2025年新九年级数学人教版暑假大课堂第十七讲二次函数图象与各项系数的关系（含解析）

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第十七讲二次函数图象与各项系数的关系
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系：
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号：a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.2a+b的符号，需判对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，-=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
题型1 由某一函数的图象确定其他函数图象的位置
【例1】．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
①判断两个函数中系数的符号，再与图象对比，符号与图象一致的即为正确答案；②把握某一图象(通常为一次函数)，判断相关未知系数的正负性，再与另一图象对比，符合要求的即为正确答案．
1．如图，一次函数与二次函数的图像相交于、两点，则函数的图像可能是（ ）
B．
C． D．
2．函数和(a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过(-1，0)和(0，-1)两点，则抛物线y=cx2+bx+a的图像大致为（ )
A． B．
C． D．
5．如图，函数的图象过点，那么函数的图像是（ ）

A． B． C． D．
题型2 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值
【例2】．已知二次函数（）的图像经过点．和．
(1)求，满足的关系式；
(2)若函数图像与轴无交点，求的取值范围．
(1)直接由函数图象判断a、b、c的情况：
①开口向上，a＞0，开口向下，a＜0；
②抛物线与y轴的交点，在x轴上方：c＞0，在原点：c＝0；在x轴下方：c＜0；③结合对称轴位置及a的符号确定b的符号，对称轴在y轴左侧，ab＞0；对称轴在y轴右侧，ab＜0.
(2)与x轴交点：两个：b2－4ac＞0；一个：b2－4ac＝0；无交点：b2－4ac＜0.(3)判断特殊代数式的值：如：a＋b＋c或a－b＋c：令x＝1或－1；4a＋2b＋c或4a－2b＋c：令x＝2或－2；9a＋3b＋c或9a－3b＋c：令x＝3或－3.
针对训练2
1．如图是某二次函数的图象，将其向左平移个单位后的图象的函数解析式为，则下列结论中正确的有（ ）
；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
2．如图，函数的图像过点和（其中），有下面五个判断：①；②；③；④ ⑤；其中正确的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，函数的图像的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图像上，则；⑤
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ．（填写正确的序号）
5．如图是二次函数 y=ax +bx+c 图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为直线 x=－1，给出以下五个结论:
①abc<0;　②b -4ac>0;　③4b+c<0;
④若B(，y1)，C(y2)，y1，y2为函数图像上的两点， 则y1>y2;
⑤当-3≤x≤1时，y≥0;
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)
题型3 二次函数有关最值问题--没有限定自变量的范围求最值
例3．已知二次函数有最小值为0，求m的值．
【答案】m的值为1
【分析】本题考查了解分式方程，二次函数的图象性质，结合二次函数有最小值为0，得出且，再解方程，即可作答．
【详解】解：∵有最小值0，
∴且
解得或（舍去）
经检验：是该方程的解．即m的值为1．
若没有限定自变量的取值范围，则顶点的纵坐标即为最值；
针对训练3
1．若二次函数经过点则的最小值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于（ ）
A． B．5 C． D．
3．已知，则关于的最值，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值1 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最大值
4．已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ）
A．最小值 B．最小值2 C．最大值 D．最大值2
5．在数学课上，刘老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（为常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ．
题型4 二次函数有关最值问题--限定自变量的取值范围求最值
【例4】．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值；
若限定了自变量的取值范围，顶点横坐标在自变量取值范围内，顶点处的函数值最大（最小），若顶点横坐标不在自变量取值范围内，端点处的函数值最大或最小.
针对训练4
1．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．9
2．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．当时，函数的最大值是8，则 ．
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）．
(1)若，，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围．
5．已知二次函数（其中为常数，），且满足．
(1)若函数图象经过点，求函数的表达式及其顶点坐标；
(2)若点在此二次函数图象上，且当时，随的增大而增大，求的最小值．
题型5 已知函数的最值，求待定系数的值
【例5】．已知二次函数，当时，y的最大值为，求a的值．
首先判定顶点横坐标是否在取值范围内，一般地这类问题中顶点横坐标不在取值范围内，注意取值范围在对称轴左侧，对称轴右侧分类讨论。
针对训练5
1．已知二次函数（k为常数）．
(1)用含k的代数式表示该二次函数的顶点坐标；
(2)当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
(3)当时，该函数有最小值，求k的值．
2．已知二次函数（，是常数，且）的图象经过点．
(1)若，求该函数的表达式及顶点坐标．
(2)当时，函数有最小值，求的值．
(3)若点，都在该函数图象上，且，求的取值范围．
3．设二次函数（，是常数），二次函数值和自变量的部分对应取值如下表示：
…
…
(1)若时，求二次函数的表达式；并直接写出的取值范围，使随的增大而减小；
(2)当时，有最小值为，求的值；
(3)若，，三个实数中，只有一个正数，求的取值范围．
4．已知二次函数，（为常数，且）图象经过点．
(1)求二次函数图象的对称轴；
(2)若，当时，的最大值为，求的值；
(3)已知，是该二次函数图象上的两点．若对于，，总有，求的取值范围．
能力提升 创新拓展
1．已知二次函数（a是常数）．
(1)当时．
①求二次函数图象的顶点坐标；
②在的范围内，求y的取值范围．
(2)当a取值为时，二次函数的最大值相等，此时是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
2．已知二次函数．
(1)若函数经过，求二次函数的解析式；
(2)若点，点均在函数图象上，求t的值；
(3)当时，函数最大值为7，求m的值．
3．已知抛物线（，是常数）．
(1)当，时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)当该抛物线的顶点在轴上时，，求的值；
(3)若该抛物线经过点，且当时，函数的最大值为3，求该抛物线的表达式．
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第十七讲二次函数图象与各项系数的关系（解析版）
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系：
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号：a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.2a+b的符号，需判对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，-=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
题型1 由某一函数的图象确定其他函数图象的位置
【例1】．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断．
【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，
∴x=ax2+bx+c，
∴ax2+（b-1）x+c=0；
由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根．
∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，
又∵-＞0，a＞0
∴-=-+＞0
∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合条件，
故选A．
①判断两个函数中系数的符号，再与图象对比，符号与图象一致的即为正确答案；②把握某一图象(通常为一次函数)，判断相关未知系数的正负性，再与另一图象对比，符合要求的即为正确答案．
针对训练1
1．如图，一次函数与二次函数的图像相交于、两点，则函数的图像可能是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象和二次函数的性质判断即可．
【详解】解： 由=x2+bx+c图象可知，对称轴x=＞0，，
，抛物线与y轴的交点在x轴下方，故选项B，C错误，
抛物线的对称轴为，
∴，
∴抛物线y=x2+（b-1）x+c的对称轴在y轴的右侧，故选项D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图像和性质，明确二次函数 中各项系数的意义及利用数形结合的思想是解答本题的关键．
2．函数和(a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分别根据函数图像确定抛物线、直线的系数，然后看是否一致即可解答．
【详解】解：A．由抛物线可知，由直线可知，故不一致，不合题意；
B．由抛物线可知，由直线可知，故不一致，不合题意；
C．由抛物线可知，由直线可知，故一致，符合题意；
D．由抛物线可知，由直线可知，故不一致，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数以及一次函数的图像，掌握一次函数和二次函数图像的有关性质是解答本题的关键．
3．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小．
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过(-1，0)和(0，-1)两点，则抛物线y=cx2+bx+a的图像大致为（ )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知图象判断a、b、c的取值范围，再依据它们来判断图象即可．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c经过(-1，0)和(0，-1)两点，则a-b+c=0，且c=-1；∴a=b+1，a＞0，-1＜b＜0；
A、由图像知a=1，则b=0，图像关于y轴对称，A图像不符合题意；
B、由图像知a＜1，即b+1＜1，∴b＜0，不矛盾，B图像符合题意；
C、由图像知a＞1，则b+1＞1，∴b＞0，与-1＜b＜0矛盾，C图像不符合题意；
D、由图像知a＜-1，与a＞0矛盾，D图像不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，准确根据图象判断出系数的符号，并能根据系数符号确定图象的大致形状与位置是解题关键．
5．如图，函数的图象过点，那么函数的图像是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的图象判断，由函数的图象过点，得出，即可得出函数的图象经过点，据此即可得出结论．
【详解】解：对称轴在轴的右侧，
、异号，
，
，
直线随的增大而减小，
函数的图象过点，
，
函数的图象经过点，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，能够判断直线随的增大而减小，且经过点是解题的关键．
题型2 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值
【例2】．已知二次函数（）的图像经过点．和．
(1)求，满足的关系式；
(2)若函数图像与轴无交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数参数，根据二次函数与轴有交点的情况求解．
（1）把点和坐标代入二次函数，即可；
（2）根据函数图像与轴无交点，则，把表示出来，再根据的取值范围，即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴，满足的关系式为：．
（2）由（1）得：，，
∵函数图像与轴无交点，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最小值为，
当时，的最大值为，
∴，
∴的取值范围为：．
(1)直接由函数图象判断a、b、c的情况：
①开口向上，a＞0，开口向下，a＜0；
②抛物线与y轴的交点，在x轴上方：c＞0，在原点：c＝0；在x轴下方：c＜0；③结合对称轴位置及a的符号确定b的符号，对称轴在y轴左侧，ab＞0；对称轴在y轴右侧，ab＜0.
(2)与x轴交点：两个：b2－4ac＞0；一个：b2－4ac＝0；无交点：b2－4ac＜0.(3)判断特殊代数式的值：如：a＋b＋c或a－b＋c：令x＝1或－1；4a＋2b＋c或4a－2b＋c：令x＝2或－2；9a＋3b＋c或9a－3b＋c：令x＝3或－3.
针对训练2
1．如图是某二次函数的图象，将其向左平移个单位后的图象的函数解析式为，则下列结论中正确的有（ ）
；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】如图是y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，根据开口方向向上知道a>0，又由与y轴的交点为在y轴的负半轴上得到c<0，由对称轴可以得到2a b=0，又当x=1时，可以判断a+b+c的值．由此可以判定所有结论正确与否．
【详解】(1)∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)(如虚线部分)，
∴y=ax2+bx+c的对称轴为：直线x= 1；
∵开口方向向上，
∴a>0，故①正确；
(2)∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上
∴c<0，故②正确；
(3)∵对称轴
∴2a b=0，故③正确；
(4)当x=1时，y=a+b+c>0，故④正确.
故选:D.
【点睛】考查二次函数与系数的关系.二次项系数决定抛物线的开口方向，共同决定了对称轴的位置，常数项决定了抛物线与轴的焦点位置.
2．如图，函数的图像过点和（其中），有下面五个判断：①；②；③；④ ⑤；其中正确的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图像及其性质，利用数形结合思想，抛物线的性质计算判断即可．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确，
∵，
∴，即，
故②正确，
∵函数的图像过点和（其中），
∴，，
∴，，
∴
，
故③正确，
∵函数的图像过点和（其中），
∴，
∵，
故④正确，
∵函数的图像过点和（其中），
∴
∴，
故⑤正确，
故选：D．
3．如图，函数的图像的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图像上，则；⑤
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像及性质逐一分析即可得解．
【详解】解：∵函数的图像开口向下，
∴，
∵函数的图像的顶点为，
∴，，，
∴，，，故③错误，
∴，，，故①错误，②⑤正确，
∵点和点都在函数的图像上，且，函数对称轴为，
∴点和点关于直线对称，
∴，故④正确，
综上正确的个数有3个，
故选；C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的对称性以及二次函数的最值是解题的关键．
4．如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ．（填写正确的序号）
【答案】②④⑤
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
【详解】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误；
当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确；
当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
5．如图是二次函数 y=ax +bx+c 图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为直线 x=－1，给出以下五个结论:
①abc<0;　②b -4ac>0;　③4b+c<0;
④若B(，y1)，C(y2)，y1，y2为函数图像上的两点， 则y1>y2;
⑤当-3≤x≤1时，y≥0;
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)
【答案】②③⑤.
【详解】由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故②正确．
∵抛物线对称轴为x=-1，与x轴交于A（-3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c=0，-=-1，
∴b=2a，c=-3a，
∴4b+c=8a-3a=5a＜0，故③正确．
∵B（- ，y1）、C（- ，y2）为函数图象上的两点，
又点C离对称轴近，
∴y1，＜y2，故④错误，
由图象可知，-3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．
∴②③⑤正确，
故答案是：②③⑤．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．
题型3 二次函数有关最值问题--没有限定自变量的范围求最值
6．已知二次函数有最小值为0，求m的值．
【答案】m的值为1
【分析】本题考查了解分式方程，二次函数的图象性质，结合二次函数有最小值为0，得出且，再解方程，即可作答．
【详解】解：∵有最小值0，
∴且
解得或（舍去）
经检验：是该方程的解．即m的值为1．
若没有限定自变量的取值范围，则顶点的纵坐标即为最值；
针对训练3
1．若二次函数经过点则的最小值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质以及利用配方法求最值，解题的关键是根据函数过的点得到与的关系，再通过变形求的最值．
先将点代入二次函数得到与的关系式，再将用表示代入，最后通过配方法求最值．
【详解】将代入函数可得：
，即，
移项可得，
把代入，得到，
因为（任何数的平方都大于等于0），
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：A．
2．点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的图象的对称轴为轴，得到，进而得到函数关系式为，得到，进而得到，利用二次函数的性质，求最值即可．解题的关键是根据对称轴求出二次函数的解析式．
【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为轴，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴当时，有最大值为；
故选D．
3．已知，则关于的最值，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值1 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最大值
【答案】B
【分析】本题考查二次函数求最值，根据，求出，将转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
，
，
∴当时，有最小值，
故选B．
4．已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ）
A．最小值 B．最小值2 C．最大值 D．最大值2
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可．
【详解】解：二次函数的图象经过点，
，
，
，
，
代数式有最大值2，
故选：D．
5．在数学课上，刘老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（为常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，二次函数的最值问题，先把（是常数）变形，再对比求出，的值，最后进行相加，计算出最小值，解题的关键是利用配方法和非负数的性质来解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
题型4 二次函数有关最值问题--限定自变量的取值范围求最值
【例4】．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值；
【答案】(1)直线
(2)11
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）根据对称轴为直线代入求解即可．
（2）根据二次函数的图像和性质可得出当时，，进而求出a的值，再得出当时，取的最大值，代入计算即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线：
．
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴为直线，
∴当时，y有最小值，
∵当时，的最小值是，
∴当时，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵当比当离对称轴近，
∴当时，取的最大值，
此时．
若限定了自变量的取值范围，顶点横坐标在自变量取值范围内，顶点处的函数值最大（最小），若顶点横坐标不在自变量取值范围内，端点处的函数值最大或最小.
针对训练4
1．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先得到该函数的对称轴直线，根据当时，随的增大而增大，得，再结合，，则当或时，，然后由当时，函数的最大值是8，最小值是，即可作答．
【详解】解：解：二次函数，
该函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
，
当时，，
当或时，，
当时，函数的最大值是8，最小值是，
，
故的值可能是6，
故选：C．
2．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据解析式，确定对称轴，分开口方向向上和向下两种情况解答，确定时，二次函数的最大值与最小值，解答即可．
本题考查了顶点式，抛物线的增减性，最值，熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
当抛物线开口向上时，，得抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵，
∴在这个范围内，
∵y的最小值为，
∴，与矛盾，
当抛物线开口向下时，，故抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小，
∵，
∴当时，取得最小值，且最小值为，
由y的最小值为，
得，
解得．
故选：B．
3．当时，函数的最大值是8，则 ．
【答案】或
【详解】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．先求得对称轴，根据的取值，再分和两种情况讨论求得即可．
【解答】解：函数的对称轴为直线，
①当时，则时，函数的最大值是8，
把代入得，，
解得；
②当时，则时，函数的最大值是8，
把代入得，，
解得，
故答案为：或．
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）．
(1)若，，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将，，代入化成顶点式即可直接得解；
（2）由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可；
本题主要考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性、二次函数的对称性以及二次函数与直线的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：将，，代入，得，
顶点的横坐标为，代入纵坐标为
∴顶点坐标为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为，
①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为 ，
∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当有，
可得，
解得；
②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为 ，
∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当有，
可得或，
，
解得；
综上，或；
5．已知二次函数（其中为常数，），且满足．
(1)若函数图象经过点，求函数的表达式及其顶点坐标；
(2)若点在此二次函数图象上，且当时，随的增大而增大，求的最小值．
【答案】(1)；顶点坐标为：．
(2)的最小值为．
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的最值，进行解答，即可．
（1）利用待定系数法求解函数解析式，即可；
（2）利用待定系数法求出与的关系式，再根据二次函数的的性质，求出的取值，即可．
【详解】（1）解：∵函数图象经过点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：，
∴顶点坐标为：．
（2）解：∵点在此二次函数图象上，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
当时，随的增大而增大，
∴对称轴 ，
解得：，
∴，
∴的最小值为．
题型5 已知函数的最值，求待定系数的值
【例5】．已知二次函数，当时，y的最大值为，求a的值．
【答案】或
【详解】本题考查了二次函数的最值，关键是掌握用分类讨论的思想进行解题．
本题是关于二次函数最值的“逆向问题”，由题设知，二次函数的对称轴是，而x的取值范围是，所以要对是否在x的取值范围内讨论求解．
解：二次函数的对称轴为直线，
（1）若，即，抛物线开口向上，则当时，，
∵二次函数最大值，
∴，
解得：；
（2）若，，抛物线开口向上，则当时，，
∵二次函数最大值，
∴，
解得：；
综上所述，或．
首先判定顶点横坐标是否在取值范围内，一般地这类问题中顶点横坐标不在取值范围内，注意取值范围在对称轴左侧，对称轴右侧分类讨论。
针对训练5
1．已知二次函数（k为常数）．
(1)用含k的代数式表示该二次函数的顶点坐标；
(2)当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
(3)当时，该函数有最小值，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】本题看出来二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）配方得到顶点式，可确定顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到的取值；
（3）分三种情况讨论，关键题意得到关于的方程，解方程即可求得．
【详解】（1）解：，
该二次函数的顶点坐标是．
（2）该二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，
∴当时，随的增大而减小，
当时，y随x的增大而减小，
．
（3）①若，当时，．
②若，当时，，
解得（舍去）．
③若，当时，，
解得（舍去）．
综合以上得：当时，该函数有最小值，此时的值是或．
2．已知二次函数（，是常数，且）的图象经过点．
(1)若，求该函数的表达式及顶点坐标．
(2)当时，函数有最小值，求的值．
(3)若点，都在该函数图象上，且，求的取值范围．
【答案】(1)表达式为，顶点坐标为
(2)1
(3)当时，的取值范围为或；当时，的取值范围为
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法得出函数解析式，再化为顶点式即可；
（2）将点代入，得，从而可得函数解析式为，再结合函数图象性质分情况讨论求解即可；
（3）分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得．
所以．
所以该函数的表达式为，顶点坐标为．
（2）解：将点代入，得，所以．
所以．
当时，时，函数有最小值，所以．
当时，时，函数有最小值0，不合题意，
所以的值为1．
（3）解：因为该函数图象的对称轴为直线，
当时，，解得或．
当时，，解得．
所以当时，的取值范围为或．
当时，的取值范围为．
3．设二次函数（，是常数），二次函数值和自变量的部分对应取值如下表示：
…
…
(1)若时，求二次函数的表达式；并直接写出的取值范围，使随的增大而减小；
(2)当时，有最小值为，求的值；
(3)若，，三个实数中，只有一个正数，求的取值范围．
【答案】(1)，当时，随的增大而减小
(2)或
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式，再由二次函数的性质即可得解；
（2）由表格可知抛物线对称轴，推出，从而可得，再分两种情况①时，开口向上；②时，开口向下；分别求解即可；
（3）由题意得出，从而可得表达式化为，求出，结合，，三个实数中，只有一个是正数，得出即，，从而可得，求解即可．
【详解】（1）解：根据条件可得：，
解得，
所以二次函数表达式为，
∵，开口向下，对称轴，
∴当时，随的增大而减小；
（2）解：由表可知，抛物线经过，两点，
∴当或时，
∴可知抛物线对称轴，
∴，
∴，
当时，的最小值为，
①时，开口向上，
当时，取得最小值，，
解得；
②时，开口向下，
当或时，最小值为，
代入，，
解得
综上，或；
（3）解：根据表格，将代入，
∴，
∴，
表达式化为：，
将代入，得到，
将代入，得到
将代入，得到，
那么，
∵，，三个实数中，只有一个是正数，
即，，
，解得，
综上，的取值范围是．
4．已知二次函数，（为常数，且）图象经过点．
(1)求二次函数图象的对称轴；
(2)若，当时，的最大值为，求的值；
(3)已知，是该二次函数图象上的两点．若对于，，总有，求的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查二次函数图形的性质，掌握二次函数图形的开口，最值的计算，对称轴直线的计算等知识，数形结合分析，分类讨论是解题的关键．
（1）把点代入，运用对称轴直线的计算公式求解即可；
（2）二次函数图象的对称轴是，则，，根据二次函数图象的性质得到当时，的值最大，代入计算即可求解；
（3）分类讨论：当时，，当时，或，数形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：二次函数，则对称轴直线为，
由题意知，二次函数的图象过，
，则，
，
二次函数图象的对称轴是；
（2）解：二次函数图象的对称轴是，
，
，
当时，二次函数的图象草图如图1，
由图象可以看出：在范围内，点的位置最高，
∴当时，的值最大，
此时，．
解得；
（3）解：当时，函数图象草图如图2，
点在，之间的抛物线上，此时当点在点的位置时的值最小，
点关于直线的对称点为点，由于，
点在直线下方的抛物线上，
，
又，
，
解得，
又，
，
当时，函数图象的草图如图3，
点在之间的抛物线上，此时点在点处的值最小，
点关于直线的对称点为点，由于，
点在直线下方的抛物线上，
或，
又，
或，
解得或（不合题意舍去），
综上所述，的取值范围是或．
能力提升 创新拓展
1．已知二次函数（a是常数）．
(1)当时．
①求二次函数图象的顶点坐标；
②在的范围内，求y的取值范围．
(2)当a取值为时，二次函数的最大值相等，此时是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)是，
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）①把代入二次函数解析式，然后配成顶点式，进而问题可求解；②根据二次函数的性质可进行求解；
（2）根据二次函数的最值问题可得，然后进行化简即可求解．
【详解】（1）解：①把代入得：，
∴，
∴该二次函数的顶点坐标为；
②由①可知：，开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为3，
当时，则，当时，则，
∴当时，y的取值范围为；
（2）解：是定值，理由如下：
由可知：开口向下，最大值为，
∴当时，最大值为，当时，最大值为，
∴
∴．
2．已知二次函数．
(1)若函数经过，求二次函数的解析式；
(2)若点，点均在函数图象上，求t的值；
(3)当时，函数最大值为7，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，最值问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）将代入，解方程即可；
（2）可知，关于对称轴对称，然后根据对称性求解即可；
（3）分两种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，
解得：，
；
（2）解：∵点，点均在函数图象上，
∴，关于对称轴对称，
∵，
∴，
解得：．
（3）解：①时，，且，
∴时，，
解得：．
②时，，
∴时，，
解得：．
综上所述，或．
3．已知抛物线（，是常数）．
(1)当，时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)当该抛物线的顶点在轴上时，，求的值；
(3)若该抛物线经过点，且当时，函数的最大值为3，求该抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)m的值为或4；
(3)
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）由题意可知抛物线的顶点在x轴上时，则，则，解得；
（3）分两种情况讨论：当抛物线的对称轴在轴左侧时，当抛物线的对称轴是轴或在轴右侧时，即可得到抛物线的表达式为．
【详解】（1）解：当，时，
则，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：当抛物线的顶点在轴上时，，
则，
，
把代入上式，得，
故m的值为或4；
（3）解：把代入，得，
，
，
当抛物线的对称轴在轴左侧时，即，
．
此时，当时，函数有最大值．
．
解得（不合题意，舍去），
（不合题意，舍去）．
当抛物线的对称轴是轴或在轴右侧时，即，
．
此时，当时，函数有最大值．
，解得．
抛物线的表达式为．
综上所述，抛物线的表达式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论思想的运用是解题的关键．
老师告诉你
典例精讲1
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