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2025年新九年级数学人教版暑假大课堂
第十六讲 待定系数法求 二次函数解析式
知识点梳理
知识点1 用一般式确定二次函数解析式
一般式y=ax2+bx+c.(a≠0)代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组,并求出a, b, c,就可以写出二次函数的解析式.
要点诠释:
已知抛物线上任意三点坐标时使用。
求解步骤 :将三点坐标代入方程,得到三元一次方程组,解方程组求出a、b、c。
知识点2 用顶点式确定二次函数解析式
顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点(h,k),可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入,即可求出a的值,从而写出二次函数的解析式.
要点诠释:
已知顶点坐标(h, k)或对称轴方程时使用。
求解步骤 :将顶点坐标代入方程,再代入另一点坐标求a,最后整理成标准形式
知识点3 用交点式确定二次函数解析式
交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时,可设y=a(x-x1)(x-x2),再将另一点的坐标代入即可求出a的值,从而写出二次函数的解析式.
要点诠释
已知抛物线与x轴交点坐标(x1, 0)、(x2, 0)时使用。
求解步骤 :将交点坐标代入方程,再代入另一点坐标求a,最后整理成标准形式。
待定系数法 是三种形式的核心求解方法,需根据已知条件灵活选择解析式形式。
通过灵活运用这三种形式,可高效解决二次函数解析式相关问题。
题型1 一般式求二次函数解析式
【例1】.已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示:
(1)求二次函数解析式;
(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象;
(3)当时,的取值范围是 .
针对训练1
1.已知二次函数的图象经过点和点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)求该二次函数图象的顶点坐标;
(3)当x在什么范围内时,y随x的增大而减小?
2.已知二次函数的图象过点,,.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)补全表格,画出二次函数的图象;
x … …
y … …
(3)关于该二次函数,下列说法正确的有______.
①图象开口朝下,顶点为;
②当时,y随x增大而减小;
③当时,y的取值范围为;
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6.
3.如图1,抛物线交轴于,两点,交轴于点,对称轴为,若点的坐标为,,点为某个动点.
(1)直接写出点,的坐标;
(2)当点在抛物线上且在对称轴右侧时,设直线的解析式为,依据函数图象试求不等式的解集;
(3)如图2,过点作轴的垂线,交抛物线于点,记,求关于的函数解析式.
①当随的增大而增大时,求的取值范围;
②根据的不同取值确定点的个数.
4.一个二次函数的图象经过,,三点.求:这个二次函数的解析式.
5.抛物线(a,b,c是常数,).
(1)若,且该抛物线的图象经过,,三个点中的其中两个点,求该抛物线的函数解析式;
(2)若,,点()在该抛物线上,求证:
题型2 顶点式求二次函数解析式
【例2】.已知抛物线的顶点坐标,且与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线过点,,求的值.
针对训练2
1.已知抛物线的顶点是,且抛物线过点.
(1)求抛物线的表达式.
(2)将抛物线向右平移m个单位长度,得到一个新抛物线,使得新抛物线上,当时,y随x的增大而减小;当时 ,y随x的增大而增大.求m的取值范围.
(3)点P是抛物线上任意一点,其横坐标为n, 设抛物线上点P左侧的部分为图象G(含点P).若图象G的最低点的纵坐标为,直接写出n的值.
2.在平面直角坐标系中,抛物线的顶点坐标是,并且经过点.
(1)求抛物线表示的二次函数的解析式;
(2)已知点在抛物线上,,且与均为整数,求点的坐标.
3.已知是关于的二次函数,满足下表
… …
… …
根据上表数据,完成下列问题:
(1)直接写出此图象对称轴表达式 ;
(2)写出此二次函数顶点坐标是 ;
(3)求此二次函数的解析式.
4.如图,抛物线与轴交于点,顶点为,对称轴为直线,点在抛物线上,点的纵坐标为,过点作轴的平行线交抛物线于另一点,交轴于点.
(1)求的值,并写出和的数量关系;
(2)若的面积是的面积的倍,求抛物线的解析式.
5.若抛物线的顶点坐标为,图像与轴的交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当取何值时,抛物线中随增大而增大.
题型3交点式求二次函数解析式
【例3】.已知二次函数与自变量的部分对应值如下表:
0 1
5 0
(1)______.
(2)求该二次函数的表达式;
(3)当时,的取值范围是______.
针对训练3
1.已知二次函数.
(1)求该二次函数图象的顶点坐标.
(2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点,求该二次函数的表达式.
(3)已知,和是该二次函数图象上任意两点,若对,,都满足,求证:.
2.抛物线上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表所示:
x … 0 1 2 …
y … 8 0 0 …
(1)根据以上表格填空:抛物线经过点(3, ),在对称轴右侧,y随x的增大而 ;
(2)求抛物线的解析式.
3.已知抛物线,经过,,三点.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)当为何值时,函数随的增大而增大?
4.在平面直角坐标系中,抛物线 过点
(1)请用含 的代数式表示 .
(2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点,求该抛物线的函数表达式.
(3)当 时,对于每一个 的值, 始终成立,试求 的取值范围.
5.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,且关于直线对称.
图1 图2
(1)求线段的长;
(2)当时,求的取值范围;
(3)如图2,点为抛物线对称轴上的点,点,在对称轴右侧抛物线上,若为等腰直角三角形,,试证明:为定值.
题型4 选择适当方法求二次函数解析式
【例4】.已知抛物线交轴于点,,交轴于点.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标.
(2)如图,是抛物线上位于直线上方的动点,过点作轴的平行线,交直线于点,当的长度最大时,求点的坐标.
针对训练4
1.已知二次函数的图象经过点.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)求的面积.
2.已知抛物线.
(1)求这条拋物线的对称轴;
(2)若抛物线的顶点在x轴上,求其表达式;
(3)设点,在抛物线上,若,求m的取值范围.
3.已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
(1)求此抛物线的解析式;
(2)画出函数图象,结合图象直接写出当时,y的范围.
4.如图,抛物线过点,,.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设P是直线上方抛物线上一点,求出的最大面积及此时点P的坐标;
(3)若点M是线段上的一动点,连接,求的最小值.
5.已知抛物线的对称轴为直线,且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)如图,点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点,过点P作轴,,垂足分别为A、B.设点P的横坐标为m.
①当四边形为正方形时,求m的值;
②根据①的结果,直接写出.时,m的取值范围.
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第十六讲 待定系数法求 二次函数解析式(解析版)
知识点梳理
知识点1 用一般式确定二次函数解析式
一般式y=ax2+bx+c.(a≠0)代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组,并求出a, b, c,就可以写出二次函数的解析式.
要点诠释:
已知抛物线上任意三点坐标时使用。
求解步骤 :将三点坐标代入方程,得到三元一次方程组,解方程组求出a、b、c。
知识点2 用顶点式确定二次函数解析式
顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点(h,k),可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入,即可求出a的值,从而写出二次函数的解析式.
要点诠释:
已知顶点坐标(h, k)或对称轴方程时使用。
求解步骤 :将顶点坐标代入方程,再代入另一点坐标求a,最后整理成标准形式
知识点3 用交点式确定二次函数解析式
交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时,可设y=a(x-x1)(x-x2),再将另一点的坐标代入即可求出a的值,从而写出二次函数的解析式.
要点诠释
已知抛物线与x轴交点坐标(x1, 0)、(x2, 0)时使用。
求解步骤 :将交点坐标代入方程,再代入另一点坐标求a,最后整理成标准形式。
待定系数法 是三种形式的核心求解方法,需根据已知条件灵活选择解析式形式。
通过灵活运用这三种形式,可高效解决二次函数解析式相关问题。
题型1 一般式求二次函数解析式
【例1】.已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示:
(1)求二次函数解析式;
(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象;
(3)当时,的取值范围是 .
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式,根据函数解析式画函数图形,根据函数自变量求函数取值范围,掌握待定系数法解二次函数解析式,函数图像的性质是解题的关键.
(1)用待定系数法即可求解;
(2)根据函数解析式,用描点法即可求解;
(3)根据自变量的取值范围,结合图象,即可确定函数值的取值范围.
【详解】(1)解:当时,;当时,;当时,,
∴,解得,
∴二次函数解析式为.
(2)解:二次函数解析式为,图像如图所示,
函数与轴的交点是,,与轴的交点是,对称轴为直线,符合题意.
(3)解:当时,
当时,;
当时,;
当时,.
根据(2)中图象可知,当时,.
针对训练1
1.已知二次函数的图象经过点和点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)求该二次函数图象的顶点坐标;
(3)当x在什么范围内时,y随x的增大而减小?
【答案】(1)
(2)
(3)当时,y随x的增大而减小
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象的性质,求得解析式是解题的关键.
(1)将点和代入中,得,进行计算即可得;
(2)由表达式即可得到顶点坐标;
(3)根据二次函数的性质得即可得.
【详解】(1)解:将点和代入中,得
解得
则该二次函数表达式为;
(2)解:∵
∴顶点坐标为;
(3)解:根据二次函数的性质得,当时,y随x的增大而减小.
2.已知二次函数的图象过点,,.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)补全表格,画出二次函数的图象;
x … …
y … …
(3)关于该二次函数,下列说法正确的有______.
①图象开口朝下,顶点为;
②当时,y随x增大而减小;
③当时,y的取值范围为;
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6.
【答案】(1)
(2)见解答
(3)①④
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质,正确理解题意、准确计算是解题的关键.
(1)由待定系数法求出函数表达式;
(2)取点描点连线绘制函数图象即可;
(3)根据函数图象和性质逐次求解即可.
【详解】(1)解:由题意得:
,
解得:,
则抛物线的表达式为:;
(2)解:取点补全表格为:
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
如图,
(3)解:①,则图象开口朝下,由表格数据知,顶点为,故①正确,符合题意;
②抛物线的对称轴为直线,则当时,y随x增大而增大,故②错误,不符合题意;
③从图象看,当时,y的取值范围为,故③错误,不符合题意;
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积,故④正确,符合题意;
故答案为:①④.
3.如图1,抛物线交轴于,两点,交轴于点,对称轴为,若点的坐标为,,点为某个动点.
(1)直接写出点,的坐标;
(2)当点在抛物线上且在对称轴右侧时,设直线的解析式为,依据函数图象试求不等式的解集;
(3)如图2,过点作轴的垂线,交抛物线于点,记,求关于的函数解析式.
①当随的增大而增大时,求的取值范围;
②根据的不同取值确定点的个数.
【答案】(1),
(2)或
(3),①当随的增大而增大时,或;②当,点有2个点;当时,点有4个点;当时,点有3个点,时,点有2个点
【分析】本题主要考出了二次函数的性质、二次函数与不等式的综合、二次函数的综合等知识点,掌握数形结合思想以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键.
(1)先由二次函数的对称性可得,再结合即可确定点B的坐标;
(2)先求出二次函数解析式,由题意可得,解得或,进而确定,即,再结合函数图象即可解答;
(3)①由第(2)问可知:点D在直线上运动,其中,进而可得;再分当或时,;当时,两种情况,分别利用二次函数的增减性解答即可.②分当,点有2个点;当时,点有无数个点;当时,点有3个点,时,点有无数个点得解.
【详解】(1)解:抛物线交轴于,两点,交轴于点,对称轴为,若点的坐标为,
∴,
∴,
∵,
∴;
(2)解:抛物线交轴于,两点,交轴于点,
将点,点,点的坐标代入得:
,
解得:,
∴函数解析式为,
∵函数解析式为,
将点代入得:,
解得:或,
∵点在对称轴的右边,
∴,
∴,即;
∴可以看作抛物线在直线的下方,
∴由以上函数图象可知:或;
(3)解:①点在直线上运动,其中,,,,
∴,
当或时,,
∵,对称轴,
∴当时,随的增大而增大,
∴时,随的增大而增大;
当时,,
∵,抛物线开口向下,对称轴为;
∴当时,随的增大而增大,
∴时,随的增大而增大;
综上所述:当随的增大而增大时,或.
②∵
∴当时,,即,
此时,,
所以,方程有两个不相等的实数根,即点E有2个点;
当时,,
∴或,
解得,或,
解得,,
所以,点E有3个点;
当时,点有无数个点;当时,点有无数个点.
综上,当,点有2个点;当时,点有4个点;当时,点有3个点,时,点有2个点
4.一个二次函数的图象经过,,三点.求:这个二次函数的解析式.
【答案】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式.在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.设一般式,再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组,然后解方程组求出a、b、c即可.
【详解】解:设抛物线的解析式为,
根据题意得:,
解得:,
所以抛物线的解析式为.
5.抛物线(a,b,c是常数,).
(1)若,且该抛物线的图象经过,,三个点中的其中两个点,求该抛物线的函数解析式;
(2)若,,点()在该抛物线上,求证:
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的图象和性质,二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质;
(1)由已知可知,图象过,即可判断图象不过点C,再根据待定系数法求二次函数的解析式即可;
(2)把代入解析式可得,再把代入可得,
再根据可得,进而可得,即可得解.
【详解】(1)解:∵,
∴图象过,
∴图象不过点C,
将点,代入抛物线,得,
解得,
∴;
(2)证明:当时,,
∵,
,
,
∵,
,
,
,
∴.
题型2 顶点式求二次函数解析式
【例2】.已知抛物线的顶点坐标,且与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线过点,,求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.
(1)依据题意,由抛物线顶点为,故可设抛物线的解析式为,又抛物线过,从而可求出的值,进而可以得解;
(2)依据题意,由(1),又抛物线过点,,从而求出的值,代入代数式进而得到答案.
【详解】(1)解:抛物线的顶点坐标,
可设抛物线的解析式为.
又∵抛物线过,
.
.
抛物线的解析式为;
(2)解:由(1)中求得的解析式,
抛物线过点,,
,
.
针对训练2
1.已知抛物线的顶点是,且抛物线过点.
(1)求抛物线的表达式.
(2)将抛物线向右平移m个单位长度,得到一个新抛物线,使得新抛物线上,当时,y随x的增大而减小;当时 ,y随x的增大而增大.求m的取值范围.
(3)点P是抛物线上任意一点,其横坐标为n, 设抛物线上点P左侧的部分为图象G(含点P).若图象G的最低点的纵坐标为,直接写出n的值.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用,二次函数图象的平移,正确的求出函数解析式,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解题的关键:
(1)写出顶点式,待定系数法求出函数解析式即可;
(2)根据平移方式确定新的解析式,根据增减性确定m的取值范围,即可;
(3)分两种情况,根据二次函数的增减性,确定最值,列出方程进行求解即可.
【详解】(1)解:设抛物线的表达式为,把代入得,
∴,
∴,
∴抛物线的表达式为.
(2)解:抛物线向右平移个单位长度后,解析式为,
∴新的抛物线的对称轴为,
∵当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大,
∴,解得.
(3)解:当时,图象的最低点为顶点,纵坐标为,
则,解得:;
当时,把代入得,
则,
∴,
∴,解得或(舍去),
∴或.
2.在平面直角坐标系中,抛物线的顶点坐标是,并且经过点.
(1)求抛物线表示的二次函数的解析式;
(2)已知点在抛物线上,,且与均为整数,求点的坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,求二次函数的解析式,等知识,掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
(1)设抛物线的解析式为顶点式,把点的坐标代入即可求解;
(2)由点A在抛物线上,得;变形为,根据与均为整数,得,即可求得点A的坐标.
【详解】(1)解:设抛物线的解析式为,
把点的坐标代入得:,
解得: ,
∴;
(2)解:∵点A在抛物线上,
∴,
即;
∵
;
由于K,m都为整数,则,
∴或,
此时;
综上,点A的坐标为或.
3.已知是关于的二次函数,满足下表
… …
… …
根据上表数据,完成下列问题:
(1)直接写出此图象对称轴表达式 ;
(2)写出此二次函数顶点坐标是 ;
(3)求此二次函数的解析式.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】()根据表中数据即可求解;
()根据()所得对称轴方程及表中数据即可求解;
()利用抛物线的顶点式及待定系数法解答即可;
本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的图象和性质,掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
【详解】(1)解:由表可知,当和时,,
∴二次函数图象的对称轴为直线,
故答案为:;
(2)解:∵二次函数图象的对称轴为直线,当时,
∴二次函数图象的顶点坐标为,
故答案为:;
(3)解:设二次函数解析式为,把代入得,
,
解得,
∴二次函数解析式为.
4.如图,抛物线与轴交于点,顶点为,对称轴为直线,点在抛物线上,点的纵坐标为,过点作轴的平行线交抛物线于另一点,交轴于点.
(1)求的值,并写出和的数量关系;
(2)若的面积是的面积的倍,求抛物线的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质,掌握待定系数法,利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键.
(1)根据抛物线经过点,可得的值,根据对称轴公式可得和的数量关系;
(2)根据点的纵坐标为,过点作轴的平行线交抛物线于另一点,可得点坐标,结合的面积是的面积的倍,可得抛物线顶点坐标,设抛物线的顶点式,把点坐标代入解析式,即可求解.
【详解】(1)解:抛物线与轴交于点,
,
对称轴为直线,
,
即;
(2)解:点的纵坐标为,过点作轴的平行线交抛物线于另一点,
,
,
,
的面积是的面积的倍,顶点为,对称轴为直线,
在抛物线对称轴上的高为,即,
设抛物线的解析式为,
又抛物线经过点,
,
即,
抛物线的解析式为.
5.若抛物线的顶点坐标为,图像与轴的交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当取何值时,抛物线中随增大而增大.
【答案】(1)
(2)当时,随增大而增大
【分析】本题考查二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键;
(1)根据抛物线的顶点坐标为,设抛物线解析式为,将代入求解即可;
(2)根据二次函数的性质,即可求解;
【详解】(1)解:抛物线的顶点坐标为,
设抛物线解析式为,
把代入得,
解得,
所以抛物线解析式为;
(2)解:当时,随增大而增大.
题型3交点式求二次函数解析式
【例3】.已知二次函数与自变量的部分对应值如下表:
0 1
5 0
(1)______.
(2)求该二次函数的表达式;
(3)当时,的取值范围是______.
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的性质,熟练利用二次函数的性质是解题的关键.
(1)利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线,所以点和关于直线对称,从而确定的值;
(2)设交点式,然后把代入求出即可;即;
(2)先计算出时,;时,,加上时,有最小值,所以当时,的取值范围为.
【详解】(1)解:时,;时,,
抛物线的对称轴为直线,
点和关于直线对称,
;
故答案为:0;
(2)解:设抛物线解析式为,
把代入得,
解得,
抛物线解析式为,
即;
(3)解:时,;时,,
而时,有最小值,
当时,的取值范围为.
故答案为:.
针对训练3
1.已知二次函数.
(1)求该二次函数图象的顶点坐标.
(2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点,求该二次函数的表达式.
(3)已知,和是该二次函数图象上任意两点,若对,,都满足,求证:.
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质,掌握对称轴的计算,二次函数平移的性质,函数增减性式关键.
(1)根据解析式得到对称轴直线为,再代入计算函数值即可求解;
(2)由题意得平移后的解析式为,将代入,运用待定系数法即可得到解析式;
(3)根据题意得到,结合题意得到,,所以原式,可得,结合二次函数顶点坐标即可求解.
【详解】(1)解:对称轴为直线,
当时,,
∴顶点坐标为;
(2)解:由题意得平移后的解析式为,将代入,
∴,
∴,
∴二次函数表达式为;
(3)证明:二次函数化为一般式得,
∴,
∵和是该二次函数图象上任意两点,
∴,,
∴
,
∵,,
∴,,
∴原式,
∵,
∴,
∴,
解得,,
∵,
∴,
∵二次函数对称轴直线为,
∴当时,,
∴.
2.抛物线上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表所示:
x … 0 1 2 …
y … 8 0 0 …
(1)根据以上表格填空:抛物线经过点(3, ),在对称轴右侧,y随x的增大而 ;
(2)求抛物线的解析式.
【答案】(1)8,增大
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征等;
(1)抛物线与x轴的交点坐标是和,可得抛物线的对称轴为,由函数的对称性可得及时的函数值相等,故由对应的函数值可得出所对应的函数值,从而得出正确答案;由表格中y值的变化规律及找出的对称轴,得到抛物线的开口向上,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,从而求解;
(2)由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标和,与y轴的交点坐标代入即可求出.
【详解】(1)解:由表格可知,当时或,
所以抛物线与x轴的交点坐标是和,抛物线的对称轴为直线,
所以和对应的函数值相等,
所以当时,.
所以抛物线经过点.
由表格可知,y随x的增大先减小再增大,
所以在对称轴右侧,y随x的增大而增大.
(2)解:抛物线与x轴的交点坐标是和,
所以设抛物线,
把代入,
得,
解得,
所以抛物线的解析式为,即.
3.已知抛物线,经过,,三点.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)当为何值时,函数随的增大而增大?
【答案】(1)
(2)当时,函数随的增大而增大
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数,二次函数的图象和性质,正确求得二次函数的解析式是解题的关键.
(1)由于已知抛物线与轴的交点坐标,则可设交点式,然后把代入求出即可;
(2)根据二次函数的性质求解.
【详解】(1)
解:由于抛物线经过,,
则可设抛物线解析式为,
把代入得,解得,
所以抛物线解析式为;
(2)解:对称轴为直线,
由于,则二次函数开口向下,
当时,函数随的增大而增大.
4.在平面直角坐标系中,抛物线 过点
(1)请用含 的代数式表示 .
(2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点,求该抛物线的函数表达式.
(3)当 时,对于每一个 的值, 始终成立,试求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式,二次函数图像的性质,
(1)将两个点的坐标代入关系式,整理可得答案;
(2)先求出对称前该抛物线经过点,再设抛物线的关系式为,然后将点代入可得答案;
(3)由(1)可得,进而得出 ,接下来求出抛物线的对称轴,再分两种情况:当 时,当 时,随的增大而增大,再将时代入关系式,可得答案;当时,当时,随的增大而减小,将代入关系式,可得答案.
【详解】(1)解:由题意得 ,
解得,
∴;
(2)解:该抛物线关于y轴对称后的图象经过,则对称前该抛物线经过点.
设 ,
将代入,得
,
解得,
该抛物线的函数表达式为;
(3)解:由(1),得,
∴.
由,得,记作 ,
抛物线的对称轴为直线 .
当 时,如图 1,当 时,随的增大而增大.
当时,,则 成立,
即 ,
解得,
所以.
当时,如图2,当时,随的增大而减小,
当时,,则成立,
即 恒成立.
所以或时,始终成立.
5.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,且关于直线对称.
图1 图2
(1)求线段的长;
(2)当时,求的取值范围;
(3)如图2,点为抛物线对称轴上的点,点,在对称轴右侧抛物线上,若为等腰直角三角形,,试证明:为定值.
【答案】(1)
(2)当时,
(3)见解析
【分析】本题考查二次函数图象得性质.熟练掌握二次函数的对称性,等腰直角三角形性质,全等三角形的判定和性质是解题关键.
(1)根据对称性求出点B的坐标,即可求出的长;
(2)由A、B的坐标求出抛物线解析式,求出顶点,可得y的取值范围;
(3)分别过、作直线的垂线,垂直为、,根据为等腰直角三角形,可得,得到,,得根据,即得.
【详解】(1)抛物线与轴交于、两点,且对称轴为直线,
;
(2)∵抛物线与轴交于,两点,
.
∴.
.
.
当时,.
∵当时,,
当时,.
(3)分别过、作直线的垂线,垂直为、.
则,.
.
又为等腰直角三角形,
,.
.
.
.
,.
,,
,.
.
∵,,
∴.
.
.
.
题型4 选择适当方法求二次函数解析式
【例4】.已知抛物线交轴于点,,交轴于点.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标.
(2)如图,是抛物线上位于直线上方的动点,过点作轴的平行线,交直线于点,当的长度最大时,求点的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为,顶点坐标为
(2)
【分析】本题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式;(2)中用参数t表示抛物线上的点P、直线上点的坐标,再用t表示出的长是解题关键.
(1)将点,坐标代入抛物线解析式中,解方程组即可得出结论;
(2)先求出直线的解析式,设出点坐标,表示出点坐标,建立,利用二次函数的性质即可得出结论.
【详解】(1)解:将点,代入,
得,
解得,
抛物线的解析式为.
,
抛物线的解析式为,顶点坐标为;
(2)解:令,得,
点.
设直线的函数解析式为.
把点,代入,得,
解得,
直线的函数解析式为.
设点,则点,
.
,
当时,的长度最大,
此时点的坐标为.
针对训练4
1.已知二次函数的图象经过点.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)15
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.
(1)设交点式,然后把C点坐标代入求出a,从而得到抛物线解析式;
(2)直接根据三角形的面积公式求解.
【详解】(1)解:由题意得,设抛物线解析式为,
把代入得,
解得,
∴抛物线解析式为,
即;
(2)解:∵,
∴,
∴的面积.
2.已知抛物线.
(1)求这条拋物线的对称轴;
(2)若抛物线的顶点在x轴上,求其表达式;
(3)设点,在抛物线上,若,求m的取值范围.
【答案】(1);
(2)或;
(3);或.
【分析】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
(1)把解析式化成顶点式,根据顶点式求得对称轴;
(2)根据顶点式可得顶点坐标,根据顶点在x轴上得到关于a的方程,解方程求得a的值,即可得出结论;
(3)根据二次函数的性质,分两种情况即可求出m的范围.
【详解】(1)解:∵抛物线,
∴抛物线的对称轴为直线.
(2)解:∵,
∴抛物线顶点坐标为,
∵抛物线的顶点在x轴上,
∴,
∴或,
①当时,;
②当时,.
(3)解:Q关于对称轴的对称点为,
①当时,∵,∴;
②当时,∵,∴或.
3.已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
(1)求此抛物线的解析式;
(2)画出函数图象,结合图象直接写出当时,y的范围.
【答案】(1),
(2).
【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式,二次函数的图象性质等知识点,解决此题关键是能根据表格里的数据得到对称轴.
(1)根据表格里的数据得到对称轴,可设抛物线解析式,再找一个组值代入即可;
(2)根据表格中的数据,在平面直角坐标系里描出点,用平滑的曲线连接即可;根据图象的性质,即可得到时,y的范围.
【详解】(1)解:由表格可知对称轴为,所以可设抛物线的解析式为,
∵时,,
∴,
解得:,
∴抛物线的解析式为.
(2)解:函数图象如图所示
由(1)可知,对称轴为,
所以令时,,
当时,
∴能取到最小值,
即.
4.如图,抛物线过点,,.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设P是直线上方抛物线上一点,求出的最大面积及此时点P的坐标;
(3)若点M是线段上的一动点,连接,求的最小值.
【答案】(1)
(2)的最大面积为,此时点P的坐标为
(3)
【分析】本题考查了待定系数法,抛物线的最值,等腰直角三角形性质,熟练掌握抛物线的最值是解题的关键.
(1)利用待定系数法可求解析式;
(2)由待定系数法求出直线的解析式,过点P作y轴的平行线,交于Q,设,则,则,
,根据二次函数的性质即可得到答案;
(3)连接,过点M作于点N,证得是等腰直角三角形,可得,从而得到,当点A,M,N三点共线时,取得最小值,的最小值为的长,再由,解答即可.
【详解】(1)解:∵抛物线过点,,
∴设抛物线解析式为,
把代入得:,
解得,
所以抛物线的解析式为;
(2)解:设直线的解析式为:,
将,代入得:
,解得,
∴直线的解析式为:,
如图,过点P作y轴的平行线,交于Q,
设,则,则,
∴
,
即当时,的面积最大,最大为,
即的最大面积为,此时点P的坐标为;
(3)解:如图,连接,过点M作于点N,
∵,,,
∴,,
∴,
∵,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
即当点A,M,N三点共线时,取得最小值,的最小值为的长,
∵,
∴,
∴,
∴的最小值为.
5.已知抛物线的对称轴为直线,且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)如图,点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点,过点P作轴,,垂足分别为A、B.设点P的横坐标为m.
①当四边形为正方形时,求m的值;
②根据①的结果,直接写出.时,m的取值范围.
【答案】(1);
(2)①m的值为1或0;②时,m的取值范围为或.
【分析】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点,解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围.
(1)根据抛物线对称轴求出的值,再根据抛物线与轴的交点求出的值,从而求出二次函数解析式;
(2)①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点,轴,,点的横坐标为,可得,,.根据正方形的性质列出方程求解即可;
②根据①可知得当或时,,然后结合抛物线即可解决问题.
【详解】(1)解:抛物线的对称轴为直线,
,
,
抛物线与轴的交点坐标为,
,
抛物线的解析式为;
(2)解:①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点,轴,,点的横坐标为,
,
,,
当四边形为正方形时,,
,
,
解得,(不符合题意,舍去),
或者,
解得,(不符合题意,舍去),
的值为1或0;
②根据①可知:当或时,,
当时,,
,
当或时,,
当时,的取值范围为或.
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