂足为点是的边上的中线，，的面积为6，则的面积为 ．
16．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，．尺规作图：在上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，点，，，在一条直线上，，．若______，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．
19．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接、．设、交于点G．，，，．请你回答以下问题：
(1)填空： °．
(2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．
20．如图，小刚站在河边的点A处，在河对面（小刚的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着继续向前走了30步到达D处，然后他左转直行，从点D处开始计步，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线上时，他恰好走了76步，小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点A处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请说明理由，并求出在点A处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由．
21．如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？
22．如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
23．方法探索
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
(1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决
(2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：
如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分．
24．如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动．设运动时间为．
(1)如图①，连接、，当时，求的值；
(2)如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当、两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值；
(3)如图③，当（2）中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请求出此时的值．(共7张PPT)
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第十四章全等三角形单元测试·巩固卷
试卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
较易 5
适中 17
较难 2
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.85 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
2 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）
3 0.65 两直线平行内错角相等；过直线外一点作已知直线的平行线；对顶角相等；判断命题真假
4 0.65 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；全等的性质和HL综合（HL）
5 0.65 角平分线的性质定理；根据三角形中线求长度
6 0.65 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
7 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题；全等三角形综合问题；与三角形的高有关的计算问题；三角形角平分线的定义
8 0.65 角平分线的性质定理
9 0.65 全等三角形的性质
10 0.4 全等三角形综合问题；角平分线的性质定理
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 全等三角形的性质
12 0.85 垂线段最短；角平分线的性质定理
13 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据平行线判定与性质证明
14 0.65 全等的性质和HL综合（HL）；角平分线的性质定理
15 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的性质定理
16 0.65 三角形内角和定理的应用；角平分线的判定定理；与角平分线有关的三角形内角和问题
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 尺规作一个角等于已知角；三角形内角和定理的应用
18 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
19 0.65 勾股定理的证明方法；全等三角形的性质
20 0.85 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
21 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据平行线判定与性质证明
22 0.65 根据平行线判定与性质证明；全等的性质和SAS综合（SAS）；三角形内角和定理的应用
23 0.65 确定第三边的取值范围；倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
24 0.4 与三角形的高有关的计算问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；全等三角形的性质
